Eksamensoppgaver etter tema

Vi ser på hva husholdningen betaler når spotprisen er under og over \( 75 \) øre/kWh, og hva som skjer når spotprisen er akkurat \( 75\text{.} \)

1. Forklar hvorfor forskriften er delt Når spotprisen er \( 75 \) øre/kWh eller lavere, gir ordningen ingen støtte, og husholdningen betaler hele spotprisen: \[ \textcolor{blue}{f(x) = x} \]

Når spotprisen er over \( 75 \) øre/kWh, dekker støtten \( 90 \) prosent av det som er over \( 75\text{,} \) altså \( {0{,}9 \cdot (x - 75)}\text{.} \) Da følger prisen en annen regel: \[ \textcolor{red}{f(x) = x - 0{,}9 \cdot (x - 75)} \]En funksjon som følger ulike regler på ulike deler av definisjonsmengden, har delt forskrift, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.

2. Begrunn at funksjonen er kontinuerlig Hver del er en rett linje, så grafen kan bare gjøre et sprang i skjøten \( {x = 75}\text{.} \) Der er \( f \) kontinuerlig når grenseverdiene fra begge sider er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to 75^-} f(x) = \lim_{x \to 75^+} f(x) = f(75) \]

Støtten er \( 0 \) når \( {x = 75}\text{,} \) så begge delene gir \( 75\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 75^-} f(x) &= \textcolor{blue}{75} = f(75) \\ \lim_{x \to 75^+} f(x) &= \textcolor{red}{75 - 0{,}9 \cdot (75 - 75)} \\ \lim_{x \to 75^+} f(x) &= 75 \end{aligned} \]Delene møtes, så \( f \) er kontinuerlig.

Det er ordningen som gjør at den må være det: støtten dekker bare det som er over \( 75\text{,} \) så den starter på \( 0\text{.} \) Hadde støtten dekket \( 90 \) prosent av hele prisen, ville prisen falt fra \( 75 \) til \( 7{,}6 \) øre/kWh når spotprisen gikk fra \( 75 \) til \( 76\text{.} \)

Opp til \( 75 \) øre/kWh betaler husholdningen hele spotprisen. Over \( 75 \) trekker vi fra støtten, som er \( 90 \) prosent av det som er over \( 75\text{.} \)

1. Finn prisen på begge sider Når \( {x \le 75}\text{,} \) får husholdningen ingen støtte og betaler hele spotprisen: \[ \textcolor{blue}{f(x) = x} \]

Når \( {x > 75}\text{,} \) er det som er over \( 75 \) lik \( {x - 75}\text{,} \) og støtten er \( {0{,}9 \cdot (x - 75)}\text{.} \) Husholdningen betaler spotprisen minus støtten: \[ \begin{aligned} f(x) &= x - 0{,}9 \cdot (x - 75) \\ f(x) &= x - 0{,}9x + 67{,}5 \\ f(x) &= \textcolor{red}{0{,}1x + 67{,}5} \end{aligned} \]

2. Skriv opp funksjonsuttrykket Vi setter de to delene sammen til en delt forskrift med klamme, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon. Begge gir \( 75 \) når \( {x = 75}\text{:} \) \[ f(x) = \begin{cases} \textcolor{blue}{x}, & x \le 75 \\ \textcolor{red}{0{,}1x + 67{,}5}, & x > 75 \end{cases} \]

Merk – Tolkning: Oppgaven sier ikke hvilke spotpriser som er mulige, så vi skriver bare \( {x \le 75} \) i den første delen. Å skrive \( {0 \le x \le 75} \) er også en rimelig tolkning, og \( {x = 75} \) kan stå i hvilken som helst av delene, fordi begge gir \( 75\text{.} \) Eksamensveiledningen sier at sensorene skal være åpne for rimelige tolkninger.

Funksjonen skifter uttrykk i \( {x = -2}\text{.} \) Den er kontinuerlig der bare hvis de to uttrykkene gir samme verdi i \( {x = -2}\text{.} \)

1. Skriv opp kravet 0:19 \( f \) er kontinuerlig i \( {x = -2} \) når grenseverdiene fra begge sider er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) = f(-2) \]For en delt forskrift betyr det at uttrykkene på hver side gir samme verdi der funksjonen skifter, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.

2. Sett inn i begge uttrykkene 1:33 Med \( {a = 2} \) og \( {b = -2} \) er det første uttrykket \( {2x - 2}\text{.} \) Det gjelder for \( {x \le -2}\text{,} \) så det gir både \( {f(-2)} \) og grensen fra venstre: \[ \textcolor{blue}{2 \cdot (-2) - 2} = \textcolor{blue}{-6} \]

Fra høyre gjelder \( {2x^3 + 2x^2 - 2x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{2 \cdot (-2)^3 + 2 \cdot (-2)^2 - 2 \cdot (-2)} \\ &= -16 + 8 + 4 = \textcolor{red}{-4} \end{aligned} \]

Uttrykkene gir \( {\textcolor{blue}{-6}} \) og \( {\textcolor{red}{-4}}\text{,} \) så grafen hopper i \( {x = -2}\text{.} \) Funksjonen er altså ikke kontinuerlig der.

Der funksjonen skifter uttrykk, må uttrykkene på hver side gi samme verdi og ha samme derivert. Det gir to krav i \( {x = -2} \) og to i \( {x = k}\text{.} \)

1. Deriver hvert uttrykk 1:30 Der funksjonen skifter uttrykk, er den kontinuerlig når uttrykkene på hver side gir samme verdi, som i videoen For hvilke verdier av a blir f en kontinuerlig funksjon. Den er i tillegg deriverbar når de deriverte også er like.

Vi deriverer hvert uttrykk med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{.} \) Konstantene \( b \) og \( c \) har derivert \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} (ax + b)' &= \textcolor{blue}{a} \\ (2x^3 + 2x^2 - 2x)' &= \textcolor{red}{6x^2 + 4x - 2} \\ (c)' &= \textcolor{green}{0} \end{aligned} \]

2. Finn a og b 2:47 Like deriverte i \( {x = -2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{red}{6 \cdot (-2)^2 + 4 \cdot (-2) - 2} \\ \textcolor{blue}{a} &= 24 - 8 - 2 = 14 \end{aligned} \]

Like verdier i \( {x = -2}\text{.} \) Det midterste uttrykket gir: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{2 \cdot (-2)^3 + 2 \cdot (-2)^2 - 2 \cdot (-2)} \\ &= -16 + 8 + 4 = \textcolor{red}{-4} \end{aligned} \]

Det første uttrykket må gi det samme: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{14 \cdot (-2) + b} &= \textcolor{red}{-4} \\ b &= 24 \end{aligned} \]

3. Finn k med abc-formelen 5:39 I \( {x = k} \) må den deriverte av det midterste uttrykket være lik den deriverte av konstanten \( c\text{,} \) som er \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{red}{6k^2 + 4k - 2} = \textcolor{green}{0} \]

Bokstavene \( a\text{,} \) \( b \) og \( c \) er brukt, så vi kaller koeffisientene \( p\text{,} \) \( q \) og \( r\text{.} \) Da gir abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ k = \dfrac{-q \pm \sqrt{q^2 - 4pr}}{2p} \]

Plugger vi inn \( {p = 6}\text{,} \) \( {q = 4} \) og \( {r = -2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} k &= \dfrac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2)}}{2 \cdot 6} \\ k &= \dfrac{-4 \pm 8}{12} \\ k &= \dfrac{1}{3} \quad \text{eller} \quad k = -1 \end{aligned} \]Begge ligger i \( {\langle -2, \rightarrow \rangle}\text{.} \)

4. Finn c for hver k 9:30 Like verdier i \( {x = k} \) gir \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{red}{2k^3 + 2k^2 - 2k}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} k = \dfrac{1}{3}\text{:} \quad c &= \dfrac{2}{27} + \dfrac{2}{9} - \dfrac{2}{3} = -\dfrac{10}{27} \\ k = -1\text{:} \quad c &= -2 + 2 + 2 = 2 \end{aligned} \]Begge valgene gir en funksjon som er kontinuerlig og deriverbar i \( {x = -2} \) og \( {x = k}\text{.} \)

1. Løs kravene i CAS Vi skriver de tre uttrykkene inn som egne funksjoner i CAS, med gangetegn i \( {a \cdot x}\text{,} \) og løser kravene i \( {x = -2} \) og i \( {x = k} \) hver for seg, som i videoen Oppgave 2B (GEOGEBRA / CAS) - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: g(x) := a*x + b h(x) := 2x^3 + 2x^2 - 2x l(x) := c Løs({g(-2) = h(-2), g'(-2) = h'(-2)}, {a, b}) Løs({h(k) = l(k), h'(k) = l'(k)}, {c, k})

CAS gir \( {a = 14} \) og \( {b = 24}\text{,} \) og de samme to løsningene for \( k \) og \( c\text{:} \) enten \( {k = \dfrac{1}{3}} \) og \( {c = -\dfrac{10}{27}}\text{,} \) eller \( {k = -1} \) og \( {c = 2}\text{.} \)

Funksjonen skifter uttrykk i \( {x = 0}\text{.} \) Den er kontinuerlig der hvis de to uttrykkene gir samme verdi i \( {x = 0}\text{.} \)

1. Skriv opp kravet \( f \) er kontinuerlig i \( {x = 0} \) når grenseverdiene fra begge sider er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) \]For en delt forskrift betyr det at uttrykkene på hver side gir samme verdi der funksjonen skifter, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.

2. Sett inn i begge uttrykkene Fra venstre gjelder \( {\textcolor{blue}{x^2 + 2}}\text{.} \) Fra høyre, og i \( {x = 0}\text{,} \) gjelder \( \textcolor{red}{2e^x}\text{,} \) og \( {e^0 = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 0^-} f(x) &= \textcolor{blue}{0^2 + 2} = \textcolor{blue}{2} \\ \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) &= \textcolor{red}{2e^0} = \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]Begge uttrykkene gir \( 2\text{,} \) så grafen henger sammen i \( {x = 0}\text{.} \)

Vi bruker at \( f \) er kontinuerlig i \( {x = 0}\text{,} \) som vi fant i a).

En funksjon som er kontinuerlig der den skifter uttrykk, er deriverbar der bare hvis uttrykkene på hver side også har samme derivert.

1. Deriver hvert uttrykk Der funksjonen skifter uttrykk, er den deriverbar når grafen ikke har noen knekk: de deriverte fra hver side må være like, som i videoen Oppgave 2B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Med potensregelen er \( {(\textcolor{blue}{x^2 + 2})' = \textcolor{blue}{2x}}\text{,} \) og siden \( {(e^x)' = e^x}\text{,} \) er \( {(\textcolor{red}{2e^x})' = \textcolor{red}{2e^x}}\text{.} \)

2. Sammenlign de deriverte i skjøten I \( {x = 0} \) får vi: \[ \begin{aligned} \text{Fra venstre: } & \textcolor{blue}{2 \cdot 0} = \textcolor{blue}{0} \\ \text{Fra høyre: } & \textcolor{red}{2e^0} = \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]

Stigningstallet er \( 0 \) fra venstre og \( 2 \) fra høyre. Grafen har altså en knekk i \( {x = 0}\text{,} \) så \( f \) er ikke deriverbar der.

Vi skriver om eksponenten med logaritmeregelen for potenser, og bruker så definisjonen av \( \ln\text{.} \)

1. Skriv om eksponenten Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{green}{b}}\right) = \textcolor{green}{b} \cdot \ln a \quad \text{for } a > 0 \]De samme regnereglene gjelder for \( \ln \) som for \( \lg\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer.

Vi bruker den baklengs, med \( {a = x > 0} \) og \( {\textcolor{green}{b} = \textcolor{green}{k}}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{k} \cdot \ln(x) = \ln\left(x^{\textcolor{green}{k}}\right) \]

2. Bruk definisjonen av ln Fra definisjonen av logaritmen er \( \ln u \) tallet vi må opphøye \( e \) i for å få \( u\text{,} \) så \( {e^{\ln u} = u} \) for \( {u > 0}\text{,} \) som i videoen Hva er en Logaritme?. Med \( {u = x^{\textcolor{green}{k}}}\text{,} \) som er positiv når \( {x > 0}\text{,} \) får vi: \[ e^{\textcolor{green}{k} \cdot \ln(x)} = e^{\ln\left(x^{\textcolor{green}{k}}\right)} = x^{\textcolor{green}{k}} \]Det er det påstanden sier, og det gjelder for alle \( {x > 0}\text{.} \)

En funksjon som er deriverbar i et punkt, må også være kontinuerlig der. Vi sjekker derfor først om uttrykkene gir samme verdi i \( {x = 2}\text{.} \)

1. Sjekk om funksjonen er kontinuerlig Fra venstre gjelder \( {\textcolor{blue}{x^3 - 2}}\text{.} \) Fra høyre, og i \( {x = 2}\text{,} \) gjelder \( {\textcolor{red}{3x^2 - 4}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 2^-} f(x) &= \textcolor{blue}{2^3 - 2} = \textcolor{blue}{6} \\ f(2) &= \textcolor{red}{3 \cdot 2^2 - 4} = \textcolor{red}{8} \end{aligned} \]Uttrykkene gir \( \textcolor{blue}{6} \) og \( \textcolor{red}{8}\text{,} \) så grafen hopper i \( {x = 2}\text{,} \) som i det første eksempelet i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon. \( f \) er altså ikke kontinuerlig i \( {x = 2}\text{.} \)

2. Avgjør om funksjonen er deriverbar Der funksjonen skifter uttrykk, er den deriverbar bare når uttrykkene gir samme verdi og har samme derivert, som i videoen Oppgave 2B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Her har uttrykkene samme derivert i \( {x = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{x^3 - 2})' &= 3x^2\text{, som gir } 12 \\ (\textcolor{red}{3x^2 - 4})' &= 6x\text{, som gir } 12 \end{aligned} \]Men det holder ikke. Verdiene er ulike, så grafen har et sprang og ingen tangent i \( {x = 2}\text{.} \) Påstanden er derfor usann.

Påstanden sier at en slik funksjon kan ha en omvendt funksjon. Da holder det med ett eksempel.

1. Skriv opp kravet For å finne den omvendte funksjonen løser vi \( {y = f(x)} \) for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Det går bare når ulike verdier av \( x \) gir ulike verdier av \( y\text{:} \) \[ x_1 \neq x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1) \neq f(x_2) \]

En kontinuerlig funksjon som både minker og vokser på ett og samme intervall, snur et sted og får noen verdier to ganger. Men definisjonsmengden kan bestå av to deler.

2. Finn et eksempel Vi velger \( {f(x) = x^2} \) med \( {D_f = \textcolor{blue}{[-2, -1]} \cup \textcolor{red}{[3, 4]}}\text{.} \) På \( {\textcolor{blue}{[-2, -1]}} \) minker \( f \) fra 4 til 1, og på \( \textcolor{red}{[3, 4]} \) vokser den fra 9 til 16: \[ V_f = \textcolor{blue}{[1, 4]} \cup \textcolor{red}{[9, 16]} \]

De to delene av verdimengden har ingen felles verdier, så hver verdi av \( y \) kommer fra bare én \( x\text{.} \) Funksjonen har derfor en omvendt funksjon, selv om den både minker og vokser. Påstanden er sann.

Hver del er et andregradsuttrykk, så grafen kan bare gjøre et sprang i skjøten \( {x = k}\text{.} \) Vi viser at begge uttrykkene gir samme verdi der.

1. Skriv opp kravet \( f \) er kontinuerlig i \( {x = k} \) når grenseverdiene fra begge sider er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to k^-} f(x) = \lim_{x \to k^+} f(x) = f(k) \]For en delt forskrift betyr det at uttrykkene på hver side gir samme verdi i skjøten, som i videoen For hvilke verdier av a blir f en kontinuerlig funksjon.

2. Sett inn skjøten i begge uttrykkene Fra venstre gjelder det øverste uttrykket: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{-k^2 + (2 + k)k} &= -k^2 + 2k + k^2 \\ &= \textcolor{blue}{2k} \end{aligned} \]

Det nederste uttrykket gjelder for \( {x \ge k}\text{,} \) så det gir både \( f(k) \) og grensen fra høyre: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k^2 + (2 - k)k} &= k^2 + 2k - k^2 \\ &= \textcolor{red}{2k} \end{aligned} \]

Begge uttrykkene gir \( 2k\text{,} \) uansett hva \( k \) er. Delene møtes altså i punktet \( (k, 2k)\text{,} \) og \( f \) er kontinuerlig for alle verdier av \( k\text{.} \)

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: at \( f \) er kontinuerlig, står i oppgaveteksten til a).

Delene møtes i \( {x = k}\text{.} \) Da er \( f \) deriverbar der når de to uttrykkene også har samme derivert i \( {x = k}\text{.} \)

1. Deriver begge uttrykkene En delt forskrift er deriverbar i skjøten når den er kontinuerlig der og uttrykkene på hver side har samme derivert, som i videoen Oppgave 2B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) deriverer vi hvert uttrykk: \[ \begin{aligned} \left(-x^2 + (2 + k)x\right)' &= \textcolor{blue}{-2x + 2 + k} \\ \left(x^2 + (2 - k)x\right)' &= \textcolor{red}{2x + 2 - k} \end{aligned} \]

I \( {x = k} \) gir de den deriverte fra venstre og fra høyre: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{-2k + 2 + k} &= \textcolor{blue}{2 - k} \\ \textcolor{red}{2k + 2 - k} &= \textcolor{red}{k + 2} \end{aligned} \]

2. Sett de deriverte like De deriverte fra hver side må være like: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2 - k} &= \textcolor{red}{k + 2} \\ -2k &= 0 \\ k &= 0 \end{aligned} \]Da er den deriverte \( 2 \) fra begge sider.

Vi bruker de deriverte fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( f \) har en omvendt funksjon når hver \( y \)-verdi kommer fra bare én \( x \)-verdi. \( f \) er kontinuerlig, så da må grafen vokse hele tiden.

1. Skriv opp kravet For å finne den omvendte funksjonen løser vi \( {y = f(x)} \) for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Det går bare når ulike \( x \) gir ulike \( y\text{:} \) \[ x_1 \neq x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1) \neq f(x_2) \]For en kontinuerlig funksjon betyr det at den hele tiden vokser eller hele tiden avtar. Langt til venstre vokser \( {-x^2 + (2 + k)x}\text{,} \) så \( f \) må vokse hele tiden.

2. Finn når begge delene vokser I b) fant vi de deriverte på hver side: \[ \begin{aligned} x < k\text{:} \quad & \textcolor{blue}{-2x + 2 + k} \\ x > k\text{:} \quad & \textcolor{red}{2x + 2 - k} \end{aligned} \]

\( {\textcolor{blue}{-2x + 2 + k}} \) blir mindre når \( x \) øker. For \( {x < k} \) er den derfor større enn verdien i \( {x = k}\text{,} \) som er \( {\textcolor{blue}{2 - k}}\text{.} \) Den venstre delen vokser hele tiden når: \[ \textcolor{blue}{2 - k} \ge 0 \quad \Leftrightarrow \quad k \le 2 \]

\( {\textcolor{red}{2x + 2 - k}} \) blir større når \( x \) øker, så for \( {x > k} \) er den større enn \( {\textcolor{red}{k + 2}}\text{.} \) Den høyre delen vokser hele tiden når: \[ \textcolor{red}{k + 2} \ge 0 \quad \Leftrightarrow \quad k \ge -2 \]

3. Sjekk verdiene utenfor Delene møtes i \( {x = k}\text{,} \) så når begge vokser, vokser \( f \) hele tiden. Det gjelder når \( {-2 \le k \le 2}\text{.} \)

Er \( {k > 2}\text{,} \) er den deriverte \( {\textcolor{blue}{-2x + 2 + k}} \) negativ like til venstre for \( {x = k}\text{,} \) så grafen snur. For eksempel gir \( {k = 3} \) at \( {f(2) = f(3) = 6}\text{.} \) På samme måte snur grafen like til høyre for \( {x = k} \) når \( {k < -2}\text{.} \) Da har \( f \) ingen omvendt funksjon.