Eksamensoppgaver etter tema

Vi kjenner den deriverte, så vi integrerer for å finne \( f\text{.} \) Konstanten finner vi med punktet grafen går gjennom.

1. Integrer den deriverte Vi skriver \( \dfrac{2}{x^2} \) som \( {2x^{\textcolor{green}{-2}}} \) og bruker potensregelen for integraler, som gjelder for \( {n \neq -1}\text{:} \) \[ \int x^{\textcolor{green}{n}}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n} + 1}x^{\textcolor{green}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på å skrive om brøken til en potens, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{-2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f(x) &= \int 2x^{\textcolor{green}{-2}}\,dx \\ &= 2 \cdot \dfrac{1}{\textcolor{green}{-2} + 1}x^{\textcolor{green}{-2} + 1} + \textcolor{darkorange}{C} \\ &= 2 \cdot \dfrac{1}{-1}x^{-1} + \textcolor{darkorange}{C} \\ &= -\dfrac{2}{x} + \textcolor{darkorange}{C} \end{aligned} \]

2. Finn konstanten med punktet Grafen går gjennom \( (2, 2)\text{,} \) så \( {f(2) = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -\dfrac{2}{2} + \textcolor{darkorange}{C} &= 2 \\ \textcolor{darkorange}{C} &= \textcolor{darkorange}{3} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ f(x) = -\dfrac{2}{x} + \textcolor{darkorange}{3} \]

Vi finner først hvor grafene skjærer hverandre. Arealet er integralet av den øverste grafen minus den nederste, mellom skjæringspunktene.

1. Finn skjæringspunktene Vi setter \( {g(x) = h(x)}\text{:} \) \[ x = -\dfrac{3}{x} + 4 \]

Vi ganger begge sider med \( x\text{,} \) som går fordi \( {x > 0}\text{,} \) og samler alt på én side: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]

Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) har løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-4}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{3}}\text{.} \) Hvis du er usikker på abc-formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-4}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-4})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{4 \pm 2}{2} \end{aligned} \]Grafene skjærer hverandre i \( {\underline{x = 1}} \) og \( {\underline{x = 3}}\text{.} \)

2. Finn grafen som ligger øverst Vi setter inn \( {x = 2}\text{,} \) som ligger mellom skjæringspunktene: \[ g(2) = 2 \qquad h(2) = -\dfrac{3}{2} + 4 = \dfrac{5}{2} \]Grafen til \( h \) ligger altså over grafen til \( g \) mellom \( {x = 1} \) og \( {x = 3}\text{.} \)

3. Regn ut arealet Arealet er integralet av den øverste minus den nederste: \[ \begin{aligned} A &= \int_1^3 \left(h(x) - g(x)\right) dx \\ &= \int_1^3 \left(-\dfrac{3}{x} + 4 - x\right) dx \end{aligned} \]

En antiderivert er \( {F(x) = -3\ln x + 4x - \dfrac{1}{2}x^2}\text{,} \) fordi \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}} \) for \( {x > 0}\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Det gir oss: \[ \begin{aligned} F(3) &= -3\ln 3 + 12 - \dfrac{9}{2} \\ &= \dfrac{15}{2} - 3\ln 3 \\ F(1) &= -3\ln 1 + 4 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2} \end{aligned} \]Her brukte vi at \( {\ln 1 = 0}\text{.} \)

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} A &= F(3) - F(1) \\ &= \dfrac{15}{2} - 3\ln 3 - \dfrac{7}{2} \\ &= 4 - 3\ln 3 \end{aligned} \]

Et integral regner arealet under \( x \)-aksen som negativt. Vi ser derfor på figuren hvor grafen ligger over og under \( x \)-aksen.

1. Se hvor grafen ligger Fra figuren ser vi at grafen ligger over \( x \)-aksen fra \( {x = -2} \) til \( {x = 0}\text{,} \) og under \( x \)-aksen fra \( {x = 0} \) til \( {x = 1}\text{.} \) Vi kaller arealet over \( x \)-aksen \( \textcolor{blue}{A_1} \) og arealet under \( \textcolor{red}{A_2}\text{.} \)

Der grafen ligger over \( x \)-aksen, er integralet lik arealet, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Der den ligger under, er integralet negativt, så arealet er minus integralet: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A_1} &= \int_{-2}^0 f(x)\,dx \\ \textcolor{red}{A_2} &= -\int_0^1 f(x)\,dx \end{aligned} \]

2. Sett sammen arealet Arealet av det markerte området er derfor: \[ \begin{aligned} A &= \textcolor{blue}{A_1} + \textcolor{red}{A_2} \\ &= \textcolor{blue}{\int_{-2}^{0} f(x)\,dx} - \textcolor{red}{\int_{0}^{1} f(x)\,dx} \end{aligned} \]Det er uttrykk 4.

Uttrykk 1 og 3 er like, og trekker arealet under \( x \)-aksen fra i stedet for å legge det til. Uttrykk 2 blir \( {\int_{-2}^{0} f(x)\,dx}\text{,} \) bare den delen som ligger over.

Vi bruker uttrykket for arealet fra a).

Vi finner en antiderivert til \( f \) og regner ut de to integralene i uttrykket fra a) hver for seg.

1. Finn en antiderivert Vi integrerer ledd for ledd med potensregelen for integraler: \[ \int x^{\textcolor{green}{n}}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n} + 1}x^{\textcolor{green}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( \textcolor{green}{n} \) lik \( 3\text{,} \) \( 2 \) og \( 1 \) i de tre leddene. Det gir oss: \[ F(x) = \dfrac{1}{4}x^4 + \dfrac{1}{3}x^3 - x^2 \]

2. Regn ut de to integralene I a) fant vi at arealet er: \[ A = \textcolor{blue}{\int_{-2}^{0} f(x)\,dx} - \textcolor{red}{\int_{0}^{1} f(x)\,dx} \]

Vi setter inn grensene. Her er \( {F(0) = 0}\text{,} \) og: \[ \begin{aligned} F(-2) &= 4 - \dfrac{8}{3} - 4 = -\dfrac{8}{3} \\ F(1) &= \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{5}{12} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\int_{-2}^{0} f(x)\,dx} &= F(0) - F(-2) = \textcolor{blue}{\dfrac{8}{3}} \\ \textcolor{red}{\int_{0}^{1} f(x)\,dx} &= F(1) - F(0) = \textcolor{red}{-\dfrac{5}{12}} \end{aligned} \]

3. Sett sammen arealet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A &= \textcolor{blue}{\dfrac{8}{3}} - \left(\textcolor{red}{-\dfrac{5}{12}}\right) \\ &= \dfrac{32}{12} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{37}{12} \end{aligned} \]

Vi bruker de to integralene fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Integralet er null når arealet over \( x \)-aksen er like stort som arealet under. Vi ser på figuren hvor det kan skje.

1. Forklar hvorfor det finnes to løsninger Vi deler integralet i to ved \( {x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int_a^1 f(x)\,dx &= \int_a^0 f(x)\,dx \\ &\quad + \textcolor{red}{\int_0^1 f(x)\,dx} \end{aligned} \]I b) fant vi at \( {\textcolor{red}{\int_0^1 f(x)\,dx = -\dfrac{5}{12}}}\text{,} \) så integralet er null når \( {\int_a^0 f(x)\,dx = \dfrac{5}{12}}\text{.} \)

Når \( a \) går fra \( 0 \) mot \( {-2}\text{,} \) ligger grafen over \( x \)-aksen, så \( \int_a^0 f(x)\,dx \) vokser fra \( 0 \) til \( \textcolor{blue}{\dfrac{8}{3}}\text{,} \) som vi fant i b). Den passerer \( \dfrac{5}{12} \) én gang, ved \( {a \approx -0{,}6}\text{,} \) som Kristian fant.

Til venstre for \( {x = -2} \) ligger grafen under \( x \)-aksen og går stadig lenger ned, så arealet mellom grafen og \( x \)-aksen fra \( a \) til \( {-2} \) blir så stort vi vil når \( a \) går mot venstre. Integralet blir da mindre igjen, og det er \( \dfrac{5}{12} \) igjen når dette arealet er: \[ \textcolor{blue}{\dfrac{8}{3}} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{32}{12} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{9}{4} \]Da er integralet null en gang til, så Unni har rett.

2. Anslå den andre løsningen Fra figuren er grafen omtrent \( {-4{,}4} \) ved \( {x = -2{,}5}\text{,} \) og omtrent \( {-7} \) ved \( {x = -2{,}7}\text{.} \) Vi regner området mellom grafen og \( x \)-aksen som en trekant fra \( a \) til \( {-2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} a = -2{,}5\text{:} \quad & \dfrac{1}{2} \cdot 0{,}5 \cdot 4{,}4 = 1{,}1 \\ a = -2{,}7\text{:} \quad & \dfrac{1}{2} \cdot 0{,}7 \cdot 7 = 2{,}45 \end{aligned} \]Grafen bøyer seg inn mot \( x \)-aksen, så det virkelige arealet er litt mindre enn trekanten. Trekanten ved \( {a = -2{,}7} \) er litt større enn \( {\dfrac{9}{4} = 2{,}25}\text{,} \) så arealet blir \( \dfrac{9}{4} \) nær \( {a = -2{,}7}\text{.} \)

Vi ser at integralet er et produkt av en potens og \( \ln x\text{.} \) Vi bruker derfor delvis integrasjon, med \( \ln x \) som den vi deriverer.

1. Velg u og v′ Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v}\,dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Delvis integrasjon.

\( \ln x \) blir enklere når vi deriverer den, så vi velger: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{x^2} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\dfrac{x^3}{3}} \end{aligned} \]

2. Sett inn i formelen Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \begin{aligned} \int x^2 \ln x\,dx &= \textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{x^3}{3}} \\ &\quad - \int \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{x^3}{3}}\,dx \\ &= \dfrac{x^3}{3}\ln x - \int \dfrac{x^2}{3}\,dx \\ &= \dfrac{x^3}{3}\ln x - \dfrac{x^3}{9} + C \end{aligned} \]

Vi regner ut integralet med \( x \) som øvre grense, og får en likning med cosinus. Den løser vi med enhetssirkelen.

1. Regn ut integralet For sinus med en kjerne \( {\textcolor{blue}{n}t + b} \) gjelder: \[ \begin{aligned} &\int \sin(\textcolor{blue}{n}t + b)\,dt \\ &= -\dfrac{1}{\textcolor{blue}{n}}\cos(\textcolor{blue}{n}t + b) + C \end{aligned} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{\pi}}\text{.} \) Vi setter inn grensene \( x \) og \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\left[-\dfrac{1}{\textcolor{blue}{\pi}}\cos\left(\textcolor{blue}{\pi}t + \dfrac{\pi}{4}\right)\right]_0^x \\ &= -\dfrac{1}{\pi}\cos\left(\pi x + \dfrac{\pi}{4}\right) + \dfrac{1}{\pi}\cos\dfrac{\pi}{4} \end{aligned} \]

Integralet er \( 0 \) når de to leddene er like, altså når: \[ \cos\left(\textcolor{red}{\pi x + \dfrac{\pi}{4}}\right) = \cos\dfrac{\pi}{4} \]

2. Løs likningen To vinkler har samme cosinus når de er like, pluss hele runder \( 2\pi k\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\pi x + \dfrac{\pi}{4}} &= \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \\ x &= 2k \end{aligned} \]

eller når de er motsatte, pluss hele runder: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\pi x + \dfrac{\pi}{4}} &= -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \\ x &= -\dfrac{1}{2} + 2k \end{aligned} \]Hvis du er usikker på \( 2\pi k\text{,} \) kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

\( {\pi \approx 3{,}14}\text{.} \) Med \( {k = 1} \) får vi \( {x = 2} \) og \( {x = \dfrac{3}{2}}\text{.} \) \( {k = 0} \) gir \( {x = 0} \) og \( {x = -\dfrac{1}{2}}\text{,} \) og \( {k = 2} \) gir \( {x = 4} \) og \( {x = \dfrac{7}{2}}\text{,} \) som alle ligger utenfor \( \langle 0, \pi \rangle\text{.} \)

Vi bruker svaret fra b), \( {x = \dfrac{3}{2}} \) og \( {x = 2}\text{.} \)

Et bestemt integral er arealet over \( x \)-aksen minus arealet under. At integralet er \( 0\text{,} \) betyr at de to er like store.

1. Tolk integralet Fra \( 0 \) til \( x \) er \( \textcolor{blue}{\text{arealet over}} \) \( t \)-aksen like stort som \( \textcolor{red}{\text{arealet under}}\text{.} \) Hvis du er usikker på integralet som areal, kan du se videoen Hva er integrasjon.

2. Gi et eksempel La \( {\sin\left(\pi t + \dfrac{\pi}{4}\right)} \) være farten i m/s til en gjenstand som beveger seg fram og tilbake langs en linje. Integralet av farten er hvor langt gjenstanden har flyttet seg fra start.

At integralet er \( 0 \) for \( {x = \dfrac{3}{2}} \) og \( {x = 2}\text{,} \) betyr at gjenstanden er tilbake der den startet etter \( 1{,}5 \) og etter \( 2 \) sekunder.

For å sette opp likningen til et plan trenger vi en normalvektor. Vi ser hva som skjer når de tre punktene ligger på én linje.

1. Se på hvordan likningen finnes Gjennom tre punkter \( A\text{,} \) \( B \) og \( C \) finner vi en normalvektor som vektorproduktet: \[ \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \]Så setter vi inn i likningen for planet, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

2. Finn et moteksempel Ta punktene \( A(0, 0, 0)\text{,} \) \( B(1, 0, 0) \) og \( C(2, 0, 0)\text{,} \) som alle ligger på \( x \)-aksen. Da er \( {\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{blue}{[1, 0, 0]}} \) og \( {\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = \textcolor{red}{[2, 0, 0]} = 2\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}}\text{.} \) Vektorene er parallelle, så: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = [0, 0, 0] \]

Nullvektoren kan ikke være normalvektor. Alle plan som inneholder \( x \)-aksen, går gjennom de tre punktene, for eksempel \( xy \)-planet \( {z = 0} \) og \( xz \)-planet \( {y = 0}\text{.} \) Tre punkter bestemmer bare ett plan når de ikke ligger på samme linje, så påstanden er usann.

Vi finner kvotienten for \( {x = \dfrac{1}{e}}\text{,} \) og ser om rekken konvergerer før vi bruker sumformelen.

1. Finn kvotienten Hvert ledd er det forrige ganget med \( {\textcolor{red}{k = \ln x - 1}}\text{.} \) Med \( {x = \dfrac{1}{e}} \) er \( {\ln \dfrac{1}{e} = -1}\text{,} \) så: \[ \textcolor{red}{k} = -1 - 1 = \textcolor{red}{-2} \]

2. Sjekk om rekken konvergerer En uendelig geometrisk rekke konvergerer bare når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{.} \) Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Med \( {\textcolor{red}{k = -2}} \) er rekken \( {1 - 2 + 4 - 8 + \dots}\text{,} \) og leddene blir større og større. Rekken divergerer, så den har ingen sum.

Sumformelen ville gitt \( {\dfrac{1}{1 - (-2)} = \dfrac{1}{3}}\text{,} \) men formelen gjelder ikke når rekken divergerer. Påstanden er derfor usann.

Vi ser på differansen \( {f(x) - g(x)}\text{.} \) Den finner skjæringspunktene, og arealet mellom grafene er integralet av den.

1. Finn skjæringspunktene Vi trekker \( g \) fra \( f\text{,} \) og \( {-x^2} \) forsvinner: \[ \begin{aligned} h(x) &= f(x) - g(x) \\ &= x^3 - (a + 1)x \\ &= x\left(x^2 - (a + 1)\right) \end{aligned} \]

Når \( {a > -1} \) er \( {a + 1 > 0}\text{,} \) og grafene skjærer hverandre i tre punkter: \[ x = 0 \quad \vee \quad x = \pm\sqrt{a + 1} \]Mellom dem avgrenser grafene to områder.

2. Regn ut de to arealene Arealet mellom grafene er integralet av differansen. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Hva er integrasjon. Vi kaller \( {s = \sqrt{a + 1}}\text{,} \) så \( {s^2 = a + 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int_0^{\textcolor{red}{s}} h(x)\,dx &= \left[\dfrac{x^4}{4} - \dfrac{s^2 x^2}{2}\right]_0^{\textcolor{red}{s}} \\ &= \dfrac{s^4}{4} - \dfrac{s^4}{2} = -\dfrac{s^4}{4} \end{aligned} \]

På samme måte er: \[ \int_{\textcolor{blue}{-s}}^0 h(x)\,dx = 0 - \left(\dfrac{s^4}{4} - \dfrac{s^4}{2}\right) = \dfrac{s^4}{4} \]Det ene området har \( f \) over \( g\text{,} \) det andre \( g \) over \( f\text{,} \) og begge har arealet \( {\dfrac{s^4}{4} = \dfrac{(a + 1)^2}{4}}\text{.} \)

Det kunne vi også sett av at \( {h(-x) = -h(x)}\text{:} \) grafen til \( h \) er symmetrisk om origo. Påstanden er sann.

Vi finner en antiderivert ledd for ledd med potensregelen, og setter inn grensene.

1. Finn en antiderivert Potensregelen for integrasjon forteller oss at: \[ \int a x^{\textcolor{blue}{n}}\,dx = \dfrac{a}{\textcolor{blue}{n} + 1}x^{\textcolor{blue}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Vi bruker den på hvert ledd: \[ F(x) = -\dfrac{x^4}{4} + \dfrac{3x^2}{2} \]

2. Sett inn grensene Det bestemte integralet er \( {F(0) - F(-1)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int_{-1}^{0} f(x)\,dx &= 0 - \left(-\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2}\right) \\ &= -\dfrac{5}{4} \end{aligned} \]

Vi bruker integralet fra a), \( {\displaystyle\int_{-1}^{0} f(x)\,dx = -\dfrac{5}{4}}\text{.} \)

Vi ser hvor grafen ligger under og over \( x \)-aksen. Der den ligger under, er integralet negativt, så vi tar arealet av hver del for seg.

1. Finn fortegnet til f Vi faktoriserer: \[ f(x) = x(3 - x^2) \]

For \( x \) mellom \( 0 \) og \( 1 \) er begge faktorene positive, så grafen ligger over \( x \)-aksen. For \( x \) mellom \( {-1} \) og \( 0 \) er \( x \) negativ, så grafen ligger under. Hvis du er usikker på arealet som integral, kan du se videoen Hva er integrasjon.

2. Regn ut de to delene Fra a) er integralet fra \( {-1} \) til \( 0 \) lik \( {-\dfrac{5}{4}}\text{,} \) så \( \textcolor{blue}{\text{arealet under}} \) aksen er \( \textcolor{blue}{\dfrac{5}{4}}\text{.} \) Fra \( 0 \) til \( 1 \) får vi: \[ \begin{aligned} \int_0^1 f(x)\,dx &= -\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2} - 0 = \textcolor{red}{\dfrac{5}{4}} \end{aligned} \]Det er \( \textcolor{red}{\text{arealet over}} \) aksen.

Det samlede arealet er: \[ \textcolor{blue}{\dfrac{5}{4}} + \textcolor{red}{\dfrac{5}{4}} = \dfrac{5}{2} \]

Vi ser hva som legges til \( S \) i hver runde av løkka. Det er arealet av et smalt rektangel.

1. Les programmet Linje 1 til 4 deler intervallet \( {[-2, 2]} \) i \( {N = 1000} \) like deler med bredde \( {dx = \dfrac{2 - (-2)}{1000} = 0{,}004}\text{.} \) Linje 6 og 7 definerer \( {f(x) = x^2 - 1}\text{.} \)

I løkka i linje 10 til 12 er \( x_i \) venstre ende av del nummer \( i\text{,} \) og linje 12 legger til \( {\textcolor{red}{|f(x_i)|} \cdot \textcolor{blue}{dx}}\text{.} \) Det er arealet av et rektangel med bredde \( \textcolor{blue}{dx} \) og høyde \( \textcolor{red}{|f(x_i)|}\text{.} \)

2. Se hva summen blir Summen av rektanglene er en venstre Riemannsum, som i videoen Riemann sum. Med \( 1000 \) smale rektangler er den svært nær integralet. Absoluttverdien gjør at områdene under \( x \)-aksen også telles positivt.

Vi regner ut \( {\displaystyle\int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx} \) fra a).

\( {x^2 - 1} \) skifter fortegn i \( {x = -1} \) og \( {x = 1}\text{.} \) Grafen er symmetrisk om \( y \)-aksen, så vi regner ut arealet fra \( 0 \) til \( 2 \) og ganger med \( 2\text{.} \)

1. Del opp intervallet \( {x^2 - 1 < 0} \) for \( {0 < x < 1}\text{,} \) og \( {x^2 - 1 > 0} \) for \( {1 < x < 2}\text{.} \) Der grafen er under aksen, integrerer vi \( {1 - x^2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx \\ &= 2\textcolor{blue}{\int_0^1 (1 - x^2)\,dx} \\ &\quad + 2\textcolor{red}{\int_1^2 (x^2 - 1)\,dx} \end{aligned} \]

2. Regn ut de to integralene \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\int_0^1 (1 - x^2)\,dx} &= \left[x - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}} \\ \textcolor{red}{\int_1^2 (x^2 - 1)\,dx} &= \left[\dfrac{x^3}{3} - x\right]_1^2 \end{aligned} \]

Det siste er: \[ \left(\dfrac{8}{3} - 2\right) - \left(\dfrac{1}{3} - 1\right) = \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} = \textcolor{red}{\dfrac{4}{3}} \]

3. Legg sammen \[ 2\left(\textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}} + \textcolor{red}{\dfrac{4}{3}}\right) = 2 \cdot 2 = 4 \]