Eksamensoppgaver etter tema

Hvert innskudd vokser med vekstfaktoren \( 1{,}054 \) for hvert år det står på kontoen. Saldoen 31.12.2025 er summen av de fem innskuddene med renter, og den summen er en geometrisk rekke.

1. Skriv saldoen som en rekke Innskuddet fra 1. januar 2025 har fått renter i 1 år, og innskuddet fra 2021 i 5 år. Saldoen 31.12.2025 er summen av de fem innskuddene med renter: \[ \begin{aligned} S_5 = \ &27\,500 \cdot \textcolor{blue}{1{,}054} \\ &+ 27\,500 \cdot \textcolor{blue}{1{,}054}^2 \\ &+ \ldots + 27\,500 \cdot \textcolor{blue}{1{,}054}^5 \end{aligned} \]Hvert ledd er det forrige ganget med \( {\textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{1{,}054}}\text{,} \) så rekken er geometrisk med \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{5}} \) ledd og første ledd: \[ \textcolor{red}{a_1} = 27\,500 \cdot 1{,}054 = \textcolor{red}{28\,985} \]

2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}\left(1 - \textcolor{blue}{k}^{\textcolor{green}{n}}\right)}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_5 &= \dfrac{\textcolor{red}{28\,985}\left(1 - \textcolor{blue}{1{,}054}^{\textcolor{green}{5}}\right)}{1 - \textcolor{blue}{1{,}054}} \\ &\approx 161\,445 \end{aligned} \]

1. Regn ut summen i CAS Vi lar Sum legge sammen de fem leddene \( {27\,500 \cdot 1{,}054^k} \) for \( {k = 1} \) til \( 5\text{,} \) og bruker \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Sum(27500*1.054^k, k, 1, 5)

Summen er omtrent \( 161\,445 \) kr.

Lånebeløpet er lik nåverdien av alle terminbeløpene, og den summen er en geometrisk rekke. Vi finner terminbeløpet på huslånet, trekker det fra 200 000 og løser likningen for forbrukslånet med NLøs.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen for renten kan ikke løses for hånd. Uten PC kan du sette opp likningen og prøve deg fram med kalkulatoren: \( {r = 0{,}15} \) gir en nåverdi på omtrent \( 154\,900 \) kr og \( {r = 0{,}16} \) omtrent \( 149\,200 \) kr, så renten ligger mellom \( 15\,\% \) og \( 16\,\%\text{.} \)

1. Sett opp nåverdien som en rekke Med terminbeløpet \( \textcolor{red}{T}\text{,} \) renten \( \textcolor{blue}{r} \) og \( \textcolor{green}{n} \) år er lånebeløpet summen av nåverdiene av terminbeløpene: \[ \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1 + \textcolor{blue}{r}} + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{(1 + \textcolor{blue}{r})^2} + \ldots + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{(1 + \textcolor{blue}{r})^{\textcolor{green}{n}}} \]Det er en geometrisk rekke med \( {a_1 = \dfrac{T}{1 + r}} \) og \( {k = \dfrac{1}{1 + r}}\text{.} \) Summeformelen \( {S_n = \dfrac{a_1(1 - k^n)}{1 - k}} \) fra a) gir, når vi forkorter: \[ \text{lån} = \textcolor{red}{T} \cdot \dfrac{1 - (1 + \textcolor{blue}{r})^{-\textcolor{green}{n}}}{\textcolor{blue}{r}} \]

2. Finn terminbeløpet på huslånet Huslånet er \( 2\,600\,000 \) kr med \( {\textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{0{,}05}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{30}}\text{.} \) Vi løser for \( T\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{\text{hus}} &= \dfrac{2\,600\,000 \cdot \textcolor{blue}{0{,}05}}{1 - \textcolor{blue}{1{,}05}^{-\textcolor{green}{30}}} \\ &\approx 169\,133{,}73 \end{aligned} \]Da blir terminbeløpet på forbrukslånet: \[ \begin{aligned} T &= 200\,000 - 169\,133{,}73 \\ &= 30\,866{,}27 \end{aligned} \]

3. Løs likningen i CAS Forbrukslånet er \( 150\,000 \) kr med \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{10}}\text{,} \) så renten \( \textcolor{blue}{r} \) må oppfylle: \[ 150\,000 = \textcolor{red}{T} \cdot \dfrac{1 - (1 + \textcolor{blue}{r})^{-\textcolor{green}{10}}}{\textcolor{blue}{r}} \]På samme CAS-ark som i a) løser vi likningen med NLøs, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: 2600000*0.05/(1 - 1.05^(-30)) T := 200000 - 169133.73 NLøs(150000 = T*(1 - (1 + r)^(-10))/r, r = 0.1)

Rad 4 gir \( {r \approx 0{,}1585}\text{,} \) altså omtrent \( 15{,}85\,\%\text{.} \)

Lånet er like mye verdt som alle terminbeløpene, når hvert av dem regnes tilbake til i dag. Disse nåverdiene danner en geometrisk rekke, og summeformelen gir terminbeløpet.

1. Sett opp rekken Et terminbeløp \( \textcolor{red}{T} \) som betales om \( n \) år, er i dag verdt \( \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1{,}04^n}\text{.} \) Summen av nåverdiene av de åtte terminbeløpene skal være prisen på bilen: \[ \begin{aligned} 357\,000 = \ &\dfrac{\textcolor{red}{T}}{1{,}04} + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1{,}04^2} \\ &+ \ldots + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1{,}04^8} \end{aligned} \]Hvert ledd er det forrige ganget med \( {\textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{1{,}04}}}\text{,} \) så rekken er geometrisk med \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{8}} \) ledd og første ledd \( {a_1 = \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1{,}04}}\text{.} \)

2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{a_1\left(1 - \textcolor{blue}{k}^{\textcolor{green}{n}}\right)}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} 357\,000 &= \dfrac{\dfrac{\textcolor{red}{T}}{1{,}04}\left(1 - \left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{1{,}04}}\right)^{\textcolor{green}{8}}\right)}{1 - \textcolor{blue}{\dfrac{1}{1{,}04}}} \\ &= \textcolor{red}{T} \cdot \dfrac{1 - 1{,}04^{-8}}{0{,}04} \end{aligned} \]

I den siste linja har vi ganget teller og nevner med \( 1{,}04\text{,} \) så nevneren blir \( {1{,}04 - 1 = 0{,}04}\text{.} \)

3. Løs for terminbeløpet \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{T} &= \dfrac{357\,000 \cdot 0{,}04}{1 - 1{,}04^{-8}} \\ &\approx 53\,024{,}44 \end{aligned} \]

1. Løs i CAS Vi skriver rekken med Sum og løser for \( T \) med NLøs:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(357000 = Sum(T/1.04^k, k, 1, 8), T = 50000)

Terminbeløpet er omtrent \( 53\,024{,}44 \) kr.

Som i a) er prisen lik summen av nåverdiene av terminbeløpene, nå med ukjent rente. Likningen for renten løser vi med NLøs.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen for renten kan ikke løses for hånd. Uten PC kan du sette opp likningen og prøve deg fram med kalkulatoren: \( {r = 0{,}027} \) gir en nåverdi på omtrent \( 450\,440 \) kr og \( {r = 0{,}028} \) omtrent \( 448\,133 \) kr, så renten ligger mellom \( 2{,}7\,\% \) og \( 2{,}8\,\%\text{.} \)

1. Sett opp likningen Med renten \( \textcolor{blue}{r} \) er et terminbeløp om \( n \) år i dag verdt \( {\dfrac{52\,000}{(1 + \textcolor{blue}{r})^n}}\text{.} \) Summen av nåverdiene av de ti terminbeløpene skal være prisen: \[ \begin{aligned} 450\,000 = \ &\dfrac{52\,000}{1 + \textcolor{blue}{r}} + \dfrac{52\,000}{(1 + \textcolor{blue}{r})^2} \\ &+ \ldots + \dfrac{52\,000}{(1 + \textcolor{blue}{r})^{10}} \end{aligned} \]

2. Løs likningen i CAS Vi løser likningen med NLøs, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, med startverdien \( {r = 0{,}03}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(450000 = Sum(52000/(1 + r)^k, k, 1, 10), r = 0.03)

Rad 2 gir \( {\textcolor{blue}{r} \approx 0{,}0272}\text{,} \) altså omtrent \( 2{,}72\,\%\text{.} \)

Vi bruker terminbeløpet fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Alt Mathias betaler utover prisen på bilen, er renter. Vi regner ut alle terminbeløpene til sammen minus lånet for hvert tilbud.

1. Regn ut rentene for hvert tilbud Hvert terminbeløp er renter pluss avdrag, og avdragene til sammen er lånet, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. De totale rentene er derfor: \[ \begin{aligned} \text{renter} &= \text{alle terminbeløpene} \\ &\quad - \text{lånet} \end{aligned} \]

I a) fant vi terminbeløpet \( {T \approx 53\,024{,}44} \) kr for tilbud 1. Det er beløpet Mathias betaler hvert år, i kroner og øre, så vi regner med det. Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\text{Tilbud 1:}} \\ &8 \cdot 53\,024{,}44 - 357\,000 = \textcolor{blue}{67\,195{,}52} \\ &\textcolor{red}{\text{Tilbud 2:}} \\ &10 \cdot 52\,000 - 450\,000 = \textcolor{red}{70\,000} \end{aligned} \]

Merk – Avrunding: Med terminbeløpet rundet til hele kroner, 53 024 kr, blir rentene for tilbud 1 \( 67\,192 \) kr. Tilbud 2 gir mest renter uansett.

2. Sammenlign \( \textcolor{red}{70\,000} \) kr er mer enn \( \textcolor{blue}{67\,195{,}52} \) kr, så tilbud 2 gir mest renter totalt.

1. Regn ut i CAS På samme CAS-ark som i a) og b) regner vi ut rentene for begge tilbudene, med terminbeløpet slik det betales, 53 024,44 kr fra a):

Skriv inn i GeoGebra: 8*53024.44 - 357000 10*52000 - 450000

Tilbud 1 gir \( 67\,195{,}52 \) kr i renter og tilbud 2 \( 70\,000 \) kr, så tilbud 2 gir mest.

Vi ser at hvert innskudd får renter fram til slutten av 2055, men i ulikt antall år. Summen av innskuddene med renter er derfor en geometrisk rekke.

1. Sett opp rekka Vi kaller beløpet \( x\text{.} \) Vekstfaktoren for \( 2{,}5\,\% \) er \( 1{,}025\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor.

Innskuddet i 2055 får renter i ett år, innskuddet i 2054 i to år, og så videre, til innskuddet i 2026, som får renter i \( 30 \) år: \[ \begin{aligned} &x \cdot 1{,}025 + x \cdot 1{,}025^2 \\ &+ \dots + x \cdot 1{,}025^{30} \end{aligned} \]Dette er en geometrisk rekke med \( {n = 30} \) ledd, første ledd \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{1{,}025x}} \) og kvotient \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{1{,}025}}\text{.} \)

2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{k}^n - 1}{\textcolor{red}{k} - 1} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Plugger vi inn og setter summen lik \( 3\,750\,000\text{,} \) får vi: \[ \textcolor{blue}{1{,}025x} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{1{,}025}^{30} - 1}{\textcolor{red}{1{,}025} - 1} = 3\,750\,000 \]

Vi løser for \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{3\,750\,000 \cdot 0{,}025}{1{,}025 \cdot (1{,}025^{30} - 1)} \\ &\approx 83\,333 \end{aligned} \]

1. Løs likningen i CAS Vi skriver summen med kommandoen Sum, der leddet \( {x \cdot 1{,}025^n} \) går fra \( {n = 1} \) til \( {n = 30}\text{.} \) Vi løser likningen med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Løs(Sum(x*1.025^n, n, 1, 30) = 3750000, x)

Rad 1 gir \( {x \approx 83\,332{,}83}\text{.} \)

Lånet er like stort som summen av nåverdiene av alle terminbeløpene. Vi setter summen lik \( 3\,000\,000 \) og løser for vekstfaktoren.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke løse denne likningen for hånd: selv med summeformelen er det en likning av grad \( 32 \) i \( k\text{.} \) Øv heller på å sette opp summen av nåverdiene, og på å kontrollere en rentesats med summeformelen for geometriske rekker.

1. Sett opp likningen Fra og med januar 2026 til og med januar 2058 er det \( 33 \) terminer. Vi kaller vekstfaktoren \( \textcolor{red}{k}\text{.} \) Et terminbeløp som betales \( n \) år etter januar 2026, er verdt \( \dfrac{150\,000}{\textcolor{red}{k}^n} \) i januar 2026.

Den første terminen betaler Nora i januar 2026, med \( {n = 0}\text{,} \) og den siste i januar 2058, med \( {n = 32}\text{.} \) Summen av nåverdiene er lånet: \[ \sum_{n=0}^{32} \dfrac{150\,000}{\textcolor{red}{k}^n} = 3\,000\,000 \]

2. Løs likningen i CAS Vi fortsetter i CAS fra a), og løser likningen med NLøs og startverdien \( {k = 1{,}03}\text{,} \) slik vi løser en likning i CAS i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(Sum(150000/k^n, n, 0, 32) = 3000000, k = 1.03)

Rad 2 gir \( {\textcolor{red}{k} \approx 1{,}0353}\text{,} \) så rentesatsen er omtrent \( 3{,}53\,\%\text{.} \)

Hvert innskudd er \( 6\,\% \) større enn det forrige, men får renter i ett år mindre. Saldoen er summen av innskuddene med renter, og den summen er en geometrisk rekke.

1. Sett opp rekka Det første innskuddet får renter i \( 10 \) år, det andre er \( {10\,000 \cdot 1{,}06} \) og får renter i \( 9 \) år, og så videre, til det siste, \( {10\,000 \cdot 1{,}06^9}\text{,} \) som får renter i ett år. Saldoen er: \[ \begin{aligned} &10\,000 \cdot 1{,}025^{10} \\ &+ 10\,000 \cdot 1{,}06 \cdot 1{,}025^9 \\ &+ \dots + 10\,000 \cdot 1{,}06^9 \cdot 1{,}025 \end{aligned} \]

Hvert ledd er det forrige ganget med \( 1{,}06 \) og delt på \( 1{,}025\text{.} \) Dette er altså en geometrisk rekke med \( {n = 10} \) ledd, første ledd og kvotient: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{10\,000 \cdot 1{,}025^{10}} \\ \textcolor{red}{k} &= \textcolor{red}{\dfrac{1{,}06}{1{,}025}} \end{aligned} \]

2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{k}^n - 1}{\textcolor{red}{k} - 1} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_{10} &= \textcolor{blue}{10\,000 \cdot 1{,}025^{10}} \\ &\quad \cdot \dfrac{\left(\textcolor{red}{\dfrac{1{,}06}{1{,}025}}\right)^{10} - 1}{\textcolor{red}{\dfrac{1{,}06}{1{,}025}} - 1} \\ &\approx 149\,581 \end{aligned} \]Vi taster hele uttrykket inn i kalkulatoren uten å runde av \( k\text{.} \)

3. Sammenlign med målet Vi trekker saldoen fra målet: \[ 150\,000 - 149\,581 = 419 \]Nora mangler omtrent \( 419 \) kr, så hun når ikke målet.

1. Regn ut summen i CAS Vi fortsetter i CAS fra b). Innskudd nummer \( {i + 1} \) er \( {10\,000 \cdot 1{,}06^i} \) og får renter i \( {10 - i} \) år, for \( {i = 0} \) til \( 9\text{.} \) Vi summerer med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Sum(10000*1.06^i*1.025^(10 - i), i, 0, 9)

Rad 3 gir omtrent \( 149\,581 \) kr, som er under \( 150\,000 \) kr.

Lånet er lik nåverdien av alle terminbeløpene, og den summen er en geometrisk rekke. Vi bruker summeformelen og løser for terminbeløpet.

1. Skriv lånet som en rekke Med terminbeløpet \( \textcolor{red}{T}\text{,} \) vekstfaktoren \( \textcolor{blue}{1{,}05242} \) og \( \textcolor{green}{30} \) terminer er lånet summen av nåverdiene av terminbeløpene: \[ \begin{aligned} 799\,273 = \ &\dfrac{\textcolor{red}{T}}{\textcolor{blue}{1{,}05242}} + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{\textcolor{blue}{1{,}05242}^2} \\ &+ \ldots + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{\textcolor{blue}{1{,}05242}^{\textcolor{green}{30}}} \end{aligned} \]Det er en geometrisk rekke med \( {a_1 = \dfrac{\textcolor{red}{T}}{\textcolor{blue}{1{,}05242}}} \) og \( {k = \dfrac{1}{\textcolor{blue}{1{,}05242}}}\text{.} \)

2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{a_1\left(1 - k^n\right)}{1 - k} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel. Plugger vi inn \( a_1 \) og \( k\text{,} \) får vi: \[ 799\,273 = \dfrac{\textcolor{red}{T}}{\textcolor{blue}{1{,}05242}} \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{1{,}05242}^{-\textcolor{green}{30}}}{1 - \dfrac{1}{\textcolor{blue}{1{,}05242}}} \]

Vi ganger teller og nevner i den siste brøken med \( \textcolor{blue}{1{,}05242}\text{,} \) og med renten \( {r = 0{,}05242} \) blir det: \[ 799\,273 = \textcolor{red}{T} \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{1{,}05242}^{-\textcolor{green}{30}}}{0{,}05242} \]

3. Løs for terminbeløpet \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{T} &= \dfrac{799\,273 \cdot 0{,}05242}{1 - \textcolor{blue}{1{,}05242}^{-\textcolor{green}{30}}} \\ &\approx 53\,436{,}90 \end{aligned} \]Avrundet til hele kroner er det 53 437 kr.

1. Regn ut terminbeløpet i CAS Vi skriver inn \( \textcolor{red}{T} \) fra formelen over og bruker \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 799273*0.05242/(1 - 1.05242^(-30))

Terminbeløpet er omtrent \( 53\,437 \) kr.

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: terminbeløpet 53 437 kr står i oppgaveteksten i a).

Vi setter opp den samme likningen som i a), med 25 terminer og ukjent rente, og løser den med NLøs.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen for renten kan ikke løses for hånd. Uten PC kan du prøve deg fram med kalkulatoren: \( {r = 0{,}044} \) gir en nåverdi på omtrent \( 800\,595 \) kr og \( {r = 0{,}045} \) omtrent \( 792\,375 \) kr, så renten ligger mellom \( 4{,}4\,\% \) og \( 4{,}5\,\%\text{.} \)

1. Sett opp likningen I a) fant vi at lånet er nåverdien av terminbeløpene: \[ 799\,273 = 53\,437 \cdot \dfrac{1 - (1 + \textcolor{blue}{r})^{-\textcolor{green}{n}}}{\textcolor{blue}{r}} \]Nå er \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{25}}\text{,} \) og renten \( \textcolor{blue}{r} \) er ukjent.

2. Løs likningen i CAS Vi løser likningen i CAS, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, men med NLøs og en startverdi, fordi \( \textcolor{blue}{r} \) står både i en potens og i nevneren:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(799273 = 53437*(1 - (1 + r)^(-25))/r, r = 0.05)

Rad 2 gir \( {\textcolor{blue}{r} \approx 0{,}0442}\text{,} \) altså omtrent \( 4{,}42\,\%\text{.} \)

Vi bruker terminbeløpet 53 437 kr fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi finner hvor mye Ole skylder etter 12 år. De økende terminbeløpene etterpå er en ny geometrisk rekke, og vi løser for antall terminer med \( \ln\text{.} \)

1. Finn restgjelden etter 12 år Etter 12 år har lånet vokst med renter, og hvert terminbeløp har også vokst med renter fra det ble betalt. Med \( \textcolor{blue}{1{,}05242} \) som vekstfaktor er restgjelden lånet minus de 12 terminbeløpene, en geometrisk rekke med summeformelen fra a): \[ \begin{aligned} R &= 799\,273 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05242}^{12} \\ &\quad - 53\,437 \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{1{,}05242}^{12} - 1}{0{,}05242} \\ &\approx 613\,010 \end{aligned} \]

2. Sett opp de økende terminbeløpene Fra år 13 er terminbeløpet \( {53\,437 \cdot \textcolor{red}{1{,}05}^{j}} \) i termin nummer \( j \) etter år 12. Restgjelden er nåverdien av dem, sett fra år 12: \[ R = \sum_{j=1}^{\textcolor{green}{m}} 53\,437 \cdot q^{j}, \quad q = \dfrac{\textcolor{red}{1{,}05}}{\textcolor{blue}{1{,}05242}} \]Det er en geometrisk rekke med \( {a_1 = 53\,437q} \) og \( {k = q}\text{.} \) Summeformelen gir: \[ 53\,437q \cdot \dfrac{1 - q^{\textcolor{green}{m}}}{1 - q} = R \]

3. Løs for antall terminer Vi løser for \( q^{\textcolor{green}{m}} \) og bruker at: \[ \dfrac{1 - q}{q} = \dfrac{1{,}05242 - 1{,}05}{1{,}05} = \dfrac{0{,}00242}{1{,}05} \]

Det gir: \[ q^{\textcolor{green}{m}} = 1 - \dfrac{R \cdot 0{,}00242}{53\,437 \cdot 1{,}05} \approx 0{,}97356 \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026, og løser for \( \textcolor{green}{m}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{m} = \dfrac{\ln 0{,}97356}{\ln q} \approx 11{,}64 \]Etter 11 økte terminer er det litt igjen, så det trengs en 12. økt termin, men den blir mindre enn et fullt terminbeløp. Til sammen blir det \( {12 + 12 = 24} \) år.

1. Løs likningen i CAS Lånet er nåverdien av de 12 like terminbeløpene pluss nåverdien av de \( \textcolor{green}{m} \) økende:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(799273 = 53437*(1 - 1.05242^(-12))/0.05242 + Sum(53437*1.05^j/1.05242^(12 + j), j, 1, m), m = 10)

Rad 3 gir \( {\textcolor{green}{m} \approx 11{,}64}\text{,} \) så det trengs 12 økte terminer etter de 12 første, til sammen 24 år.

Lånebeløpet er lik nåverdien av alle terminbeløpene, og den summen er en geometrisk rekke. Vi summerer rekken og løser for terminbeløpet.

1. Sett opp nåverdien som en rekke Med terminbeløpet \( \textcolor{red}{T}\text{,} \) renten \( \textcolor{blue}{r} \) og \( \textcolor{green}{n} \) terminer er lånebeløpet summen av nåverdiene av terminbeløpene: \[ \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1 + \textcolor{blue}{r}} + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{(1 + \textcolor{blue}{r})^2} + \ldots + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{(1 + \textcolor{blue}{r})^{\textcolor{green}{n}}} \]Det er en geometrisk rekke.

2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{a_1\left(1 - k^n\right)}{1 - k} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Her er: \[ \begin{aligned} a_1 &= \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1 + \textcolor{blue}{r}} & k &= \dfrac{1}{1 + \textcolor{blue}{r}} \end{aligned} \]

Nevneren i summeformelen blir: \[ 1 - k = 1 - \dfrac{1}{1 + \textcolor{blue}{r}} = \dfrac{\textcolor{blue}{r}}{1 + \textcolor{blue}{r}} \]

Plugger vi dette inn, forkortes \( {1 + \textcolor{blue}{r}} \) bort, og vi får: \[ \text{lån} = \textcolor{red}{T} \cdot \dfrac{1 - (1 + \textcolor{blue}{r})^{-\textcolor{green}{n}}}{\textcolor{blue}{r}} \]

3. Løs for terminbeløpet Her er lånet \( 2\,500\,000 \) kr, \( {\textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{0{,}055}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{25}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{T} &= \dfrac{2\,500\,000 \cdot \textcolor{blue}{0{,}055}}{1 - \textcolor{blue}{1{,}055}^{-\textcolor{green}{25}}} \\ &\approx \textcolor{red}{186\,373{,}38} \end{aligned} \]

1. Regn ut terminbeløpet i CAS Med den samme formelen regner vi ut terminbeløpet med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 2500000*0.055/(1 - 1.055^(-25))

Terminbeløpet er omtrent \( \textcolor{red}{186\,373} \) kr.

Vi bruker terminbeløpet og formelen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Restgjelden etter 5 år er nåverdien av de 20 terminene som er igjen. Vi legger til 500 000 kr og finner terminbeløpet for den nye gjelden over 20 år.

1. Finn restgjelden etter 5 år I a) fant vi formelen \[ \text{lån} = T \cdot \dfrac{1 - (1 + r)^{-n}}{r} \]og terminbeløpet \( {T \approx 186\,373{,}38} \) kr.

Etter 5 terminer er det \( {25 - 5 = 20} \) terminer igjen. Restgjelden er nåverdien av dem, en geometrisk rekke vi summerer som i videoen Sum geometriske rekker Eksempel: \[ \begin{aligned} R &= \textcolor{red}{186\,373{,}38} \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{1{,}055}^{-\textcolor{green}{20}}}{\textcolor{blue}{0{,}055}} \\ &\approx 2\,227\,233{,}18 \end{aligned} \]

2. Finn de nye terminbeløpene Den nye gjelden er: \[ \begin{aligned} & 2\,227\,233{,}18 + 500\,000 \\ &= 2\,727\,233{,}18 \end{aligned} \]Den skal betales ned på de samme 20 årene: \[ \begin{aligned} T_{\text{ny}} &= \dfrac{2\,727\,233{,}18 \cdot \textcolor{blue}{0{,}055}}{1 - \textcolor{blue}{1{,}055}^{-\textcolor{green}{20}}} \\ &\approx 228\,213{,}05 \end{aligned} \]

1. Regn ut i CAS På samme CAS-ark som i a) regner vi ut restgjelden og så terminbeløpet for den nye gjelden, \( {2\,227\,233{,}18 + 500\,000}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 186373.38*(1 - 1.055^(-20))/0.055 2727233.18*0.055/(1 - 1.055^(-20))

Rad 2 gir restgjelden \( 2\,227\,233{,}18 \) kr, og rad 3 gir de nye terminbeløpene, omtrent \( 228\,213 \) kr.

Vi bruker den nye gjelden fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Den nye gjelden er nåverdien av alle terminene på 200 000 kr. Vi løser likningen for antallet terminer ved å ta \( \ln \) på begge sider.

1. Sett opp likningen I b) fant vi den nye gjelden, \( 2\,727\,233{,}18 \) kr. Med \( \textcolor{green}{m} \) terminer på \( \textcolor{red}{200\,000} \) kr gir formelen fra a): \[ \begin{aligned} & 2\,727\,233{,}18 \\ &= \textcolor{red}{200\,000} \cdot \dfrac{1 - 1{,}055^{-\textcolor{green}{m}}}{0{,}055} \end{aligned} \]

2. Løs med ln Vi ganger med \( 0{,}055 \) og deler på \( \textcolor{red}{200\,000}\text{.} \) På høyre side står da \( {1 - 1{,}055^{-\textcolor{green}{m}}}\text{,} \) og på venstre: \[ \dfrac{2\,727\,233{,}18 \cdot 0{,}055}{\textcolor{red}{200\,000}} \approx 0{,}75 \]

Så tar vi \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026, og bruker at: \[ \ln a^x = x \ln a \]

Det gir: \[ \begin{aligned} 1 - 1{,}055^{-\textcolor{green}{m}} &\approx 0{,}75 \\ 1{,}055^{-\textcolor{green}{m}} &\approx 0{,}25 \\ -\textcolor{green}{m} \cdot \ln 1{,}055 &\approx \ln 0{,}25 \\ \textcolor{green}{m} &\approx \dfrac{\ln 0{,}25}{-\ln 1{,}055} \approx 25{,}89 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret Det trengs 25 hele terminer på 200 000 kr og en mindre termin til slutt, altså 26 terminer etter utvidelsen. Sammen med de 5 årene før utvidelsen blir nedbetalingstiden: \[ 5 + 26 = 31 \text{ år} \]

1. Løs likningen i CAS På samme CAS-ark som i a) og b) løser vi likningen for \( \textcolor{green}{m} \) i CAS, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, her med NLøs og en startverdi:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(2727233.18 = 200000*(1 - 1.055^(-m))/0.055, m = 25)

Rad 4 gir \( {\textcolor{green}{m} \approx 25{,}89}\text{,} \) altså 26 terminer etter utvidelsen og \( {5 + 26 = 31} \) år i alt.

Hvert innskudd vokser med vekstfaktoren \( 1{,}035 \) for hvert år det står på kontoen. Saldoen er summen av de 20 innskuddene med renter, og den summen er en geometrisk rekke.

1. Skriv saldoen som en rekke Vekstfaktoren for \( 3{,}5\,\% \) er \( 1{,}035\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. Innskudd nummer 20 er nettopp satt inn og har ingen renter. Innskudd nummer 19 har stått i 1 år, og det første innskuddet i 19 år: \[ \begin{aligned} S_{20} = \ &20\,000 + 20\,000 \cdot \textcolor{red}{1{,}035} \\ &+ \ldots + 20\,000 \cdot \textcolor{red}{1{,}035}^{19} \end{aligned} \]Hvert ledd er det forrige ganget med vekstfaktoren, så rekken er geometrisk.

2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{k}^{\textcolor{green}{n}} - 1}{\textcolor{red}{k} - 1} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{20\,000} & \textcolor{red}{k} &= \textcolor{red}{1{,}035} & \textcolor{green}{n} &= \textcolor{green}{20} \end{aligned} \]

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_{20} &= \textcolor{blue}{20\,000} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{1{,}035}^{\textcolor{green}{20}} - 1}{\textcolor{red}{1{,}035} - 1} \\ &\approx 565\,593{,}64 \end{aligned} \]Avrundet til hele kroner er det \( 565\,594 \) kr.

1. Regn ut summen i CAS Innskudd nummer \( {20 - j} \) har stått i \( j \) år, så vi lar Sum legge sammen \( {20\,000 \cdot 1{,}035^j} \) for \( {j = 0} \) til \( 19\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Sum(20000*1.035^j, j, 0, 19)

Summen er omtrent \( 565\,594 \) kr.

Det er den samme rekken som i a), men med et ukjent innskudd \( x \) i stedet for \( 20\,000\text{.} \) Vi setter summen lik \( 692\,852 \) og løser for \( x\text{.} \)

1. Sett opp likningen Med innskuddet \( \textcolor{blue}{x} \) er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{x}}\text{,} \) og ellers er alt som i a). Summeformelen fra a), som i videoen Sum geometriske rekker Eksempel, forteller oss at: \[ S_n = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \dfrac{k^n - 1}{k - 1} \]

Det gir: \[ \textcolor{blue}{x} \cdot \dfrac{1{,}035^{20} - 1}{1{,}035 - 1} = 692\,852 \]

2. Finn innskuddet Vi regner ut brøken og deler: \[ \begin{aligned} \dfrac{1{,}035^{20} - 1}{0{,}035} &\approx 28{,}2797 \\ \textcolor{blue}{x} &\approx \dfrac{692\,852}{28{,}2797} \approx 24\,500 \end{aligned} \]

1. Løs likningen i CAS På samme CAS-ark som i a) løser vi likningen for \( x \) med Løs og \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Løs(x*Sum(1.035^j, j, 0, 19) = 692852, x)

Rad 2 gir \( {x \approx 24\,500} \) kr.

Vi bruker summen \( 565\,593{,}64 \) kr fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi kaller økningen \( d\text{.} \) De \( 20\,000 \) kronene i hvert innskudd gir saldoen fra a), og hver økning er et nytt fast innskudd fra et år og ut, altså en ny geometrisk rekke.

1. Del opp innskuddene Innskudd nummer \( n \) er \( {20\,000 + (n - 1)\textcolor{red}{d}}\text{.} \) Fra a) vet vi at \( 20\,000 \) kr hvert år gir: \[ \textcolor{blue}{565\,593{,}64} \]

Den første økningen \( \textcolor{red}{d} \) kommer i innskudd 2 og er med i alle innskuddene etter det. Det er som å sette inn \( \textcolor{red}{d} \) hvert år i 19 år. Den andre økningen er med fra innskudd 3, altså i 18 år, og så videre, til den siste, som bare er med i innskudd 20.

2. Summer hver økning En økning som er med i \( m \) innskudd, gir en geometrisk rekke med \( {a_1 = \textcolor{red}{d}}\text{,} \) \( {k = 1{,}035} \) og \( m \) ledd. Summeformelen forteller oss at: \[ S_m = a_1 \cdot \dfrac{k^m - 1}{k - 1} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

For én økning gir det: \[ \textcolor{red}{d} \cdot \dfrac{1{,}035^m - 1}{0{,}035} \]

Vi legger sammen for \( {m = 19, 18, \ldots, 1}\text{,} \) og setter \( \textcolor{red}{d} \) og \( \dfrac{1}{0{,}035} \) utenfor: \[ \dfrac{\textcolor{red}{d}}{0{,}035}\left(1{,}035 + \ldots + 1{,}035^{19} - 19\right) \]

Summen i parentesen er en geometrisk rekke med \( {a_1 = 1{,}035}\text{,} \) \( {k = 1{,}035} \) og 19 ledd: \[ \begin{aligned} 1{,}035 \cdot \dfrac{1{,}035^{19} - 1}{0{,}035} &\approx 27{,}27968 \\ \dfrac{27{,}27968 - 19}{0{,}035} &\approx \textcolor{darkorange}{236{,}5623} \end{aligned} \]Økningene gir altså til sammen \( \textcolor{darkorange}{236{,}5623}\textcolor{red}{d}\text{.} \)

3. Finn økningen Saldoen skal være \( 1\,000\,000 \) kr: \[ \textcolor{blue}{565\,593{,}64} + \textcolor{darkorange}{236{,}5623}\textcolor{red}{d} = 1\,000\,000 \]

Vi trekker fra \( \textcolor{blue}{565\,593{,}64} \) og deler: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{236{,}5623}\textcolor{red}{d} &= 434\,406{,}36 \\ \textcolor{red}{d} &\approx 1836{,}33 \end{aligned} \]

1. Løs likningen i CAS Innskudd nummer \( n \) er \( {20\,000 + (n - 1)d} \) og har stått i \( {20 - n} \) år. Vi summerer for \( {n = 1} \) til \( 20\text{,} \) og løser for \( d \) med Løs og \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Løs(Sum((20000 + (n - 1)*d)*1.035^(20 - n), n, 1, 20) = 1000000, d)

Rad 3 gir \( {d \approx 1836{,}33} \) kr.

Lånebeløpet er lik summen av nåverdiene av de 36 terminbeløpene. Den summen er en geometrisk rekke, som vi løser for terminbeløpet.

1. Skriv lånet som en rekke Terminbeløpet \( T \) er det Anders betaler hver måned, som forklart i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023, og i et annuitetslån er det like stort hver gang.

Med renten \( 0{,}49\,\% \) er vekstfaktoren \( 1{,}0049 \) per måned, så et terminbeløp som betales etter \( n \) måneder, er verdt \( \dfrac{T}{1{,}0049^n} \) i dag. Lånet er summen av disse nåverdiene: \[ \begin{aligned} 150\,000 = \ &\dfrac{T}{1{,}0049} + \dfrac{T}{1{,}0049^2} \\ &+ \ldots + \dfrac{T}{1{,}0049^{36}} \end{aligned} \]Det er en geometrisk rekke med \( {\textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{\dfrac{T}{1{,}0049}}}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{1{,}0049}}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{36}} \) ledd.

2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}\left(1 - \textcolor{blue}{k}^{\textcolor{green}{n}}\right)}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Plugger vi inn, med \( {\textcolor{blue}{k}^{\textcolor{green}{36}} = 1{,}0049^{-36}}\text{,} \) og ganger med \( 1{,}0049 \) over og under brøkstreken, får vi: \[ \begin{aligned} 150\,000 &= \dfrac{\textcolor{red}{\dfrac{T}{1{,}0049}}\left(1 - 1{,}0049^{-\textcolor{green}{36}}\right)}{1 - \textcolor{blue}{\dfrac{1}{1{,}0049}}} \\ &= \dfrac{T\left(1 - 1{,}0049^{-36}\right)}{1{,}0049 - 1} \\ &= \dfrac{T\left(1 - 1{,}0049^{-36}\right)}{0{,}0049} \end{aligned} \]

3. Løs for terminbeløpet Vi ganger med \( 0{,}0049 \) og deler på parentesen: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{150\,000 \cdot 0{,}0049}{1 - 1{,}0049^{-36}} \\ &\approx 4555{,}14 \end{aligned} \]

1. Løs likningen i CAS Vi skriver summen av nåverdiene med Sum og løser for \( T \) med Løs:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(150000 = Sum(T/1.0049^k, k, 1, 36), T)

Rad 1 gir \( {T \approx 4555{,}14} \) kr.

Vi bruker terminbeløpet \( {T \approx 4555{,}14} \) kr fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Restlånet etter 24 terminer er nåverdien av de 12 terminbeløpene som er igjen. Vi regner det ut med summeformelen og sammenligner med 55 000 kr.

1. Sett opp restlånet Etter terminbeløp 24 er det \( {36 - 24 = \textcolor{green}{12}} \) terminer igjen. Restlånet er det banken skal ha i dag for dem, altså summen av nåverdiene deres: \[ \begin{aligned} R = \ &\dfrac{T}{1{,}0049} + \dfrac{T}{1{,}0049^2} \\ &+ \ldots + \dfrac{T}{1{,}0049^{\textcolor{green}{12}}} \end{aligned} \]

I a) fant vi at summeformelen, som i videoen Sum geometriske rekker Eksempel, gjør en slik sum om til: \[ R = \dfrac{T\left(1 - 1{,}0049^{-\textcolor{green}{12}}\right)}{0{,}0049} \]

2. Regn ut og sammenlign Med \( {T \approx 4555{,}14} \) fra a) får vi: \[ \begin{aligned} R &= \dfrac{4555{,}14 \cdot \left(1 - 1{,}0049^{-12}\right)}{0{,}0049} \\ &\approx \textcolor{blue}{52\,960} \end{aligned} \]Restlånet er omtrent \( \textcolor{blue}{52\,960} \) kr, mindre enn \( \textcolor{red}{55\,000} \) kr. Utbetalingen var altså nok, og Anders har omtrent \( {55\,000 - 52\,960 = 2040} \) kr til overs.

1. Summer nåverdiene i CAS Vi legger sammen nåverdiene av de 12 siste terminbeløpene med Sum, med terminbeløpet fra a) med fire desimaler:

Skriv inn i GeoGebra: Sum(4555.1392/1.0049^k, k, 1, 12)

Rad 2 gir \( 52\,959{,}7863\text{.} \) Restlånet er omtrent \( 52\,960 \) kr, mindre enn \( 55\,000 \) kr, så utbetalingen var nok.