Hopp til hovedinnholdet

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

trigonometriske funksjoner

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

16 oppgaver i R2 om trigonometriske funksjoner · viser 1–10

Oppgavene

R2 vår 2026 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 4

2 poeng

I koordinatsystemet nedenfor ser du grafen til en funksjon f. f\text{.}
Bestem et mulig funksjonsuttrykk f(x). f(x)\text{.}
Vis løsning på oppgave 4

Svar

Ett mulig uttrykk er:
f(x)=2sin⁡(2x−π2)−1‾‾ \underline{\underline{f(x) = 2\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{2}\right) - 1}}
Vi leser av likevektslinja, amplituden og perioden på grafen. Så velger vi faseforskyvningen slik at et toppunkt kommer på riktig plass.
1. Les av likevektslinja og amplituden Vi bruker den generelle sinusfunksjonen: \[ f(x) = \textcolor{red}{A}\sin(\textcolor{green}{c}x + \textcolor{darkorange}{\varphi}) + \textcolor{blue}{d} \]
Grafen svinger mellom \( 1 \) og \( {-3}\text{.} \) Likevektslinja ligger midt mellom: \[ \textcolor{blue}{d} = \dfrac{1 + (-3)}{2} = \textcolor{blue}{-1} \]
Amplituden er avstanden fra likevektslinja til et toppunkt: \[ \textcolor{red}{A} = 1 - (\textcolor{blue}{-1}) = \textcolor{red}{2} \]
2. Finn perioden Grafen har toppunkter i \( {x = \dfrac{\pi}{2}} \) og \( {x = \dfrac{3\pi}{2}}\text{,} \) så perioden er \( {p = \pi}\text{.} \) Sammenhengen mellom perioden og \( \textcolor{green}{c} \) er: \[ p = \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}} \quad\Rightarrow\quad \textcolor{green}{c} = \dfrac{2\pi}{\pi} = \textcolor{green}{2} \]
3. Finn faseforskyvningen Sinus har toppunkt når det som står inni, er \( \dfrac{\pi}{2}\text{.} \) Grafen har et toppunkt i \( {x = \dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2} \cdot \dfrac{\pi}{2} + \textcolor{darkorange}{\varphi} &= \dfrac{\pi}{2} \\ \textcolor{darkorange}{\varphi} &= \textcolor{darkorange}{-\dfrac{\pi}{2}} \end{aligned} \]
Plugger vi alt inn i formen, får vi: \[ f(x) = \textcolor{red}{2}\sin\left(\textcolor{green}{2}x \textcolor{darkorange}{- \dfrac{\pi}{2}}\right) \textcolor{blue}{- 1} \]Andre uttrykk er også riktige, for eksempel \( {f(x) = -2\cos(2x) - 1}\text{.} \)
Kontroll: I \( {x = 0} \) gir uttrykket \( {2\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) - 1 = -3}\text{,} \) som er bunnpunktet på grafen.

R2 vår 2026 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

6 poeng

Selskapet IntCom er en internettleverandør. Selskapet sørger for overføring av data mellom kundene og internett. Datatrafikken varierer gjennom døgnet. Tabellen nedenfor viser datatrafikken (gigabit per time) et døgn i mai.
TidspunktDatatrafikk(klokkeslett)(gigabit per time)00:0058 28002:0039 40006:0022 55008:0032 20012:0067 45016:0086 11020:00102 00722:0087 810 \begin{array}{r|r} \text{Tidspunkt} & \text{Datatrafikk} \\ \text{(klokkeslett)} & \text{(gigabit per time)} \\ \hline \text{00:00} & 58\,280 \\ \text{02:00} & 39\,400 \\ \text{06:00} & 22\,550 \\ \text{08:00} & 32\,200 \\ \text{12:00} & 67\,450 \\ \text{16:00} & 86\,110 \\ \text{20:00} & 102\,007 \\ \text{22:00} & 87\,810 \end{array}

Oppgave 1a)

Lag en god modell for datatrafikken S(t) S(t) gigabit per time, t t timer etter midnatt dette døgnet.
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Avrundet til tre gjeldende sifre:
S(t)≈ 37 200sin⁡(0,243t−2,96)+63 200‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} S(t) \approx\ &37\,200\sin(0{,}243t - 2{,}96) \\ &+ 63\,200 \end{aligned}}}
Datatrafikken går opp og ned gjennom døgnet, så vi lager en sinusmodell med sinusregresjon i GeoGebra.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre sinusregresjon. Øv heller på å lese av likevektslinje, amplitude og periode i en tabell, og på b) til d) med modellen \( D \) fra oppgaven, med kalkulator.
Metode: Med GeoGebra
1. Legg punktene inn i GeoGebra Vi regner klokkeslettene om til timer etter midnatt, så klokken 22:00 blir \( {t = 22}\text{.} \) Vi skriver tiden i kolonne A og datatrafikken i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)
2. Kjør sinusregresjon Sinusregresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{A}\text{,} \) \( \textcolor{green}{c}\text{,} \) \( \textcolor{darkorange}{\varphi} \) og \( \textcolor{blue}{d} \) i \[ S(t) = \textcolor{red}{A} \cdot \sin(\textcolor{green}{c}t + \textcolor{darkorange}{\varphi}) + \textcolor{blue}{d} \]som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. Vi velger sinusregresjon fra den samme lista som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der det er logistisk regresjon. GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: S(x) = RegSin(l1)
3. Skriv opp modellen GeoGebra skriver konstanten først. Tallene gir \( {\textcolor{red}{A} \approx \textcolor{red}{37\,213{,}66}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{c} \approx \textcolor{green}{0{,}2426}}\text{,} \) \( {\textcolor{darkorange}{\varphi} \approx \textcolor{darkorange}{-2{,}9556}} \) og \( {\textcolor{blue}{d} \approx \textcolor{blue}{63\,196{,}61}}\text{.} \)
Perioden er \( {\dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}} \approx 25{,}9} \) timer, nær et døgn, og grafen går nær alle punktene. Modellen passer derfor godt med at trafikken følger døgnet.
Videre i oppgaven skal du bruke modellen
D(t)=63 000+37 000⋅sin⁡(0,24t−3,0) D(t) = 63\,000 + 37\,000 \cdot \sin(0{,}24t - 3{,}0)
for datatrafikken D(t), D(t)\text{,} t t timer etter midnatt dette døgnet.

Oppgave 1b)

Når var datatrafikken ut fra selskapet mer enn 90 000 90\,000 gigabit per time ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Avrundet til to desimaler og til hele minutter:
15,91<t<22,18‾‾Fra kl. 15:54 til 22:11‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{15{,}91 < t < 22{,}18}} \\ &\underline{\underline{\text{Fra kl. 15:54 til 22:11}}} \end{aligned}
Vi skal finne når \( {D(t) > 90\,000}\text{.} \) Med kalkulator får vi sinus alene og finner vinklene der sinus er større enn tallet på høyre side.
Metode: Med kalkulator
1. Få sinus alene Vi trekker fra \( 63\,000 \) på begge sider av \( {D(t) > 90\,000} \) og deler med \( 37\,000\text{:} \) \[ \begin{aligned} 37\,000\sin(\textcolor{green}{0{,}24t - 3{,}0}) &> 27\,000 \\ \sin(\textcolor{green}{0{,}24t - 3{,}0}) &> \dfrac{27}{37} \end{aligned} \]
2. Finn vinklene på enhetssirkelen Vi kaller det som står inni sinus, \( \textcolor{green}{u}\text{.} \) Med kalkulatoren i radianer finner vi først én vinkel der sinus er \( \dfrac{27}{37}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{u_1} = \sin^{-1}\left(\dfrac{27}{37}\right) \approx 0{,}8179 \]Hvis du er usikker på å finne vinkelen med kalkulatoren, kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.
Sinus har samme verdi i \( {\pi - u_1}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{u_2} = \pi - \textcolor{green}{u_1} \approx 2{,}3237 \]Mellom \( u_1 \) og \( u_2 \) er sinus større enn \( \dfrac{27}{37}\text{,} \) fordi sinus har toppen sin i \( \dfrac{\pi}{2}\text{,} \) mellom dem.
3. Regn om til klokkeslett Løser vi \( {0{,}24t - 3{,}0 = u} \) for \( t\text{,} \) får vi \( {t = \dfrac{u + 3{,}0}{0{,}24}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} t_1 &= \dfrac{0{,}8179 + 3{,}0}{0{,}24} \approx 15{,}908 \\ t_2 &= \dfrac{2{,}3237 + 3{,}0}{0{,}24} \approx 22{,}182 \end{aligned} \]For \( t \) fra \( 0 \) til \( 24 \) går \( u \) fra \( {-3{,}0} \) til \( 2{,}76\text{,} \) så dette er det eneste tidsrommet i døgnet.
\( 0{,}908 \) timer er \( {0{,}908 \cdot 60 \approx 54} \) minutter, og \( 0{,}182 \) timer er omtrent \( 11 \) minutter. Datatrafikken var over \( 90\,000 \) gigabit per time fra omtrent klokken 15:54 til 22:11.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn skjæringspunktene med linja Vi skriver inn modellen og linja \( {y = 90\,000}\text{,} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter på grafen og linja, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: D(x) = 63000 + 37000*sin(0.24x - 3) g: y = 90000
Skjæringspunktene er \( {A \approx (15{,}908,\ 90\,000)} \) og \( {B \approx (22{,}1819,\ 90\,000)}\text{.} \) Grafen ligger over linja mellom dem, så datatrafikken var over \( 90\,000 \) gigabit per time fra omtrent klokken 15:54 til 22:11.

Oppgave 1c)

Når økte datatrafikken raskest, og hvor stor var denne økningen ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Målt i gigabit per time per time:
Raskest kl. 12:30‾‾D′(12,5)=8880‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Raskest kl. 12:30}}} \\ &\underline{\underline{D'(12{,}5) = 8880}} \end{aligned}
Økningen er den deriverte, så vi finner når \( D'(t) \) er størst. Vi deriverer sinusfunksjonen med kjerneregelen.
Metode: Med kalkulator
1. Deriver modellen Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\sin \textcolor{green}{u}\right)' = \cos \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.
Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{0{,}24t - 3{,}0}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{0{,}24}}\text{.} \) Konstanten \( 63\,000 \) har derivert \( 0\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} D'(t) &= 37\,000 \cdot \cos \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{0{,}24} \\ &= 8880\cos(\textcolor{green}{0{,}24t - 3{,}0}) \end{aligned} \]
2. Finn når den deriverte er størst Cosinus er størst, lik \( 1\text{,} \) når det som står inni, er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0{,}24t - 3{,}0 &= 0 \\ t &= 12{,}5 \end{aligned} \]For \( t \) fra \( 0 \) til \( 24 \) går det som står inni, fra \( {-3{,}0} \) til \( 2{,}76\text{,} \) og der er cosinus lik \( 1 \) bare når det er \( 0\text{.} \) Det er derfor det eneste toppunktet i døgnet.
Ved \( {t = 12{,}5} \) er økningen: \[ D'(12{,}5) = 8880 \cdot \cos 0 = 8880 \]\( {t = 12{,}5} \) er klokken 12:30. Datatrafikken økte raskest klokken 12:30, med \( 8880 \) gigabit per time per time.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn toppunktet på den deriverte Vi skriver inn modellen, deriverer den og finner toppunktet på grafen til \( D' \) mellom \( 0 \) og \( 24 \) med kommandoen Ekstremalpunkt, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:
Skriv inn i GeoGebra: D(x) = 63000 + 37000*sin(0.24x - 3) D'(x) = Derivert(D) E = Ekstremalpunkt(D', 0, 24)
Toppunktet er \( {E = (12{,}5,\ 8880)}\text{.} \) Datatrafikken økte raskest klokken 12:30, med \( 8880 \) gigabit per time per time.

Oppgave 1d)

Hvor stor del av den totale datamengden som IntCom overførte dette døgnet, ble overført i løpet av arbeidsdagen, det vil si mellom klokken 8 og klokken 16, ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1d
Svar
Avrundet til én desimal:
Omtrent 31,5 %‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 31{,}5\,\%}}
Datamengden er integralet av datatrafikken. Vi deler integralet fra 8 til 16 på integralet over hele døgnet.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp andelen Datatrafikken er gigabit per time, så datamengden i et tidsrom er integralet av \( D(t)\text{.} \) Andelen er: \[ \text{Andel} = \dfrac{\int_8^{16} D(t)\,dt}{\int_0^{24} D(t)\,dt} \]
2. Finn en antiderivert For sinus med kjernen \( {\textcolor{green}{k}t + b} \) forteller integrasjonsreglene oss at: \[ \begin{aligned} & \int \sin(\textcolor{green}{k}t + b)\,dt \\ &= -\dfrac{1}{\textcolor{green}{k}}\cos(\textcolor{green}{k}t + b) + C \end{aligned} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.
Med \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{0{,}24}} \) får vi antideriverten: \[ \begin{aligned} F(t) &= 63\,000t \\ &\quad - \dfrac{37\,000}{\textcolor{green}{0{,}24}}\cos(\textcolor{green}{0{,}24}t - 3{,}0) \end{aligned} \]
3. Regn ut integralene og andelen Med kalkulatoren i radianer får vi: \[ \begin{aligned} F(16) &\approx 905\,099{,}5 \\ F(8) &\approx 431\,336{,}9 \\ F(24) &\approx 1\,655\,077{,}9 \\ F(0) &\approx 152\,623{,}8 \end{aligned} \]Datamengdene i gigabit er da: \[ \begin{aligned} \int_8^{16} D(t)\,dt &= F(16) - F(8) \\ &\approx 473\,763 \\ \int_0^{24} D(t)\,dt &= F(24) - F(0) \\ &\approx 1\,502\,454 \end{aligned} \]
Andelen er da: \[ \text{Andel} \approx \dfrac{473\,763}{1\,502\,454} \approx 0{,}315 \]Omtrent \( 31{,}5\,\% \) av datamengden ble overført i arbeidsdagen.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut integralene i CAS Vi definerer modellen og regner ut de to integralene og forholdet mellom dem med \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: D(t) := 63000 + 37000*sin(0.24t - 3) Integral(D(t), t, 8, 16) Integral(D(t), t, 0, 24) Integral(D(t), t, 8, 16) / Integral(D(t), t, 0, 24)
Rad 2 og 3 gir datamengdene omtrent \( 473\,762{,}6 \) og \( 1\,502\,454{,}0 \) gigabit, og rad 4 gir forholdet omtrent \( 0{,}3153\text{.} \) Omtrent \( 31{,}5\,\% \) av datamengden ble overført i arbeidsdagen.

R2 vår 2026 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

3 poeng

Du får i oppdrag å lage en vase med form som på bildet nedenfor. Vasen skal romme omtrent 1,5 L 1{,}5\,\text{L} vann og ha høyde 20 cm. 20\,\text{cm}\text{.}
Bruk det du kan om omdreiningslegemer og trigonometri, til å lage en funksjon på formen
f(x)=A⋅sin⁡(cx+φ)+d f(x) = A \cdot \sin(cx + \varphi) + d
som ved omdreining gir en vase med denne formen.
Tegn grafen til funksjonen i et koordinatsystem der enhetene langs aksene er centimeter.
Husk å begrunne ditt valg av parameterne A, A\text{,} c, c\text{,} φ \varphi og d, d\text{,} og la funksjonsuttrykket komme tydelig fram i besvarelsen din.
Vis løsning på oppgave 4

Svar

Et mulig funksjonsuttrykk, med x x og f(x) f(x) i centimeter:
f(x)=sin⁡(3π20x−π2)+4,83‾‾ \underline{\underline{f(x) = \sin\left(\dfrac{3\pi}{20}x - \dfrac{\pi}{2}\right) + 4{,}83}}
Vi legger vasen ned langs førsteaksen, slik at \( f(x) \) er radien i høyden \( x\text{.} \) Formen på vasen gir \( c \) og \( \varphi\text{,} \) og volumet gir \( d\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Les av formen på vasen Vi lar førsteaksen gå gjennom midten av vasen, med bunnen i \( {x = 0} \) og kanten i \( {x = 20}\text{.} \) Vasen er da omdreiningslegemet vi får når grafen dreies rundt førsteaksen.
Fra bunnen og opp er vasen smal, bred, smal og bred igjen ved kanten. Radien går altså fra et bunnpunkt til et toppunkt, et bunnpunkt og et toppunkt. Det er tre halve perioder på \( 20\,\text{cm}\text{,} \) så perioden er: \[ \begin{aligned} p &= \dfrac{2}{3} \cdot 20 = \dfrac{40}{3} \\ \textcolor{green}{c} &= \dfrac{2\pi}{p} = \textcolor{green}{\dfrac{3\pi}{20}} \end{aligned} \]
Bunnen skal være et bunnpunkt. Sinus har bunnpunkt når det som står inni, er \( {-\dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) og i \( {x = 0} \) står det bare \( \textcolor{darkorange}{\varphi} \) inni: \[ \textcolor{darkorange}{\varphi} = \textcolor{darkorange}{-\dfrac{\pi}{2}} \]
2. Velg amplituden Vi velger \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{1}}\text{,} \) så radien går \( 1\,\text{cm} \) ut og inn fra middelradien \( \textcolor{blue}{d}\text{.} \)
3. Finn middelradien fra volumet Vasen skal romme \( {1{,}5\,\text{L} = 1500\,\text{cm}^3}\text{.} \) Volumformelen forteller oss at: \[ V = \pi \int_0^{20} \left(f(x)\right)^2 dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Omdreiningslegeme x-akse.
Vi kaller det som står inni sinus, \( u\text{,} \) så \( {f(x) = \textcolor{red}{A}\sin u + \textcolor{blue}{d}}\text{,} \) og ganger ut kvadratet: \[ \begin{aligned} & \left(\textcolor{red}{A}\sin u + \textcolor{blue}{d}\right)^2 \\ &= \textcolor{red}{A}^2\sin^2 u + 2\textcolor{red}{A}\textcolor{blue}{d}\sin u + \textcolor{blue}{d}^2 \end{aligned} \]Fra \( {x = 0} \) til \( {x = 20} \) går \( u \) fra \( {-\dfrac{\pi}{2}} \) til \( \dfrac{5\pi}{2}\text{.} \) Med \( {\sin^2 u = \dfrac{1 - \cos 2u}{2}} \) får vi: \[ \begin{aligned} \int_0^{20} \sin u\,dx &= \left[-\dfrac{\cos u}{\textcolor{green}{c}}\right]_0^{20} \\ &= 0 \\ \int_0^{20} \sin^2 u\,dx &= \left[\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2u}{4\textcolor{green}{c}}\right]_0^{20} \\ &= 10 \end{aligned} \]Leddene med \( \cos u \) og \( \sin 2u \) er \( 0 \) i begge endene. Det gir oss: \[ V = \pi\left(10\textcolor{red}{A}^2 + 20\textcolor{blue}{d}^2\right) \]
Med \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{1}} \) og \( {V = 1500} \) løser vi for \( \textcolor{blue}{d}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \pi\left(10 + 20\textcolor{blue}{d}^2\right) &= 1500 \\ 10 + 20\textcolor{blue}{d}^2 &= \dfrac{1500}{\pi} \approx 477{,}46 \\ 20\textcolor{blue}{d}^2 &\approx 467{,}46 \\ \textcolor{blue}{d}^2 &\approx 23{,}373 \\ \textcolor{blue}{d} &\approx \textcolor{blue}{4{,}83} \end{aligned} \]Vasen er da \( {2 \cdot (4{,}83 - 1) \approx 7{,}7\,\text{cm}} \) bred på det smaleste og \( {2 \cdot (4{,}83 + 1) \approx 11{,}7\,\text{cm}} \) på det bredeste. Det smaleste er omtrent to tredjedeler av det bredeste, som på bildet.
Kontroll: Med \( {d = 4{,}83} \) blir \( {V = \pi\left(10 + 20 \cdot 4{,}83^2\right)}\text{,} \) som er omtrent \( 1497\,\text{cm}^3 \) eller \( 1{,}5\,\text{L}\text{.} \)
4. Tegn grafen Funksjonen er: \[ f(x) = \textcolor{red}{1} \cdot \sin\left(\textcolor{green}{\dfrac{3\pi}{20}}x \textcolor{darkorange}{- \dfrac{\pi}{2}}\right) + \textcolor{blue}{4{,}83} \]Vi tegner den for \( x \) fra \( 0 \) til \( 20\text{,} \) med bunnpunkter i \( {x = 0} \) og \( {x = \dfrac{40}{3} \approx 13{,}3} \) og toppunkter i \( {x = \dfrac{20}{3} \approx 6{,}7} \) og \( {x = 20}\text{:} \)
Den stiplede kurven er \( {y = -f(x)}\text{,} \) så vi ser hele vasen liggende. Andre valg er også riktige, for eksempel \( {A = 1{,}5}\text{,} \) som gir \( {d \approx 4{,}77}\text{.} \)
Metode: Med GeoGebra
1. Finn middelradien og tegn grafen Med \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{\dfrac{3\pi}{20}}} \) og \( {\textcolor{darkorange}{\varphi} = \textcolor{darkorange}{-\dfrac{\pi}{2}}} \) fra formen lar vi CAS regne ut volumet som en funksjon av \( \textcolor{blue}{d} \) og løse \( {V(d) = 1500} \) med \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: V(d) := π*Integral((sin(3π/20*x - π/2) + d)^2, x, 0, 20) Løs(V(d) = 1500, d)
Middelradien er positiv, så \( {\textcolor{blue}{d} \approx \textcolor{blue}{4{,}83}}\text{.} \) Så tegner vi funksjonen fra \( 0 \) til \( 20\text{,} \) med speilbildet stiplet:
Skriv inn i GeoGebra: f(x) = Funksjon(sin(3π/20 x - π/2) + 4.83, 0, 20) g(x) = -f(x)
Funksjonen gir en vase som er \( 20\,\text{cm} \) høy og rommer omtrent \( 1{,}5\,\text{L}\text{.} \)

R2 høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 2

6 poeng

Tabellen nedenfor viser elektrisk spenning målt i en stikkontakt i Norge.
Sekunder etterat ma˚lingenestartet (t)Ma˚ltspenning (U)0,00201890,00503230,00702590,0100−2,120,0130−2610,0150−3270,0180−1890,02003,52 \begin{array}{r|r} \begin{array}{c} \text{Sekunder etter} \\ \text{at målingene} \\ \text{startet } (t) \end{array} & \begin{array}{c} \text{Målt} \\ \text{spenning } (U) \end{array} \\ \hline 0{,}0020 & 189 \\ 0{,}0050 & 323 \\ 0{,}0070 & 259 \\ 0{,}0100 & -2{,}12 \\ 0{,}0130 & -261 \\ 0{,}0150 & -327 \\ 0{,}0180 & -189 \\ 0{,}0200 & 3{,}52 \end{array}

Oppgave 2a)

Bestem en modell U U for spenningen U(t) U(t) volt (V) i stikkontakten t t sekunder etter at målingene startet.
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Med A, A\text{,} c c og d d avrundet til to desimaler og φ \varphi til fire:
U(t)≈−0,91+323,47sin⁡(314,81t−0,0026)‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} &U(t) \approx -0{,}91 \\ &+ 323{,}47\sin(314{,}81t - 0{,}0026) \end{aligned}}}
Spenningen går opp og ned periodisk, så vi lager en sinusmodell med sinusregresjon i GeoGebra.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre sinusregresjon. Øv heller på å lese av likevektslinje, amplitude og periode i en tabell, og på b) og c) med modellen fra a), med kalkulator.
Metode: Med GeoGebra
1. Legg punktene inn i GeoGebra Vi skriver tiden i kolonne A og spenningen i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)
2. Kjør sinusregresjon Sinusregresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{A}\text{,} \) \( \textcolor{green}{c}\text{,} \) \( \textcolor{darkorange}{\varphi} \) og \( \textcolor{blue}{d} \) i \[ U(t) = \textcolor{red}{A} \cdot \sin(\textcolor{green}{c}t + \textcolor{darkorange}{\varphi}) + \textcolor{blue}{d} \]som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. Vi velger sinusregresjon fra den samme lista som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der det er logistisk regresjon. GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: U(x) = RegSin(l1)
3. Skriv opp modellen GeoGebra skriver konstanten først. Tallene gir \( {\textcolor{red}{A} \approx \textcolor{red}{323{,}47}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{c} \approx \textcolor{green}{314{,}81}}\text{,} \) \( {\textcolor{darkorange}{\varphi} \approx \textcolor{darkorange}{-0{,}0026}} \) og \( {\textcolor{blue}{d} \approx \textcolor{blue}{-0{,}91}}\text{.} \)
Perioden er \( {\dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}} \approx 0{,}0200} \) sekunder, og grafen går nær alle punktene. Andre modeller som passer tabellen, er også riktige, for eksempel \( {U(t) = 325\sin(100\pi t)}\text{,} \) med amplituden og perioden lest av tabellen. Vi bruker denne modellen i b) og c).

Oppgave 2b)

På hvilke tidspunkter i løpet av de første 0,0200 0{,}0200 sekundene er spenningen 230 V 230\,\text{V} ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
Avrundet til fire desimaler er spenningen 230 V 230\,\text{V} ved
t≈0,0025 s og t≈0,0075 s‾‾ \underline{\underline{t \approx 0{,}0025\,\text{s} \ \text{og} \ t \approx 0{,}0075\,\text{s}}}
Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi skal løse \( {U(t) = 230}\text{.} \) Med kalkulator får vi sinus alene og finner de to vinklene der sinus har den verdien.
Metode: Med kalkulator
1. Få sinus alene I a) fant vi modellen. Vi kaller det som står inni sinus, \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{314{,}81t - 0{,}0026}}\text{:} \) \[ U(t) = \textcolor{red}{323{,}47}\sin \textcolor{green}{u} \textcolor{blue}{- 0{,}91} \]
Vi setter \( {U(t) = 230}\text{,} \) legger til \( \textcolor{blue}{0{,}91} \) og deler med \( \textcolor{red}{323{,}47}\text{:} \) \[ \sin \textcolor{green}{u} = \dfrac{230 + \textcolor{blue}{0{,}91}}{\textcolor{red}{323{,}47}} \approx 0{,}7139 \]
2. Finn vinklene Med kalkulatoren i radianer finner vi først én vinkel der sinus er \( 0{,}7139\text{:} \) \[ \textcolor{green}{u_1} = \sin^{-1}(0{,}7139) \approx 0{,}7951 \]Hvis du er usikker på å finne vinkelen med kalkulatoren, kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.
Sinus har samme verdi i \( {\pi - u_1}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{u_2} = \pi - \textcolor{green}{u_1} \approx 2{,}3465 \]Fra \( {t = 0} \) til \( {t = 0{,}0200} \) går \( \textcolor{green}{u} \) fra \( {-0{,}0026} \) til omtrent \( 6{,}29\text{,} \) én periode. Den neste vinkelen, \( {u_1 + 2\pi \approx 7{,}08}\text{,} \) er for stor.
3. Regn om til tid Løser vi \( {314{,}81t - 0{,}0026 = u} \) for \( t\text{,} \) får vi \( {t = \dfrac{u + 0{,}0026}{314{,}81}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} t_1 &= \dfrac{\textcolor{green}{0{,}7951} + 0{,}0026}{314{,}81} \approx 0{,}0025 \\ t_2 &= \dfrac{\textcolor{green}{2{,}3465} + 0{,}0026}{314{,}81} \approx 0{,}0075 \end{aligned} \]Spenningen er \( 230\,\text{V} \) etter omtrent \( 0{,}0025 \) og \( 0{,}0075 \) sekunder.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS Vi skriver modellen fra svaret i a) inn i CAS. Grafen i a) går gjennom \( 230 \) to ganger i den første perioden, nær \( {t = 0{,}0025} \) og \( {t = 0{,}0075}\text{.} \) Vi bruker dem som startverdier i NLøs:
Skriv inn i GeoGebra: U(t) := -0.91 + 323.47*sin(314.81t - 0.0026) NLøs(U(t) = 230, t = 0.0025) NLøs(U(t) = 230, t = 0.0075)
Rad 2 og 3 gir \( {t \approx 0{,}0025} \) og \( {t \approx 0{,}0075}\text{.} \)
Nettspenningen i Norge (den elektriske spenningen i vanlige stikkontakter) er 230 V. 230\,\text{V}\text{.}
Truls lurer på om målingene som er gjort, kan være riktige. Han finner ut at spenningen i kontakten er en vekselspenning. Det betyr at spenningen varierer periodisk med tiden. Når spenningen oppgis å være 230 V, 230\,\text{V}\text{,} er dette noe som kalles effektivverdien til spenningen og er gitt ved
Ueffektiv=1T∫0T(U(t))2 dt U_{\text{effektiv}} = \sqrt{\dfrac{1}{T}\int_0^T \big(U(t)\big)^2\,dt}
der T T er perioden til funksjonen U. U\text{.}

Oppgave 2c)

Bruk modellen fra oppgave a og formelen ovenfor til å hjelpe Truls med å avgjøre om målingene kan være riktige.
Vis løsning på oppgave 2c
Svar
Effektivverdien til modellen er omtrent 228,7 V, 228{,}7\,\text{V}\text{,} svært nær 230 V: 230\,\text{V}\text{:}
Ma˚lingene kan stemme‾‾ \underline{\underline{\text{Målingene kan stemme}}}
Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi setter modellen inn i formelen og integrerer over én periode. Blir effektivverdien omtrent \( 230\,\text{V}\text{,} \) kan målingene være riktige.
Metode: Med kalkulator
1. Integrer kvadratet av modellen I a) fant vi modellen. Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{314{,}81t - 0{,}0026}} \) er den: \[ U(t) = \textcolor{red}{323{,}47}\sin \textcolor{green}{u} \textcolor{blue}{- 0{,}91} \]
Vi kaller \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{323{,}47}} \) og \( {\textcolor{blue}{d} = \textcolor{blue}{-0{,}91}}\text{,} \) og perioden er \( {T = \dfrac{2\pi}{314{,}81}}\text{.} \) Med første kvadratsetning, \( {(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \big(U(t)\big)^2 = \ &\textcolor{red}{A}^2\sin^2 \textcolor{green}{u} + 2\textcolor{red}{A}\textcolor{blue}{d}\sin \textcolor{green}{u} \\ &+ \textcolor{blue}{d}^2 \end{aligned} \]
Over en hel periode er integralet av \( \sin u \) lik \( 0\text{,} \) fordi arealet over og under aksen er like store. For \( \sin^2 u \) bruker vi formelen for dobbel vinkel: \[ \sin^2 u = \dfrac{1 - \cos 2u}{2} \]
Integralet av \( \cos 2u \) over en hel periode er også \( 0\text{,} \) så \( \sin^2 u \) gir \( \dfrac{T}{2}\text{:} \) \[ \int_0^T \big(U(t)\big)^2\,dt = \textcolor{red}{A}^2 \cdot \dfrac{T}{2} + \textcolor{blue}{d}^2 \cdot T \]
2. Regn ut effektivverdien Vi deler på \( T \) og tar kvadratroten. \( T \) forkortes bort: \[ \begin{aligned} U_{\text{effektiv}} &= \sqrt{\dfrac{\textcolor{red}{A}^2}{2} + \textcolor{blue}{d}^2} \\ &= \sqrt{\dfrac{\textcolor{red}{323{,}47}^2}{2} + (\textcolor{blue}{-0{,}91})^2} \\ &\approx 228{,}7 \end{aligned} \]
Effektivverdien til modellen er omtrent \( 228{,}7\,\text{V}\text{,} \) bare \( 1{,}3\,\text{V} \) under \( 230\,\text{V}\text{.} \) Målingene kan altså være riktige.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut effektivverdien i CAS Vi skriver modellen fra svaret i a) og perioden inn i CAS, og regner ut formelen med \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: U(t) := -0.91 + 323.47*sin(314.81t - 0.0026) T := 2π/314.81 sqrt(1/T*Integral(U(t)^2, t, 0, T))
Rad 3 gir \( {U_{\text{effektiv}} \approx 228{,}7\,\text{V}}\text{,} \) svært nær \( 230\,\text{V}\text{,} \) så målingene kan være riktige.

R2 vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 4

6 poeng

En funksjon f f er gitt ved
f(x)=2⋅3⋅sin⁡(2x+π6)Df=⟨0,π2⟩ \begin{aligned} &f(x) = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right) \\ &D_f = \left\langle 0, \dfrac{\pi}{2} \right\rangle \end{aligned}

Oppgave 4a)

Bestem amplituden, likevektslinja, perioden og faseforskyvningen.
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Faseforskyvningen flytter grafen π12 \dfrac{\pi}{12} mot venstre:
Amplitude: 23‾‾Likevektslinje: y=0‾‾Periode: π‾‾Faseforskyvning: φ=π6‾‾Forskyvning: π12 mot venstre‾‾ \begin{aligned} \text{Amplitude:}\ & \underline{\underline{2\sqrt{3}}} \\ \text{Likevektslinje:}\ & \underline{\underline{y = 0}} \\ \text{Periode:}\ & \underline{\underline{\pi}} \\ \text{Faseforskyvning:}\ & \underline{\underline{\varphi = \dfrac{\pi}{6}}} \\ \text{Forskyvning:}\ & \underline{\underline{\dfrac{\pi}{12} \text{ mot venstre}}} \end{aligned}
Vi sammenligner \( f \) med den generelle sinusfunksjonen og leser av konstantene.
1. Sammenlign med den generelle formen Den generelle sinusfunksjonen er: \[ f(x) = \textcolor{red}{A}\sin(\textcolor{green}{c}x + \textcolor{darkorange}{\varphi}) + \textcolor{blue}{d} \]
Her er \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{2\sqrt{3}}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{2}}\text{,} \) \( {\textcolor{darkorange}{\varphi} = \textcolor{darkorange}{\dfrac{\pi}{6}}} \) og \( {\textcolor{blue}{d} = \textcolor{blue}{0}}\text{.} \)
2. Les av egenskapene Amplituden er \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{2\sqrt{3}}}\text{,} \) og likevektslinja er \( {y = \textcolor{blue}{d}}\text{,} \) altså \( {y = \textcolor{blue}{0}}\text{.} \) Sammenhengen mellom perioden og \( \textcolor{green}{c} \) er: \[ p = \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}} = \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{2}} = \pi \]
Faseforskyvningen er \( {\textcolor{darkorange}{\varphi} = \textcolor{darkorange}{\dfrac{\pi}{6}}}\text{.} \) Den flytter grafen \( \dfrac{\pi}{12} \) mot venstre, fordi \( {2x + \dfrac{\pi}{6} = 2\left(x + \dfrac{\pi}{12}\right)}\text{.} \)

Oppgave 4b)

Løs likningen
f(x)=3 f(x) = \sqrt{3}
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
x=π3‾‾ \underline{\underline{x = \dfrac{\pi}{3}}}
Vi deler på \( 2\sqrt{3} \) og får en likning med sinus. Så finner vi vinklene der sinus er \( \dfrac{1}{2}\text{,} \) og ser hvilke som gir en \( x \) i definisjonsmengden.
1. Isoler sinus Vi deler begge sider på \( 2\sqrt{3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\sqrt{3}\sin\left(\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{6}}\right) &= \sqrt{3} \\ \sin\left(\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{6}}\right) &= \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]
2. Finn vinklene Når \( x \) ligger i \( {\left\langle 0, \dfrac{\pi}{2} \right\rangle}\text{,} \) ligger \( {\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{6}}} \) i \( {\left\langle \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{7\pi}{6} \right\rangle}\text{.} \)
Fra de eksakte verdiene vet vi at \( {\sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Sinus har samme verdi i \( {\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.
\( \dfrac{\pi}{6} \) er ikke med i intervallet, fordi \( {x = 0} \) ikke er med, og vinklene en hel runde senere er større enn \( \dfrac{7\pi}{6}\text{.} \) Den eneste løsningen er altså: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{6}} &= \dfrac{5\pi}{6} \\ 2x &= \dfrac{4\pi}{6} \\ x &= \dfrac{\pi}{3} \end{aligned} \]
En funksjon g g er gitt ved
g(x)=3sin⁡(2x)+3cos⁡(2x)Dg=⟨0,2π⟩ \begin{aligned} &g(x) = 3\sin(2x) + \sqrt{3}\cos(2x) \\ &D_g = \langle 0, 2\pi \rangle \end{aligned}

Oppgave 4c)

Løs likningen
g(x)=3 g(x) = \sqrt{3}
Vis løsning på oppgave 4c
Svar
x=π3 ∨ x=π ∨ x=4π3‾‾ \underline{\underline{x = \dfrac{\pi}{3} \ \vee\ x = \pi \ \vee\ x = \dfrac{4\pi}{3}}}
Vi skriver \( g \) om til én sinusfunksjon. Da ser vi at \( g \) har samme uttrykk som \( f\text{,} \) og vi kan bruke vinklene fra b) på et større intervall.
1. Skriv g som én sinusfunksjon En sum av sinus og cosinus med samme \( c \) kan skrives som én sinusfunksjon: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{a}\sin(cx) + \textcolor{blue}{b}\cos(cx) \\ &= A\sin(cx + \textcolor{darkorange}{\varphi}) \end{aligned} \]der \( {A = \sqrt{\textcolor{red}{a}^2 + \textcolor{blue}{b}^2}} \) og \( {\tan \textcolor{darkorange}{\varphi} = \dfrac{\textcolor{blue}{b}}{\textcolor{red}{a}}}\text{,} \) med \( \textcolor{darkorange}{\varphi} \) i samme kvadrant som punktet \( (\textcolor{red}{a}, \textcolor{blue}{b})\text{.} \)
Her er \( {\textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{3}} \) og \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{\sqrt{3}}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} A &= \sqrt{\textcolor{red}{3}^2 + (\textcolor{blue}{\sqrt{3}})^2} \\ &= \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \\ \tan \textcolor{darkorange}{\varphi} &= \dfrac{\textcolor{blue}{\sqrt{3}}}{\textcolor{red}{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \end{aligned} \]
Punktet \( (\textcolor{red}{3}, \textcolor{blue}{\sqrt{3}}) \) ligger i første kvadrant, så \( {\textcolor{darkorange}{\varphi} = \textcolor{darkorange}{\dfrac{\pi}{6}}}\text{.} \) Det gir: \[ g(x) = 2\sqrt{3}\sin\left(2x + \textcolor{darkorange}{\dfrac{\pi}{6}}\right) \]Dette er det samme uttrykket som \( f(x)\text{,} \) men på intervallet \( \langle 0, 2\pi \rangle\text{.} \)
2. Løs likningen Som i b) blir likningen \( {\sin\left(\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{6}}\right) = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Sinus er \( \dfrac{1}{2} \) i \( \dfrac{\pi}{6} \) og \( \dfrac{5\pi}{6}\text{,} \) og igjen hver gang vi legger til en hel runde, \( 2\pi\text{,} \) som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.
Den første vinkelen gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{6}} &= \dfrac{\pi}{6} + n \cdot 2\pi \\ x &= n \cdot \pi \end{aligned} \]
Den andre vinkelen gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{6}} &= \dfrac{5\pi}{6} + n \cdot 2\pi \\ x &= \dfrac{\pi}{3} + n \cdot \pi \end{aligned} \]der \( n \) er et helt tall.
I \( \langle 0, 2\pi \rangle \) gir den første bare \( {x = \pi}\text{,} \) fordi \( 0 \) og \( 2\pi \) ikke er med. Den andre gir \( {x = \dfrac{\pi}{3}} \) og \( {x = \dfrac{\pi}{3} + \pi = \dfrac{4\pi}{3}}\text{.} \)

R2 høst 2024 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 5

4 poeng

Figuren viser grafen til funksjonen
f(x)=2⋅sin⁡(π4x−π2)−1 f(x) = 2 \cdot \sin\left(\dfrac{\pi}{4}x - \dfrac{\pi}{2}\right) - 1

Oppgave 5a)

Bestem en funksjon på formen g(x)=A⋅cos⁡(cx+φ)+d, {g(x) = A \cdot \cos(cx + \varphi) + d}\text{,} som passer til grafen.
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
g(x)=2cos⁡(π4x−π)−1‾‾ \underline{\underline{g(x) = 2\cos\left(\dfrac{\pi}{4}x - \pi\right) - 1}}
Vi leser av toppunktene og bunnpunktene på grafen. Av dem finner vi likevektslinja, amplituden og perioden, og til slutt \( \varphi \) slik at cosinus har toppunkt der grafen har det.
1. Les av grafen Grafen har toppunkter med \( {y = 1} \) og bunnpunkter med \( {y = -3}\text{.} \) Likevektslinja \( \textcolor{blue}{d} \) ligger midt mellom, og amplituden \( \textcolor{red}{A} \) er avstanden derfra til toppen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{d} &= \dfrac{1 + (-3)}{2} = \textcolor{blue}{-1} \\ \textcolor{red}{A} &= \dfrac{1 - (-3)}{2} = \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]
2. Finn perioden Toppunktene ligger i \( {x = 4} \) og \( {x = 12}\text{,} \) så perioden er \( {p = 8}\text{.} \) Sammenhengen mellom perioden og \( \textcolor{green}{c} \) er: \[ p = \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}} \quad \Rightarrow \quad \textcolor{green}{c} = \dfrac{2\pi}{8} = \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{4}} \]
3. Finn φ \( \cos u \) har toppunkt når \( {u = 0}\text{.} \) Grafen har toppunkt i \( {x = 4}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{4}} \cdot 4 + \varphi &= 0 \\ \varphi &= -\pi \end{aligned} \]

Oppgave 5b)

Løs likningen cos⁡(π4x−π)=12, {\cos\left(\dfrac{\pi}{4}x - \pi\right) = \dfrac{1}{2}}\text{,} der x∈[0,3π]. x \in [0, 3\pi]\text{.} Forklar hvor på figuren løsningene ligger.
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
x=83 ∨ x=163‾‾ \underline{\underline{x = \dfrac{8}{3} \ \vee\ x = \dfrac{16}{3}}}
Løsningene er nullpunktene til f, f\text{,} der grafen skjærer x x -aksen, ved x≈2,67 {x \approx 2{,}67} og x≈5,33. {x \approx 5{,}33}\text{.}
Vi bruker funksjonen fra a), \( {g(x) = 2\cos\left(\dfrac{\pi}{4}x - \pi\right) - 1}\text{,} \) som er den samme som \( f\text{.} \)
Vi kaller det som står inni cosinus for \( u\text{,} \) og finner vinklene med cosinus \( \dfrac{1}{2} \) på enhetssirkelen. Til slutt ser vi hva likningen betyr for \( g\text{.} \)
1. Finn vinklene Vi kaller \( {\textcolor{red}{u = \dfrac{\pi}{4}x - \pi}}\text{.} \) Fra de eksakte verdiene vet vi at \( {\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Cosinus har samme verdi i \( {-\dfrac{\pi}{3}}\text{,} \) og gjentar seg for hver hele runde: \[ \textcolor{red}{u} = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \vee \quad \textcolor{red}{u} = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \]Hvis du er usikker på \( 2\pi k\text{,} \) kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.
2. Løs for x Vi legger til \( \pi \) og ganger med \( \dfrac{4}{\pi} \) i begge likningene: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\dfrac{\pi}{4}x - \pi} &= \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \\ x &= \dfrac{16}{3} + 8k \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\dfrac{\pi}{4}x - \pi} &= -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \\ x &= \dfrac{8}{3} + 8k \end{aligned} \]
\( {3\pi \approx 9{,}42}\text{.} \) Med \( {k = 0} \) får vi \( {x = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67} \) og \( {x = \dfrac{16}{3} \approx 5{,}33}\text{.} \) \( {k = 1} \) gir \( {\dfrac{8}{3} + 8 \approx 10{,}67}\text{,} \) som er for stort, og negative \( k \) gir negative \( x\text{.} \)
3. Finn løsningene på figuren Setter vi \( {\cos\left(\dfrac{\pi}{4}x - \pi\right) = \dfrac{1}{2}} \) inn i \( g \) fra a), får vi: \[ g(x) = 2 \cdot \dfrac{1}{2} - 1 = 0 \]Løsningene er altså nullpunktene til \( f\text{,} \) der grafen skjærer \( x \)-aksen, før og etter toppunktet i \( {x = 4}\text{.} \)

R2 høst 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

6 poeng

Anders og Ivana har kjøpt seg russebil. De skal kjøre bilen til en garasje, men på turen begynner motoren å fuske. Farten v v følger funksjonen
v(t)=−6sin⁡(360t−π2)+54 v(t) = -6\sin\left(360t - \dfrac{\pi}{2}\right) + 54
Her er v v gitt i km/t, og t t er antall timer etter at motoren har begynt å fuske.

Oppgave 4a)

Bestem det første tidspunktet gjennomsnittsfarten blir 54 km/t. 54\,\text{km/t}\text{.}
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Det første tidspunktet er
t=π360 h≈31,4 s‾‾ \underline{\underline{t = \dfrac{\pi}{360}\,\text{h} \approx 31{,}4\,\text{s}}}
Gjennomsnittsfarten fra \( 0 \) til \( x \) er strekningen delt på tiden, og strekningen er integralet av farten. Vi setter gjennomsnittet lik \( 54 \) og løser for \( x\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Regn ut strekningen Strekningen fra \( 0 \) til \( x \) er integralet av farten. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Hva er integrasjon. For sinus med en kjerne \( {\textcolor{blue}{n}t + b} \) gjelder: \[ \begin{aligned} &\int \sin(\textcolor{blue}{n}t + b)\,dt \\ &= -\dfrac{1}{\textcolor{blue}{n}}\cos(\textcolor{blue}{n}t + b) + C \end{aligned} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.
Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{360}}\text{,} \) så \( {-6 \cdot \left(-\dfrac{1}{\textcolor{blue}{360}}\right) = \dfrac{1}{60}}\text{.} \) Vi bruker også at \( {\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} s(x) &= \left[\dfrac{1}{60}\cos\left(360t - \dfrac{\pi}{2}\right) + 54t\right]_0^x \\ &= \dfrac{1}{60}\cos\left(\textcolor{red}{360x - \dfrac{\pi}{2}}\right) + 54x \end{aligned} \]
2. Sett gjennomsnittet lik 54 Gjennomsnittsfarten er strekningen delt på tiden \( x\text{:} \) \[ \dfrac{s(x)}{x} = \dfrac{1}{60x}\cos\left(\textcolor{red}{360x - \dfrac{\pi}{2}}\right) + 54 \]Den er \( 54 \) når brøken er \( 0\text{,} \) altså når \( {\cos\left(\textcolor{red}{360x - \dfrac{\pi}{2}}\right) = 0}\text{.} \)
3. Finn det første tidspunktet Cosinus er \( 0 \) i \( {\pm\dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) og så for hver \( \pi\text{.} \) \( {x = 0} \) gir \( {-\dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) så den første \( {x > 0} \) gir \( \dfrac{\pi}{2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{360x - \dfrac{\pi}{2}} &= \dfrac{\pi}{2} \\ x &= \dfrac{\pi}{360} \approx 0{,}008\,73 \end{aligned} \]Kalkulatoren må stå i radianer, fordi \( 360t \) er en vinkel i radianer. Det er \( {0{,}008\,73 \cdot 3600 \approx 31{,}4} \) sekunder.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS Vi definerer farten og løser likningen for gjennomsnittsfarten med NLøs og en startverdi:
Skriv inn i GeoGebra: v(t) := -6sin(360t - π/2) + 54 NLøs(1/x Integral(v(t), t, 0, x) = 54, x = 0.01)
Rad 2 gir \( {x \approx 0{,}0087} \) timer, som er omtrent \( 31 \) sekunder.

Oppgave 4b)

På hvilke tidspunkt har bilen størst akselerasjon når den kjører med farten v? v\text{?} Hvor stor er denne akselerasjonen?
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Akselerasjonen er størst for t=π240+π180k, {t = \dfrac{\pi}{240} + \dfrac{\pi}{180}k}\text{,} k=0,1,2,… {k = 0, 1, 2, \dots} (første gang etter omtrent 47 47 sekunder), og den er
2160 km/t2‾‾ \underline{\underline{2160\,\text{km/t}^2}}
Akselerasjonen er den deriverte av farten. Den deriverte blir en cosinusfunksjon, og den er størst når cosinus er \( {-1}\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Deriver farten Vi bruker kjerneregelen med kjernen \( {360t - \dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) som har derivert \( 360\text{.} \) Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen. Sinus derivert er cosinus: \[ \begin{aligned} a(t) &= v'(t) \\ &= -6\cos\left(360t - \dfrac{\pi}{2}\right) \cdot 360 \\ &= -2160\cos\left(\textcolor{red}{360t - \dfrac{\pi}{2}}\right) \end{aligned} \]
2. Finn når akselerasjonen er størst Cosinus er minst \( {-1}\text{,} \) så den største verdien er \( {-2160 \cdot (-1) = 2160}\text{.} \) Cosinus er \( {-1} \) i \( \pi\text{,} \) og så for hver hele runde: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{360t - \dfrac{\pi}{2}} &= \pi + 2\pi k \\ t &= \dfrac{\pi}{240} + \dfrac{\pi}{180}k \end{aligned} \]der \( {k = 0, 1, 2, \dots}\text{,} \) siden \( {t \ge 0}\text{.} \)
Den første gangen er \( {t = \dfrac{\pi}{240} \approx 0{,}0131} \) timer, eller omtrent \( 47 \) sekunder. Så kommer den igjen etter hver periode på \( {\dfrac{\pi}{180} \approx 0{,}0175} \) timer, omtrent \( 63 \) sekunder.
Når bilen begynner å fuske, er det 2 km 2\,\text{km} til garasjen som bilen skal parkeres i.

Oppgave 4c)

Hvor lenge må Anders og Ivana kjøre for å komme til garasjen, når bilen kjører med farten v? v\text{?}
Vis løsning på oppgave 4c
Svar
Avrundet til to desimaler må de kjøre i
t≈2,21 min‾‾ \underline{\underline{t \approx 2{,}21\,\text{min}}}
Vi bruker strekningen fra a): \[ s(x) = \dfrac{1}{60}\cos\left(360x - \dfrac{\pi}{2}\right) + 54x \]
Vi setter strekningen lik \( 2 \) km og løser for tiden. Likningen blander cosinus og \( x\text{,} \) så vi løser den med GeoGebra.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke løse denne likningen. Øv heller på å sette opp strekningen som integralet av farten, og på et overslag: farten svinger rundt \( 54\,\text{km/t}\text{,} \) så tiden er omtrent \( {\dfrac{2}{54}\,\text{h} \approx 2{,}2} \) minutter.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS Farten er alltid mellom \( 48 \) og \( 60\,\text{km/t}\text{,} \) så bilen kjører hele tiden framover, og strekningen er integralet av farten, som i videoen Hva er integrasjon. Vi skal finne tiden \( x \) der: \[ \textcolor{red}{S(x)} = \int_0^x v(t)\,dt = \textcolor{blue}{2} \]
Vi fortsetter i CAS fra a), definerer strekningen og løser \( {\textcolor{red}{S(x)} = \textcolor{blue}{2}} \) med en startverdi:
Skriv inn i GeoGebra: S(x) := Integral(v(t), t, 0, x) NLøs(S(x) = 2, x = 0.04)
Rad 3 gir \( {\dfrac{1}{60}\sin(360x) + 54x}\text{,} \) det samme som \( s(x) \) fra a), og rad 4 gir \( {x \approx 0{,}0368} \) timer. Det er \( {0{,}036\,84 \cdot 60 \approx 2{,}21} \) minutter, eller omtrent \( 2 \) minutter og \( 13 \) sekunder.

R2 vår 2024 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

2 poeng

Regn ut integralet.
∫sin⁡3(x)⋅cos⁡(x) dx \int \sin^3(x) \cdot \cos(x)\,dx
Vis løsning på oppgave 2

Svar

∫sin⁡3x⋅cos⁡x dx=sin⁡4x4+C‾‾ \underline{\underline{\int \sin^3 x \cdot \cos x\,dx = \dfrac{\sin^4 x}{4} + C}}
Vi ser at \( \cos x \) er den deriverte av \( \sin x\text{.} \) Vi bruker derfor substitusjon med \( {u = \sin x}\text{.} \)
1. Velg kjernen Vi setter \( {\textcolor{blue}{u = \sin x}}\text{.} \) Da er: \[ \dfrac{du}{dx} = \cos x \quad \Rightarrow \quad \textcolor{red}{du = \cos x\,dx} \]Hvis du er usikker på substitusjon, kan du se videoen Substitusjon.
2. Integrer og sett tilbake Vi bytter ut \( \sin x \) med \( \textcolor{blue}{u} \) og \( \cos x\,dx \) med \( \textcolor{red}{du}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int \sin^3 x \cdot \cos x\,dx &= \int \textcolor{blue}{u}^3\,\textcolor{red}{du} \\ &= \dfrac{\textcolor{blue}{u}^4}{4} + C \\ &= \dfrac{\sin^4 x}{4} + C \end{aligned} \]

R2 vår 2024 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 5

4 poeng

Funksjonen f f er gitt ved
f(x)=2⋅sin⁡(π6x−π3)−1 f(x) = 2 \cdot \sin\left(\dfrac{\pi}{6}x - \dfrac{\pi}{3}\right) - 1
Df=⟨0,20⟩ D_f = \langle 0, 20 \rangle

Oppgave 5a)

Løs likningen f(x)=0. {f(x) = 0}\text{.}
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
x=3 ∨ x=7‾‾ \underline{\underline{x = 3 \ \vee\ x = 7}}
x=15 ∨ x=19‾‾ \underline{\underline{x = 15 \ \vee\ x = 19}}
Vi får sinus alene på den ene siden, og kaller det som står inni sinus for \( u\text{.} \) Vinklene med sinus \( \dfrac{1}{2} \) finner vi på enhetssirkelen.
1. Få sinus alene Vi legger til \( 1 \) og deler på \( 2\text{:} \) \[ \sin\left(\textcolor{red}{\dfrac{\pi}{6}x - \dfrac{\pi}{3}}\right) = \dfrac{1}{2} \]
2. Finn vinklene Vi kaller \( {\textcolor{red}{u = \dfrac{\pi}{6}x - \dfrac{\pi}{3}}}\text{.} \) Fra de eksakte verdiene vet vi at \( {\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Sinus har samme verdi i \( {\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}}\text{,} \) og gjentar seg for hver hele runde: \[ \textcolor{red}{u} = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \vee \quad \textcolor{red}{u} = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k \]Hvis du er usikker på den andre vinkelen, kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.
3. Løs for x Vi legger til \( \dfrac{\pi}{3} \) og ganger med \( \dfrac{6}{\pi}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\dfrac{\pi}{6}x - \dfrac{\pi}{3}} &= \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \\ \dfrac{\pi}{6}x &= \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \\ x &= 3 + 12k \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\dfrac{\pi}{6}x - \dfrac{\pi}{3}} &= \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k \\ \dfrac{\pi}{6}x &= \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi k \\ x &= 7 + 12k \end{aligned} \]
I \( \langle 0, 20 \rangle \) gir \( {k = 0} \) løsningene \( 3 \) og \( 7\text{,} \) og \( {k = 1} \) gir \( 15 \) og \( 19\text{.} \) \( {k = -1} \) gir negative \( x\text{,} \) og \( {k = 2} \) gir \( x \) over \( 20\text{.} \)

Oppgave 5b)

Finn amplituden, likevektslinja, perioden og forskyvningen langs likevektslinja.
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
Amplitude:2‾‾Likevektslinje:y=−1‾‾Periode:12‾‾Forskyvning:2 mot høyre‾‾ \begin{aligned} \text{Amplitude}&\text{:} \quad \underline{\underline{2}} \\ \text{Likevektslinje}&\text{:} \quad \underline{\underline{y = -1}} \\ \text{Periode}&\text{:} \quad \underline{\underline{12}} \\ \text{Forskyvning}&\text{:} \quad \underline{\underline{2 \text{ mot høyre}}} \end{aligned}
Vi sammenligner med den generelle formen \( {A\sin(c(x - x_0)) + d}\text{,} \) og leser av hver størrelse.
1. Skriv om funksjonen Vi setter \( \dfrac{\pi}{6} \) utenfor en parentes inni sinus: \[ f(x) = \textcolor{red}{2}\sin\left(\textcolor{green}{\dfrac{\pi}{6}}(x - \textcolor{darkorange}{2})\right) \textcolor{blue}{- 1} \]
2. Les av størrelsene En sinusfunksjon \( {\textcolor{red}{A}\sin(\textcolor{green}{c}(x - \textcolor{darkorange}{x_0})) + \textcolor{blue}{d}} \) har: \[ \begin{aligned} \text{amplitude}&\text{:} \quad \textcolor{red}{A} \\ \text{likevektslinje}&\text{:} \quad y = \textcolor{blue}{d} \\ \text{periode}&\text{:} \quad \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}} \\ \text{forskyvning}&\text{:} \quad \textcolor{darkorange}{x_0} \end{aligned} \]
Her er perioden \( {\dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{\pi/6}} = 12}\text{,} \) og grafen er forskjøvet \( \textcolor{darkorange}{2} \) mot høyre langs likevektslinja.

R2 vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 3

6 poeng

En sensor skal slå på utelyset foran ytterdøra til et hus. Lyset blir slått på T(x) T(x) timer etter midnatt. T(x) T(x) er gitt ved
T(x)=4⋅sin⁡(0,0055π⋅x−0,5π)+19 T(x) = 4 \cdot \sin(0{,}0055\pi \cdot x - 0{,}5\pi) + 19
x x er antall dager etter 31. desember 2023 slik at x=1 {x = 1} svarer til 1. januar 2024. Tidspunktet sensoren slår på utelyset, varierer fra kl. 15:00 til kl. 23:00, og det varierer periodisk i løpet av et år. Den 1. april slår lyset seg på kl. 19:00.

Oppgave 3a)

Forklar hvordan de ulike verdiene i modellen T(x) T(x) passer med opplysningene gitt ovenfor.
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Midt mellom 15 og 23 er 19‾‾, \underline{\underline{19}}\text{,} halve forskjellen er amplituden 4‾‾, \underline{\underline{4}}\text{,} perioden 2π0,0055π≈364 dager‾‾ {\dfrac{2\pi}{0{,}0055\pi} \approx \underline{\underline{364 \text{ dager}}}} er omtrent ett år, og −0,5π {-0{,}5\pi} gjør at T(91)≈19‾‾, {\underline{\underline{T(91) \approx 19}}}\text{,} kl. 19:00 rundt 1. april.
Vi sammenligner med den generelle formen \( {\textcolor{red}{A}\sin(\textcolor{green}{c}x + \varphi) + \textcolor{blue}{d}}\text{,} \) og ser hva hver verdi betyr for tidspunktet.
Metode: For hånd
1. Likevektslinja og amplituden Tidspunktet varierer fra \( 15 \) til \( 23\text{.} \) Midt mellom ligger likevektslinja, og amplituden er avstanden derfra til toppen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{d} &= \dfrac{15 + 23}{2} = \textcolor{blue}{19} \\ \textcolor{red}{A} &= \dfrac{23 - 15}{2} = \textcolor{red}{4} \end{aligned} \]Det er tallene \( \textcolor{red}{4} \) og \( \textcolor{blue}{19} \) i modellen.
2. Perioden Perioden er \( \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}}\text{,} \) og her er \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{0{,}0055\pi}}\text{:} \) \[ \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{0{,}0055\pi}} \approx 364 \]Det er omtrent ett år, så tidspunktet gjentar seg hvert år.
3. Forskyvningen \( {-0{,}5\pi} \) bestemmer hvor i året vi starter. Sinus er \( 0\text{,} \) og \( {T = 19}\text{,} \) når det som står inni er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0{,}0055\pi x - 0{,}5\pi &= 0 \\ x &= \dfrac{0{,}5}{0{,}0055} \approx 91 \end{aligned} \]Siden 2024 er et skuddår, er \( {x = 31 + 29 + 31 = 91} \) den 31. mars. Lyset slår seg altså på kl. 19:00 rundt 1. april, som i teksten. Den 1. april, \( {x = 92}\text{,} \) gir \( {T(92) \approx 19{,}08}\text{,} \) omtrent kl. 19:05.

Oppgave 3b)

Når i 2024 vil tidspunktet da lyset slår seg på, flytte seg 3 3 minutter per dag?
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
Tidspunktet flytter seg 3 3 minutter per dag omtrent 16. februar‾‾, \underline{\underline{\text{16. februar}}}\text{,} 14. mai‾‾, \underline{\underline{\text{14. mai}}}\text{,} 16. august‾‾ \underline{\underline{\text{16. august}}} og 12. november‾‾. \underline{\underline{\text{12. november}}}\text{.}
Hvor mye tidspunktet flytter seg per dag, er den deriverte \( T'(x)\text{,} \) målt i timer per dag. \( 3 \) minutter er \( 0{,}05 \) timer, så vi løser \( {T'(x) = 0{,}05} \) og \( {T'(x) = -0{,}05}\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Deriver modellen Vi bruker kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen. Kjernen har derivert \( 0{,}0055\pi\text{,} \) og sinus derivert er cosinus: \[ \begin{aligned} T'(x) &= 4 \cdot 0{,}0055\pi \cdot \cos(\textcolor{red}{u}) \\ &= 0{,}022\pi\cos(\textcolor{red}{u}) \end{aligned} \]der \( {\textcolor{red}{u = 0{,}0055\pi x - 0{,}5\pi}}\text{.} \)
2. Løs likningene \( {T'(x) = \pm 0{,}05} \) gir: \[ \cos(\textcolor{red}{u}) = \pm\dfrac{0{,}05}{0{,}022\pi} \approx \pm 0{,}7234 \]
Kalkulatoren gir \( {\cos^{-1}(0{,}7234) \approx 0{,}7620}\text{,} \) og cosinus har samme verdi i \( {-0{,}7620}\text{.} \) For \( {-0{,}7234} \) er vinklene \( \pi \mp 0{,}7620\text{.} \) Hvis du er usikker på de to vinklene, kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.
I 2024 går \( \textcolor{red}{u} \) fra omtrent \( {-1{,}55} \) til \( 4{,}75\text{,} \) så vi får fire vinkler. Vi løser \( {x = \dfrac{\textcolor{red}{u} + 0{,}5\pi}{0{,}0055\pi}} \) for hver: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} = -0{,}7620&\text{:} \quad x \approx 46{,}8 \\ \textcolor{red}{u} = 0{,}7620&\text{:} \quad x \approx 135{,}0 \\ \textcolor{red}{u} = \pi - 0{,}7620&\text{:} \quad x \approx 228{,}6 \\ \textcolor{red}{u} = \pi + 0{,}7620&\text{:} \quad x \approx 316{,}8 \end{aligned} \]
3. Gjør om til datoer Januar har \( 31 \) dager, februar \( 29\text{,} \) og så videre. \( {x \approx 47} \) er 16. februar, \( {x = 135} \) er 14. mai, \( {x \approx 229} \) er 16. august og \( {x \approx 317} \) er 12. november. I februar og mai kommer lyset \( 3 \) minutter senere for hver dag, i august og november \( 3 \) minutter tidligere.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningene i CAS Vi definerer modellen og den deriverte, og løser \( {T'(x) = \pm 0{,}05} \) med NLøs og fire startverdier:
Skriv inn i GeoGebra: T(x) := 4sin(0.0055π x - 0.5π) + 19 D(x) := Derivert(T(x), x) NLøs(D(x) = 0.05, x = 50) NLøs(D(x) = 0.05, x = 130) NLøs(D(x) = -0.05, x = 230) NLøs(D(x) = -0.05, x = 320)
Radene 3 til 6 gir de samme fire dagene som med kalkulatoren.

Oppgave 3c)

Når endrer dette tidspunktet seg raskest, og hvor stor er endringen da?
Vis løsning på oppgave 3c
Svar
Tidspunktet endrer seg raskest rundt
31. mars og 29. september‾‾ \underline{\underline{\text{31. mars og 29. september}}}
og da endrer det seg med 0,022π≈0,069 {0{,}022\pi \approx 0{,}069} timer, omtrent 4,1 4{,}1 minutter, per dag.
Vi bruker den deriverte fra b), \( {T'(x) = \textcolor{blue}{0{,}022\pi}\cos(\textcolor{red}{u})}\text{,} \) der \( {\textcolor{red}{u = 0{,}0055\pi x - 0{,}5\pi}}\text{.} \)
Endringen er størst når \( |T'(x)| \) er størst, altså når cosinus er \( 1 \) eller \( {-1}\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Finn når endringen er størst Cosinus er \( {\pm 1} \) når vinkelen \( \textcolor{red}{u} \) er \( 0 \) eller \( \pi\text{:} \) \[ \textcolor{red}{u} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{0{,}5\pi}{0{,}0055\pi} \approx 90{,}9 \]\[ \textcolor{red}{u} = \pi \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{1{,}5\pi}{0{,}0055\pi} \approx 272{,}7 \]\( {x \approx 91} \) er 31. mars, og \( {x \approx 273} \) er 29. september.
2. Regn ut endringen Da er \( {|T'(x)| = \textcolor{blue}{0{,}022\pi} \approx \textcolor{blue}{0{,}0691}} \) timer per dag. Ganget med \( 60 \) er det omtrent \( 4{,}1 \) minutter per dag. Rundt 31. mars kommer lyset senere for hver dag, og rundt 29. september tidligere.