Eksamensoppgaver etter tema

Vi ser at funksjonen består av tre ledd. Vi deriverer dem derfor ledd for ledd, og \( {e^{-2x}} \) med kjerneregelen.

1. Deriver det første leddet med kjerneregelen 0:46 Kjerneregelen forteller oss at når \( {g(x) = k(\textcolor{green}{u})} \) og kjernen \( \textcolor{green}{u} \) er en funksjon av \( x\text{,} \) er: \[ g'(x) = k'(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp kjernen, som er det \( e \) er opphøyd i, og de to deriverte. Siden \( {(e^u)' = e^u}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{-2x} & \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{-2} \\ k(\textcolor{green}{u}) &= e^{\textcolor{green}{u}} & k'(\textcolor{green}{u}) &= e^{\textcolor{green}{u}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} \left(e^{-2x}\right)' &= e^{\textcolor{green}{-2x}} \cdot (\textcolor{green}{-2}) \\ \left(e^{-2x}\right)' &= \textcolor{blue}{\underline{-2e^{-2x}}} \end{aligned} \]

2. Deriver de to siste leddene 3:15 Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

\( \textcolor{red}{\dfrac{1}{5}x^5} \) derivert blir derfor \( {\dfrac{1}{5} \cdot 5x^4 = \textcolor{red}{\underline{x^4}}}\text{.} \)

\( {-2\pi} \) derivert blir \( \underline{0}\text{,} \) siden \( 2\pi \) bare er et tall, en konstant.

3. Slå sammen leddene 4:17 Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{blue}{-2e^{-2x}} + \textcolor{red}{x^4} + 0 \]