Eksamensoppgaver etter tema

Et punkt ligger i planet når koordinatene passer i likningen. Vi setter derfor koordinatene til \( D \) inn i venstre side.

1. Sett inn punktet i likningen Vi setter inn \( {\textcolor{blue}{x = 3}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{y = 1}} \) og \( {\textcolor{green}{z = -1}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} & 2 \cdot \textcolor{blue}{3} - 5 \cdot \textcolor{red}{1} + 4 \cdot (\textcolor{green}{-1}) \\ &= 6 - 5 - 4 = -3 \end{aligned} \]Venstre side blir \( {-3}\text{,} \) ikke \( {-4}\text{.} \) Koordinatene passer ikke i likningen, så \( D \) ligger ikke i planet. Hvis du er usikker på likningen for et plan, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Kryssproduktet av to vektorer i planet står vinkelrett på begge, og dermed på planet. Vi regner ut \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \) og sammenligner med \( {[2, -5, 4]}\text{.} \)

1. Finn to vektorer i planet Vi lager to vektorer mellom punktene i planet: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [2 - 1,\ 0 - 2,\ -2 - 1] \\ &= [\textcolor{blue}{1}, \textcolor{red}{-2}, \textcolor{green}{-3}] \\ \overrightarrow{AC} &= [-1 - 1,\ 2 - 2,\ 2 - 1] \\ &= [\textcolor{blue}{-2}, \textcolor{red}{0}, \textcolor{green}{1}] \end{aligned} \]

2. Regn ut kryssproduktet For \( {\vec{a} = [\textcolor{blue}{a_1}, \textcolor{red}{a_2}, \textcolor{green}{a_3}]} \) og \( {\vec{b} = [\textcolor{blue}{b_1}, \textcolor{red}{b_2}, \textcolor{green}{b_3}]} \) er kryssproduktet: \[ \begin{aligned} \vec{a} \times \vec{b} = [\, &\textcolor{red}{a_2}\textcolor{green}{b_3} - \textcolor{green}{a_3}\textcolor{red}{b_2}, \\ &\textcolor{green}{a_3}\textcolor{blue}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{green}{b_3}, \\ &\textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_2} - \textcolor{red}{a_2}\textcolor{blue}{b_1}\,] \end{aligned} \]Hvis du er usikker på kryssproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet, som regner det ut med en determinant.

Plugger vi inn \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = [\, &(\textcolor{red}{-2}) \cdot \textcolor{green}{1} - (\textcolor{green}{-3}) \cdot \textcolor{red}{0}, \\ &(\textcolor{green}{-3}) \cdot (\textcolor{blue}{-2}) - \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{1}, \\ &\textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{0} - (\textcolor{red}{-2}) \cdot (\textcolor{blue}{-2})\,] \end{aligned} \]

3. Sammenlign med vektoren Regner vi ut koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= [-2, 5, -4] \\ &= -1 \cdot [2, -5, 4] \end{aligned} \]Kryssproduktet står vinkelrett på både \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) og dermed på planet. \( {[2, -5, 4]} \) er parallell med kryssproduktet, så den står også vinkelrett på planet og er en normalvektor.

Vi fullfører kvadratene i \( y \) og \( z\text{,} \) slik at likningen får formen til en kuleflate, der vi kan lese av sentrum.

1. Skriv opp formen til en kuleflate En kuleflate med sentrum \( (\textcolor{blue}{x_0}, \textcolor{red}{y_0}, \textcolor{green}{z_0}) \) og radius \( r \) har likningen: \[ \begin{aligned} (x - \textcolor{blue}{x_0})^2 &+ (y - \textcolor{red}{y_0})^2 \\ &+ (z - \textcolor{green}{z_0})^2 = r^2 \end{aligned} \]

2. Fullfør kvadratene Vi bruker kvadratsetningene baklengs og trekker fra det som blir til overs: \[ \begin{aligned} y^2 - 18y &= (y - \textcolor{red}{9})^2 - 81 \\ z^2 + 2z &= (z + \textcolor{green}{1})^2 - 1 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på å fullføre kvadratet, kan du se videoen abc-formelen – hvor kommer den fra?.

Plugger vi dette inn i likningen og flytter tallene over på høyre side, får vi: \[ x^2 + (y - \textcolor{red}{9})^2 + (z + \textcolor{green}{1})^2 = 82 - k \]

3. Les av sentrum Vi skriver \( {x^2 = (x - \textcolor{blue}{0})^2} \) og \( {z + \textcolor{green}{1} = z - (\textcolor{green}{-1})}\text{.} \) Da har likningen formen over, med sentrum: \[ (\textcolor{blue}{0}, \textcolor{red}{9}, \textcolor{green}{-1}) \]

Selv om du ikke fikk til b) og c), kan du løse denne: normalvektoren og sentrum står i oppgaveteksten.

Kulen tangerer planet i \( P\text{,} \) så radien fra sentrum til \( P \) står vinkelrett på planet. Linjen har derfor normalvektoren som retningsvektor.

1. Finn en retningsvektor Når en kule tangerer et plan, står radien til tangeringspunktet vinkelrett på planet. Linjen gjennom sentrum og \( P \) er derfor parallell med normalvektoren fra b): \[ \vec{n} = [\textcolor{blue}{2}, \textcolor{red}{-5}, \textcolor{green}{4}] \]

2. Sett opp parameterframstillingen En linje gjennom punktet \( (x_0, y_0, z_0) \) med retningsvektor \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{green}{c}] \) har parameterframstillingen: \[ \begin{cases} x = x_0 + \textcolor{blue}{a}t \\ y = y_0 + \textcolor{red}{b}t \\ z = z_0 + \textcolor{green}{c}t \end{cases} \]Hvis du er usikker på parameterframstillinger, kan du se videoen Forskjellige måter å skrive på.

Vi bruker sentrum \( {(0, 9, -1)} \) fra c) og plugger inn: \[ \begin{cases} x = \textcolor{blue}{2}t \\ y = 9 \textcolor{red}{- 5}t \\ z = -1 + \textcolor{green}{4}t \end{cases} \]

Vi bruker likningen fra c) og linjen fra d). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Tangeringspunktet \( P \) ligger både på linjen og i planet. Vi finner \( P\text{,} \) så radien, og da kan vi bestemme \( k\text{.} \)

1. Finn tangeringspunktet I d) fant vi linjen gjennom sentrum og \( P\text{:} \) \[ \begin{cases} x = 2t \\ y = 9 - 5t \\ z = -1 + 4t \end{cases} \]

Vi setter den inn i venstre side av likningen for planet: \[ \begin{aligned} & 2 \cdot 2t - 5(9 - 5t) + 4(-1 + 4t) \\ &= 4t - 45 + 25t - 4 + 16t \\ &= 45t - 49 \end{aligned} \]

Planet har \( {-4} \) på høyre side: \[ \begin{aligned} 45t - 49 &= -4 \\ 45t &= 45 \\ t &= 1 \end{aligned} \]

Det gir punktet: \[ \begin{aligned} P &= (2 \cdot 1,\ 9 - 5 \cdot 1,\ -1 + 4 \cdot 1) \\ &= (\textcolor{blue}{2}, \textcolor{red}{4}, \textcolor{green}{3}) \end{aligned} \]

2. Regn ut radien Radien er lengden av vektoren fra sentrum \( {(0, 9, -1)} \) til \( P(2, 4, 3)\text{.} \) Lengden finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}, \textcolor{green}{z}]|^2 = \textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2 + \textcolor{green}{z}^2 \]Hvis du er usikker på lengden av en vektor, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} r^2 &= (\textcolor{blue}{2} - 0)^2 + (\textcolor{red}{4} - 9)^2 \\ &\quad + (\textcolor{green}{3} - (-1))^2 \\ &= \textcolor{blue}{4} + \textcolor{red}{25} + \textcolor{green}{16} = 45 \end{aligned} \]

3. Finn konstanten I c) fant vi at kuleflaten har likningen: \[ x^2 + (y - 9)^2 + (z + 1)^2 = 82 - k \]

Høyre side er \( r^2\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} 82 - k &= 45 \\ k &= 37 \end{aligned} \]

Kontroll: Setter vi \( P(2, 4, 3) \) og \( {k = 37} \) inn i likningen fra oppgaven, blir venstre side \( {4 + 16 + 9 - 72 + 6 + 37}\text{,} \) som er \( 0\text{.} \)

En vinkel er større enn \( 90^\circ \) når skalarproduktet av de to vektorene ut fra hjørnet er negativt. Vi regner ut skalarproduktet i hvert hjørne.

1. Skriv opp regelen Skalarproduktet av to vektorer er: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \textcolor{red}{\theta} \]der \( \textcolor{red}{\theta} \) er vinkelen mellom dem. Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Lengdene er positive, så skalarproduktet har samme fortegn som \( \cos \textcolor{red}{\theta}\text{.} \) Er det negativt, er \( \textcolor{red}{\theta} \) større enn \( 90^\circ\text{.} \)

2. Regn ut i hvert hjørne Ut fra \( A \) går \( {\overrightarrow{AB} = [2, 3, 0]} \) og \( {\overrightarrow{AC} = [1, 4, 1]}\text{,} \) ut fra \( B \) går \( {\overrightarrow{BA} = [-2, -3, 0]} \) og \( {\overrightarrow{BC} = [-1, 1, 1]}\text{,} \) og ut fra \( C \) går \( {\overrightarrow{CA} = [-1, -4, -1]} \) og \( {\overrightarrow{CB} = [1, -1, -1]}\text{.} \)

Vi ganger koordinatene parvis og legger sammen: \[ \begin{aligned} A\text{:} \quad \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} &= 2 + 12 + 0 = 14 \\ B\text{:} \quad \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} &= 2 - 3 + 0 = \textcolor{red}{-1} \\ C\text{:} \quad \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} &= -1 + 4 + 1 = 4 \end{aligned} \]Skalarproduktet er negativt bare i \( B\text{,} \) så vinkelen i \( B \) er større enn \( 90^\circ\text{.} \)

Arealet av en trekant er halvparten av lengden av vektorproduktet av to av sidene. Vi bruker \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC} \) fra a).

1. Regn ut vektorproduktet Arealet av trekanten er: \[ T = \dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| \]

Vektorproduktet av \( [a_1, a_2, a_3] \) og \( [b_1, b_2, b_3] \) er: \[ \begin{aligned} [&\textcolor{blue}{a_2b_3 - a_3b_2},\ \textcolor{red}{a_3b_1 - a_1b_3}, \\ &\textcolor{green}{a_1b_2 - a_2b_1}] \end{aligned} \]

Med \( {\overrightarrow{AB} = [2, 3, 0]} \) og \( {\overrightarrow{AC} = [1, 4, 1]} \) får vi: \[ \begin{aligned} & \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \\ &= [\textcolor{blue}{3 \cdot 1 - 0 \cdot 4},\ \textcolor{red}{0 \cdot 1 - 2 \cdot 1}, \\ &\qquad \textcolor{green}{2 \cdot 4 - 3 \cdot 1}] \\ &= [\textcolor{blue}{3}, \textcolor{red}{-2}, \textcolor{green}{5}] \end{aligned} \]

2. Regn ut arealet Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2}\sqrt{\textcolor{blue}{3}^2 + (\textcolor{red}{-2})^2 + \textcolor{green}{5}^2} \\ &= \dfrac{1}{2}\sqrt{38} \end{aligned} \]Enheten er desimeter, så arealet er i kvadratdesimeter.

Vi finner planet som bordplaten ligger i. Linja gjennom \( D \) og \( E \) treffer aldri planet hvis den er parallell med planet og ikke ligger i det.

1. Finn planet til bordplaten Vektorproduktet fra b) står vinkelrett på bordplaten, så \( {\vec{n} = [\textcolor{blue}{3}, \textcolor{red}{-2}, \textcolor{green}{5}]} \) er en normalvektor. Et plan gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) med normalvektor \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{green}{c}] \) har likningen: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - x_0) + \textcolor{red}{b}(y - y_0) \\ &+ \textcolor{green}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Tangentplan eksempel!.

Planet går gjennom \( A(0, 0, 0)\text{,} \) så likningen blir: \[ \textcolor{blue}{3}x \textcolor{red}{- 2}y + \textcolor{green}{5}z = 0 \]

2. Undersøk linja Retningsvektoren til linja er: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{DE} &= [2 - 3,\ 3 - 7,\ 2 - 3] \\ &= [-1, -4, -1] \end{aligned} \]

Skalarproduktet med normalvektoren er: \[ \begin{aligned} & \overrightarrow{DE} \cdot \vec{n} \\ &= (-1) \cdot \textcolor{blue}{3} + (-4) \cdot (\textcolor{red}{-2}) + (-1) \cdot \textcolor{green}{5} \\ &= -3 + 8 - 5 = 0 \end{aligned} \]Retningsvektoren står vinkelrett på normalvektoren, så linja er parallell med planet.

Setter vi \( D(3, 7, 3) \) inn i likningen for planet, får vi: \[ \textcolor{blue}{3} \cdot 3 \textcolor{red}{- 2} \cdot 7 + \textcolor{green}{5} \cdot 3 = 10 \neq 0 \]\( D \) ligger altså ikke i planet. En linje som er parallell med et plan og ikke ligger i det, treffer aldri planet, og derfor heller aldri bordplaten.

Bunnen er trekanten \( ABC\text{.} \) Arealet er halvparten av lengden til vektorproduktet av to av sidene.

1. Finn vektorproduktet Arealet av trekanten \( ABC \) er: \[ \text{Areal} = \dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| \]

Vektorproduktet av \( [\textcolor{blue}{a_1, a_2, a_3}] \) og \( [\textcolor{red}{b_1, b_2, b_3}] \) har koordinatene: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_2} \\ y&\text{:} \quad \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_3} \\ z&\text{:} \quad \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_1} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på vektorproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

\( A \) er origo, så \( {\overrightarrow{AB} = [\textcolor{blue}{3, 1, 2}]} \) og \( {\overrightarrow{AC} = [\textcolor{red}{-1, 3, 1}]}\text{.} \) Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} - \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{3} = -5 \\ y&\text{:} \quad \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{red}{-1}) - \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{1} = -5 \\ z&\text{:} \quad \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-1}) = 10 \end{aligned} \]Altså er \( {\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = [-5, -5, 10]}\text{.} \)

2. Regn ut arealet Lengden av vektorproduktet finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} \left|[-5, -5, 10]\right| &= \sqrt{25 + 25 + 100} \\ &= \sqrt{150} = 5\sqrt{6} \end{aligned} \]

Arealet er halvparten av dette: \[ \text{Areal} = \dfrac{5\sqrt{6}}{2} \]

\( T \) ligger på \( \ell\text{,} \) så \( {T = (t, t, 4t)}\text{.} \) Vi setter lengden av \( \overrightarrow{CT} \) lik \( \sqrt{17} \) og løser for \( t\text{.} \)

1. Sett opp likningen Med \( {T = (t, t, 4t)} \) og \( {C(-1, 3, 1)} \) er: \[ \overrightarrow{CT} = [\textcolor{blue}{t + 1},\ \textcolor{red}{t - 3},\ \textcolor{green}{4t - 1}] \]

Lengden er \( \sqrt{17}\text{,} \) så kvadratet av lengden er \( 17\text{:} \) \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{t + 1})^2 + (\textcolor{red}{t - 3})^2 + (\textcolor{green}{4t - 1})^2 &= 17 \\ 18t^2 - 12t + 11 &= 17 \\ 3t^2 - 2t - 1 &= 0 \end{aligned} \]

2. Løs andregradslikningen abc-formelen forteller oss at: \[ t = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {a = 3}\text{,} \) \( {b = -2} \) og \( {c = -1}\text{:} \) \[ t = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \dfrac{2 \pm 4}{6} \]Det gir \( {t = 1} \) eller \( {t = -\dfrac{1}{3}}\text{.} \)

3. Velg riktig løsning \( T \) er toppen av teltet, så den ligger over \( A\text{,} \) som har \( {z = 0}\text{.} \) \( {t = -\dfrac{1}{3}} \) gir \( {z = -\dfrac{4}{3}}\text{,} \) lavere enn alle hjørnene i bunnen, så \( {t = 1}\text{,} \) og \( {T = (1, 1, 4)}\text{.} \)

Arealet av en trekant er halvparten av lengden til vektorproduktet av to av sidene.

1. Finn vektorproduktet Arealet av trekanten \( ABC \) er: \[ \text{Areal} = \dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| \]

Vi trekker koordinatene fra hverandre: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [\textcolor{blue}{3, 0, 1}] \\ \overrightarrow{AC} &= [\textcolor{red}{1, -1, -1}] \end{aligned} \]

Vektorproduktet av \( [\textcolor{blue}{a_1, a_2, a_3}] \) og \( [\textcolor{red}{b_1, b_2, b_3}] \) har koordinatene: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_2} \\ y&\text{:} \quad \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_3} \\ z&\text{:} \quad \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_1} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på vektorproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad \textcolor{blue}{0} \cdot (\textcolor{red}{-1}) - \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-1}) = 1 \\ y&\text{:} \quad \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} - \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-1}) = 4 \\ z&\text{:} \quad \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-1}) - \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{1} = -3 \end{aligned} \]Altså er \( {\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = [1, 4, -3]}\text{.} \)

2. Regn ut arealet Lengden finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \left|[1, 4, -3]\right| = \sqrt{1 + 16 + 9} = \sqrt{26} \]Arealet er halvparten av dette, \( \dfrac{\sqrt{26}}{2}\text{.} \)

Vi bruker arealet fra a), \( \dfrac{\sqrt{26}}{2}\text{.} \)

Avstanden fra \( C \) til linja er høyden i trekanten når \( AB \) er grunnlinja. Vi bruker arealformelen baklengs.

1. Bruk arealet Arealet av en trekant er grunnlinja ganger høyden, delt på \( 2\text{:} \) \[ \text{Areal} = \dfrac{\textcolor{blue}{|AB|} \cdot \textcolor{red}{h}}{2} \]

Grunnlinja er: \[ \textcolor{blue}{|AB|} = \sqrt{3^2 + 0^2 + 1^2} = \textcolor{blue}{\sqrt{10}} \]

Med arealet fra a) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{\sqrt{10}} \cdot \textcolor{red}{h}}{2} &= \dfrac{\sqrt{26}}{2} \\ \textcolor{red}{h} &= \dfrac{\sqrt{26}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\dfrac{13}{5}} = \dfrac{\sqrt{65}}{5} \end{aligned} \]Det er omtrent \( 1{,}61\text{.} \)

Vi bruker vektorproduktet fra a), \( {[1, 4, -3]}\text{.} \)

En linje som står vinkelrett på et plan, har en normalvektor til planet som retningsvektor. Vektorproduktet fra a) står vinkelrett på både \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) så det er en normalvektor til \( \alpha\text{.} \)

1. Sett opp parameterframstillingen En linje gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) med retningsvektor \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{green}{c}] \) har parameterframstillingen: \[ \ell\text{:} \ \begin{cases} x = x_0 + \textcolor{blue}{a}t \\ y = y_0 + \textcolor{red}{b}t \\ z = z_0 + \textcolor{green}{c}t \end{cases} \]Hvis du er usikker på parameterframstillinger, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Plugger vi inn \( {P(-2, 1, 4)} \) og \( {[\textcolor{blue}{1}, \textcolor{red}{4}, \textcolor{green}{-3}]}\text{,} \) får vi svaret.

Vi bruker normalvektoren \( {\vec{n} = [1, 4, -3]} \) fra c).

\( D \) ligger på \( z \)-aksen, så \( {D = (0, 0, d)}\text{.} \) Linja \( m \) er parallell med planet, så \( \overrightarrow{PD} \) står vinkelrett på normalvektoren. Da er skalarproduktet \( 0\text{.} \)

1. Sett opp vektoren PD Med \( {D = (0, 0, d)} \) og \( {P(-2, 1, 4)} \) er: \[ \overrightarrow{PD} = [\textcolor{blue}{2},\ \textcolor{red}{-1},\ \textcolor{green}{d - 4}] \]

2. Sett skalarproduktet lik 0 To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2} \cdot 1 + (\textcolor{red}{-1}) \cdot 4 & \\ + (\textcolor{green}{d - 4}) \cdot (-3) &= 0 \\ 10 - 3d &= 0 \\ d &= \dfrac{10}{3} \end{aligned} \]

Tangenten har retningen til \( \vec{r}_1\,'(t)\text{.} \) Den er parallell med \( xy \)-planet når \( z \)-koordinaten til \( \vec{r}_1\,'(t) \) er \( 0\text{.} \)

1. Deriver Vi deriverer hver koordinat for seg, som i videoen Regn ut farten og akselerasjonen til partikkelen: \[ \vec{r}_1\,'(t) = [\cos t, 1, \textcolor{red}{-\sin t}] \]

2. Sett z-koordinaten lik 0 \[ \textcolor{red}{-\sin t} = 0 \quad\Rightarrow\quad t = \pi \]siden \( {0 < t < 2\pi}\text{.} \) Da er: \[ \vec{r}_1(\pi) = [\sin \pi, \pi, \cos \pi] = [0, \pi, -1] \]

To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{.} \)

1. Deriver to ganger \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{r}_1\,'(t)} &= \textcolor{blue}{[\cos t, 1, -\sin t]} \\ \textcolor{red}{\vec{r}_1\,''(t)} &= \textcolor{red}{[-\sin t, 0, -\cos t]} \end{aligned} \]

2. Regn ut skalarproduktet To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{r}_1\,'} \cdot \textcolor{red}{\vec{r}_1\,''} &= -\cos t \sin t + 0 \\ &\quad + \sin t \cos t \\ &= 0 \end{aligned} \]Det gjelder for alle \( t\text{.} \)

Vi bruker \( {\vec{r}_1\,'(t) = [\cos t, 1, -\sin t]} \) og \( {\vec{r}_1\,''(t) = [-\sin t, 0, -\cos t]} \) fra b).

Smygplanet inneholder \( \vec{r}_1\,' \) og \( \vec{r}_1\,''\text{,} \) så vektorproduktet av dem er en normalvektor. Vinkelen mellom planet og \( y \)-aksen er \( 90^\circ \) minus vinkelen mellom normalvektoren og \( y \)-aksen.

1. Finn en normalvektor Hvis du er usikker på vektorproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet. Koordinat for koordinat er \( {\vec{n} = \vec{r}_1\,' \times \vec{r}_1\,''}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad -\cos t - (-\sin t) \cdot 0 = -\cos t \\ y&\text{:} \quad \sin^2 t + \cos^2 t = \textcolor{red}{1} \\ z&\text{:} \quad \cos t \cdot 0 - 1 \cdot (-\sin t) = \sin t \end{aligned} \]Så \( {\vec{n} = [-\cos t, \textcolor{red}{1}, \sin t]}\text{.} \)Lengden er: \[ |\vec{n}| = \sqrt{\cos^2 t + 1 + \sin^2 t} = \sqrt{2} \]

2. Finn vinkelen med y-aksen \( y \)-aksen har retningsvektor \( [0, 1, 0]\text{.} \) Vinkelen \( v \) mellom \( \vec{n} \) og \( y \)-aksen er gitt ved: \[ \cos v = \dfrac{|\vec{n} \cdot [0, 1, 0]|}{|\vec{n}| \cdot 1} = \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\sqrt{2}} \]Altså er \( {v = 45^\circ}\text{,} \) uansett \( t\text{.} \)

3. Vinkelen med planet Normalvektoren står vinkelrett på planet, så vinkelen mellom planet og \( y \)-aksen er \( {90^\circ - 45^\circ = 45^\circ}\text{.} \) Den er den samme for alle \( t\text{.} \)

Vi finner en normalvektor som i c), og ser hva som skjer med smygplanet når \( t \) endrer seg.

1. Finn en normalvektor \[ \begin{aligned} \vec{r}_2\,'(t) &= [\cos t, 1, 2\cos t] \\ \vec{r}_2\,''(t) &= [-\sin t, 0, -2\sin t] \end{aligned} \]

Vektorproduktet er: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad -2\sin t - 2\cos t \cdot 0 = -2\sin t \\ y&\text{:} \quad -2\cos t\sin t + 2\cos t\sin t = 0 \\ z&\text{:} \quad \cos t \cdot 0 - 1 \cdot (-\sin t) = \sin t \end{aligned} \]

Så \( {\vec{r}_2\,' \times \vec{r}_2\,'' = \sin t \cdot \textcolor{red}{[-2, 0, 1]}}\text{.} \)Når \( \sin t \ne 0\text{,} \) er \( {\textcolor{red}{[-2, 0, 1]}} \) en normalvektor, for alle \( t\text{.} \)

2. Finn likningen for smygplanet Planet går gjennom punktet \( {(\sin t, t, 2\sin t + 1)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -2(x - \sin t) & \\ + (z - 2\sin t - 1) &= 0 \\ z &= 2x + 1 \end{aligned} \]Leddene med \( t \) forsvinner, så det er det samme planet for alle \( t\text{.} \) For eksempel gir \( {t = \dfrac{\pi}{2}} \) punktet \( (1, \dfrac{\pi}{2}, 3)\text{,} \) og \( {3 = 2 \cdot 1 + 1}\text{.} \)

3. Tolk det Kurven har \( {x = \sin t} \) og \( {z = 2\sin t + 1 = 2x + 1}\text{,} \) så hele kurven ligger i planet \( {z = 2x + 1}\text{.} \) Den er en plan kurve, og da er smygplanet det planet kurven ligger i. Når \( {\sin t = 0}\text{,} \) er \( {\vec{r}_2\,''(t) = \vec{0}}\text{,} \) og definisjonen gir ikke noe plan der.

Grunnflaten \( ABC \) ligger i \( xy \)-planet, og \( T \) ligger rett over \( A\text{.} \) Høyden er derfor \( 5\text{,} \) og vi trenger bare arealet av grunnflaten.

1. Finn arealet av grunnflaten Arealet av en trekant utspent av \( \vec{u} \) og \( \vec{v} \) er: \[ A = \dfrac{1}{2}|\vec{u} \times \vec{v}| \]Hvis du er usikker på vektorproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Her er \( {\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{blue}{[5, 0, 0]}} \) og \( {\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = \textcolor{red}{[4, 2, 0]}}\text{.} \) Begge ligger i \( xy \)-planet, så bare \( z \)-koordinaten er ulik \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [0, 0, \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{2} - 0 \cdot \textcolor{red}{4}] \\ &= [0, 0, 10] \end{aligned} \]

Grunnflaten er \( {G = \dfrac{1}{2} \cdot 10 = 5}\text{.} \)

2. Regn ut volumet Volumet av en pyramide er: \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \]

Høyden er avstanden fra \( T \) ned til \( xy \)-planet, \( {h = 5}\text{:} \) \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot 5 \cdot 5 = \dfrac{25}{3} \]

Vi bruker vektorproduktet igjen, nå med to av sidene som går ut fra \( B\text{.} \)

1. Sett opp vektorene Fra \( B(5, 0, 0) \) til \( C \) og \( T\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} &= \textcolor{blue}{[-1, 2, 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{BT}} &= \textcolor{red}{[-5, 0, 5]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektorproduktet Koordinatene til \( \vec{u} \times \vec{v} \) er: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad u_2v_3 - u_3v_2 \\ y&\text{:} \quad u_3v_1 - u_1v_3 \\ z&\text{:} \quad u_1v_2 - u_2v_1 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på vektorproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet, som regner det ut med en determinant.

For \( \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{BT}} \) får vi: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad 2 \cdot 5 - 0 \cdot 0 = 10 \\ y&\text{:} \quad 0 \cdot (-5) - (-1) \cdot 5 = 5 \\ z&\text{:} \quad (-1) \cdot 0 - 2 \cdot (-5) = 10 \end{aligned} \]

3. Finn arealet Lengden er: \[ \sqrt{10^2 + 5^2 + 10^2} = \sqrt{225} = 15 \]

Arealet er halve lengden: \[ A_{BCT} = \dfrac{1}{2} \cdot 15 = \dfrac{15}{2} \]

Fra a) er volumet av pyramiden \( \dfrac{25}{3}\text{,} \) og fra b) er arealet av \( \triangle BCT \) lik \( \dfrac{15}{2}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi kan se på pyramiden med \( \triangle BCT \) som grunnflate. Da er høyden nettopp avstanden fra \( A \) til planet gjennom \( B\text{,} \) \( C \) og \( T\text{.} \)

1. Bruk volumet med en ny grunnflate Volumet er det samme uansett hvilken side vi kaller grunnflaten. Med \( {\textcolor{blue}{G = \dfrac{15}{2}}} \) og høyden \( \textcolor{red}{d} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{15}{2}} \cdot \textcolor{red}{d} &= \dfrac{25}{3} \\ \dfrac{5}{2}\textcolor{red}{d} &= \dfrac{25}{3} \\ \textcolor{red}{d} &= \dfrac{10}{3} \end{aligned} \]

2. Kontroller med planet Normalvektoren \( [10, 5, 10] \) fra b) kan vi korte til \( [2, 1, 2]\text{.} \) Planet gjennom \( B(5, 0, 0) \) er da \( {2x + y + 2z - 10 = 0}\text{,} \) som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram. Avstanden fra \( A(0, 0, 0) \) er: \[ d = \dfrac{|2 \cdot 0 + 0 + 2 \cdot 0 - 10|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \dfrac{10}{3} \]

Parallelle plan har den samme normalvektoren. Vi finner normalvektoren til \( \alpha \) med vektorproduktet, og setter inn punktet \( P\text{.} \)

1. Finn normalvektoren Fra \( A(1, 0, 3) \) til \( B \) og \( C\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{blue}{[-1, 1, -1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= \textcolor{red}{[1, 3, -1]} \end{aligned} \]

Vektorproduktet står vinkelrett på begge. Hvis du er usikker på vektorproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet. For \( \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \) får vi: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad 1 \cdot (-1) - (-1) \cdot 3 = 2 \\ y&\text{:} \quad (-1) \cdot 1 - (-1) \cdot (-1) = -2 \\ z&\text{:} \quad (-1) \cdot 3 - 1 \cdot 1 = -4 \end{aligned} \]

Vi deler \( {[2, -2, -4]} \) på \( 2 \) og bruker \( {\textcolor{green}{\vec{n} = [1, -1, -2]}}\text{.} \)

2. Sett inn punktet P Likningen for et plan med normalvektor \( [a, b, c] \) gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) er: \[ \begin{aligned} &a(x - x_0) + b(y - y_0) \\ &\quad + c(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Med \( \textcolor{green}{\vec{n}} \) og \( {P(2, -5, 5)} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{1}(x - 2) \textcolor{green}{- 1}(y + 5) \textcolor{green}{- 2}(z - 5) &= 0 \\ x - y - 2z + 3 &= 0 \end{aligned} \]

Til sammenligning er \( \alpha\text{:} \) \( {x - y - 2z + 5 = 0}\text{,} \) med det samme venstre leddet og et annet tall. Planene er altså parallelle og ikke like.

Fra a) er \( \beta\text{:} \) \( {x - y - 2z + 3 = 0}\text{,} \) og begge planene har normalvektoren \( {\textcolor{green}{\vec{n} = [1, -1, -2]}}\text{.} \)

Radien til en kule står vinkelrett på et plan den tangerer. Kula ligger mellom de to parallelle planene, så \( A\text{,} \) sentrum og \( Q \) ligger på én linje langs normalvektoren. \( Q \) er der den linja treffer \( \beta\text{.} \)

1. Linja gjennom A langs normalvektoren Linja gjennom \( A(1, 0, 3) \) med retning \( \textcolor{green}{\vec{n}} \) er: \[ \ell\text{:} \quad \begin{cases} x = 1 + \textcolor{green}{1}t \\ y = 0 \textcolor{green}{- 1}t \\ z = 3 \textcolor{green}{- 2}t \end{cases} \]Hvis du er usikker på parameterframstillinger, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

2. Finn hvor linja treffer β Vi setter koordinatene inn i likningen for \( \beta\text{:} \) \[ \begin{aligned} (1 + t) - (-t) - 2(3 - 2t) + 3 &= 0 \\ 6t - 2 &= 0 \\ t &= \dfrac{1}{3} \end{aligned} \]

3. Regn ut Q Med \( {t = \dfrac{1}{3}} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= 1 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3} \\ y &= -\dfrac{1}{3} \\ z &= 3 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{7}{3} \end{aligned} \]

Kontroll: \( {\dfrac{4}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{14}{3} + 3 = 0}\text{,} \) så \( Q \) ligger i \( \beta\text{.} \)