Eksamensoppgaver etter tema

Vi finner \( \sin v \) med enhetsformelen og velger fortegnet ut fra kvadranten. Så regner vi ut \( \tan v \) som sinus delt på cosinus.

1. Finn sinus med enhetsformelen Enhetsformelen forteller oss at: \[ \textcolor{red}{\sin^2 v} + \textcolor{blue}{\cos^2 v} = 1 \]

Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{\cos v} = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\sin^2 v} &= 1 - \left(\textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}}\right)^2 = 1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9} \\ \textcolor{red}{\sin v} &= \pm\dfrac{\sqrt{5}}{3} \end{aligned} \]

I 4. kvadrant ligger punktet på enhetssirkelen under førsteaksen, så \( \sin v \) er negativ: \[ \textcolor{red}{\sin v} = \textcolor{red}{-\dfrac{\sqrt{5}}{3}} \]Hvis du er usikker på enhetssirkelen, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

2. Regn ut tangens Tangens er sinus delt på cosinus: \[ \tan v = \dfrac{\textcolor{red}{\sin v}}{\textcolor{blue}{\cos v}} \]

Plugger vi inn, får vi: \[ \tan v = \dfrac{\textcolor{red}{-\dfrac{\sqrt{5}}{3}}}{\textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}}} = -\dfrac{\sqrt{5}}{3} \cdot \dfrac{3}{2} = -\dfrac{\sqrt{5}}{2} \]

Vi får cosinus alene og finner vinklene der cosinus er \( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{.} \) Så legger vi til hele omganger og velger løsningene i intervallet.

1. Få cosinus alene Vi deler begge sider med \( 2\text{:} \) \[ \cos\left(\textcolor{green}{\dfrac{\pi}{3}x}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

2. Finn alle vinklene Cosinus er \( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \) for vinkelen \( \dfrac{\pi}{6}\text{,} \) og siden \( {\cos(-v) = \cos v}\text{,} \) også for \( {-\dfrac{\pi}{6}}\text{.} \)

Legger vi til hele omganger \( {n \cdot 2\pi}\text{,} \) får vi: \[ \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{3}x} = \pm\dfrac{\pi}{6} + n \cdot 2\pi \]Hvis du er usikker på hvorfor det blir to vinkler og hele omganger, kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

3. Finn løsningene i intervallet Vi ganger begge sider med \( \dfrac{3}{\pi}\text{:} \) \[ x = \pm\dfrac{1}{2} + n \cdot 6 \]

Vi setter inn hele tall for \( n \) og beholder løsningene mellom \( 0 \) og \( 10\text{:} \) \[ \begin{aligned} n = 0&: \quad x = \dfrac{1}{2} \\ n = 1&: \quad x = \dfrac{11}{2} \ \text{ og } \ x = \dfrac{13}{2} \end{aligned} \]For \( {n = 0} \) er \( {x = -\dfrac{1}{2}} \) mindre enn \( 0\text{,} \) og for \( {n = 2} \) er begge løsningene større enn \( 10\text{.} \)

Vi ser at likningen har både \( \sin x \) og \( \cos x\text{.} \) Vi deler derfor på \( \cos x \) og får en likning med \( \tan x\text{.} \)

1. Gjør om til en tangenslikning Vi flytter \( \sqrt{3}\,\textcolor{red}{\cos x} \) over og deler på \( \textcolor{red}{\cos x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\sin x} &= \sqrt{3}\,\textcolor{red}{\cos x} \\ \dfrac{\textcolor{blue}{\sin x}}{\textcolor{red}{\cos x}} &= \sqrt{3} \\ \tan x &= \sqrt{3} \end{aligned} \]Vi kan dele på \( \textcolor{red}{\cos x}\text{,} \) fordi \( {\cos x = 0} \) gir \( {\sin x = \pm 1}\text{,} \) og da er venstresiden i likningen ikke \( 0\text{.} \)

2. Finn løsningene Fra de eksakte verdiene vet vi at \( {\tan \dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}}\text{.} \) Tangens har periode \( \pi\text{,} \) så: \[ x = \dfrac{\pi}{3} + n \cdot \textcolor{green}{\pi} \]der \( n \) er et helt tall. Hvis du er usikker på perioden, kan du se videoen Oppgave 1B - Løs likningen.

I \( [0, 2\pi\rangle \) gir \( {n = 0} \) og \( {n = 1} \) løsningene: \[ x = \dfrac{\pi}{3} \qquad x = \dfrac{\pi}{3} + \textcolor{green}{\pi} = \dfrac{4\pi}{3} \]

Et produkt er null når en av faktorene er null. Vi løser \( {\sin x = \dfrac{1}{2}}\text{,} \) og ser hvor mange nye løsninger \( {\sin x = a} \) gir for ulike \( a\text{.} \)

1. Sett den første faktoren lik null Produktet er null når \( {\textcolor{blue}{\sin x = \dfrac{1}{2}}} \) eller \( {\textcolor{red}{\sin x = a}}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/​S1 Eksamen Vår 2026.

Fra de eksakte verdiene vet vi at \( {\sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Sinus har samme verdi i \( {\pi - \dfrac{\pi}{6}}\text{,} \) så den første faktoren gir alltid de to løsningene: \[ \textcolor{blue}{x = \dfrac{\pi}{6}} \qquad \textcolor{blue}{x = \dfrac{5\pi}{6}} \]Hvis du er usikker på den andre vinkelen, kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

2. Tell løsningene av den andre faktoren Antallet løsninger av \( {\textcolor{red}{\sin x = a}} \) i \( [0, 2\pi\rangle \) er: \[ \begin{aligned} |a| > 1&\text{:} \quad 0 \\ a = \pm 1&\text{:} \quad 1 \\ -1 < a < 1&\text{:} \quad 2 \end{aligned} \]

\( {\textcolor{red}{\sin x = a}} \) har ingen løsninger når \( {a > 1} \) eller \( {a < -1}\text{,} \) fordi sinus alltid ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) For \( {a = \dfrac{1}{2}} \) gir den de samme to løsningene som den første faktoren. Da har likningen to løsninger.

For \( {a = 1} \) og \( {a = -1} \) har den én løsning hver, \( {x = \dfrac{\pi}{2}} \) og \( {x = \dfrac{3\pi}{2}}\text{,} \) fordi det er bare ett punkt på enhetssirkelen med \( {y = 1}\text{,} \) og ett med \( {y = -1}\text{.} \) Da har likningen tre løsninger.

For \( {-1 < a < 1} \) med \( {a \neq \dfrac{1}{2}} \) gir den to nye løsninger, fordi linja \( {y = a} \) skjærer enhetssirkelen i to punkter. For \( {a = 0} \) er de \( {x = 0} \) og \( {x = \pi}\text{,} \) siden \( 2\pi \) ikke er med. Da har likningen fire løsninger.

Spenningen går opp og ned periodisk, så vi lager en sinusmodell med sinusregresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre sinusregresjon. Øv heller på å lese av likevektslinje, amplitude og periode i en tabell, og på b) og c) med modellen fra a), med kalkulator.

1. Legg punktene inn i GeoGebra Vi skriver tiden i kolonne A og spenningen i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør sinusregresjon Sinusregresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{A}\text{,} \) \( \textcolor{green}{c}\text{,} \) \( \textcolor{darkorange}{\varphi} \) og \( \textcolor{blue}{d} \) i \[ U(t) = \textcolor{red}{A} \cdot \sin(\textcolor{green}{c}t + \textcolor{darkorange}{\varphi}) + \textcolor{blue}{d} \]som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. Vi velger sinusregresjon fra den samme lista som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der det er logistisk regresjon. GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: U(x) = RegSin(l1)

3. Skriv opp modellen GeoGebra skriver konstanten først. Tallene gir \( {\textcolor{red}{A} \approx \textcolor{red}{323{,}47}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{c} \approx \textcolor{green}{314{,}81}}\text{,} \) \( {\textcolor{darkorange}{\varphi} \approx \textcolor{darkorange}{-0{,}0026}} \) og \( {\textcolor{blue}{d} \approx \textcolor{blue}{-0{,}91}}\text{.} \)

Perioden er \( {\dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}} \approx 0{,}0200} \) sekunder, og grafen går nær alle punktene. Andre modeller som passer tabellen, er også riktige, for eksempel \( {U(t) = 325\sin(100\pi t)}\text{,} \) med amplituden og perioden lest av tabellen. Vi bruker denne modellen i b) og c).

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi skal løse \( {U(t) = 230}\text{.} \) Med kalkulator får vi sinus alene og finner de to vinklene der sinus har den verdien.

1. Få sinus alene I a) fant vi modellen. Vi kaller det som står inni sinus, \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{314{,}81t - 0{,}0026}}\text{:} \) \[ U(t) = \textcolor{red}{323{,}47}\sin \textcolor{green}{u} \textcolor{blue}{- 0{,}91} \]

Vi setter \( {U(t) = 230}\text{,} \) legger til \( \textcolor{blue}{0{,}91} \) og deler med \( \textcolor{red}{323{,}47}\text{:} \) \[ \sin \textcolor{green}{u} = \dfrac{230 + \textcolor{blue}{0{,}91}}{\textcolor{red}{323{,}47}} \approx 0{,}7139 \]

2. Finn vinklene Med kalkulatoren i radianer finner vi først én vinkel der sinus er \( 0{,}7139\text{:} \) \[ \textcolor{green}{u_1} = \sin^{-1}(0{,}7139) \approx 0{,}7951 \]Hvis du er usikker på å finne vinkelen med kalkulatoren, kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

Sinus har samme verdi i \( {\pi - u_1}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{u_2} = \pi - \textcolor{green}{u_1} \approx 2{,}3465 \]Fra \( {t = 0} \) til \( {t = 0{,}0200} \) går \( \textcolor{green}{u} \) fra \( {-0{,}0026} \) til omtrent \( 6{,}29\text{,} \) én periode. Den neste vinkelen, \( {u_1 + 2\pi \approx 7{,}08}\text{,} \) er for stor.

3. Regn om til tid Løser vi \( {314{,}81t - 0{,}0026 = u} \) for \( t\text{,} \) får vi \( {t = \dfrac{u + 0{,}0026}{314{,}81}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} t_1 &= \dfrac{\textcolor{green}{0{,}7951} + 0{,}0026}{314{,}81} \approx 0{,}0025 \\ t_2 &= \dfrac{\textcolor{green}{2{,}3465} + 0{,}0026}{314{,}81} \approx 0{,}0075 \end{aligned} \]Spenningen er \( 230\,\text{V} \) etter omtrent \( 0{,}0025 \) og \( 0{,}0075 \) sekunder.

1. Løs likningen i CAS Vi skriver modellen fra svaret i a) inn i CAS. Grafen i a) går gjennom \( 230 \) to ganger i den første perioden, nær \( {t = 0{,}0025} \) og \( {t = 0{,}0075}\text{.} \) Vi bruker dem som startverdier i NLøs:

Skriv inn i GeoGebra: U(t) := -0.91 + 323.47*sin(314.81t - 0.0026) NLøs(U(t) = 230, t = 0.0025) NLøs(U(t) = 230, t = 0.0075)

Rad 2 og 3 gir \( {t \approx 0{,}0025} \) og \( {t \approx 0{,}0075}\text{.} \)

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi setter modellen inn i formelen og integrerer over én periode. Blir effektivverdien omtrent \( 230\,\text{V}\text{,} \) kan målingene være riktige.

1. Integrer kvadratet av modellen I a) fant vi modellen. Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{314{,}81t - 0{,}0026}} \) er den: \[ U(t) = \textcolor{red}{323{,}47}\sin \textcolor{green}{u} \textcolor{blue}{- 0{,}91} \]

Vi kaller \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{323{,}47}} \) og \( {\textcolor{blue}{d} = \textcolor{blue}{-0{,}91}}\text{,} \) og perioden er \( {T = \dfrac{2\pi}{314{,}81}}\text{.} \) Med første kvadratsetning, \( {(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \big(U(t)\big)^2 = \ &\textcolor{red}{A}^2\sin^2 \textcolor{green}{u} + 2\textcolor{red}{A}\textcolor{blue}{d}\sin \textcolor{green}{u} \\ &+ \textcolor{blue}{d}^2 \end{aligned} \]

Over en hel periode er integralet av \( \sin u \) lik \( 0\text{,} \) fordi arealet over og under aksen er like store. For \( \sin^2 u \) bruker vi formelen for dobbel vinkel: \[ \sin^2 u = \dfrac{1 - \cos 2u}{2} \]

Integralet av \( \cos 2u \) over en hel periode er også \( 0\text{,} \) så \( \sin^2 u \) gir \( \dfrac{T}{2}\text{:} \) \[ \int_0^T \big(U(t)\big)^2\,dt = \textcolor{red}{A}^2 \cdot \dfrac{T}{2} + \textcolor{blue}{d}^2 \cdot T \]

2. Regn ut effektivverdien Vi deler på \( T \) og tar kvadratroten. \( T \) forkortes bort: \[ \begin{aligned} U_{\text{effektiv}} &= \sqrt{\dfrac{\textcolor{red}{A}^2}{2} + \textcolor{blue}{d}^2} \\ &= \sqrt{\dfrac{\textcolor{red}{323{,}47}^2}{2} + (\textcolor{blue}{-0{,}91})^2} \\ &\approx 228{,}7 \end{aligned} \]

Effektivverdien til modellen er omtrent \( 228{,}7\,\text{V}\text{,} \) bare \( 1{,}3\,\text{V} \) under \( 230\,\text{V}\text{.} \) Målingene kan altså være riktige.

1. Regn ut effektivverdien i CAS Vi skriver modellen fra svaret i a) og perioden inn i CAS, og regner ut formelen med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: U(t) := -0.91 + 323.47*sin(314.81t - 0.0026) T := 2π/314.81 sqrt(1/T*Integral(U(t)^2, t, 0, T))

Rad 3 gir \( {U_{\text{effektiv}} \approx 228{,}7\,\text{V}}\text{,} \) svært nær \( 230\,\text{V}\text{,} \) så målingene kan være riktige.

Vi sammenligner \( f \) med den generelle sinusfunksjonen og leser av konstantene.

1. Sammenlign med den generelle formen Den generelle sinusfunksjonen er: \[ f(x) = \textcolor{red}{A}\sin(\textcolor{green}{c}x + \textcolor{darkorange}{\varphi}) + \textcolor{blue}{d} \]

Her er \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{2\sqrt{3}}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{2}}\text{,} \) \( {\textcolor{darkorange}{\varphi} = \textcolor{darkorange}{\dfrac{\pi}{6}}} \) og \( {\textcolor{blue}{d} = \textcolor{blue}{0}}\text{.} \)

2. Les av egenskapene Amplituden er \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{2\sqrt{3}}}\text{,} \) og likevektslinja er \( {y = \textcolor{blue}{d}}\text{,} \) altså \( {y = \textcolor{blue}{0}}\text{.} \) Sammenhengen mellom perioden og \( \textcolor{green}{c} \) er: \[ p = \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}} = \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{2}} = \pi \]

Faseforskyvningen er \( {\textcolor{darkorange}{\varphi} = \textcolor{darkorange}{\dfrac{\pi}{6}}}\text{.} \) Den flytter grafen \( \dfrac{\pi}{12} \) mot venstre, fordi \( {2x + \dfrac{\pi}{6} = 2\left(x + \dfrac{\pi}{12}\right)}\text{.} \)

Vi deler på \( 2\sqrt{3} \) og får en likning med sinus. Så finner vi vinklene der sinus er \( \dfrac{1}{2}\text{,} \) og ser hvilke som gir en \( x \) i definisjonsmengden.

1. Isoler sinus Vi deler begge sider på \( 2\sqrt{3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\sqrt{3}\sin\left(\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{6}}\right) &= \sqrt{3} \\ \sin\left(\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{6}}\right) &= \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

2. Finn vinklene Når \( x \) ligger i \( {\left\langle 0, \dfrac{\pi}{2} \right\rangle}\text{,} \) ligger \( {\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{6}}} \) i \( {\left\langle \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{7\pi}{6} \right\rangle}\text{.} \)

Fra de eksakte verdiene vet vi at \( {\sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Sinus har samme verdi i \( {\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

\( \dfrac{\pi}{6} \) er ikke med i intervallet, fordi \( {x = 0} \) ikke er med, og vinklene en hel runde senere er større enn \( \dfrac{7\pi}{6}\text{.} \) Den eneste løsningen er altså: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{6}} &= \dfrac{5\pi}{6} \\ 2x &= \dfrac{4\pi}{6} \\ x &= \dfrac{\pi}{3} \end{aligned} \]

Vi skriver \( g \) om til én sinusfunksjon. Da ser vi at \( g \) har samme uttrykk som \( f\text{,} \) og vi kan bruke vinklene fra b) på et større intervall.

1. Skriv g som én sinusfunksjon En sum av sinus og cosinus med samme \( c \) kan skrives som én sinusfunksjon: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{a}\sin(cx) + \textcolor{blue}{b}\cos(cx) \\ &= A\sin(cx + \textcolor{darkorange}{\varphi}) \end{aligned} \]der \( {A = \sqrt{\textcolor{red}{a}^2 + \textcolor{blue}{b}^2}} \) og \( {\tan \textcolor{darkorange}{\varphi} = \dfrac{\textcolor{blue}{b}}{\textcolor{red}{a}}}\text{,} \) med \( \textcolor{darkorange}{\varphi} \) i samme kvadrant som punktet \( (\textcolor{red}{a}, \textcolor{blue}{b})\text{.} \)

Her er \( {\textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{3}} \) og \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{\sqrt{3}}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} A &= \sqrt{\textcolor{red}{3}^2 + (\textcolor{blue}{\sqrt{3}})^2} \\ &= \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \\ \tan \textcolor{darkorange}{\varphi} &= \dfrac{\textcolor{blue}{\sqrt{3}}}{\textcolor{red}{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \end{aligned} \]

Punktet \( (\textcolor{red}{3}, \textcolor{blue}{\sqrt{3}}) \) ligger i første kvadrant, så \( {\textcolor{darkorange}{\varphi} = \textcolor{darkorange}{\dfrac{\pi}{6}}}\text{.} \) Det gir: \[ g(x) = 2\sqrt{3}\sin\left(2x + \textcolor{darkorange}{\dfrac{\pi}{6}}\right) \]Dette er det samme uttrykket som \( f(x)\text{,} \) men på intervallet \( \langle 0, 2\pi \rangle\text{.} \)

2. Løs likningen Som i b) blir likningen \( {\sin\left(\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{6}}\right) = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Sinus er \( \dfrac{1}{2} \) i \( \dfrac{\pi}{6} \) og \( \dfrac{5\pi}{6}\text{,} \) og igjen hver gang vi legger til en hel runde, \( 2\pi\text{,} \) som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

Den første vinkelen gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{6}} &= \dfrac{\pi}{6} + n \cdot 2\pi \\ x &= n \cdot \pi \end{aligned} \]

Den andre vinkelen gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{6}} &= \dfrac{5\pi}{6} + n \cdot 2\pi \\ x &= \dfrac{\pi}{3} + n \cdot \pi \end{aligned} \]der \( n \) er et helt tall.

I \( \langle 0, 2\pi \rangle \) gir den første bare \( {x = \pi}\text{,} \) fordi \( 0 \) og \( 2\pi \) ikke er med. Den andre gir \( {x = \dfrac{\pi}{3}} \) og \( {x = \dfrac{\pi}{3} + \pi = \dfrac{4\pi}{3}}\text{.} \)

Vi leser av toppunktene og bunnpunktene på grafen. Av dem finner vi likevektslinja, amplituden og perioden, og til slutt \( \varphi \) slik at cosinus har toppunkt der grafen har det.

1. Les av grafen Grafen har toppunkter med \( {y = 1} \) og bunnpunkter med \( {y = -3}\text{.} \) Likevektslinja \( \textcolor{blue}{d} \) ligger midt mellom, og amplituden \( \textcolor{red}{A} \) er avstanden derfra til toppen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{d} &= \dfrac{1 + (-3)}{2} = \textcolor{blue}{-1} \\ \textcolor{red}{A} &= \dfrac{1 - (-3)}{2} = \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]

2. Finn perioden Toppunktene ligger i \( {x = 4} \) og \( {x = 12}\text{,} \) så perioden er \( {p = 8}\text{.} \) Sammenhengen mellom perioden og \( \textcolor{green}{c} \) er: \[ p = \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}} \quad \Rightarrow \quad \textcolor{green}{c} = \dfrac{2\pi}{8} = \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{4}} \]

3. Finn φ \( \cos u \) har toppunkt når \( {u = 0}\text{.} \) Grafen har toppunkt i \( {x = 4}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{4}} \cdot 4 + \varphi &= 0 \\ \varphi &= -\pi \end{aligned} \]

Vi bruker funksjonen fra a), \( {g(x) = 2\cos\left(\dfrac{\pi}{4}x - \pi\right) - 1}\text{,} \) som er den samme som \( f\text{.} \)

Vi kaller det som står inni cosinus for \( u\text{,} \) og finner vinklene med cosinus \( \dfrac{1}{2} \) på enhetssirkelen. Til slutt ser vi hva likningen betyr for \( g\text{.} \)

1. Finn vinklene Vi kaller \( {\textcolor{red}{u = \dfrac{\pi}{4}x - \pi}}\text{.} \) Fra de eksakte verdiene vet vi at \( {\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Cosinus har samme verdi i \( {-\dfrac{\pi}{3}}\text{,} \) og gjentar seg for hver hele runde: \[ \textcolor{red}{u} = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \vee \quad \textcolor{red}{u} = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \]Hvis du er usikker på \( 2\pi k\text{,} \) kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

2. Løs for x Vi legger til \( \pi \) og ganger med \( \dfrac{4}{\pi} \) i begge likningene: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\dfrac{\pi}{4}x - \pi} &= \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \\ x &= \dfrac{16}{3} + 8k \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\dfrac{\pi}{4}x - \pi} &= -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \\ x &= \dfrac{8}{3} + 8k \end{aligned} \]

\( {3\pi \approx 9{,}42}\text{.} \) Med \( {k = 0} \) får vi \( {x = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67} \) og \( {x = \dfrac{16}{3} \approx 5{,}33}\text{.} \) \( {k = 1} \) gir \( {\dfrac{8}{3} + 8 \approx 10{,}67}\text{,} \) som er for stort, og negative \( k \) gir negative \( x\text{.} \)

3. Finn løsningene på figuren Setter vi \( {\cos\left(\dfrac{\pi}{4}x - \pi\right) = \dfrac{1}{2}} \) inn i \( g \) fra a), får vi: \[ g(x) = 2 \cdot \dfrac{1}{2} - 1 = 0 \]Løsningene er altså nullpunktene til \( f\text{,} \) der grafen skjærer \( x \)-aksen, før og etter toppunktet i \( {x = 4}\text{.} \)

Vi får sinus alene på den ene siden, og kaller det som står inni sinus for \( u\text{.} \) Vinklene med sinus \( \dfrac{1}{2} \) finner vi på enhetssirkelen.

1. Få sinus alene Vi legger til \( 1 \) og deler på \( 2\text{:} \) \[ \sin\left(\textcolor{red}{\dfrac{\pi}{6}x - \dfrac{\pi}{3}}\right) = \dfrac{1}{2} \]

2. Finn vinklene Vi kaller \( {\textcolor{red}{u = \dfrac{\pi}{6}x - \dfrac{\pi}{3}}}\text{.} \) Fra de eksakte verdiene vet vi at \( {\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Sinus har samme verdi i \( {\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}}\text{,} \) og gjentar seg for hver hele runde: \[ \textcolor{red}{u} = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \vee \quad \textcolor{red}{u} = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k \]Hvis du er usikker på den andre vinkelen, kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

3. Løs for x Vi legger til \( \dfrac{\pi}{3} \) og ganger med \( \dfrac{6}{\pi}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\dfrac{\pi}{6}x - \dfrac{\pi}{3}} &= \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \\ \dfrac{\pi}{6}x &= \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \\ x &= 3 + 12k \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\dfrac{\pi}{6}x - \dfrac{\pi}{3}} &= \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k \\ \dfrac{\pi}{6}x &= \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi k \\ x &= 7 + 12k \end{aligned} \]

I \( \langle 0, 20 \rangle \) gir \( {k = 0} \) løsningene \( 3 \) og \( 7\text{,} \) og \( {k = 1} \) gir \( 15 \) og \( 19\text{.} \) \( {k = -1} \) gir negative \( x\text{,} \) og \( {k = 2} \) gir \( x \) over \( 20\text{.} \)

Vi sammenligner med den generelle formen \( {A\sin(c(x - x_0)) + d}\text{,} \) og leser av hver størrelse.

1. Skriv om funksjonen Vi setter \( \dfrac{\pi}{6} \) utenfor en parentes inni sinus: \[ f(x) = \textcolor{red}{2}\sin\left(\textcolor{green}{\dfrac{\pi}{6}}(x - \textcolor{darkorange}{2})\right) \textcolor{blue}{- 1} \]

2. Les av størrelsene En sinusfunksjon \( {\textcolor{red}{A}\sin(\textcolor{green}{c}(x - \textcolor{darkorange}{x_0})) + \textcolor{blue}{d}} \) har: \[ \begin{aligned} \text{amplitude}&\text{:} \quad \textcolor{red}{A} \\ \text{likevektslinje}&\text{:} \quad y = \textcolor{blue}{d} \\ \text{periode}&\text{:} \quad \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}} \\ \text{forskyvning}&\text{:} \quad \textcolor{darkorange}{x_0} \end{aligned} \]

Her er perioden \( {\dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{\pi/6}} = 12}\text{,} \) og grafen er forskjøvet \( \textcolor{darkorange}{2} \) mot høyre langs likevektslinja.

Likevektslinja ligger midt mellom den største og den minste verdien, og amplituden er avstanden derfra til toppen. Perioden er ett døgn.

1. Finn d og A \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{d} &= \dfrac{31{,}2 + 18{,}2}{2} = \textcolor{blue}{24{,}7} \\ \textcolor{red}{A} &= \dfrac{31{,}2 - 18{,}2}{2} = \textcolor{red}{6{,}5} \end{aligned} \]

2. Finn c Forurensningen varierer hvert døgn, så perioden er \( 24 \) timer. Perioden er \( \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}}\text{:} \) \[ \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}} = 24 \quad\Rightarrow\quad \textcolor{green}{c} = \dfrac{2\pi}{24} = \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{12}} \]

Vi bruker \( {\textcolor{red}{A = 6{,}5}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{c = \dfrac{\pi}{12}}} \) og \( {\textcolor{blue}{d = 24{,}7}} \) fra a).

De to tidspunktene ligger like langt fra toppen av grafen, ett på vei opp og ett på vei ned. Vi finner tiden mellom dem fra de to vinklene der sinus har samme verdi.

1. Få sinus alene \( {M(t) = 27} \) gir: \[ \sin(\textcolor{darkorange}{u}) = \dfrac{27 - \textcolor{blue}{24{,}7}}{\textcolor{red}{6{,}5}} \approx 0{,}3538 \]der \( {\textcolor{darkorange}{u = ct + k}}\text{.} \)

2. Finn de to vinklene Kalkulatoren gir \( {\sin^{-1}(0{,}3538) \approx 0{,}3617}\text{,} \) og sinus har samme verdi i \( {\pi - 0{,}3617 \approx 2{,}7799}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

Kl. 13:00 er første gang i døgnet. Hadde forurensningen vært på vei ned da, ville den vært \( 27 \) også tidligere samme dag, på vei opp. Kl. 13:00 hører altså til den første vinkelen, \( 0{,}3617\text{.} \)

3. Finn tiden mellom Vinkelen øker med \( {\textcolor{green}{c} = \dfrac{\pi}{12}} \) per time: \[ \begin{aligned} \Delta t &= \dfrac{2{,}7799 - 0{,}3617}{\textcolor{green}{\pi/12}} \\ &\approx 9{,}24 \text{ timer} \end{aligned} \]Det er \( 9 \) timer og \( {0{,}24 \cdot 60 \approx 14} \) minutter etter kl. 13:00, altså kl. 22:14.

1. Finn k og løs i CAS Vi finner \( k \) slik at \( {M(13) = 27} \) med NLøs, og løser så \( {M(t) = 27} \) med en startverdi om kvelden:

Skriv inn i GeoGebra: M(t) := 6.5 sin(π/12 t + k) + 24.7 NLøs(M(13) = 27, k = -3) M(t) := 6.5 sin(π/12 t - 3.0417) + 24.7 NLøs(M(t) = 27, t = 22)

Med \( {k \approx -3{,}0417} \) har grafen topp ved \( {t \approx 17{,}6}\text{,} \) så den stiger kl. 13:00. Rad 4 gir \( {t \approx 22{,}24}\text{,} \) kl. 22:14.