Eksamensoppgaver etter tema

Vannmengden \( X \) er normalfordelt. Vi gjør den om til en standard normalfordelt \( Z \) og slår opp i tabellen i vedlegget.

1. Standardiser For en normalfordelt \( X \) med forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik \( \textcolor{red}{\sigma} \) er: \[ P(X \le x) = P\left(Z \le \dfrac{x - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling.

Her er \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{1{,}50}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{0{,}01}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} & P(X \le 1{,}48) \\ &= P\left(Z \le \dfrac{1{,}48 - \textcolor{blue}{1{,}50}}{\textcolor{red}{0{,}01}}\right) \\ &= P\left(Z \le \dfrac{-0{,}02}{0{,}01}\right) \\ &= P(Z \le -2) \end{aligned} \]1,48 L ligger altså to standardavvik under forventningen.

2. Slå opp i tabellen I tabellen over standard normalfordeling står \( {P(Z \le -2{,}00) = 0{,}0228}\text{.} \)

Vi bruker sannsynligheten fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi regner ut hvor mange flasker med \( 1{,}48\,\text{L} \) eller mindre Henrik kan vente å finne blant 24, hvis produsenten har rett.

1. Regn ut forventet antall Fra a) har hver flaske sannsynligheten \( \textcolor{red}{0{,}0228} \) for å ha \( 1{,}48\,\text{L} \) eller mindre. Antallet slike flasker blant \( \textcolor{blue}{24} \) er binomisk fordelt, så vi kan vente \( {n \cdot p}\text{,} \) som i videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet): \[ \textcolor{blue}{24} \cdot \textcolor{red}{0{,}0228} \approx 0{,}55 \]flasker med så lite vann, selv om produsenten har rett.

2. Forklar Det er altså ikke uvanlig å finne én slik flaske i en kasse. En enkelt flaske sier dessuten lite om gjennomsnittet. Henrik har valgt ut den flasken med minst vann, og den vil nesten alltid ligge under \( 1{,}50\,\text{L}\text{,} \) også når produsenten har rett. Han må se på alle de 24 flaskene, som i d).

Den alternative hypotesen \( H_1 \) er det Henrik påstår. Nullhypotesen \( H_0 \) er det motsatte: at det ikke er noen forandring fra det produsenten oppgir.

1. Sett opp hypotesene \( \textcolor{red}{H_1} \) er alltid det vi ønsker å finne grunnlag for, og \( \textcolor{blue}{H_0} \) er at alt er som oppgitt, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro.

La \( \mu \) være forventet vannmengde i en flaske. \( \textcolor{red}{\text{Henrik}} \) påstår at \( {\textcolor{red}{\mu < 1{,}50\,\text{L}}}\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{\text{produsenten}} \) oppgir \( {\textcolor{blue}{\mu = 1{,}50\,\text{L}}}\text{.} \) Testen er ensidig, fordi Henrik bare påstår at det er for lite vann.

Vi bruker hypotesene fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Gjennomsnittet av 24 flasker varierer mye mindre enn én flaske. Vi regner ut hvor sannsynlig det er å få et så lavt gjennomsnitt hvis \( H_0 \) er sann, og forkaster \( H_0 \) hvis det er svært usannsynlig.

1. Velg nivå og regn ut snittet I c) satte vi opp hypotesene: \[ H_0\text{: } \mu = 1{,}50 \qquad H_1\text{: } \mu < 1{,}50 \]

Før målingene velger Henrik et signifikansnivå, for eksempel \( {\alpha = 0{,}05}\text{.} \) Så regner han ut gjennomsnittet av de 24 målingene: \[ \bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_{24}}{24} \]

2. Finn fordelingen til gjennomsnittet Hvis \( H_0 \) er sann, er gjennomsnittet \( \bar{X} \) normalfordelt med forventning \( \textcolor{blue}{1{,}50} \) og standardavvik \( \dfrac{\textcolor{red}{\sigma}}{\sqrt{\textcolor{green}{n}}}\text{.} \) Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig oppgave 8 Sentralgrenseteoremet.

Siden standardavviket er kjent, bruker han en z-test, som i videoen Valg av Test - Estimering og Hypotesetesting. Testobservatoren er: \[ z = \dfrac{\bar{x} - \textcolor{blue}{\mu_0}}{\dfrac{\textcolor{red}{\sigma}}{\sqrt{\textcolor{green}{n}}}} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{\mu_0} = \textcolor{blue}{1{,}50}} \) fra \( H_0\text{,} \) \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{0{,}01}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{24}}\text{:} \) \[ z = \dfrac{\bar{x} - \textcolor{blue}{1{,}50}}{\dfrac{\textcolor{red}{0{,}01}}{\sqrt{\textcolor{green}{24}}}} \]

3. Konkluder Han finner P-verdien \( {P(Z \le z)} \) i tabellen. Er P-verdien mindre enn \( {\alpha = 0{,}05}\text{,} \) forkaster han \( H_0\text{,} \) og da har han grunnlag for å si at flaskene inneholder mindre enn \( 1{,}50\,\text{L}\text{.} \) Ellers kan han ikke forkaste \( H_0\text{.} \) Med \( {\alpha = 0{,}05} \) er det det samme som å forkaste når \( {z < -1{,}645}\text{.} \)

Kurvene har samme form, så det er tallene på \( x \)-aksen som skiller dem. I en normalfordeling ligger nesten alle verdiene innenfor tre standardavvik fra forventningsverdien.

1. Finn hvor nesten alle høydene ligger Høyden \( X \) til én elev er normalfordelt med forventningsverdi \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{170}} \) og standardavvik \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{5}}\text{.} \) I en normalfordeling ligger nesten alle verdiene innenfor tre standardavvik fra forventningsverdien: \[ \textcolor{blue}{\mu} - 3\textcolor{red}{\sigma} < X < \textcolor{blue}{\mu} + 3\textcolor{red}{\sigma} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{170} - 3 \cdot \textcolor{red}{5} &= 155 \\ \textcolor{blue}{170} + 3 \cdot \textcolor{red}{5} &= 185 \end{aligned} \]

2. Velg figuren I figur C går kurven fra omtrent 155 til 185, med toppen i 170. De andre kurvene er for smale (A og B) eller for brede (D).

Gjennomsnittet av mange elever varierer mindre enn høyden til én elev. Vi finner standardavviket til gjennomsnittet og ser hvilken figur som passer.

1. Finn standardavviket til gjennomsnittet Gjennomsnittet \( \bar{X} \) av \( \textcolor{green}{n} \) uavhengige høyder har forventningsverdi \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik: \[ \sigma_{\bar{X}} = \dfrac{\textcolor{red}{\sigma}}{\sqrt{\textcolor{green}{n}}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig oppgave 8 Sentralgrenseteoremet.

Her er \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{5}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{25}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \sigma_{\bar{X}} = \dfrac{\textcolor{red}{5}}{\sqrt{\textcolor{green}{25}}} = \dfrac{5}{5} = 1 \]

2. Velg figuren Gjennomsnittet har forventningsverdi \( \textcolor{blue}{170} \) og standardavvik \( 1\text{,} \) så nesten alle verdiene ligger mellom: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{170} - 3 \cdot 1 &= 167 \\ \textcolor{blue}{170} + 3 \cdot 1 &= 173 \end{aligned} \]Det passer med figur B.

Den alternative hypotesen \( H_1 \) er det Benz A/S påstår. Nullhypotesen \( H_0 \) er det motsatte: at det ikke er noen forandring fra den gamle bensinen.

1. Sett opp hypotesene \( \textcolor{red}{H_1} \) er alltid det vi ønsker å finne grunnlag for, og \( \textcolor{blue}{H_0} \) er at det ikke skjer noen forandring, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro.

La \( \mu \) være gjennomsnittlig kjørelengde per liter med den nye bensinen. \( \textcolor{red}{\text{Benz A/S}} \) mener at \( {\textcolor{red}{\mu > 20\,\text{km/L}}}\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{\text{ingen forandring}} \) betyr \( {\textcolor{blue}{\mu = 20\,\text{km/L}}}\text{.} \) Testen er ensidig, fordi de bare påstår at kjørelengden øker.

Vi bruker hypotesene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Standardavviket er kjent, så vi bruker en z-test for gjennomsnittet. Vi finner sannsynligheten for et så høyt gjennomsnitt hvis \( H_0 \) er sann, og sammenligner med \( 5\,\%\text{.} \)

1. Regn ut testobservatoren I a) satte vi opp: \[ H_0\text{: } \mu = 20 \qquad H_1\text{: } \mu > 20 \]

Standardavviket er oppgitt, så vi bruker en z-test, som i videoen Valg av Test - Estimering og Hypotesetesting. Gjennomsnittet av \( n \) biler har standardavviket \( \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\text{,} \) som i videoen Oblig oppgave 8 Sentralgrenseteoremet. Testobservatoren er: \[ z = \dfrac{\bar{x} - \textcolor{blue}{\mu_0}}{\dfrac{\textcolor{red}{\sigma}}{\sqrt{\textcolor{green}{n}}}} \]

Her er \( {\bar{x} = 21}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{\mu_0} = \textcolor{blue}{20}} \) fra \( H_0\text{,} \) \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{2{,}5}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{25}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} z &= \dfrac{21 - \textcolor{blue}{20}}{\dfrac{\textcolor{red}{2{,}5}}{\sqrt{\textcolor{green}{25}}}} \\ &= \dfrac{1}{0{,}5} = 2 \end{aligned} \]

2. Finn P-verdien \( H_1 \) sier \( {\mu > 20}\text{,} \) så P-verdien er sannsynligheten for \( {z = 2} \) eller mer. Tabellen over standard normalfordeling i vedlegget gir \( {P(Z \le 2{,}00) = 0{,}9772}\text{,} \) som i videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling: \[ \begin{aligned} P(Z \ge 2) &= 1 - 0{,}9772 \\ &= 0{,}0228 \end{aligned} \]

3. Konkluder \( {0{,}0228 < 0{,}05}\text{,} \) så vi forkaster \( H_0\text{.} \) Da er det grunnlag for å si at \( H_1 \) stemmer, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro: den nye bensinen øker kjørelengden.

Vi gjør vekten \( X \) om til en standard normalfordelt \( Z\text{.} \) Tabellen i vedlegget gir hvilken \( z \) som hører til 5300 gram, og den gir oss \( \sigma\text{.} \)

1. Skriv om til «mindre eller lik» Tabellen gir \( {P(Z \le z)}\text{,} \) så vi bruker den motsatte hendelsen: \[ \begin{aligned} P(X \le 5300) &= 1 - P(X > 5300) \\ &= 1 - 0{,}115 = 0{,}885 \end{aligned} \]

2. Standardiser For en normalfordelt \( X \) med forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik \( \textcolor{red}{\sigma} \) er: \[ P(X \le x) = P\left(Z \le \dfrac{x - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling.

Her er \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{4700}}\text{,} \) og \( \textcolor{red}{\sigma} \) er det vi leter etter. Plugger vi inn \( {x = 5300}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} & P\left(Z \le \dfrac{5300 - \textcolor{blue}{4700}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \\ &= P\left(Z \le \dfrac{600}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) = 0{,}885 \end{aligned} \]

3. Les av tabellen og løs I tabellen over standard normalfordeling står: \[ P(Z \le 1{,}20) = 0{,}8849 \approx 0{,}885 \]

Det gir: \[ \begin{aligned} \dfrac{600}{\textcolor{red}{\sigma}} &\approx 1{,}20 \\ \textcolor{red}{\sigma} &\approx \dfrac{600}{1{,}20} = 500 \end{aligned} \]Standardavviket er altså omtrent 500 gram.

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: standardavviket 500 gram står i oppgaveteksten.

Vi standardiserer med \( {\sigma = 500} \) og slår opp i tabellen.

1. Standardiser og slå opp Vi standardiserer som i a), se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling: \[ P(X \le x) = P\left(Z \le \dfrac{x - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \]

Med \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{4700}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{500}} \) får vi: \[ \begin{aligned} & P(X < 4500) \\ &= P\left(Z \le \dfrac{4500 - \textcolor{blue}{4700}}{\textcolor{red}{500}}\right) \\ &= P(Z \le -0{,}40) \end{aligned} \]For en normalfordeling er det ingen forskjell på \( {<} \) og \( {\le}\text{.} \) I tabellen står \( {P(Z \le -0{,}40) = 0{,}3446}\text{.} \)

\( X \) er normalfordelt. Vi gjør 87 meter om til en \( z \)-verdi og slår opp i tabellen over standard normalfordeling. Tabellen gir \( {P(Z \le z)}\text{,} \) så vi trekker den fra 1.

1. Standardiser For en normalfordelt \( X \) med forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik \( \textcolor{red}{\sigma} \) er: \[ P(X \le x) = P\left(Z \le \dfrac{x - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling.

Her er \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{83}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{3}}\text{.} \) Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} & P(X > 87) \\ &= 1 - P\left(Z \le \dfrac{87 - \textcolor{blue}{83}}{\textcolor{red}{3}}\right) \\ &\approx 1 - P(Z \le 1{,}33) \end{aligned} \]

2. Slå opp i tabellen Tabellen over standard normalfordeling gir \( {P(Z \le 1{,}33) = 0{,}9082}\text{:} \) \[ P(X > 87) \approx 1 - 0{,}9082 = 0{,}0918 \]

1. Regn ut i CAS FordelingNormal\( (\mu, \sigma, x) \) gir \( {P(X \le x)}\text{.} \) Vi trekker den fra 1 og bruker \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingNormal(83, 3, 87)

Rad 1 gir \( {P(X > 87) \approx 0{,}0912}\text{.} \) Kalkulatorruten gir \( 0{,}0918\text{,} \) fordi tabellen bruker \( {z = 1{,}33} \) i stedet for \( \dfrac{4}{3}\text{.} \)

Nå kjenner vi sannsynligheten og leter etter grensen. Vi finner \( z \)-verdien som gir \( 0{,}9 \) i tabellen, og gjør den om til meter.

1. Finn verdien i tabellen Vi leter etter \( 0{,}9 \) inne i tabellen. Tabellen gir \( {P(Z \le 1{,}28) = 0{,}8997} \) og \( {P(Z \le 1{,}29) = 0{,}9015}\text{,} \) så \( {z \approx 1{,}28}\text{.} \)

2. Gjør om til meter Standardiseringen fra a), som i videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling, forteller oss at: \[ z = \dfrac{k - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}} \]

Løser vi for \( k\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} k &= \textcolor{blue}{\mu} + z \cdot \textcolor{red}{\sigma} \\ &\approx \textcolor{blue}{83} + 1{,}28 \cdot \textcolor{red}{3} \\ &= 86{,}84 \end{aligned} \]

1. Regn ut i CAS InversNormalfordeling\( (\mu, \sigma, p) \) gir grensen \( k \) med \( {P(X \le k) = p}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: InversNormalfordeling(83, 3, 0.9)

Rad 2 gir \( {k \approx 86{,}84}\text{.} \)

Gjennomsnittet av 15 målinger varierer mindre enn én måling. Det er normalfordelt med samme forventning, men standardavviket deles på \( \sqrt{15}\text{.} \)

1. Finn fordelingen til gjennomsnittet Gjennomsnittet \( \bar{X} \) av \( \textcolor{green}{n} \) uavhengige målinger har forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik: \[ \sigma_{\bar{X}} = \dfrac{\textcolor{red}{\sigma}}{\sqrt{\textcolor{green}{n}}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig oppgave 8 Sentralgrenseteoremet. Når hver måling er normalfordelt, er også \( \bar{X} \) normalfordelt.

Her er \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{3}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{15}}\text{:} \) \[ \sigma_{\bar{X}} = \dfrac{\textcolor{red}{3}}{\sqrt{\textcolor{green}{15}}} \approx 0{,}7746 \]

2. Standardiser og slå opp Vi standardiserer med standardavviket til gjennomsnittet. Tabellen over standard normalfordeling gir \( {P(Z \le 1{,}29) = 0{,}9015}\text{:} \) \[ \begin{aligned} P(\bar{X} < 84) &= P\left(Z < \dfrac{84 - \textcolor{blue}{83}}{0{,}7746}\right) \\ &\approx P(Z < 1{,}29) \\ &\approx 0{,}9015 \end{aligned} \]

1. Regn ut i CAS Vi bruker FordelingNormal med standardavviket \( \dfrac{3}{\sqrt{15}} \) for gjennomsnittet:

Skriv inn i GeoGebra: FordelingNormal(83, 3/sqrt(15), 84)

Rad 3 gir \( {P(\bar{X} < 84) \approx 0{,}9016}\text{.} \)

Vi bruker standardavviket til gjennomsnittet fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Mistanken er at bremselengden er lengre enn 83 meter. Vi regner ut gjennomsnittet av målingene og finner hvor sannsynlig et så høyt gjennomsnitt er hvis produsenten har rett.

1. Sett opp hypotesene \( \textcolor{red}{H_1} \) er det vi vil finne grunnlag for, og \( \textcolor{blue}{H_0} \) er at alt er som produsenten påstår, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. Med \( \mu \) som forventet bremselengde i meter: \[ \textcolor{blue}{H_0\text{: } \mu = 83} \qquad \textcolor{red}{H_1\text{: } \mu > 83} \]Testen er ensidig, fordi mistanken bare er at bremselengden er lengre.

2. Regn ut gjennomsnittet Summen av de 15 målingene er \( 1262{,}7\text{,} \) så: \[ \bar{x} = \dfrac{1262{,}7}{15} = 84{,}18 \]

3. Regn ut testobservatoren Standardavviket \( {\sigma = 3} \) er kjent, så vi bruker en z-test, som i videoen Valg av Test - Estimering og Hypotesetesting. Testobservatoren er: \[ z = \dfrac{\bar{x} - \textcolor{blue}{\mu_0}}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{\mu_0} = \textcolor{blue}{83}} \) fra \( H_0\text{,} \) og i c) fant vi \( {\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{3}{\sqrt{15}} \approx 0{,}7746}\text{:} \) \[ z = \dfrac{84{,}18 - \textcolor{blue}{83}}{0{,}7746} \approx 1{,}52 \]

4. Finn P-verdien og konkluder P-verdien er sannsynligheten for et gjennomsnitt minst så høyt hvis \( H_0 \) er sann. Tabellen gir \( {P(Z \le 1{,}52) = 0{,}9357}\text{:} \) \[ \begin{aligned} P(Z \ge 1{,}52) &= 1 - 0{,}9357 \\ &= 0{,}0643 \end{aligned} \]P-verdien er større enn \( 0{,}05\text{,} \) så vi forkaster ikke \( \textcolor{blue}{H_0}\text{,} \) som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. Målingene gir ikke grunnlag for å si at bremselengden er lengre enn 83 meter.

1. Regn ut i CAS Hypotesene og testobservatoren er de samme som i kalkulatorruten. Vi legger målingene i tre lister, én per rad i tabellen, regner ut gjennomsnittet og finner P-verdien:

Skriv inn i GeoGebra: r1 := {86.4, 85.5, 82.9, 81.9, 84.0} r2 := {86.4, 82.3, 85.9, 77.7, 83.0} r3 := {86.9, 88.3, 86.2, 80.5, 84.8} (Sum(r1) + Sum(r2) + Sum(r3))/15 1 - FordelingNormal(83, 3/sqrt(15), 84.18)

Rad 7 gir \( {\bar{x} = 84{,}18}\text{,} \) og rad 8 gir P-verdien \( 0{,}0638\text{.} \) Den er større enn \( 0{,}05\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{.} \)

Levetiden \( X \) er normalfordelt. Vi gjør den om til en standard normalfordelt \( Z \) og slår opp i tabellen i vedlegget.

1. Standardiser For en normalfordelt \( X \) med forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik \( \textcolor{red}{\sigma} \) er: \[ P(X \le x) = P\left(Z \le \dfrac{x - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling.

Tabellen gir \( {P(Z \le z)}\text{,} \) så vi skriver «mer enn» som 1 minus «mindre enn eller lik». Her er \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{500}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{50}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} & P(X > 600) \\ &= 1 - P(X \le 600) \\ &= 1 - P\left(Z \le \dfrac{600 - \textcolor{blue}{500}}{\textcolor{red}{50}}\right) \\ &= 1 - P(Z \le 2) \end{aligned} \]

2. Slå opp i tabellen I tabellen over standard normalfordeling står \( {P(Z \le 2{,}00) = 0{,}9772}\text{,} \) så: \[ P(X > 600) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228 \]

Vi bruker tabellen baklengs: vi finner \( z \) der sannsynligheten i tabellen er \( {1 - 0{,}758}\text{,} \) og regner om fra \( z \) til timer.

1. Skriv om til mindre enn Tabellen gir sannsynligheter for «mindre enn eller lik», så vi skriver om: \[ \begin{aligned} P(X > t) &= 0{,}758 \\ P(X \le t) &= 1 - 0{,}758 = 0{,}242 \end{aligned} \]

2. Let opp verdien i tabellen Vi leter etter \( 0{,}2420 \) inne i tabellen og leser av raden og kolonnen, som i videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling, bare baklengs. Tallet står på raden \( {-0{,}7} \) og i kolonnen \( 0{,}00\text{:} \) \[ P(Z \le -0{,}70) = 0{,}2420 \]

Når vi standardiserer, er: \[ z = \dfrac{t - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}} \]

Her er \( {z = -0{,}70}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{500}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{50}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{t - \textcolor{blue}{500}}{\textcolor{red}{50}} &= -0{,}70 \\ t &= \textcolor{blue}{500} - 0{,}70 \cdot \textcolor{red}{50} \\ t &= 465 \end{aligned} \]

Grafen til en normalfordeling har toppen i forventningen, og nesten alle verdiene ligger mindre enn tre standardavvik fra den.

1. Se hvor toppen er Toppen må være i forventningen, \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{500}}\text{.} \) B har toppen i 300 og C i 50, så de passer ikke. Både A og D har toppen i 500.

2. Se på spredningen Fra tabellen er \( {P(Z \le -3{,}00) = 0{,}0013}\text{,} \) så andelen som ligger mindre enn tre standardavvik fra forventningen, er: \[ \begin{aligned} P(-3 < Z < 3) &= 1 - 2 \cdot 0{,}0013 \\ &= 0{,}9974 \end{aligned} \]

Med \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{50}} \) ligger altså nesten alle levetidene mellom: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{500} - 3 \cdot \textcolor{red}{50} &= 350 \\ \textcolor{blue}{500} + 3 \cdot \textcolor{red}{50} &= 650 \end{aligned} \]Grafen i A er nesten null utenfor 350 til 650. Grafen i D ligger tydelig over \( x \)-aksen både ved 350 og ved 650, så den har et større standardavvik, som i videoen Varians og Standardavvik, der den bredeste grafen har størst spredning.

Tallene vokser sakte, så raskt og så saktere igjen, som en logistisk modell. Vi lar \( x \) være antall år etter 2008 og bruker logistisk regresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre logistisk regresjon. Øv heller på å se av tallene hvilken type modell som passer, og på å bruke en gitt logistisk modell med kalkulator.

Merk – Andre modeller: Oppgaven lar oss velge modell selv. En annen modell kan også være riktig når valget er begrunnet, men et polynom passer dårlig for årene etterpå, fordi det ikke flater ut.

1. Velg modell Økningen er \( 68\text{,} \) \( 176\text{,} \) \( 210\text{,} \) \( 126 \) og \( 73 \) millioner kroner for hvert andre år. Den blir først større og så mindre, så veksten bremser opp. Da passer en logistisk modell, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den vokser på samme måte, og flater ut mot en øvre grense. Det passer også for årene etterpå: hvor mye folk bruker på strømming, kan ikke vokse uten grense.

2. Legg punktene inn i GeoGebra Med \( x \) år etter 2008 blir årene \( 0\text{,} \) \( 2\text{,} \) \( 4\text{,} \) \( 6\text{,} \) \( 8 \) og \( 10\text{.} \) Vi skriver dem i kolonne A og beløpene i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

3. Kjør logistisk regresjon Logistisk regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{c}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{b} \) i \[ F(x) = \dfrac{\textcolor{red}{c}}{1 + \textcolor{blue}{a}e^{-\textcolor{green}{b}x}} \]som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) = RegLogist(l1)

Grafen går nær alle punktene, og flater ut mot \( {\textcolor{red}{c} \approx \textcolor{red}{660}} \) millioner kroner per år. Med to desimaler, og fire i eksponenten, er modellen: \[ F(x) \approx \dfrac{\textcolor{red}{660{,}36}}{1 + \textcolor{blue}{30{,}72}e^{-\textcolor{green}{0{,}7066}x}} \]

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Integralene regner vi ut med en antiderivert av modellen. Summen og differansekvotienten regner vi ut ved å sette inn i modellen.

1. Finn en antiderivert I a) fant vi modellen, med konstantene avrundet som i svaret: \[ F(x) \approx \dfrac{660{,}36}{1 + 30{,}72e^{-0{,}7066x}} \]

Ganger vi med \( e^{0{,}7066x} \) over og under brøkstreken, får vi: \[ F(x) \approx \dfrac{660{,}36\,e^{0{,}7066x}}{e^{0{,}7066x} + 30{,}72} \]

Telleren er en konstant ganger den deriverte av nevneren. Integrasjon med substitusjon forteller oss at: \[ \int \dfrac{\textcolor{green}{u'}}{\textcolor{green}{u}}\,dx = \ln \textcolor{green}{u} + C \]Hvis du er usikker på substitusjon, kan du se videoen Substitusjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{e^{0{,}7066x} + 30{,}72} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{0{,}7066\,e^{0{,}7066x}} \end{aligned} \]

Telleren er \( \dfrac{660{,}36}{0{,}7066} \) ganger \( \textcolor{green}{u'}\text{,} \) så en antiderivert er: \[ H(x) = \dfrac{660{,}36}{0{,}7066}\ln\left(\textcolor{green}{e^{0{,}7066x} + 30{,}72}\right) \]

2. Regn ut de fire tallene Integralene er differanser av \( H\text{:} \) \[ \begin{aligned} I &= H(10{,}5) - H(-0{,}5) \approx 3728{,}9 \\ G &= \dfrac{H(7{,}5) - H(2{,}5)}{5} \approx 344{,}5 \end{aligned} \]

\( S \) og \( D \) regner vi ut med \( F \) på kalkulatoren: \[ \begin{aligned} S &= F(0) + F(1) + \ldots + F(10) \\ &\approx 3729{,}0 \\ D &= \dfrac{F(5{,}001) - F(5)}{0{,}001} \approx 116{,}3 \end{aligned} \]

1. Regn ut formlene i CAS Rad 1 henter modellen fra lista \( l_1\text{.} \) Så skriver vi integralene med Integral, summen med Sum og differansekvotienten. Hvis du er usikker på hva integralet er, kan du se videoen Hva er integrasjon:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) := RegLogist(l1) ≈ Integral(F(x), -0.5, 10.5) ≈ 1/5 Integral(F(x), 2.5, 7.5) ≈ Sum(F(i), i, 0, 10) ≈ (F(5.001) - F(5))/0.001

Det gir: \[ \begin{aligned} I &\approx 3728{,}74 & G &\approx 344{,}45 \\ S &\approx 3728{,}82 & D &\approx 116{,}31 \end{aligned} \]

\( I \) og \( S \) er nesten like. Det er ingen tilfeldighet, og c) forklarer hvorfor.

Fra b) er \( {I \approx 3729}\text{,} \) \( {G \approx 344}\text{,} \) \( {S \approx 3729} \) og \( {D \approx 116}\text{.} \) Modellen \( F(x) \) fra a) gir millioner kroner per år, \( x \) år etter 2008. Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi ser hvilke år hver formel dekker. Året \( {2008 + i} \) svarer til intervallet fra \( {x = i - 0{,}5} \) til \( {x = i + 0{,}5}\text{.} \)

1. Tolk integralene \( F \) gir millioner kroner per år, så integralet av \( F \) over et tidsrom er det som ble brukt i det tidsrommet. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Hva er integrasjon. Fra \( {x = -0{,}5} \) til \( {x = 10{,}5} \) dekker \( \textcolor{blue}{I} \) årene 2008 til 2018: \[ \textcolor{blue}{I} \approx \textcolor{blue}{3729} \text{ millioner kroner totalt} \]

\( G \) er integralet fra \( 2{,}5 \) til \( 7{,}5\text{,} \) altså årene 2011 til 2015, delt på de \( 5 \) årene. Det er gjennomsnittet per år.

2. Tolk summen og differansekvotienten \( \textcolor{green}{S} \) legger sammen beløpet for hvert av de \( 11 \) årene 2008 til 2018. Det er nesten det samme som \( \textcolor{blue}{I}\text{,} \) fordi hvert år er en stripe med bredde \( 1 \) under grafen.

\( D \) er stigningstallet mellom \( {x = 5} \) og \( {x = 5{,}001}\text{,} \) nesten den deriverte \( F'(5)\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte. Det er hvor fort beløpet økte i 2013.

For hver av de 20 elevene trekker vi først en skole, og så en karakter fra normalfordelingen til den skolen. Vi legger sammen karakterene og deler på 20.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir.

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 3 og 4 lagrer forventningene og standardavvikene til skole A, B og C i to lister, på plass 0, 1 og 2. Linje 6 starter summen på 0, og løkka i linje 7 går én gang for hver av de 20 elevene.

Linje 8 trekker en tilfeldig skole: \( \texttt{randint(0, 3)} \) gir 0, 1 eller 2 med like stor sannsynlighet, på samme måte som terningen i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 9 trekker en karakter fra normalfordelingen med forventningen og standardavviket til \( \textcolor{blue}{\texttt{skole}}\text{,} \) og linje 10 legger den til \( \textcolor{red}{\texttt{summen}}\text{.} \)

2. Regn ut gjennomsnittet Etter løkka skriver linje 12 ut gjennomsnittet: \[ \bar{x} = \dfrac{\textcolor{red}{x_1 + x_2 + \ldots + x_{20}}}{20} \]Hver kjøring gir et nytt tilfeldig gjennomsnitt, som regel mellom \( 3{,}2 \) og \( 4{,}3\text{.} \)

Vi bruker programmet fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi gjør simuleringen fra a) mange ganger og teller hvor ofte snittet blir høyere enn 4. Andelen er et estimat for sannsynligheten.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre en simulering. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir.

1. Lag en funksjon av simuleringen Vi legger linje 6 til 12 fra a) inn i en funksjon, \( \texttt{snitt()}\text{,} \) som gir tilbake gjennomsnittet av 20 tilfeldige elever i stedet for å skrive det ut:

2. Tell og regn ut andelen Løkka i linje 16 gjør \( \textcolor{blue}{100\,000} \) forsøk, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Hver gang snittet er høyere enn 4, øker linje 18 telleren \( \textcolor{red}{\texttt{over\_4}} \) med 1. Linje 20 skriver ut andelen av forsøkene der snittet var over 4. Én kjøring ga \( \textcolor{red}{20\,635} \) slike snitt: \[ P(\bar{x} > 4) \approx \dfrac{\textcolor{red}{20\,635}}{\textcolor{blue}{100\,000}} = 0{,}20635 \]Med så mange forsøk varierer svaret lite fra kjøring til kjøring, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

Kontroll: Forventningen til én elev er \( {\dfrac{3{,}8 + 3{,}4 + 4{,}1}{3} \approx 3{,}77}\text{,} \) under 4. Et snitt over 4 skal derfor skje i mindre enn halvparten av forsøkene, og det gjør det.