Eksamensoppgaver etter tema

Datatrafikken går opp og ned gjennom døgnet, så vi lager en sinusmodell med sinusregresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre sinusregresjon. Øv heller på å lese av likevektslinje, amplitude og periode i en tabell, og på b) til d) med modellen \( D \) fra oppgaven, med kalkulator.

1. Legg punktene inn i GeoGebra Vi regner klokkeslettene om til timer etter midnatt, så klokken 22:00 blir \( {t = 22}\text{.} \) Vi skriver tiden i kolonne A og datatrafikken i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør sinusregresjon Sinusregresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{A}\text{,} \) \( \textcolor{green}{c}\text{,} \) \( \textcolor{darkorange}{\varphi} \) og \( \textcolor{blue}{d} \) i \[ S(t) = \textcolor{red}{A} \cdot \sin(\textcolor{green}{c}t + \textcolor{darkorange}{\varphi}) + \textcolor{blue}{d} \]som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. Vi velger sinusregresjon fra den samme lista som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der det er logistisk regresjon. GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: S(x) = RegSin(l1)

3. Skriv opp modellen GeoGebra skriver konstanten først. Tallene gir \( {\textcolor{red}{A} \approx \textcolor{red}{37\,213{,}66}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{c} \approx \textcolor{green}{0{,}2426}}\text{,} \) \( {\textcolor{darkorange}{\varphi} \approx \textcolor{darkorange}{-2{,}9556}} \) og \( {\textcolor{blue}{d} \approx \textcolor{blue}{63\,196{,}61}}\text{.} \)

Perioden er \( {\dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}} \approx 25{,}9} \) timer, nær et døgn, og grafen går nær alle punktene. Modellen passer derfor godt med at trafikken følger døgnet.

Vi skal finne når \( {D(t) > 90\,000}\text{.} \) Med kalkulator får vi sinus alene og finner vinklene der sinus er større enn tallet på høyre side.

1. Få sinus alene Vi trekker fra \( 63\,000 \) på begge sider av \( {D(t) > 90\,000} \) og deler med \( 37\,000\text{:} \) \[ \begin{aligned} 37\,000\sin(\textcolor{green}{0{,}24t - 3{,}0}) &> 27\,000 \\ \sin(\textcolor{green}{0{,}24t - 3{,}0}) &> \dfrac{27}{37} \end{aligned} \]

2. Finn vinklene på enhetssirkelen Vi kaller det som står inni sinus, \( \textcolor{green}{u}\text{.} \) Med kalkulatoren i radianer finner vi først én vinkel der sinus er \( \dfrac{27}{37}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{u_1} = \sin^{-1}\left(\dfrac{27}{37}\right) \approx 0{,}8179 \]Hvis du er usikker på å finne vinkelen med kalkulatoren, kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

Sinus har samme verdi i \( {\pi - u_1}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{u_2} = \pi - \textcolor{green}{u_1} \approx 2{,}3237 \]Mellom \( u_1 \) og \( u_2 \) er sinus større enn \( \dfrac{27}{37}\text{,} \) fordi sinus har toppen sin i \( \dfrac{\pi}{2}\text{,} \) mellom dem.

3. Regn om til klokkeslett Løser vi \( {0{,}24t - 3{,}0 = u} \) for \( t\text{,} \) får vi \( {t = \dfrac{u + 3{,}0}{0{,}24}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} t_1 &= \dfrac{0{,}8179 + 3{,}0}{0{,}24} \approx 15{,}908 \\ t_2 &= \dfrac{2{,}3237 + 3{,}0}{0{,}24} \approx 22{,}182 \end{aligned} \]For \( t \) fra \( 0 \) til \( 24 \) går \( u \) fra \( {-3{,}0} \) til \( 2{,}76\text{,} \) så dette er det eneste tidsrommet i døgnet.

\( 0{,}908 \) timer er \( {0{,}908 \cdot 60 \approx 54} \) minutter, og \( 0{,}182 \) timer er omtrent \( 11 \) minutter. Datatrafikken var over \( 90\,000 \) gigabit per time fra omtrent klokken 15:54 til 22:11.

1. Finn skjæringspunktene med linja Vi skriver inn modellen og linja \( {y = 90\,000}\text{,} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter på grafen og linja, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: D(x) = 63000 + 37000*sin(0.24x - 3) g: y = 90000

Skjæringspunktene er \( {A \approx (15{,}908,\ 90\,000)} \) og \( {B \approx (22{,}1819,\ 90\,000)}\text{.} \) Grafen ligger over linja mellom dem, så datatrafikken var over \( 90\,000 \) gigabit per time fra omtrent klokken 15:54 til 22:11.

Økningen er den deriverte, så vi finner når \( D'(t) \) er størst. Vi deriverer sinusfunksjonen med kjerneregelen.

1. Deriver modellen Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\sin \textcolor{green}{u}\right)' = \cos \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{0{,}24t - 3{,}0}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{0{,}24}}\text{.} \) Konstanten \( 63\,000 \) har derivert \( 0\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} D'(t) &= 37\,000 \cdot \cos \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{0{,}24} \\ &= 8880\cos(\textcolor{green}{0{,}24t - 3{,}0}) \end{aligned} \]

2. Finn når den deriverte er størst Cosinus er størst, lik \( 1\text{,} \) når det som står inni, er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0{,}24t - 3{,}0 &= 0 \\ t &= 12{,}5 \end{aligned} \]For \( t \) fra \( 0 \) til \( 24 \) går det som står inni, fra \( {-3{,}0} \) til \( 2{,}76\text{,} \) og der er cosinus lik \( 1 \) bare når det er \( 0\text{.} \) Det er derfor det eneste toppunktet i døgnet.

Ved \( {t = 12{,}5} \) er økningen: \[ D'(12{,}5) = 8880 \cdot \cos 0 = 8880 \]\( {t = 12{,}5} \) er klokken 12:30. Datatrafikken økte raskest klokken 12:30, med \( 8880 \) gigabit per time per time.

1. Finn toppunktet på den deriverte Vi skriver inn modellen, deriverer den og finner toppunktet på grafen til \( D' \) mellom \( 0 \) og \( 24 \) med kommandoen Ekstremalpunkt, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: D(x) = 63000 + 37000*sin(0.24x - 3) D'(x) = Derivert(D) E = Ekstremalpunkt(D', 0, 24)

Toppunktet er \( {E = (12{,}5,\ 8880)}\text{.} \) Datatrafikken økte raskest klokken 12:30, med \( 8880 \) gigabit per time per time.

Datamengden er integralet av datatrafikken. Vi deler integralet fra 8 til 16 på integralet over hele døgnet.

1. Sett opp andelen Datatrafikken er gigabit per time, så datamengden i et tidsrom er integralet av \( D(t)\text{.} \) Andelen er: \[ \text{Andel} = \dfrac{\int_8^{16} D(t)\,dt}{\int_0^{24} D(t)\,dt} \]

2. Finn en antiderivert For sinus med kjernen \( {\textcolor{green}{k}t + b} \) forteller integrasjonsreglene oss at: \[ \begin{aligned} & \int \sin(\textcolor{green}{k}t + b)\,dt \\ &= -\dfrac{1}{\textcolor{green}{k}}\cos(\textcolor{green}{k}t + b) + C \end{aligned} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Med \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{0{,}24}} \) får vi antideriverten: \[ \begin{aligned} F(t) &= 63\,000t \\ &\quad - \dfrac{37\,000}{\textcolor{green}{0{,}24}}\cos(\textcolor{green}{0{,}24}t - 3{,}0) \end{aligned} \]

3. Regn ut integralene og andelen Med kalkulatoren i radianer får vi: \[ \begin{aligned} F(16) &\approx 905\,099{,}5 \\ F(8) &\approx 431\,336{,}9 \\ F(24) &\approx 1\,655\,077{,}9 \\ F(0) &\approx 152\,623{,}8 \end{aligned} \]Datamengdene i gigabit er da: \[ \begin{aligned} \int_8^{16} D(t)\,dt &= F(16) - F(8) \\ &\approx 473\,763 \\ \int_0^{24} D(t)\,dt &= F(24) - F(0) \\ &\approx 1\,502\,454 \end{aligned} \]

Andelen er da: \[ \text{Andel} \approx \dfrac{473\,763}{1\,502\,454} \approx 0{,}315 \]Omtrent \( 31{,}5\,\% \) av datamengden ble overført i arbeidsdagen.

1. Regn ut integralene i CAS Vi definerer modellen og regner ut de to integralene og forholdet mellom dem med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: D(t) := 63000 + 37000*sin(0.24t - 3) Integral(D(t), t, 8, 16) Integral(D(t), t, 0, 24) Integral(D(t), t, 8, 16) / Integral(D(t), t, 0, 24)

Rad 2 og 3 gir datamengdene omtrent \( 473\,762{,}6 \) og \( 1\,502\,454{,}0 \) gigabit, og rad 4 gir forholdet omtrent \( 0{,}3153\text{.} \) Omtrent \( 31{,}5\,\% \) av datamengden ble overført i arbeidsdagen.

Spenningen går opp og ned periodisk, så vi lager en sinusmodell med sinusregresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre sinusregresjon. Øv heller på å lese av likevektslinje, amplitude og periode i en tabell, og på b) og c) med modellen fra a), med kalkulator.

1. Legg punktene inn i GeoGebra Vi skriver tiden i kolonne A og spenningen i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør sinusregresjon Sinusregresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{A}\text{,} \) \( \textcolor{green}{c}\text{,} \) \( \textcolor{darkorange}{\varphi} \) og \( \textcolor{blue}{d} \) i \[ U(t) = \textcolor{red}{A} \cdot \sin(\textcolor{green}{c}t + \textcolor{darkorange}{\varphi}) + \textcolor{blue}{d} \]som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. Vi velger sinusregresjon fra den samme lista som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der det er logistisk regresjon. GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: U(x) = RegSin(l1)

3. Skriv opp modellen GeoGebra skriver konstanten først. Tallene gir \( {\textcolor{red}{A} \approx \textcolor{red}{323{,}47}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{c} \approx \textcolor{green}{314{,}81}}\text{,} \) \( {\textcolor{darkorange}{\varphi} \approx \textcolor{darkorange}{-0{,}0026}} \) og \( {\textcolor{blue}{d} \approx \textcolor{blue}{-0{,}91}}\text{.} \)

Perioden er \( {\dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}} \approx 0{,}0200} \) sekunder, og grafen går nær alle punktene. Andre modeller som passer tabellen, er også riktige, for eksempel \( {U(t) = 325\sin(100\pi t)}\text{,} \) med amplituden og perioden lest av tabellen. Vi bruker denne modellen i b) og c).

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi skal løse \( {U(t) = 230}\text{.} \) Med kalkulator får vi sinus alene og finner de to vinklene der sinus har den verdien.

1. Få sinus alene I a) fant vi modellen. Vi kaller det som står inni sinus, \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{314{,}81t - 0{,}0026}}\text{:} \) \[ U(t) = \textcolor{red}{323{,}47}\sin \textcolor{green}{u} \textcolor{blue}{- 0{,}91} \]

Vi setter \( {U(t) = 230}\text{,} \) legger til \( \textcolor{blue}{0{,}91} \) og deler med \( \textcolor{red}{323{,}47}\text{:} \) \[ \sin \textcolor{green}{u} = \dfrac{230 + \textcolor{blue}{0{,}91}}{\textcolor{red}{323{,}47}} \approx 0{,}7139 \]

2. Finn vinklene Med kalkulatoren i radianer finner vi først én vinkel der sinus er \( 0{,}7139\text{:} \) \[ \textcolor{green}{u_1} = \sin^{-1}(0{,}7139) \approx 0{,}7951 \]Hvis du er usikker på å finne vinkelen med kalkulatoren, kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

Sinus har samme verdi i \( {\pi - u_1}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{u_2} = \pi - \textcolor{green}{u_1} \approx 2{,}3465 \]Fra \( {t = 0} \) til \( {t = 0{,}0200} \) går \( \textcolor{green}{u} \) fra \( {-0{,}0026} \) til omtrent \( 6{,}29\text{,} \) én periode. Den neste vinkelen, \( {u_1 + 2\pi \approx 7{,}08}\text{,} \) er for stor.

3. Regn om til tid Løser vi \( {314{,}81t - 0{,}0026 = u} \) for \( t\text{,} \) får vi \( {t = \dfrac{u + 0{,}0026}{314{,}81}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} t_1 &= \dfrac{\textcolor{green}{0{,}7951} + 0{,}0026}{314{,}81} \approx 0{,}0025 \\ t_2 &= \dfrac{\textcolor{green}{2{,}3465} + 0{,}0026}{314{,}81} \approx 0{,}0075 \end{aligned} \]Spenningen er \( 230\,\text{V} \) etter omtrent \( 0{,}0025 \) og \( 0{,}0075 \) sekunder.

1. Løs likningen i CAS Vi skriver modellen fra svaret i a) inn i CAS. Grafen i a) går gjennom \( 230 \) to ganger i den første perioden, nær \( {t = 0{,}0025} \) og \( {t = 0{,}0075}\text{.} \) Vi bruker dem som startverdier i NLøs:

Skriv inn i GeoGebra: U(t) := -0.91 + 323.47*sin(314.81t - 0.0026) NLøs(U(t) = 230, t = 0.0025) NLøs(U(t) = 230, t = 0.0075)

Rad 2 og 3 gir \( {t \approx 0{,}0025} \) og \( {t \approx 0{,}0075}\text{.} \)

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi setter modellen inn i formelen og integrerer over én periode. Blir effektivverdien omtrent \( 230\,\text{V}\text{,} \) kan målingene være riktige.

1. Integrer kvadratet av modellen I a) fant vi modellen. Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{314{,}81t - 0{,}0026}} \) er den: \[ U(t) = \textcolor{red}{323{,}47}\sin \textcolor{green}{u} \textcolor{blue}{- 0{,}91} \]

Vi kaller \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{323{,}47}} \) og \( {\textcolor{blue}{d} = \textcolor{blue}{-0{,}91}}\text{,} \) og perioden er \( {T = \dfrac{2\pi}{314{,}81}}\text{.} \) Med første kvadratsetning, \( {(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \big(U(t)\big)^2 = \ &\textcolor{red}{A}^2\sin^2 \textcolor{green}{u} + 2\textcolor{red}{A}\textcolor{blue}{d}\sin \textcolor{green}{u} \\ &+ \textcolor{blue}{d}^2 \end{aligned} \]

Over en hel periode er integralet av \( \sin u \) lik \( 0\text{,} \) fordi arealet over og under aksen er like store. For \( \sin^2 u \) bruker vi formelen for dobbel vinkel: \[ \sin^2 u = \dfrac{1 - \cos 2u}{2} \]

Integralet av \( \cos 2u \) over en hel periode er også \( 0\text{,} \) så \( \sin^2 u \) gir \( \dfrac{T}{2}\text{:} \) \[ \int_0^T \big(U(t)\big)^2\,dt = \textcolor{red}{A}^2 \cdot \dfrac{T}{2} + \textcolor{blue}{d}^2 \cdot T \]

2. Regn ut effektivverdien Vi deler på \( T \) og tar kvadratroten. \( T \) forkortes bort: \[ \begin{aligned} U_{\text{effektiv}} &= \sqrt{\dfrac{\textcolor{red}{A}^2}{2} + \textcolor{blue}{d}^2} \\ &= \sqrt{\dfrac{\textcolor{red}{323{,}47}^2}{2} + (\textcolor{blue}{-0{,}91})^2} \\ &\approx 228{,}7 \end{aligned} \]

Effektivverdien til modellen er omtrent \( 228{,}7\,\text{V}\text{,} \) bare \( 1{,}3\,\text{V} \) under \( 230\,\text{V}\text{.} \) Målingene kan altså være riktige.

1. Regn ut effektivverdien i CAS Vi skriver modellen fra svaret i a) og perioden inn i CAS, og regner ut formelen med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: U(t) := -0.91 + 323.47*sin(314.81t - 0.0026) T := 2π/314.81 sqrt(1/T*Integral(U(t)^2, t, 0, T))

Rad 3 gir \( {U_{\text{effektiv}} \approx 228{,}7\,\text{V}}\text{,} \) svært nær \( 230\,\text{V}\text{,} \) så målingene kan være riktige.

Vannstanden går opp og ned med en fast periode, så vi lager en sinusmodell med sinusregresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre sinusregresjon. Øv heller på å lese av likevektslinje, amplitude og periode i en tabell, og på b) og c) med en gitt sinusmodell, med kalkulator.

1. Legg punktene inn i GeoGebra Vi skriver timene i kolonne A og vannstanden i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør sinusregresjon Sinusregresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{a}\text{,} \) \( \textcolor{green}{b}\text{,} \) \( \textcolor{darkorange}{c} \) og \( \textcolor{blue}{d} \) i \[ f(x) = \textcolor{red}{a} \sin(\textcolor{green}{b}x + \textcolor{darkorange}{c}) + \textcolor{blue}{d} \]som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. Vi velger sinusregresjon fra den samme lista som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der det er logistisk regresjon:

Skriv inn i GeoGebra: f(x) = RegSin(l1)

3. Vurder modellen GeoGebra skriver konstanten først. Tallene gir \( {\textcolor{red}{a} \approx \textcolor{red}{31{,}04}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{b} \approx \textcolor{green}{0{,}5144}}\text{,} \) \( {\textcolor{darkorange}{c} \approx \textcolor{darkorange}{0{,}1898}} \) og \( {\textcolor{blue}{d} \approx \textcolor{blue}{83{,}59}}\text{.} \)

Perioden er \( {\dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{b}} \approx 12{,}2} \) timer, omtrent som tidevannet, som har to flo og to fjære i døgnet. Grafen går nær alle punktene. Den aktuelle perioden er 25. april, altså \( {24 \le x \le 48}\text{,} \) der \( x \) er timer etter midnatt 24. april.

Vi bruker modellen fra a): \[ \begin{aligned} f(x) = \ &\textcolor{red}{31{,}04}\sin(\textcolor{green}{0{,}5144}x + \textcolor{darkorange}{0{,}1898}) \\ &+ 83{,}59 \end{aligned} \]

Vannstanden øker raskest der den deriverte \( f'(x) \) er størst. Den 25. april er \( {24 \le x \le 48}\text{.} \)

1. Deriver modellen Vi bruker kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen: \[ \begin{aligned} f'(x) = \ &\textcolor{red}{31{,}04} \cdot \textcolor{green}{0{,}5144} \\ &\cdot \cos(\textcolor{green}{0{,}5144}x + \textcolor{darkorange}{0{,}1898}) \end{aligned} \]

2. Finn når cosinus er 1 \( f'(x) \) er størst når cosinus er \( 1\text{,} \) altså når vinkelen er \( 2\pi k\text{:} \) \[ x = \dfrac{2\pi k - \textcolor{darkorange}{0{,}1898}}{\textcolor{green}{0{,}5144}} \]

\( {k = 2} \) og \( {k = 3} \) gir \( x \) mellom \( 24 \) og \( 48\text{:} \) \[ \begin{aligned} k = 2&\text{:} \quad x \approx 24{,}06 \\ k = 3&\text{:} \quad x \approx 36{,}27 \end{aligned} \]

3. Gjør om til klokkeslett \( {x = 24{,}06} \) er \( {0{,}06 \cdot 60 \approx 4} \) minutter over midnatt 25. april, og \( {x \approx 36{,}27} \) er omtrent kl. 12:16. Med alle desimalene i modellen blir det kl. 12:17, så forskjellen er bare avrunding. Da stiger vannet med \( {31{,}04 \cdot 0{,}5144 \approx 16} \) cm per time.

1. Løs f''(x) = 0 i CAS Der \( f' \) er størst, er \( {f''(x) = 0}\text{.} \) Vi henter modellen inn i CAS og løser med NLøs og startverdier i begynnelsen og midt på dagen:

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := RegSin(l1) NLøs(Derivert(f(x), x, 2) = 0, x = 24) NLøs(Derivert(f(x), x, 2) = 0, x = 36)

Grafen i a) stiger ved begge, så det er der vannstanden øker raskest: kl. 00:04 og kl. 12:17.

Vi bruker modellen fra a): \[ \begin{aligned} f(x) = \ &\textcolor{red}{31{,}04}\sin(\textcolor{green}{0{,}5144}x + \textcolor{darkorange}{0{,}1898}) \\ &+ 83{,}59 \end{aligned} \]

Vannstanden må være over \( 90 \) cm i hele de \( 2 \) timene. Vi finner det siste tidspunktet den 25. april der vannstanden synker under \( 90 \) cm, og trekker fra \( 2 \) timer.

1. Få sinus alene \( {f(x) = 90} \) gir: \[ \sin(\textcolor{blue}{u}) = \dfrac{90 - 83{,}59}{31{,}04} \approx 0{,}2065 \]der \( {\textcolor{blue}{u = 0{,}5144x + 0{,}1898}}\text{.} \)

2. Når vannet synker under 90 cm Kalkulatoren gir \( {\sin^{-1}(0{,}2065) \approx 0{,}208}\text{.} \) Vannet synker forbi \( 90 \) cm der sinus synker, i den andre vinkelen \( {\pi - 0{,}208}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Den 25. april går \( \textcolor{blue}{u} \) fra \( {0{,}5144 \cdot 24 + 0{,}1898 \approx 12{,}5} \) til \( {0{,}5144 \cdot 48 + 0{,}1898 \approx 24{,}9}\text{,} \) så den siste vinkelen er tre hele runder senere: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{u} &= \pi - 0{,}208 + 3 \cdot 2\pi \approx 21{,}783 \\ x &= \dfrac{21{,}783 - 0{,}1898}{0{,}5144} \approx 41{,}98 \end{aligned} \]

3. Trekk fra 2 timer Vannet stiger forbi \( 90 \) cm i den første vinkelen, \( {\textcolor{blue}{u} = 0{,}208 + 3 \cdot 2\pi \approx 19{,}058}\text{,} \) altså ved \( {x = \dfrac{19{,}058 - 0{,}1898}{0{,}5144} \approx 36{,}7}\text{.} \) Vannstanden er over \( 90 \) cm fra \( {x \approx 36{,}7} \) til \( {x \approx 41{,}98}\text{,} \) mer enn \( 2 \) timer. De må altså starte senest ved \( {x = 41{,}98 - 2 = 39{,}98}\text{,} \) som er \( 15 \) timer og \( {0{,}98 \cdot 60 \approx 58{,}8} \) minutter etter midnatt 25. april. Det er det seneste de kan starte, så vi runder ned til kl. 15:58.

1. Løs f(x) = 90 i CAS Vi bruker modellen fra b) i CAS, og løser \( {f(x) = 90} \) med en startverdi sent på ettermiddagen:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(f(x) = 90, x = 42) ≈ 41.9807 - 2

Vannstanden synker under \( 90 \) cm ved \( {x \approx 41{,}98}\text{,} \) så de må starte senest ved \( {x \approx 39{,}98}\text{,} \) like før kl. 15:59. Vi runder ned til kl. 15:58.

Tallene vokser sakte, så raskt, og så saktere igjen. Det er formen til en logistisk modell, som også flater ut i årene etterpå. Vi lar \( x \) være antall år etter 2008 og bruker logistisk regresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre logistisk regresjon. Øv heller på å se av tallene hvilken type modell som passer, og på å bruke en gitt logistisk modell med kalkulator.

1. Velg modell Økningen er \( 68\text{,} \) \( 176\text{,} \) \( 210\text{,} \) \( 126 \) og \( 73 \) millioner kroner for hvert andre år. Den blir først større og så mindre, så veksten bremser opp. Da passer en logistisk modell, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den vokser på samme måte, og flater ut mot en øvre grense. Det passer også for årene etterpå: hvor mye folk bruker på strømming, kan ikke vokse uten grense.

2. Legg punktene inn i GeoGebra Med \( x \) år etter 2008 blir årene \( 0\text{,} \) \( 2\text{,} \) \( 4\text{,} \) \( 6\text{,} \) \( 8 \) og \( 10\text{.} \) Vi skriver dem i kolonne A og beløpene i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

3. Kjør logistisk regresjon Logistisk regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{c}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{b} \) i \[ F(x) = \dfrac{\textcolor{red}{c}}{1 + \textcolor{blue}{a}e^{-\textcolor{green}{b}x}} \]som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) = RegLogist(l1)

Grafen går nær alle punktene, og flater ut mot \( {\textcolor{red}{c} \approx \textcolor{red}{660}} \) millioner kroner per år.

Vi bruker modellen fra a): \[ F(x) = \dfrac{\textcolor{red}{660{,}36}}{1 + \textcolor{blue}{30{,}72}e^{-\textcolor{green}{0{,}7066}x}} \]

Vi henter modellen inn i CAS og skriver de fire formlene som de står. CAS gir et tall for hver.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC har du ikke modellen fra a). Øv heller på å forstå hva et integral, en gjennomsnittsverdi, en sum og en differansekvotient betyr, som i c).

1. Regn ut formlene i CAS Rad 1 henter modellen fra lista \( l_1\text{.} \) Så skriver vi integralene med Integral, summen med Sum og differansekvotienten. Hvis du er usikker på hva integralet er, kan du se videoen Hva er integrasjon:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) := RegLogist(l1) ≈ Integral(F(x), -0.5, 10.5) ≈ 1/5 Integral(F(x), 2.5, 7.5) ≈ Sum(F(i), i, 0, 10) ≈ (F(5.001) - F(5))/0.001

\( I \) og \( S \) er nesten like. Det er ingen tilfeldighet, og c) forklarer hvorfor.

Fra b) er \( {I \approx 3729}\text{,} \) \( {G \approx 344}\text{,} \) \( {S \approx 3729} \) og \( {D \approx 116}\text{.} \) Modellen \( F(x) \) fra a) gir millioner kroner per år, \( x \) år etter 2008.

Vi ser hvilke år hver formel dekker. Året \( {2008 + i} \) svarer til intervallet fra \( {x = i - 0{,}5} \) til \( {x = i + 0{,}5}\text{.} \)

1. Tolk integralene Integralet av en vekstfart er det som samles opp, her millioner kroner. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Hva er integrasjon. Fra \( {x = -0{,}5} \) til \( {x = 10{,}5} \) dekker \( \textcolor{blue}{I} \) årene 2008 til 2018: \[ \textcolor{blue}{I} \approx \textcolor{blue}{3729} \text{ millioner kroner totalt} \]

\( \textcolor{red}{G} \) er integralet fra \( 2{,}5 \) til \( 7{,}5\text{,} \) altså årene 2011 til 2015, delt på de \( 5 \) årene. Det er gjennomsnittet per år.

2. Tolk summen og differansekvotienten \( \textcolor{green}{S} \) legger sammen beløpet for hvert av de \( 11 \) årene 2008 til 2018. Det er nesten det samme som \( \textcolor{blue}{I}\text{,} \) fordi hvert år er en stripe med bredde \( 1 \) under grafen.

\( \textcolor{darkorange}{D} \) er stigningstallet mellom \( {x = 5} \) og \( {x = 5{,}001}\text{,} \) nesten den deriverte \( F'(5)\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte. Det er hvor fort beløpet økte i 2013.