Eksamensoppgaver etter tema

Påstanden gjelder alle funksjoner på denne formen, så vi undersøker om telleren kan være \( 0 \) i \( {x = d}\text{,} \) der nevneren er \( 0\text{.} \)

1. Skriv opp kravet for vertikal asymptote 0:23 Før vi setter i gang, må vi vite når en brøk har en vertikal asymptote. Det har den i \( {x = d} \) når: \[ \text{nevneren} = 0 \quad \text{og} \quad \text{telleren} \neq 0 \]Nevneren \( {x - d} \) er \( 0 \) i \( {x = d}\text{,} \) men ingenting hindrer at telleren også er det.

2. Let etter et moteksempel 0:47 Påstanden sier «alle». Finner vi én funksjon på denne formen som ikke har en vertikal asymptote i \( {x = d}\text{,} \) er påstanden usann. Det kalles et moteksempel.

Vi velger en teller med \( {\textcolor{darkorange}{x - d}} \) som faktor ved å gange nevneren med seg selv, som i andre kvadratsetning: \[ (\textcolor{darkorange}{x - d})(x - d) = x^2 - 2dx + d^2 \]Hvis du er usikker på kvadratsetningene, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Det står \( 1 \) foran \( x^2\text{,} \) \( {-2d} \) foran \( x\text{,} \) og konstantleddet er \( d^2\text{.} \) Det er formen \( {ax^2 + bx + c} \) med: \[ a = 1, \quad b = -2d, \quad c = d^2 \]

3. Forkort brøken 3:07 Med disse tallene kan vi skrive om funksjonsuttrykket og forkorte \( {\textcolor{darkorange}{x - d}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(x) &= \dfrac{x^2 - 2dx + d^2}{x - d} \\ f(x) &= \dfrac{(\textcolor{darkorange}{x - d})(x - d)}{\textcolor{darkorange}{x - d}} \\ f(x) &= x - d, \quad x \neq d \end{aligned} \]

Dette gir en rett linje med et hull i \( {x = d}\text{,} \) som i eksempelet i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon. Når \( x \) nærmer seg \( d\text{,} \) går \( f(x) \) mot \( 0\text{,} \) ikke mot uendelig, så \( {x = d} \) er ingen vertikal asymptote. Påstanden er derfor usann. Andre moteksempler er også riktige, for eksempel \( {a = b = c = 0}\text{.} \)

For å finne ut om påstanden stemmer, finner vi den omvendte funksjonen selv og sammenligner. Definisjonsmengden til den omvendte funksjonen er verdimengden til \( g\text{.} \)

1. Løs likningen for x 1:05 For å finne den omvendte funksjonen skriver vi \( {y = e^{x - 3}} \) og løser for \( x\text{.} \) Vi starter med å ta \( \ln \) på begge sider: \[ \ln y = \ln\left(e^{\textcolor{green}{x - 3}}\right) \]

Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{green}{b}}\right) = \textcolor{green}{b} \cdot \ln a \quad \text{for } a > 0 \]Den flytter \( {\textcolor{green}{x - 3}} \) ned fra eksponenten, som i videoen Naturlige Logaritmer.

Fra definisjonen vet vi at \( {\ln e = 1}\text{.} \) Løser vi for \( x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \ln y &= (\textcolor{green}{x - 3}) \cdot \ln e \\ \ln y &= x - 3 \\ x &= \ln y + 3 \end{aligned} \]

2. Finn definisjonsmengden 2:35 Vi kan ikke ta \( \ln \) av \( 0 \) eller av et negativt tall, så \( {y > 0}\text{.} \) Hvis du er usikker på hvorfor, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

Det passer med at \( {e^{x - 3}} \) er positiv for alle \( x \) og tar alle positive verdier. Verdimengden til \( g \) blir definisjonsmengden til den omvendte funksjonen: \[ D_{g^{-1}} = V_g = \langle 0, \rightarrow \rangle \]

3. Sammenlign med påstanden 3:00 Vi bytter navn på variabelen og skriver den omvendte funksjonen med \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} g^{-1}(x) &= \ln(x) + 3 \\ D_{g^{-1}} &= \langle 0, \rightarrow \rangle \end{aligned} \]Både uttrykket og definisjonsmengden er det påstanden sier. Påstanden er derfor sann.

Vi bruker to ting: \( a^x \) er \( 1 \) i \( {x = 0}\text{,} \) og graden til et polynom synker med to når vi deriverer to ganger.

1. Finn eksponentialfunksjonen 0:46 Bare A og G vokser stadig brattere, slik eksponentialfunksjoner gjør. Den deriverte av \( a^x \) er \( a^x \) ganget med \( \ln a\text{,} \) så den dobbeltderiverte er også en eksponentialfunksjon: \[ \begin{aligned} (a^x)' &= a^x \cdot \ln a \\ (a^x)'' &= (\ln a)^2 \cdot a^x \end{aligned} \]

\( {a^0 = 1} \) for alle \( a\text{,} \) så grafen til \( a^x \) går gjennom \( (0, 1)\text{.} \) Det gjør G, men ikke A. G går også gjennom \( (1, 2)\text{,} \) så \( {G = 2^x} \) og \( {A = (\ln 2)^2 \cdot 2^x \approx 0{,}48 \cdot 2^x}\text{.} \)

2. Bruk at graden synker med to 4:19 Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Bruker vi den to ganger, får vi: \[ \begin{aligned} (x^b - c)' &= b \cdot x^{b - 1} \\ (x^b - c)'' &= b(b - 1) \cdot x^{b - 2} \end{aligned} \]Graden er den største eksponenten, som i videoen Hva er et Polynom?, så den synker fra \( b \) til \( {b - 2}\text{.} \)

I \( {x = 0} \) er \( {x^b - c = -c}\text{,} \) som er negativ. Det passer med B, E og F. C og D går gjennom origo, og H ligger over \( x \)-aksen, så C, D og H er dobbeltderiverte.

3. Finn de tre parene 4:51 \( \textcolor{blue}{B} \) har et terrassepunkt i \( {(0, -1)}\text{,} \) så \( {c = 1} \) og \( b \) er et oddetall større enn 2. Den dobbeltderiverte har da oddetallsgrad, og bare den rette linja \( \textcolor{blue}{C} \) passer. Da er \( {b - 2 = 1}\text{,} \) så \( {B = x^3 - 1}\text{:} \) \[ (x^3 - 1)'' = 3 \cdot 2 \cdot x = 6x \]

\( \textcolor{red}{E} \) går gjennom \( {(0, -2)}\text{,} \) så \( {c = 2}\text{,} \) og gjennom \( (2, 2)\text{,} \) så \( {2^b - 2 = 2}\text{.} \) Det gir \( {b = 2}\text{,} \) og den dobbeltderiverte er konstant, \( \textcolor{red}{H}\text{:} \) \[ (x^2 - 2)'' = 2 \cdot 1 = 2 \]

\( \textcolor{green}{F} \) har bunnpunkt i \( {(0, -1)}\text{,} \) så \( {c = 1} \) og \( b \) er et partall. Den dobbeltderiverte er \( \textcolor{green}{D}\text{,} \) den eneste som er igjen, og den har grad 2. Da er \( {b - 2 = 2}\text{,} \) så \( {F = x^4 - 1}\text{:} \) \[ (x^4 - 1)'' = 4 \cdot 3 \cdot x^2 = 12x^2 \]Det stemmer med figurene: \( {6 \cdot 0{,}5 = 3} \) og \( {12 \cdot 0{,}5^2 = 3}\text{,} \) og både C og D går gjennom \( (0{,}5;\ 3)\text{.} \)

En funksjon har en omvendt funksjon når hver \( y \)-verdi kommer fra bare én \( x \)-verdi. Da kan ingen vannrett linje skjære grafen mer enn én gang.

1. Skriv opp kravet For å finne den omvendte funksjonen løser vi \( {y = f(x)} \) for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Det går bare når ulike \( x \) gir ulike \( y\text{:} \) \[ x_1 \neq x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1) \neq f(x_2) \]For en kontinuerlig funksjon betyr det at den hele tiden vokser eller hele tiden avtar.

2. Se på hver graf Grafene med omvendt funksjon er blå, de andre røde. \( \textcolor{blue}{A}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{B}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{C} \) og \( \textcolor{blue}{G} \) vokser hele tiden. B flater ut i \( {(0, -1)}\text{,} \) men stiger på begge sider, så også B gir én \( x \) for hver \( y\text{.} \)

\( \textcolor{red}{D}\text{,} \) \( \textcolor{red}{E} \) og \( \textcolor{red}{F} \) er symmetriske om \( y \)-aksen, så for eksempel \( {x = -1} \) og \( {x = 1} \) gir samme \( y \)-verdi. \( \textcolor{red}{H} \) er konstant, så alle \( x \) gir \( {y = 2}\text{.} \) Disse fire har ingen omvendt funksjon.

En kontinuerlig funksjon har en omvendt funksjon på et intervall der den hele tiden vokser eller hele tiden avtar. Vi finner derfor ut hvor \( f \) vokser og hvor den avtar.

1. Finn nullpunktene til den deriverte Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ f'(x) = \dfrac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2 \cdot 2x = x^2 - 4x \]

Faktoriserer vi ut \( x\text{,} \) får vi \( {f'(x) = \textcolor{darkorange}{x}(\textcolor{magenta}{x - 4})}\text{.} \) Den er \( 0 \) når \( {x = 0} \) og når \( {x = 4}\text{.} \)

2. Lag en fortegnslinje Vi lager en fortegnslinje for \( f'(x)\text{,} \) som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [0, 4], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x}", "expr": "x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 4}", "expr": "x - 4"}, {"label": "f'(x)", "expr": "x(x - 4)"}]} En strek viser hvor en linje er \( 0\text{.} \) Der \( f'(x) \) er pluss, vokser \( f\text{,} \) og der den er minus, avtar \( f\text{.} \) \( f \) vokser fram til \( {x = 0}\text{,} \) avtar fra \( {x = 0} \) til \( {x = 4} \) og vokser igjen.

3. Velg intervallet rundt 2 For å finne den omvendte funksjonen må vi kunne løse \( {y = f(x)} \) for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Det går bare når hver verdi av \( y \) kommer fra bare én verdi av \( x\text{.} \)

\( 2 \) ligger mellom \( 0 \) og \( 4\text{,} \) der \( f \) hele tiden avtar. Tar vi med noe utenfor \( [0, 4]\text{,} \) snur grafen, og \( f \) får noen av verdiene to ganger. Det største intervallet er derfor \( [0, 4]\text{.} \)

Vi bruker at \( g \) er den omvendte funksjonen til \( f \) på \( {I = [0, 4]} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Punktet \( {(-10, 3)} \) på grafen til \( g \) svarer til punktet \( {(3, -10)} \) på grafen til \( f\text{.} \) Stigningstallet til \( g \) finner vi fra stigningstallet til \( f \) i det punktet.

1. Sjekk punktet Vi setter \( {x = 3} \) inn i \( f(x)\text{:} \) \[ f(3) = \dfrac{1}{3} \cdot 27 - 2 \cdot 9 - 1 = -10 \]Siden \( 3 \) ligger i \( [0, 4]\text{,} \) er \( {g(-10) = 3}\text{.} \)

2. Deriver den omvendte funksjonen Siden \( g \) er den omvendte funksjonen til \( f\text{,} \) er \( {f(g(x)) = x}\text{.} \) Vi deriverer begge sider. Kjerneregelen forteller oss at: \[ \bigl(f(\textcolor{green}{g(x)})\bigr)' = f'(\textcolor{green}{g(x)}) \cdot \textcolor{green}{g'(x)} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Høyre side, \( x\text{,} \) har derivert \( 1\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} f'(\textcolor{green}{g(x)}) \cdot \textcolor{green}{g'(x)} &= 1 \\ g'(x) &= \dfrac{1}{f'(g(x))} \end{aligned} \]

3. Sett inn punktet I a) fant vi \( {f'(x) = x^2 - 4x}\text{,} \) så \( {f'(3) = 9 - 12 = -3}\text{.} \) Med \( {g(-10) = 3} \) får vi: \[ g'(-10) = \dfrac{1}{f'(3)} = \dfrac{1}{-3} = -\dfrac{1}{3} \]

Vi bruker \( {f'(x) = x^2 - 4x} \) fra a) og \( {g'(x) = \dfrac{1}{f'(g(x))}} \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Grafen til \( g \) har stigningstall \( {-\dfrac{1}{3}} \) der grafen til \( f \) har stigningstall \( {-3}\text{.} \) Vi løser derfor \( {f'(x) = -3} \) for \( x \) i \( [0, 4]\text{.} \)

1. Finn punktene med samme stigningstall Fra b) er stigningstallet til grafen til \( g \) i punktet \( (f(x), x) \) lik \( \dfrac{1}{f'(x)}\text{.} \) Det er \( {-\dfrac{1}{3}} \) når \( {f'(x) = -3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x^2 - 4x &= -3 \\ x^2 - 4x + 3 &= 0 \end{aligned} \]

Bokstavene \( a \) og \( b \) er brukt i oppgaven, så vi kaller koeffisientene \( \textcolor{blue}{p}\text{,} \) \( \textcolor{red}{q} \) og \( \textcolor{green}{r}\text{.} \) Med abc-formelen har \( {\textcolor{blue}{p}x^2 + \textcolor{red}{q}x + \textcolor{green}{r} = 0} \) løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{green}{r}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{p}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{-4}} \) og \( {\textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{3}}\text{,} \) får vi: \[ x = \dfrac{4 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-4})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} = \dfrac{4 \pm 2}{2} \]Det gir \( {x = 3} \) eller \( {x = 1}\text{.} \)

2. Finn tangeringspunktet \( {x = 3} \) gir punktet \( {(-10, 3)} \) fra b). Den andre løsningen, \( {x = 1}\text{,} \) ligger i \( [0, 4]\text{:} \) \[ f(1) = \dfrac{1}{3} - 2 - 1 = -\dfrac{8}{3} \]Punktet \( {\left(1, -\dfrac{8}{3}\right)} \) på grafen til \( f \) svarer til punktet \( {\left(-\dfrac{8}{3}, 1\right)} \) på grafen til \( g\text{.} \)

En funksjon har en omvendt funksjon når hver verdi av \( y \) kommer fra bare én verdi av \( x\text{.} \) Vi ser på hver graf for seg.

1. Skriv opp kravet For å finne den omvendte funksjonen løser vi \( {y = f(x)} \) for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Det går bare når ulike verdier av \( x \) gir ulike verdier av \( y\text{:} \) \[ x_1 \neq x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1) \neq f(x_2) \]

2. Se på hver graf \( f \) stiger hele tiden fra \( (0, 3) \) mot \( (2, 7)\text{,} \) så hver verdi av \( y \) kommer fra bare én \( x\text{.} \) \( f \) har en omvendt funksjon.

\( h \) stiger, synker og stiger igjen. Den vannrette linja \( {y = 5} \) skjærer grafen tre ganger, én av dem i \( (0, 5)\text{,} \) så tre verdier av \( x \) gir \( {y = 5}\text{.} \) \( h \) har ingen omvendt funksjon.

\( g \) består av to linjestykker, og endene er tegnet som i et intervall: en hakeparentes betyr at endepunktet er med, og en vinkelparentes, lik en pilspiss, at det ikke er med. Slik må det være, ellers ville \( g \) hatt to verdier i \( {x = 1}\text{.} \) Det nederste linjestykket gir \( {\textcolor{blue}{y \in \langle -3, 0\rangle}}\text{,} \) og det øverste gir \( \textcolor{red}{y \in [0, 2]}\text{.} \) Punktet \( (1, 0) \) er ikke med, så \( {y = 0} \) kommer bare fra \( (2, 0)\text{.} \) Hver verdi av \( y \) kommer fra bare én \( x\text{,} \) så \( g \) har en omvendt funksjon, selv om grafen både stiger og synker.

Vi bruker fra a) at \( f \) og \( g \) har en omvendt funksjon. Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi finner funksjonsuttrykkene fra grafene, skriver \( {y = f(x)} \) og løser for \( x\text{.} \) Definisjonsmengden til den omvendte funksjonen er verdimengden til funksjonen.

1. Finn uttrykket for f Grafen til \( f \) ser ut som en parabel med bunnpunkt i \( (0, 3)\text{,} \) og den går gjennom \( (1, 4) \) og \( (2, 7)\text{.} \) Det passer med \[ f(x) = x^2 + 3, \quad x \in [0, 2\rangle \]siden \( {1^2 + 3 = 4} \) og \( {2^2 + 3 = 7}\text{.} \)

2. Finn den omvendte funksjonen til f Vi skriver \( {y = x^2 + 3} \) og løser for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Siden \( {x \ge 0}\text{,} \) tar vi den positive roten: \[ \begin{aligned} x^2 &= y - 3 \\ x &= \sqrt{y - 3} \end{aligned} \]

Verdimengden til \( f \) er \( [3, 7\rangle\text{,} \) fordi \( (0, 3) \) er med og \( (2, 7) \) ikke er med. Den blir definisjonsmengden til den omvendte funksjonen, og vi bytter navn på variabelen: \[ f^{-1}(x) = \sqrt{x - 3}, \quad D_{f^{-1}} = [3, 7\rangle \]

3. Finn uttrykkene for g En rett linje har likningen \[ y = ax + b \]der stigningstallet er \( {a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}}\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte. Det nederste linjestykket går gjennom \( {(-2, -3)} \) og \( (1, 0)\text{,} \) og det øverste gjennom \( (1, 2) \) og \( (2, 0)\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{\dfrac{0 - (-3)}{1 - (-2)}} = \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{red}{a_2} &= \textcolor{red}{\dfrac{0 - 2}{2 - 1}} = \textcolor{red}{-2} \end{aligned} \]

Det nederste skjærer \( y \)-aksen i \( {-1}\text{,} \) så \( {b_1 = -1}\text{.} \) For det øverste gir punktet \( (2, 0) \) at \( {0 = \textcolor{red}{-2} \cdot 2 + b_2}\text{,} \) så \( {b_2 = 4}\text{:} \) \[ g(x) = \begin{cases} \textcolor{blue}{x - 1}, & x \in \langle -2, 1\rangle \\ \textcolor{red}{-2x + 4}, & x \in [1, 2] \end{cases} \]

4. Finn den omvendte funksjonen til g Vi løser hvert uttrykk for \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{y} &= \textcolor{blue}{x - 1} & x &= y + 1 \\ \textcolor{red}{y} &= \textcolor{red}{-2x + 4} & x &= 2 - \dfrac{y}{2} \end{aligned} \]

Verdimengdene fra a), \( {\textcolor{blue}{\langle -3, 0\rangle}} \) og \( \textcolor{red}{[0, 2]}\text{,} \) blir definisjonsmengdene. Vi bytter navn på variabelen: \[ g^{-1}(x) = \begin{cases} \textcolor{blue}{x + 1}, & x \in \langle -3, 0\rangle \\ \textcolor{red}{2 - \dfrac{x}{2}}, & x \in [0, 2] \end{cases} \]Definisjonsmengden er \( {D_{g^{-1}} = \langle -3, 2]}\text{.} \)

Vi skriver om eksponenten med logaritmeregelen for potenser, og bruker så definisjonen av \( \ln\text{.} \)

1. Skriv om eksponenten Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{green}{b}}\right) = \textcolor{green}{b} \cdot \ln a \quad \text{for } a > 0 \]De samme regnereglene gjelder for \( \ln \) som for \( \lg\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer.

Vi bruker den baklengs, med \( {a = x > 0} \) og \( {\textcolor{green}{b} = \textcolor{green}{k}}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{k} \cdot \ln(x) = \ln\left(x^{\textcolor{green}{k}}\right) \]

2. Bruk definisjonen av ln Fra definisjonen av logaritmen er \( \ln u \) tallet vi må opphøye \( e \) i for å få \( u\text{,} \) så \( {e^{\ln u} = u} \) for \( {u > 0}\text{,} \) som i videoen Hva er en Logaritme?. Med \( {u = x^{\textcolor{green}{k}}}\text{,} \) som er positiv når \( {x > 0}\text{,} \) får vi: \[ e^{\textcolor{green}{k} \cdot \ln(x)} = e^{\ln\left(x^{\textcolor{green}{k}}\right)} = x^{\textcolor{green}{k}} \]Det er det påstanden sier, og det gjelder for alle \( {x > 0}\text{.} \)

En funksjon som er deriverbar i et punkt, må også være kontinuerlig der. Vi sjekker derfor først om uttrykkene gir samme verdi i \( {x = 2}\text{.} \)

1. Sjekk om funksjonen er kontinuerlig Fra venstre gjelder \( {\textcolor{blue}{x^3 - 2}}\text{.} \) Fra høyre, og i \( {x = 2}\text{,} \) gjelder \( {\textcolor{red}{3x^2 - 4}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 2^-} f(x) &= \textcolor{blue}{2^3 - 2} = \textcolor{blue}{6} \\ f(2) &= \textcolor{red}{3 \cdot 2^2 - 4} = \textcolor{red}{8} \end{aligned} \]Uttrykkene gir \( \textcolor{blue}{6} \) og \( \textcolor{red}{8}\text{,} \) så grafen hopper i \( {x = 2}\text{,} \) som i det første eksempelet i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon. \( f \) er altså ikke kontinuerlig i \( {x = 2}\text{.} \)

2. Avgjør om funksjonen er deriverbar Der funksjonen skifter uttrykk, er den deriverbar bare når uttrykkene gir samme verdi og har samme derivert, som i videoen Oppgave 2B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Her har uttrykkene samme derivert i \( {x = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{x^3 - 2})' &= 3x^2\text{, som gir } 12 \\ (\textcolor{red}{3x^2 - 4})' &= 6x\text{, som gir } 12 \end{aligned} \]Men det holder ikke. Verdiene er ulike, så grafen har et sprang og ingen tangent i \( {x = 2}\text{.} \) Påstanden er derfor usann.

Påstanden sier at en slik funksjon kan ha en omvendt funksjon. Da holder det med ett eksempel.

1. Skriv opp kravet For å finne den omvendte funksjonen løser vi \( {y = f(x)} \) for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Det går bare når ulike verdier av \( x \) gir ulike verdier av \( y\text{:} \) \[ x_1 \neq x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1) \neq f(x_2) \]

En kontinuerlig funksjon som både minker og vokser på ett og samme intervall, snur et sted og får noen verdier to ganger. Men definisjonsmengden kan bestå av to deler.

2. Finn et eksempel Vi velger \( {f(x) = x^2} \) med \( {D_f = \textcolor{blue}{[-2, -1]} \cup \textcolor{red}{[3, 4]}}\text{.} \) På \( {\textcolor{blue}{[-2, -1]}} \) minker \( f \) fra 4 til 1, og på \( \textcolor{red}{[3, 4]} \) vokser den fra 9 til 16: \[ V_f = \textcolor{blue}{[1, 4]} \cup \textcolor{red}{[9, 16]} \]

De to delene av verdimengden har ingen felles verdier, så hver verdi av \( y \) kommer fra bare én \( x\text{.} \) Funksjonen har derfor en omvendt funksjon, selv om den både minker og vokser. Påstanden er sann.

Hver del er et andregradsuttrykk, så grafen kan bare gjøre et sprang i skjøten \( {x = k}\text{.} \) Vi viser at begge uttrykkene gir samme verdi der.

1. Skriv opp kravet \( f \) er kontinuerlig i \( {x = k} \) når grenseverdiene fra begge sider er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to k^-} f(x) = \lim_{x \to k^+} f(x) = f(k) \]For en delt forskrift betyr det at uttrykkene på hver side gir samme verdi i skjøten, som i videoen For hvilke verdier av a blir f en kontinuerlig funksjon.

2. Sett inn skjøten i begge uttrykkene Fra venstre gjelder det øverste uttrykket: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{-k^2 + (2 + k)k} &= -k^2 + 2k + k^2 \\ &= \textcolor{blue}{2k} \end{aligned} \]

Det nederste uttrykket gjelder for \( {x \ge k}\text{,} \) så det gir både \( f(k) \) og grensen fra høyre: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k^2 + (2 - k)k} &= k^2 + 2k - k^2 \\ &= \textcolor{red}{2k} \end{aligned} \]

Begge uttrykkene gir \( 2k\text{,} \) uansett hva \( k \) er. Delene møtes altså i punktet \( (k, 2k)\text{,} \) og \( f \) er kontinuerlig for alle verdier av \( k\text{.} \)

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: at \( f \) er kontinuerlig, står i oppgaveteksten til a).

Delene møtes i \( {x = k}\text{.} \) Da er \( f \) deriverbar der når de to uttrykkene også har samme derivert i \( {x = k}\text{.} \)

1. Deriver begge uttrykkene En delt forskrift er deriverbar i skjøten når den er kontinuerlig der og uttrykkene på hver side har samme derivert, som i videoen Oppgave 2B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) deriverer vi hvert uttrykk: \[ \begin{aligned} \left(-x^2 + (2 + k)x\right)' &= \textcolor{blue}{-2x + 2 + k} \\ \left(x^2 + (2 - k)x\right)' &= \textcolor{red}{2x + 2 - k} \end{aligned} \]

I \( {x = k} \) gir de den deriverte fra venstre og fra høyre: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{-2k + 2 + k} &= \textcolor{blue}{2 - k} \\ \textcolor{red}{2k + 2 - k} &= \textcolor{red}{k + 2} \end{aligned} \]

2. Sett de deriverte like De deriverte fra hver side må være like: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2 - k} &= \textcolor{red}{k + 2} \\ -2k &= 0 \\ k &= 0 \end{aligned} \]Da er den deriverte \( 2 \) fra begge sider.

Vi bruker de deriverte fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( f \) har en omvendt funksjon når hver \( y \)-verdi kommer fra bare én \( x \)-verdi. \( f \) er kontinuerlig, så da må grafen vokse hele tiden.

1. Skriv opp kravet For å finne den omvendte funksjonen løser vi \( {y = f(x)} \) for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Det går bare når ulike \( x \) gir ulike \( y\text{:} \) \[ x_1 \neq x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1) \neq f(x_2) \]For en kontinuerlig funksjon betyr det at den hele tiden vokser eller hele tiden avtar. Langt til venstre vokser \( {-x^2 + (2 + k)x}\text{,} \) så \( f \) må vokse hele tiden.

2. Finn når begge delene vokser I b) fant vi de deriverte på hver side: \[ \begin{aligned} x < k\text{:} \quad & \textcolor{blue}{-2x + 2 + k} \\ x > k\text{:} \quad & \textcolor{red}{2x + 2 - k} \end{aligned} \]

\( {\textcolor{blue}{-2x + 2 + k}} \) blir mindre når \( x \) øker. For \( {x < k} \) er den derfor større enn verdien i \( {x = k}\text{,} \) som er \( {\textcolor{blue}{2 - k}}\text{.} \) Den venstre delen vokser hele tiden når: \[ \textcolor{blue}{2 - k} \ge 0 \quad \Leftrightarrow \quad k \le 2 \]

\( {\textcolor{red}{2x + 2 - k}} \) blir større når \( x \) øker, så for \( {x > k} \) er den større enn \( {\textcolor{red}{k + 2}}\text{.} \) Den høyre delen vokser hele tiden når: \[ \textcolor{red}{k + 2} \ge 0 \quad \Leftrightarrow \quad k \ge -2 \]

3. Sjekk verdiene utenfor Delene møtes i \( {x = k}\text{,} \) så når begge vokser, vokser \( f \) hele tiden. Det gjelder når \( {-2 \le k \le 2}\text{.} \)

Er \( {k > 2}\text{,} \) er den deriverte \( {\textcolor{blue}{-2x + 2 + k}} \) negativ like til venstre for \( {x = k}\text{,} \) så grafen snur. For eksempel gir \( {k = 3} \) at \( {f(2) = f(3) = 6}\text{.} \) På samme måte snur grafen like til høyre for \( {x = k} \) når \( {k < -2}\text{.} \) Da har \( f \) ingen omvendt funksjon.