Eksamensoppgaver etter tema

Sidelengdene minker med \( 0{,}1\,\text{m} \) for hver plate, så summen av dem er en aritmetisk rekke. Det største antallet plater finner vi ved at sidelengden må være positiv.

1. Sett opp rekken I en aritmetisk rekke er ledd nummer \( n\text{:} \) \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{5}} \) og \( {\textcolor{red}{d} = \textcolor{red}{-0{,}1}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} a_n &= \textcolor{blue}{5} + (n - 1) \cdot (\textcolor{red}{-0{,}1}) \\ &= 5{,}1 - 0{,}1n \end{aligned} \]

Summen av sidelengdene i meter er rekken: \[ 5 + 4{,}9 + 4{,}8 + \dots + (5{,}1 - 0{,}1n) \]

2. Finn det største antallet plater Hver treplate må ha en sidelengde større enn \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 5{,}1 - 0{,}1n &> 0 \\ n &< 51 \end{aligned} \]

Det største antallet er altså \( {n = 50}\text{.} \) Da er den øverste platen \( {a_{50} = 5{,}1 - 5 = 0{,}1\,\text{m}}\text{,} \) og rekken er: \[ 5 + 4{,}9 + 4{,}8 + \dots + 0{,}2 + 0{,}1 \]

Arealet blir ganget med det samme tallet for hver ny plate, så arealene danner en geometrisk rekke. Det samlede arealet kan ikke bli større enn summen av den uendelige rekken.

1. Finn kvotienten Når sidelengden blir \( 10\,\% \) kortere, blir den ganget med \( 0{,}9\text{.} \) Arealet er sidelengden i andre, så arealet blir ganget med: \[ \textcolor{red}{k} = 0{,}9^2 = \textcolor{red}{0{,}81} \]

Arealene i kvadratmeter danner derfor en geometrisk rekke: \[ \textcolor{blue}{19} + \textcolor{blue}{19} \cdot \textcolor{red}{0{,}81} + \textcolor{blue}{19} \cdot \textcolor{red}{0{,}81}^2 + \dots \]

2. Regn ut den uendelige summen En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{,} \) og da er summen: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{19}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}81}}\text{.} \) Siden \( {-1 < 0{,}81 < 1}\text{,} \) konvergerer rekken. Plugger vi dette inn, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{19}}{1 - \textcolor{red}{0{,}81}} = \dfrac{19}{0{,}19} = 100 \]Med uendelig mange plater blir arealet \( 100\,\text{m}^2\text{.} \) Et tårn har endelig mange plater, så arealet blir litt mindre, men kan komme så nær \( 100\,\text{m}^2 \) vi vil.

Vi starter med \( {a_1 = 5} \) og bruker den rekursive sammenhengen fem ganger i en løkke, slik at vi får ledd nummer 2 til 6.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å regne ut de første leddene for hånd, og på å skrive og lese slike løkker på papir.

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 1 setter \( \texttt{a} \) lik det første leddet, \( {a_1 = 5}\text{,} \) og linje 2 skriver det ut.

Løkka i linje 3 går gjennom \( {n = 2, 3, 4, 5, 6}\text{,} \) fordi \( \texttt{range(2, 7)} \) stopper før 7, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 4 bruker den rekursive sammenhengen: \[ \textcolor{blue}{a_n} = (\textcolor{red}{a_{n-1}} - 1)^2 \]\( \textcolor{red}{\texttt{a}} \) på høyre side er det forrige leddet, og \( \textcolor{blue}{\texttt{a}} \) på venstre side blir det nye. Linje 5 skriver ut hvert nytt ledd.

2. Kjør programmet Programmet skriver ut de seks leddene: \( 5\text{,} \) \( 16\text{,} \) \( 225\text{,} \) \( 50\,176\text{,} \) \( 2\,517\,530\,625 \) og \( 6\,337\,960\,442\,777\,829\,376\text{.} \) De første kan vi sjekke for hånd: \( {(5 - 1)^2 = 16}\text{,} \) \( {(16 - 1)^2 = 225} \) og \( {(225 - 1)^2 = 50\,176}\text{.} \)

En uendelig rekke kan bare konvergere hvis leddene går mot \( 0\text{.} \) Vi undersøker derfor om leddene kan gå mot \( 0 \) når \( a_1 \) er et heltall.

1. Sjekk om leddene går mot null For at summen \( {a_1 + a_2 + a_3 + \dots} \) skal konvergere, må leddene gå mot \( 0\text{:} \) \[ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \]Går de ikke mot \( 0\text{,} \) divergerer rekken, som i videoen Konvergens & divergens intro.

Når \( a_1 \) er et heltall, blir alle leddene heltall, fordi vi bare trekker fra \( 1 \) og kvadrerer. Heltall som går mot \( 0\text{,} \) må fra et ledd av være \( 0 \) hele tiden: \[ a_n = 0 \quad \text{for alle } n \ge N \]

2. Se hva som kommer etter null Hvis et ledd er \( \textcolor{blue}{0}\text{,} \) blir de to neste: \[ (\textcolor{blue}{0} - 1)^2 = \textcolor{red}{1} \qquad (\textcolor{red}{1} - 1)^2 = \textcolor{blue}{0} \]Leddene veksler da mellom \( \textcolor{blue}{0} \) og \( \textcolor{red}{1}\text{,} \) og blir aldri \( 0 \) hele tiden. Med \( {a_1 = 1} \) blir rekken for eksempel \( {\textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{0} + \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{0} + \dots}\text{,} \) som vokser uten grense.

Leddene kan altså aldri gå mot \( 0\text{,} \) uansett hvilket heltall \( a_1 \) er. Da divergerer rekken for alle heltall \( a_1\text{.} \)

Vi ser at rekken øker med \( 3 \) for hvert ledd. Vi finner derfor antall ledd med formelen for det \( n \)-te leddet, og bruker summeformelen for aritmetiske rekker.

1. Finn antall ledd Det \( n \)-te leddet i en aritmetisk rekke er: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{-3}} \) og \( {\textcolor{red}{d} = \textcolor{red}{3}}\text{,} \) og det siste leddet er \( 69\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{-3} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{3} &= 69 \\ (n - 1) \cdot 3 &= 72 \\ n &= 25 \end{aligned} \]

2. Regn ut summen Summen av de \( n \) første leddene i en aritmetisk rekke er: \[ S_n = n \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{a_1} + a_n}{2} \]Hvis du er usikker på summeformelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Plugger vi inn \( {n = 25}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{-3}} \) og \( {a_{25} = 69}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} S_{25} &= 25 \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{-3} + 69}{2} \\ &= 25 \cdot 33 = 825 \end{aligned} \]

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi finner kvotienten og løser ulikheten for \( x\text{.} \)

1. Finn kvotienten Hvert ledd er det forrige ganget med det samme tallet, så kvotienten er: \[ \textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2} - x} \]

2. Løs ulikheten En uendelig geometrisk rekke konvergerer når: \[ -1 < \textcolor{red}{k} < 1 \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi inn kvotienten, får vi: \[ \begin{aligned} -1 < \textcolor{red}{\dfrac{1}{2} - x} &< 1 \\ -\dfrac{3}{2} < -x &< \dfrac{1}{2} \\ -\dfrac{1}{2} < x &< \dfrac{3}{2} \end{aligned} \]Vi trakk fra \( \dfrac{1}{2} \) og ganget med \( {-1}\text{.} \) Da snur ulikhetstegnene.

Etter det første fallet går ballen like langt opp som ned hver gang. Høydene den spretter, er en uendelig geometrisk rekke med \( {k = 0{,}75}\text{.} \)

1. Sett opp strekningene Ballen faller først \( 2\,\text{m}\text{.} \) Så spretter den \( {2 \cdot 0{,}75 = 1{,}5\,\text{m}} \) opp og faller like langt ned, så \( {1{,}5 \cdot 0{,}75\,\text{m}} \) opp og ned, og så videre: \[ \begin{aligned} s = 2 + 2 \cdot (&\textcolor{blue}{1{,}5} + 1{,}5 \cdot \textcolor{red}{0{,}75} \\ &+ 1{,}5 \cdot \textcolor{red}{0{,}75}^2 + \dots) \end{aligned} \]

2. Summer rekken Summen av en uendelig geometrisk rekke med \( {-1 < k < 1} \) er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på summen av en uendelig geometrisk rekke, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{1{,}5}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}75}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} s &= 2 + 2 \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{1{,}5}}{1 - \textcolor{red}{0{,}75}} \\ &= 2 + 2 \cdot 6 = 14 \end{aligned} \]

Hver natt kommer det \( 2 \) enheter til, og hver dag blir \( 82\,\% \) av mengden igjen. Mengden etter hver natt er derfor summen av en geometrisk rekke med \( {k = 0{,}82}\text{.} \)

1. Sett opp mengden etter n netter Etter den første natten har Sofie \( 2 \) enheter i kroppen. Om dagen skiller hun ut \( 18\,\% \text{,} \) så \( 82\,\% \) blir igjen. Etter den andre natten har hun \( {2 \cdot 0{,}82 + 2} \) enheter, og etter \( n \) netter: \[ a_n = \textcolor{blue}{2} + \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{0{,}82} + \dots + \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{0{,}82}^{n-1} \]

Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \dfrac{1 - \textcolor{red}{k}^n}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}82}}\text{:} \) \[ a_n = \textcolor{blue}{2} \cdot \dfrac{1 - \textcolor{red}{0{,}82}^n}{1 - \textcolor{red}{0{,}82}} = \dfrac{2(1 - 0{,}82^n)}{0{,}18} \]

2. Finn når mengden blir over ti Mengden er farlig når \( {a_n > 10}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{2(1 - 0{,}82^n)}{0{,}18} &> 10 \\ 1 - 0{,}82^n &> 0{,}9 \\ 0{,}82^n &< 0{,}1 \end{aligned} \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider og bruker at \( {\ln b^n = n \ln b}\text{.} \) \( \ln 0{,}82 \) er negativ, så ulikhetstegnet snur når vi deler på den: \[ \begin{aligned} n \ln 0{,}82 &< \ln 0{,}1 \\ n &> \dfrac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}82} \approx 11{,}6 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på logaritmeregelen eller på at ulikhetstegnet snur, kan du se videoene Naturlige Logaritmer og Introduksjon til Ulikheter.

3. Se på hele netter Antall netter er et helt tall, så vi regner ut mengden etter 11 og 12 netter: \[ \begin{aligned} a_{11} &= \dfrac{2(1 - 0{,}82^{11})}{0{,}18} \approx 9{,}86 \\ a_{12} &= \dfrac{2(1 - 0{,}82^{12})}{0{,}18} \approx 10{,}08 \end{aligned} \]Etter 11 netter er mengden fortsatt under \( 10 \) enheter, men den 12. natten kommer den over. Sofie kan altså sove 11 netter på soverommet.

1. Løs likningen i CAS Vi bruker uttrykket for \( a_n \) fra kalkulatorruten, løser \( {a_n = 10} \) og regner ut \( a_{11} \) og \( a_{12}\text{,} \) med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Løs(2*(1 - 0.82^n)/0.18 = 10, n) 2*(1 - 0.82^11)/0.18 2*(1 - 0.82^12)/0.18

Rad 1 gir \( {n \approx 11{,}6}\text{,} \) og rad 2 og 3 gir \( {a_{11} \approx 9{,}8588} \) og \( {a_{12} \approx 10{,}0842}\text{.} \) Mengden er under \( 10 \) etter 11 netter og over etter 12, så Sofie kan sove 11 netter.

Mengden etter hver natt vokser mot summen av en uendelig geometrisk rekke. Artikkelen antar at denne summen er \( 10\text{,} \) og vi finner hvor stor andel som da skilles ut.

1. Finn hva mengden vokser mot Vi kaller andelen som skilles ut per dag, \( \textcolor{green}{p}\text{.} \) Da blir andelen \( {\textcolor{red}{k} = 1 - \textcolor{green}{p}} \) igjen, og mengden etter \( n \) netter er den samme rekken som i a), med denne \( \textcolor{red}{k}\text{.} \)

Når \( n \) vokser, nærmer mengden seg summen av den uendelige rekken, fordi \( {0 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{:} \) \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på hvor formelen kommer fra, kan du se videoen Geometrisk rekke test, der \( k^n \) går mot \( 0 \) i formelen for \( S_n\text{.} \)

Med \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = 1 - \textcolor{green}{p}} \) får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{2}}{1 - (1 - \textcolor{green}{p})} = \dfrac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{green}{p}} \]Mengden vokser hele tiden, men blir aldri større enn \( S\text{.} \)

2. Sett grensen lik ti Artikkelen sier at mengden aldri blir mer enn \( 10 \) enheter, så \( {S = 10}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{green}{p}} &= 10 \\ \textcolor{green}{p} &= 0{,}2 \end{aligned} \]Artikkelen antar altså at en voksen person skiller ut \( 20\,\% \) per dag. Med \( 18\,\% \) som i a) blir grensen \( {\dfrac{2}{0{,}18} \approx 11{,}1}\text{,} \) og da kommer mengden over \( 10\text{.} \)

Vi går gjennom løkka én runde om gangen og skriver opp hva \( \texttt{a} \) er i hver runde.

1. Les koden linje for linje Linje 1 setter \( {\texttt{a} = 2}\text{,} \) og linje 2 setter \( {\texttt{n} = 5}\text{.} \) Løkka i linje 3 går gjennom \( {\texttt{i} = 1, 2, 3, 4, 5}\text{,} \) fordi \( \texttt{range(1, 6)} \) stopper før 6, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

I hver runde skriver linje 4 ut \( \texttt{a}\text{,} \) og linje 5 legger til \( {\textcolor{red}{\texttt{i} + 2}}\text{.} \)

2. Kjør løkka for hånd De fire første rundene gir: \[ \begin{aligned} \texttt{i} = 1&\text{:} \quad 2 + \textcolor{red}{3} = 5 \\ \texttt{i} = 2&\text{:} \quad 5 + \textcolor{red}{4} = 9 \\ \texttt{i} = 3&\text{:} \quad 9 + \textcolor{red}{5} = 14 \\ \texttt{i} = 4&\text{:} \quad 14 + \textcolor{red}{6} = 20 \end{aligned} \]Programmet skriver ut \( \texttt{a} \) før det legger til, så det skriver ut \( 2\text{,} \) \( 5\text{,} \) \( 9\text{,} \) \( 14 \) og \( 20\text{.} \)

Tallfølgen starter altså på \( 2\text{,} \) og hvert nytt tall er det forrige pluss \( \textcolor{red}{3}\text{,} \) \( \textcolor{red}{4}\text{,} \) \( \textcolor{red}{5}\text{,} \) \( \textcolor{red}{6}\text{,} \) … Det vi legger til, øker med \( 1 \) hver gang.

Vi ser at programmet legger hvert ledd til \( \texttt{S} \) før det lager det neste. \( \texttt{S} \) blir derfor summen av leddene.

1. Les koden Linje 3 setter \( {\texttt{S} = 0}\text{.} \) I hver runde legger linje 5 det leddet vi har nå, til \( \texttt{S}\text{,} \) og linje 6 lager det neste leddet, som i a). Slik oppdaterer vi en sum i en løkke, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

Linje 7 står utenfor løkka, så den skriver ut \( \textcolor{blue}{\texttt{S}} \) én gang, etter den siste runden. Løkka går fem runder, så eleven vil finne summen av de fem første leddene.

2. Regn ut summen Leddene fra a) er \( 2\text{,} \) \( 5\text{,} \) \( 9\text{,} \) \( 14 \) og \( 20\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{\texttt{S}} = 2 + 5 + 9 + 14 + 20 = \textcolor{blue}{50} \]

Fra koden i a) ser vi hvordan et ledd lages av det forrige. Med den sammenhengen viser vi at formelen stemmer for \( {n = 1}\text{,} \) og at den stemmer for \( {n = k + 1} \) hvis den stemmer for \( {n = k}\text{.} \)

1. Finn sammenhengen mellom leddene I runde nummer \( n \) gjør linje 5 i den første koden ledd nummer \( n \) om til ledd nummer \( {n + 1}\text{:} \) \[ a_{n+1} = a_n + \textcolor{red}{n + 2} \]For eksempel er \( {a_2 = 2 + \textcolor{red}{3} = 5}\text{.} \)

2. Sjekk det første tilfellet For \( {n = 1} \) gir formelen: \[ a_1 = \dfrac{1 \cdot (1 + 3)}{2} = \dfrac{4}{2} = 2 \]Det er det første leddet, så formelen stemmer for \( {n = 1}\text{.} \)

3. Vis neste tilfelle Vi antar at formelen stemmer for \( {n = k}\text{,} \) der \( {k \ge 1}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{a_k} = \textcolor{blue}{\dfrac{k(k + 3)}{2}} \]

Bytter vi ut \( \textcolor{blue}{a_k} \) med antakelsen i sammenhengen mellom leddene, får vi: \[ \begin{aligned} a_{k+1} &= \textcolor{blue}{a_k} + \textcolor{red}{k + 2} \\ &= \textcolor{blue}{\dfrac{k(k + 3)}{2}} + \textcolor{red}{k + 2} \\ &= \dfrac{k^2 + 3k + 2k + 4}{2} \\ &= \dfrac{k^2 + 5k + 4}{2} \\ &= \dfrac{(k + 1)(k + 4)}{2} \end{aligned} \]Dette er formelen med \( {n = k + 1}\text{,} \) fordi \( {(k + 1) + 3 = k + 4}\text{.} \)

Formelen stemmer for \( {n = 1}\text{,} \) og hver gang den stemmer for ett tall, stemmer den for det neste. Den stemmer derfor for alle \( {n \ge 1}\text{.} \)

Vi ser at differansen er \( 4\text{.} \) Vi finner først hvor mange ledd rekken har, og bruker så sumformelen.

1. Finn antall ledd Det \( n \)-te leddet i en aritmetisk rekke er: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{3}} \) og \( {\textcolor{red}{d} = \textcolor{red}{4}}\text{.} \) Det siste leddet er \( 399\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{3} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{4} &= 399 \\ n - 1 &= 99 \\ n &= 100 \end{aligned} \]

2. Regn ut summen Summen av de \( n \) første leddene er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + a_n)}{2} \]Hvis du er usikker på sumformelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Plugger vi inn \( {n = 100}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{3}} \) og \( {a_{100} = 399}\text{,} \) får vi: \[ S_{100} = \dfrac{100 \cdot (\textcolor{blue}{3} + 399)}{2} = 20\,100 \]

Vi setter inn i formelen for summen av en uendelig geometrisk rekke og løser for \( k\text{.} \)

1. Sett opp sumformelen En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{,} \) og da er summen: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på når rekken konvergerer, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

2. Løs for k Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{12}} \) og \( {S = 18}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{12}}{1 - \textcolor{red}{k}} &= 18 \\ 12 &= 18 - 18\textcolor{red}{k} \\ \textcolor{red}{k} &= \dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3} \end{aligned} \]\( {k = \dfrac{1}{3}} \) ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{,} \) så rekken konvergerer.

Sifrene \( 75 \) gjentar seg, og hver gang står de to plasser lenger til høyre. Vi deler tallet opp i ledd der hvert ledd er \( 0{,}01 \) ganger det forrige.

1. Skriv tallet som en rekke Vi deler tallet opp etter hver gruppe på \( 75\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0{,}7575\dots &= \textcolor{blue}{0{,}75} + 0{,}0075 \\ &\quad + 0{,}000075 + \dots \end{aligned} \]

Hvert ledd er det forrige ganget med \( \textcolor{red}{0{,}01}\text{,} \) så dette er en uendelig geometrisk rekke med \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{0{,}75}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}01}}\text{.} \)

2. Regn ut summen \( \textcolor{red}{k} \) ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{,} \) så rekken konvergerer, som i videoen Geometrisk rekke test. Med sumformelen fra b) får vi: \[ \begin{aligned} S &= \dfrac{\textcolor{blue}{0{,}75}}{1 - \textcolor{red}{0{,}01}} = \dfrac{0{,}75}{0{,}99} \\ &= \dfrac{75}{99} = \dfrac{25}{33} \end{aligned} \]

3. Legg til 1 \( 1{,}7575\dots \) er \( 1 \) pluss tallet over: \[ \begin{aligned} 1{,}7575\dots &= 1 + \dfrac{25}{33} \\ &= \dfrac{33}{33} + \dfrac{25}{33} = \dfrac{58}{33} \end{aligned} \]

Vi ser hva som legges til \( S \) i hver runde, og når løkka stopper.

1. Se hva som legges til Linje 4 er en while-løkke: den går så lenge \( {S \le 200}\text{.} \) Hvis du er usikker på while-løkker, kan du se videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025.

I hver runde øker linje 5 \( n \) med \( 1\text{,} \) og linje 6 legger til \( {\textcolor{blue}{4n - 2}}\text{.} \) For \( {n = 1, 2, 3, \dots} \) er det: \[ \textcolor{blue}{2} + \textcolor{blue}{6} + \textcolor{blue}{10} + \textcolor{blue}{14} + \dots \]

Det er en aritmetisk rekke med \( {a_1 = 2} \) og differanse \( {d = 4}\text{,} \) og \( S \) er summen av de \( n \) første leddene.

2. Se når programmet stopper Løkka stopper første gang summen er større enn \( 200\text{,} \) og linje 8 skriver ut \( n\text{.} \)

Vi bruker rekken fra a), med \( {a_1 = 2} \) og \( {d = 4}\text{.} \)

Vi finner en formel for summen av de \( n \) første leddene, og ser når den blir større enn \( 200\text{.} \)

1. Finn summen av n ledd Summen av de \( n \) første leddene i en aritmetisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + \textcolor{red}{a_n})}{2} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {\textcolor{red}{a_n} = \textcolor{red}{4n - 2}}\text{:} \) \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{4n - 2})}{2} = 2n^2 \]

2. Finn når summen passerer 200 Med \( {n = 10} \) er \( {S = 2 \cdot 10^2 = 200}\text{.} \) Det er ikke større enn \( 200\text{,} \) så løkka går én runde til. Med \( {n = 11} \) er \( {S = 2 \cdot 11^2 = 242}\text{,} \) og løkka stopper.

Fra \( S_n \) til \( {S_{n+1}} \) legger vi til ett kubikktall til. For den eksplisitte formelen regner vi ut de første summene og ser etter et mønster.

1. Den rekursive sammenhengen \( {S_{n+1}} \) er summen av de \( {n + 1} \) første kubikktallene, altså \( S_n \) pluss det neste kubikktallet: \[ S_{n+1} = S_n + \textcolor{red}{(n + 1)^3} \quad\text{og}\quad S_1 = 1 \]

2. Regn ut de første summene Vi legger til ett kubikktall om gangen: \[ \begin{aligned} S_1 &= 1 = 1^2 \\ S_2 &= 1 + 8 = 9 = 3^2 \\ S_3 &= 9 + 27 = 36 = 6^2 \\ S_4 &= 36 + 64 = 100 = 10^2 \\ S_5 &= 100 + 125 = 225 = 15^2 \end{aligned} \]Alle summene er kvadrattall.

3. Finn mønsteret Tallene \( 1, 3, 6, 10, 15 \) er summene \( {1 + 2 + \dots + n}\text{,} \) og den summen er: \[ 1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene – Python og rekker.

Summen av kubikktallene er kvadratet av den: \[ S_n = \left(\dfrac{n(n + 1)}{2}\right)^2 \]For eksempel er \( {S_5 = \left(\dfrac{5 \cdot 6}{2}\right)^2 = 15^2 = 225}\text{.} \)

Vi bruker den rekursive sammenhengen fra a), \( {S_{n+1} = S_n + (n + 1)^3}\text{.} \)

Vi starter med summen \( 0\text{,} \) og lar en løkke legge til ett kubikktall om gangen, \( 50 \) ganger.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, og på å regne ut de første rundene for hånd.

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 1 setter summen \( {S = 0}\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker som legger sammen, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene – Python og rekker.

Løkka i linje 2 går for \( {n = 1, 2, \dots, 50}\text{,} \) og linje 3 er den rekursive sammenhengen: den legger \( \textcolor{red}{n^3} \) til summen.

2. Sjekk de første rundene Etter tre runder er \( {S = \textcolor{red}{1} + \textcolor{red}{8} + \textcolor{red}{27} = 36 = S_3}\text{.} \) Programmet skriver ut \( 1\,625\,625\text{.} \) Formelen fra a) gir det samme: \[ \left(\dfrac{50 \cdot 51}{2}\right)^2 = 1275^2 = 1\,625\,625 \]

Vi beviser formelen fra a), \( {S_n = \left(\dfrac{n(n + 1)}{2}\right)^2}\text{,} \) og bruker \( {S_{n+1} = S_n + (n + 1)^3}\text{.} \)

Et induksjonsbevis har to steg. Vi viser at formelen stemmer for \( {n = 1}\text{.} \) Så viser vi at hvis den stemmer for \( {n = k}\text{,} \) stemmer den også for \( {n = k + 1}\text{.} \)

1. Sjekk for n = 1 Venstre side er \( {S_1 = 1^3 = 1}\text{,} \) og formelen gir: \[ \left(\dfrac{1 \cdot 2}{2}\right)^2 = 1^2 = 1 \]Formelen stemmer for \( {n = 1}\text{.} \)

2. Anta formelen for n = k Vi antar at: \[ \textcolor{blue}{S_k = \dfrac{k^2(k + 1)^2}{4}} \]Vi skal vise at da er \( {S_{k+1} = \dfrac{(k + 1)^2(k + 2)^2}{4}}\text{.} \)

3. Vis steget til k + 1 Med den rekursive sammenhengen og antakelsen får vi: \[ \begin{aligned} S_{k+1} &= \textcolor{blue}{S_k} + \textcolor{red}{(k + 1)^3} \\ &= \textcolor{blue}{\dfrac{k^2(k + 1)^2}{4}} + \textcolor{red}{\dfrac{4(k + 1)^3}{4}} \end{aligned} \]

Vi setter \( {(k + 1)^2} \) utenfor en parentes: \[ \begin{aligned} S_{k+1} &= \dfrac{(k + 1)^2\left(k^2 + 4(k + 1)\right)}{4} \\ &= \dfrac{(k + 1)^2(k^2 + 4k + 4)}{4} \\ &= \dfrac{(k + 1)^2(k + 2)^2}{4} \end{aligned} \]der vi brukte første kvadratsetning, \( {k^2 + 4k + 4 = (k + 2)^2}\text{.} \)

Det er formelen med \( {n = k + 1}\text{.} \) Formelen stemmer for \( {n = 1}\text{,} \) og når den stemmer for ett tall, stemmer den for det neste. Da stemmer den for alle \( n\text{.} \)