Eksamensoppgaver etter tema

Funksjonen skifter uttrykk i \( {x = -2}\text{.} \) Den er kontinuerlig der bare hvis de to uttrykkene gir samme verdi i \( {x = -2}\text{.} \)

1. Skriv opp kravet 0:19 \( f \) er kontinuerlig i \( {x = -2} \) når grenseverdiene fra begge sider er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) = f(-2) \]For en delt forskrift betyr det at uttrykkene på hver side gir samme verdi der funksjonen skifter, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.

2. Sett inn i begge uttrykkene 1:33 Med \( {a = 2} \) og \( {b = -2} \) er det første uttrykket \( {2x - 2}\text{.} \) Det gjelder for \( {x \le -2}\text{,} \) så det gir både \( {f(-2)} \) og grensen fra venstre: \[ \textcolor{blue}{2 \cdot (-2) - 2} = \textcolor{blue}{-6} \]

Fra høyre gjelder \( {2x^3 + 2x^2 - 2x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{2 \cdot (-2)^3 + 2 \cdot (-2)^2 - 2 \cdot (-2)} \\ &= -16 + 8 + 4 = \textcolor{red}{-4} \end{aligned} \]

Uttrykkene gir \( {\textcolor{blue}{-6}} \) og \( {\textcolor{red}{-4}}\text{,} \) så grafen hopper i \( {x = -2}\text{.} \) Funksjonen er altså ikke kontinuerlig der.

Der funksjonen skifter uttrykk, må uttrykkene på hver side gi samme verdi og ha samme derivert. Det gir to krav i \( {x = -2} \) og to i \( {x = k}\text{.} \)

1. Deriver hvert uttrykk 1:30 Der funksjonen skifter uttrykk, er den kontinuerlig når uttrykkene på hver side gir samme verdi, som i videoen For hvilke verdier av a blir f en kontinuerlig funksjon. Den er i tillegg deriverbar når de deriverte også er like.

Vi deriverer hvert uttrykk med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{.} \) Konstantene \( b \) og \( c \) har derivert \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} (ax + b)' &= \textcolor{blue}{a} \\ (2x^3 + 2x^2 - 2x)' &= \textcolor{red}{6x^2 + 4x - 2} \\ (c)' &= \textcolor{green}{0} \end{aligned} \]

2. Finn a og b 2:47 Like deriverte i \( {x = -2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{red}{6 \cdot (-2)^2 + 4 \cdot (-2) - 2} \\ \textcolor{blue}{a} &= 24 - 8 - 2 = 14 \end{aligned} \]

Like verdier i \( {x = -2}\text{.} \) Det midterste uttrykket gir: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{2 \cdot (-2)^3 + 2 \cdot (-2)^2 - 2 \cdot (-2)} \\ &= -16 + 8 + 4 = \textcolor{red}{-4} \end{aligned} \]

Det første uttrykket må gi det samme: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{14 \cdot (-2) + b} &= \textcolor{red}{-4} \\ b &= 24 \end{aligned} \]

3. Finn k med abc-formelen 5:39 I \( {x = k} \) må den deriverte av det midterste uttrykket være lik den deriverte av konstanten \( c\text{,} \) som er \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{red}{6k^2 + 4k - 2} = \textcolor{green}{0} \]

Bokstavene \( a\text{,} \) \( b \) og \( c \) er brukt, så vi kaller koeffisientene \( p\text{,} \) \( q \) og \( r\text{.} \) Da gir abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ k = \dfrac{-q \pm \sqrt{q^2 - 4pr}}{2p} \]

Plugger vi inn \( {p = 6}\text{,} \) \( {q = 4} \) og \( {r = -2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} k &= \dfrac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2)}}{2 \cdot 6} \\ k &= \dfrac{-4 \pm 8}{12} \\ k &= \dfrac{1}{3} \quad \text{eller} \quad k = -1 \end{aligned} \]Begge ligger i \( {\langle -2, \rightarrow \rangle}\text{.} \)

4. Finn c for hver k 9:30 Like verdier i \( {x = k} \) gir \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{red}{2k^3 + 2k^2 - 2k}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} k = \dfrac{1}{3}\text{:} \quad c &= \dfrac{2}{27} + \dfrac{2}{9} - \dfrac{2}{3} = -\dfrac{10}{27} \\ k = -1\text{:} \quad c &= -2 + 2 + 2 = 2 \end{aligned} \]Begge valgene gir en funksjon som er kontinuerlig og deriverbar i \( {x = -2} \) og \( {x = k}\text{.} \)

1. Løs kravene i CAS Vi skriver de tre uttrykkene inn som egne funksjoner i CAS, med gangetegn i \( {a \cdot x}\text{,} \) og løser kravene i \( {x = -2} \) og i \( {x = k} \) hver for seg, som i videoen Oppgave 2B (GEOGEBRA / CAS) - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: g(x) := a*x + b h(x) := 2x^3 + 2x^2 - 2x l(x) := c Løs({g(-2) = h(-2), g'(-2) = h'(-2)}, {a, b}) Løs({h(k) = l(k), h'(k) = l'(k)}, {c, k})

CAS gir \( {a = 14} \) og \( {b = 24}\text{,} \) og de samme to løsningene for \( k \) og \( c\text{:} \) enten \( {k = \dfrac{1}{3}} \) og \( {c = -\dfrac{10}{27}}\text{,} \) eller \( {k = -1} \) og \( {c = 2}\text{.} \)

Vi bruker to ting: \( a^x \) er \( 1 \) i \( {x = 0}\text{,} \) og graden til et polynom synker med to når vi deriverer to ganger.

1. Finn eksponentialfunksjonen 0:46 Bare A og G vokser stadig brattere, slik eksponentialfunksjoner gjør. Den deriverte av \( a^x \) er \( a^x \) ganget med \( \ln a\text{,} \) så den dobbeltderiverte er også en eksponentialfunksjon: \[ \begin{aligned} (a^x)' &= a^x \cdot \ln a \\ (a^x)'' &= (\ln a)^2 \cdot a^x \end{aligned} \]

\( {a^0 = 1} \) for alle \( a\text{,} \) så grafen til \( a^x \) går gjennom \( (0, 1)\text{.} \) Det gjør G, men ikke A. G går også gjennom \( (1, 2)\text{,} \) så \( {G = 2^x} \) og \( {A = (\ln 2)^2 \cdot 2^x \approx 0{,}48 \cdot 2^x}\text{.} \)

2. Bruk at graden synker med to 4:19 Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Bruker vi den to ganger, får vi: \[ \begin{aligned} (x^b - c)' &= b \cdot x^{b - 1} \\ (x^b - c)'' &= b(b - 1) \cdot x^{b - 2} \end{aligned} \]Graden er den største eksponenten, som i videoen Hva er et Polynom?, så den synker fra \( b \) til \( {b - 2}\text{.} \)

I \( {x = 0} \) er \( {x^b - c = -c}\text{,} \) som er negativ. Det passer med B, E og F. C og D går gjennom origo, og H ligger over \( x \)-aksen, så C, D og H er dobbeltderiverte.

3. Finn de tre parene 4:51 \( \textcolor{blue}{B} \) har et terrassepunkt i \( {(0, -1)}\text{,} \) så \( {c = 1} \) og \( b \) er et oddetall større enn 2. Den dobbeltderiverte har da oddetallsgrad, og bare den rette linja \( \textcolor{blue}{C} \) passer. Da er \( {b - 2 = 1}\text{,} \) så \( {B = x^3 - 1}\text{:} \) \[ (x^3 - 1)'' = 3 \cdot 2 \cdot x = 6x \]

\( \textcolor{red}{E} \) går gjennom \( {(0, -2)}\text{,} \) så \( {c = 2}\text{,} \) og gjennom \( (2, 2)\text{,} \) så \( {2^b - 2 = 2}\text{.} \) Det gir \( {b = 2}\text{,} \) og den dobbeltderiverte er konstant, \( \textcolor{red}{H}\text{:} \) \[ (x^2 - 2)'' = 2 \cdot 1 = 2 \]

\( \textcolor{green}{F} \) har bunnpunkt i \( {(0, -1)}\text{,} \) så \( {c = 1} \) og \( b \) er et partall. Den dobbeltderiverte er \( \textcolor{green}{D}\text{,} \) den eneste som er igjen, og den har grad 2. Da er \( {b - 2 = 2}\text{,} \) så \( {F = x^4 - 1}\text{:} \) \[ (x^4 - 1)'' = 4 \cdot 3 \cdot x^2 = 12x^2 \]Det stemmer med figurene: \( {6 \cdot 0{,}5 = 3} \) og \( {12 \cdot 0{,}5^2 = 3}\text{,} \) og både C og D går gjennom \( (0{,}5;\ 3)\text{.} \)

En funksjon har en omvendt funksjon når hver \( y \)-verdi kommer fra bare én \( x \)-verdi. Da kan ingen vannrett linje skjære grafen mer enn én gang.

1. Skriv opp kravet For å finne den omvendte funksjonen løser vi \( {y = f(x)} \) for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Det går bare når ulike \( x \) gir ulike \( y\text{:} \) \[ x_1 \neq x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1) \neq f(x_2) \]For en kontinuerlig funksjon betyr det at den hele tiden vokser eller hele tiden avtar.

2. Se på hver graf Grafene med omvendt funksjon er blå, de andre røde. \( \textcolor{blue}{A}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{B}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{C} \) og \( \textcolor{blue}{G} \) vokser hele tiden. B flater ut i \( {(0, -1)}\text{,} \) men stiger på begge sider, så også B gir én \( x \) for hver \( y\text{.} \)

\( \textcolor{red}{D}\text{,} \) \( \textcolor{red}{E} \) og \( \textcolor{red}{F} \) er symmetriske om \( y \)-aksen, så for eksempel \( {x = -1} \) og \( {x = 1} \) gir samme \( y \)-verdi. \( \textcolor{red}{H} \) er konstant, så alle \( x \) gir \( {y = 2}\text{.} \) Disse fire har ingen omvendt funksjon.

For å finne nullpunktene setter vi \( {g(x) = 0}\text{.} \) Funksjonsuttrykket er et produkt, og et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \)

1. Sett funksjonsuttrykket lik null 0:10 Vi setter \( {g(x) = 0}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \cdot \textcolor{blue}{(2x - 1)^2} = 0 \]

\( \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) er positiv for alle \( x\text{.} \) Derfor må \( {\textcolor{blue}{(2x - 1)^2} = 0}\text{.} \)

2. Løs likningen 1:18 Vi tar kvadratroten på begge sider, og \( {\sqrt{0} = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2x - 1 &= 0 \\ 2x &= 1 \\ x &= \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]Likningen har bare denne løsningen, så funksjonen har ett nullpunkt.

Funksjonen er et produkt av to faktorer, så vi deriverer med produktregelen. Deretter faktoriserer vi til vi står igjen med uttrykket i oppgaven.

1. Skriv opp produktregelen 0:33 Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} + \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'} \) og \( \textcolor{blue}{v} \) er. Siden \( {(e^x)' = e^x}\text{,} \) er \( {\textcolor{red}{u'} = \textcolor{red}{u}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{(2x - 1)^2} \end{aligned} \]

2. Gang ut parentesen og deriver 1:41 For å finne \( \textcolor{blue}{v'} \) ganger vi først ut parentesen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v} &= (2x - 1)(2x - 1) \\ \textcolor{blue}{v} &= 4x^2 - 4x + 1 \end{aligned} \]

Så deriverer vi ledd for ledd med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Konstanten \( 1 \) har derivert \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{v'} = 8x - 4 = \textcolor{blue}{4(2x - 1)} \]

3. Sett inn og faktoriser 3:39 Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) = {} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \cdot \textcolor{blue}{4(2x - 1)} \\ &+ \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \cdot \textcolor{blue}{(2x - 1)^2} \end{aligned} \]

Begge leddene har faktorene \( {\textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}e^x(2x - 1)}}\text{.} \) Faktoriserer vi dem ut, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}e^x(2x - 1)}\bigl(4 + (2x - 1)\bigr) \\ g'(x) &= \dfrac{1}{2}e^x(2x - 1)(2x + 3) \end{aligned} \]Det er uttrykket i oppgaven.

Uttrykket for \( g'(x) \) står i oppgaveteksten til b), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til b).

Funksjonen er deriverbar for alle \( x\text{,} \) så topp- og bunnpunkter kan bare ligge der \( {g'(x) = 0}\text{.} \) Om et punkt er et toppunkt eller et bunnpunkt, ser vi av fortegnet til \( g'(x) \) på hver side.

1. Sett den deriverte lik null 0:05 I oppgaveteksten til b) står det at: \[ g'(x) = \dfrac{1}{2}e^x(\textcolor{darkorange}{2x - 1})(\textcolor{magenta}{2x + 3}) \]Den er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \) \( \dfrac{1}{2}e^x \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) alltid er positiv. Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{2x - 1} = 0 \quad &\Rightarrow \quad x = \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{magenta}{2x + 3} = 0 \quad &\Rightarrow \quad x = -\dfrac{3}{2} \end{aligned} \]

2. Finn y-koordinatene 2:00 Vi setter \( {x = -\dfrac{3}{2}} \) og \( {x = \dfrac{1}{2}} \) inn i \( g(x)\text{.} \) Siden \( {2 \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right) - 1 = -4} \) og \( {2 \cdot \dfrac{1}{2} - 1 = 0}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} g\left(-\dfrac{3}{2}\right) &= \dfrac{1}{2}e^{-\tfrac{3}{2}} \cdot (-4)^2 = 8e^{-\tfrac{3}{2}} \\ g\left(\dfrac{1}{2}\right) &= \dfrac{1}{2}e^{\tfrac{1}{2}} \cdot 0^2 = 0 \end{aligned} \]

3. Avgjør hva slags punkter det er 3:51 \( \dfrac{1}{2}e^x \) er alltid positiv, så fortegnet til \( g'(x) \) kommer fra de to andre faktorene. Vi lager en fortegnslinje, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-1.5, 0.5], "labels": ["-\\tfrac{3}{2}", "\\tfrac{1}{2}"], "rows": [{"label": "\\tfrac{1}{2}e^x", "expr": "0.5*e^x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2x + 3}", "expr": "2x + 3"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{2x - 1}", "expr": "2x - 1"}, {"label": "g'(x)", "expr": "0.5*e^x*(2x - 1)*(2x + 3)"}]} En strek viser hvor en linje er \( 0\text{.} \)

Grafen stiger fram til \( {x = -\dfrac{3}{2}}\text{,} \) synker fram til \( {x = \dfrac{1}{2}} \) og stiger igjen. Den har derfor et toppunkt i \( {x = -\dfrac{3}{2}} \) og et bunnpunkt i \( {x = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) I videoen sammenligner vi bare de to funksjonsverdiene, men fortegnslinja viser også at grafen faktisk snur i begge punktene.

Funksjonen skifter uttrykk i \( {x = 0}\text{.} \) Den er kontinuerlig der hvis de to uttrykkene gir samme verdi i \( {x = 0}\text{.} \)

1. Skriv opp kravet \( f \) er kontinuerlig i \( {x = 0} \) når grenseverdiene fra begge sider er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) \]For en delt forskrift betyr det at uttrykkene på hver side gir samme verdi der funksjonen skifter, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.

2. Sett inn i begge uttrykkene Fra venstre gjelder \( {\textcolor{blue}{x^2 + 2}}\text{.} \) Fra høyre, og i \( {x = 0}\text{,} \) gjelder \( \textcolor{red}{2e^x}\text{,} \) og \( {e^0 = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 0^-} f(x) &= \textcolor{blue}{0^2 + 2} = \textcolor{blue}{2} \\ \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) &= \textcolor{red}{2e^0} = \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]Begge uttrykkene gir \( 2\text{,} \) så grafen henger sammen i \( {x = 0}\text{.} \)

Vi bruker at \( f \) er kontinuerlig i \( {x = 0}\text{,} \) som vi fant i a).

En funksjon som er kontinuerlig der den skifter uttrykk, er deriverbar der bare hvis uttrykkene på hver side også har samme derivert.

1. Deriver hvert uttrykk Der funksjonen skifter uttrykk, er den deriverbar når grafen ikke har noen knekk: de deriverte fra hver side må være like, som i videoen Oppgave 2B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Med potensregelen er \( {(\textcolor{blue}{x^2 + 2})' = \textcolor{blue}{2x}}\text{,} \) og siden \( {(e^x)' = e^x}\text{,} \) er \( {(\textcolor{red}{2e^x})' = \textcolor{red}{2e^x}}\text{.} \)

2. Sammenlign de deriverte i skjøten I \( {x = 0} \) får vi: \[ \begin{aligned} \text{Fra venstre: } & \textcolor{blue}{2 \cdot 0} = \textcolor{blue}{0} \\ \text{Fra høyre: } & \textcolor{red}{2e^0} = \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]

Stigningstallet er \( 0 \) fra venstre og \( 2 \) fra høyre. Grafen har altså en knekk i \( {x = 0}\text{,} \) så \( f \) er ikke deriverbar der.

Byen har 3 millioner husstander, så halvparten er \( 1\,500\,000\text{.} \) Vi finner \( t \) når \( {S(t) = 1\,500\,000}\text{.} \)

1. Sett opp likningen Vi skal finne \( t \) når \( {S(t) = 1\,500\,000}\text{,} \) og vil få potensen \( {\textcolor{green}{e^{-0{,}08t}}} \) alene: \[ \dfrac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot \textcolor{green}{e^{-0{,}08t}}} = 1\,500\,000 \]

2. Få potensen alene Vi ganger med nevneren og deler på \( 1\,500\,000\text{.} \) Så trekker vi fra \( 1 \) og deler på \( 2500\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 + 2500 \cdot \textcolor{green}{e^{-0{,}08t}} &= \dfrac{2\,500\,000}{1\,500\,000} = \dfrac{5}{3} \\ 2500 \cdot \textcolor{green}{e^{-0{,}08t}} &= \dfrac{2}{3} \\ \textcolor{green}{e^{-0{,}08t}} &= \dfrac{1}{3750} \end{aligned} \]

3. Ta ln på begge sider Siden \( {e^{-u} = \dfrac{1}{e^u}}\text{,} \) er \( {\textcolor{green}{e^{0{,}08t}} = 3750}\text{.} \) Vi tar \( \ln \) på begge sider og bruker at \( {\ln(e^u) = u \cdot \ln e = u}\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{0{,}08t} &= \ln 3750 \\ t &= \dfrac{\ln 3750}{0{,}08} \approx 102{,}87 \end{aligned} \]Det tar omtrent \( 102{,}9 \) uker, så antallet passerer 1,5 millioner i løpet av uke 103.

1. Finn skjæringspunktet med linja Vi skriver modellen inn i Algebrafeltet, tegner linja \( {y = 1\,500\,000} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter på grafen og linja, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: S(x) = 2500000 / (1 + 2500 e^(-0.08x)) g: y = 1500000

Skjæringspunktet er \( {A \approx (102{,}8689,\ 1\,500\,000)}\text{.} \) Det tar omtrent \( 102{,}9 \) uker.

\( S'(52) \) er hvor fort antallet husstander med batteriet vokser 52 uker etter lanseringen. Med kalkulator deriverer vi modellen for hånd først.

1. Deriver modellen med kjerneregelen Modellen har formen \[ S(t) = \dfrac{\textcolor{red}{C}}{1 + \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}} \]med \( {\textcolor{red}{C} = \textcolor{red}{2\,500\,000}}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2500}} \) og \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{0{,}08}}\text{.} \) Vi regner med bokstavene og setter inn tallene til slutt.

Vi kaller \( {w = \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}\text{.} \) Siden \( {(e^{-\textcolor{green}{k}t})' = -\textcolor{green}{k} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, er: \[ \begin{aligned} S(t) &= \textcolor{red}{C} \cdot {\textcolor{darkorange}{(1 + w)}}^{-1} \\ w' &= -\textcolor{green}{k} \cdot w \end{aligned} \]

Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{darkorange}{u}^{-1}\right)' = -\textcolor{darkorange}{u}^{-2} \cdot \textcolor{darkorange}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{u} &= \textcolor{darkorange}{1 + w} & \textcolor{darkorange}{u'} &= w' = -\textcolor{green}{k}w \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} S'(t) &= \textcolor{red}{C} \cdot \left(-(1 + w)^{-2}\right) \cdot (-\textcolor{green}{k}w) \\ S'(t) &= \dfrac{\textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \cdot w}{(1 + w)^2} \end{aligned} \]

2. Sett inn tallene I \( {t = 52} \) er: \[ w = \textcolor{blue}{2500} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}08} \cdot 52} \approx 39{,}0189 \]

Med alle desimalene fra kalkulatoren gir det: \[ \begin{aligned} S'(52) &\approx \dfrac{\textcolor{red}{2\,500\,000} \cdot \textcolor{green}{0{,}08} \cdot 39{,}0189}{40{,}0189^2} \\ &\approx 4872{,}76 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret Den deriverte er stigningstallet til grafen i et punkt, altså hvor fort \( S \) vokser akkurat da, som i videoen Definisjonen til den deriverte. 52 uker etter lanseringen, altså omtrent ett år etter, øker antallet husstander med batteriet med omtrent 4873 per uke.

1. Regn ut den deriverte Vi skriver modellen inn i Algebrafeltet og regner ut den deriverte i \( {t = 52}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: S(x) = 2500000 / (1 + 2500 e^(-0.08x)) d = S'(52)

GeoGebra gir \( {S'(52) \approx 4872{,}7573}\text{.} \) Ett år etter lanseringen øker antallet husstander med batteriet altså med omtrent 4873 per uke.

Vi bruker den deriverte av en logistisk modell fra b).

Vi bruker samme form som \( S\text{.} \) De tre antakelsene gir de tre tallene i modellen etter tur: antallet modellen flater ut mot, antallet ved lanseringen og når veksten er størst.

1. Finn C og a En logistisk modell har formen \[ F(t) = \dfrac{\textcolor{red}{C}}{1 + \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}} \]der \( \textcolor{red}{C} \) er antallet modellen flater ut mot, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. PowBat vil totalt selge batteriet til 1,5 millioner husstander, så \( {\textcolor{red}{C} = \textcolor{red}{1\,500\,000}}\text{.} \)

Ved lanseringen er \( {t = 0} \) og \( {e^0 = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} F(0) = \dfrac{\textcolor{red}{1\,500\,000}}{1 + \textcolor{blue}{a}} &= 500 \\ 1 + \textcolor{blue}{a} &= 3000 \\ \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{2999} \end{aligned} \]

2. Finn når veksten er størst I b) fant vi den deriverte av en slik modell. Med \( {w = \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}} \) er den: \[ F'(t) = \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \cdot \dfrac{w}{(1 + w)^2} \]

Vi viser at brøken \( {\dfrac{w}{(1 + w)^2}} \) aldri er større enn \( \dfrac{1}{4}\text{,} \) og sammenligner derfor \( {(1 + w)^2} \) med \( 4w\text{:} \) \[ \begin{aligned} (1 + w)^2 - 4w &= 1 - 2w + w^2 \\ &= (1 - w)^2 \ge 0 \end{aligned} \]

Altså er \( {(1 + w)^2 \ge 4w}\text{.} \) Deler vi på \( {4(1 + w)^2}\text{,} \) får vi: \[ \dfrac{w}{(1 + w)^2} \le \dfrac{1}{4} \]med likhet bare når \( {w = 1}\text{.} \) Veksten er altså størst når \( {\textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t} = 1}\text{.} \)

3. Finn k Veksten skal være størst når \( {t = 60}\text{.} \) Vi ganger med \( e^{60\textcolor{green}{k}} \) og tar \( \ln \) på begge sider: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2999} \cdot e^{-60\textcolor{green}{k}} &= 1 \\ e^{60\textcolor{green}{k}} &= 2999 \\ 60\textcolor{green}{k} &= \ln 2999 \\ \textcolor{green}{k} &= \dfrac{\ln 2999}{60} \approx \textcolor{green}{0{,}1334} \end{aligned} \]

Setter vi inn tallene, får vi modellen: \[ F(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{1\,500\,000}}{1 + \textcolor{blue}{2999} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}1334}t}} \]

1. Løs kravene i CAS Veksten \( F'(t) \) er størst der grafen til \( F \) har vendepunkt, altså der \( {F''(t) = 0}\text{.} \) Vi skriver modellen med de ukjente \( a \) og \( k \) inn i CAS og løser \( {F(0) = 500} \) og \( {F''(60) = 0} \) sammen. Rad 3 er rad 2 med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: F(t) := 1500000 / (1 + a e^(-k t)) Løs({F(0) = 500, F''(60) = 0}, {a, k})

CAS gir \( {a = 2999} \) og \( {k = \dfrac{\ln 2999}{60} \approx 0{,}1334}\text{.} \) Løsningen \( {k = 0} \) gir en modell som ikke vokser, så den forkaster vi.

En kontinuerlig funksjon har en omvendt funksjon på et intervall der den hele tiden vokser eller hele tiden avtar. Vi finner derfor ut hvor \( f \) vokser og hvor den avtar.

1. Finn nullpunktene til den deriverte Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ f'(x) = \dfrac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2 \cdot 2x = x^2 - 4x \]

Faktoriserer vi ut \( x\text{,} \) får vi \( {f'(x) = \textcolor{darkorange}{x}(\textcolor{magenta}{x - 4})}\text{.} \) Den er \( 0 \) når \( {x = 0} \) og når \( {x = 4}\text{.} \)

2. Lag en fortegnslinje Vi lager en fortegnslinje for \( f'(x)\text{,} \) som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [0, 4], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x}", "expr": "x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 4}", "expr": "x - 4"}, {"label": "f'(x)", "expr": "x(x - 4)"}]} En strek viser hvor en linje er \( 0\text{.} \) Der \( f'(x) \) er pluss, vokser \( f\text{,} \) og der den er minus, avtar \( f\text{.} \) \( f \) vokser fram til \( {x = 0}\text{,} \) avtar fra \( {x = 0} \) til \( {x = 4} \) og vokser igjen.

3. Velg intervallet rundt 2 For å finne den omvendte funksjonen må vi kunne løse \( {y = f(x)} \) for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Det går bare når hver verdi av \( y \) kommer fra bare én verdi av \( x\text{.} \)

\( 2 \) ligger mellom \( 0 \) og \( 4\text{,} \) der \( f \) hele tiden avtar. Tar vi med noe utenfor \( [0, 4]\text{,} \) snur grafen, og \( f \) får noen av verdiene to ganger. Det største intervallet er derfor \( [0, 4]\text{.} \)

Vi bruker at \( g \) er den omvendte funksjonen til \( f \) på \( {I = [0, 4]} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Punktet \( {(-10, 3)} \) på grafen til \( g \) svarer til punktet \( {(3, -10)} \) på grafen til \( f\text{.} \) Stigningstallet til \( g \) finner vi fra stigningstallet til \( f \) i det punktet.

1. Sjekk punktet Vi setter \( {x = 3} \) inn i \( f(x)\text{:} \) \[ f(3) = \dfrac{1}{3} \cdot 27 - 2 \cdot 9 - 1 = -10 \]Siden \( 3 \) ligger i \( [0, 4]\text{,} \) er \( {g(-10) = 3}\text{.} \)

2. Deriver den omvendte funksjonen Siden \( g \) er den omvendte funksjonen til \( f\text{,} \) er \( {f(g(x)) = x}\text{.} \) Vi deriverer begge sider. Kjerneregelen forteller oss at: \[ \bigl(f(\textcolor{green}{g(x)})\bigr)' = f'(\textcolor{green}{g(x)}) \cdot \textcolor{green}{g'(x)} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Høyre side, \( x\text{,} \) har derivert \( 1\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} f'(\textcolor{green}{g(x)}) \cdot \textcolor{green}{g'(x)} &= 1 \\ g'(x) &= \dfrac{1}{f'(g(x))} \end{aligned} \]

3. Sett inn punktet I a) fant vi \( {f'(x) = x^2 - 4x}\text{,} \) så \( {f'(3) = 9 - 12 = -3}\text{.} \) Med \( {g(-10) = 3} \) får vi: \[ g'(-10) = \dfrac{1}{f'(3)} = \dfrac{1}{-3} = -\dfrac{1}{3} \]

Vi bruker \( {f'(x) = x^2 - 4x} \) fra a) og \( {g'(x) = \dfrac{1}{f'(g(x))}} \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Grafen til \( g \) har stigningstall \( {-\dfrac{1}{3}} \) der grafen til \( f \) har stigningstall \( {-3}\text{.} \) Vi løser derfor \( {f'(x) = -3} \) for \( x \) i \( [0, 4]\text{.} \)

1. Finn punktene med samme stigningstall Fra b) er stigningstallet til grafen til \( g \) i punktet \( (f(x), x) \) lik \( \dfrac{1}{f'(x)}\text{.} \) Det er \( {-\dfrac{1}{3}} \) når \( {f'(x) = -3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x^2 - 4x &= -3 \\ x^2 - 4x + 3 &= 0 \end{aligned} \]

Bokstavene \( a \) og \( b \) er brukt i oppgaven, så vi kaller koeffisientene \( \textcolor{blue}{p}\text{,} \) \( \textcolor{red}{q} \) og \( \textcolor{green}{r}\text{.} \) Med abc-formelen har \( {\textcolor{blue}{p}x^2 + \textcolor{red}{q}x + \textcolor{green}{r} = 0} \) løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{green}{r}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{p}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{-4}} \) og \( {\textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{3}}\text{,} \) får vi: \[ x = \dfrac{4 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-4})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} = \dfrac{4 \pm 2}{2} \]Det gir \( {x = 3} \) eller \( {x = 1}\text{.} \)

2. Finn tangeringspunktet \( {x = 3} \) gir punktet \( {(-10, 3)} \) fra b). Den andre løsningen, \( {x = 1}\text{,} \) ligger i \( [0, 4]\text{:} \) \[ f(1) = \dfrac{1}{3} - 2 - 1 = -\dfrac{8}{3} \]Punktet \( {\left(1, -\dfrac{8}{3}\right)} \) på grafen til \( f \) svarer til punktet \( {\left(-\dfrac{8}{3}, 1\right)} \) på grafen til \( g\text{.} \)

Vi skriver opp tangenten i et punkt \( {x = b} \) på grafen, og krever at den går gjennom \( A(0, 0)\text{.} \) Det gir en likning for \( b\text{.} \)

1. Skriv opp tangenten i et punkt Vi kaller førstekoordinaten til \( B \) for \( \textcolor{blue}{b}\text{.} \) Tangenten i \( {x = \textcolor{blue}{b}} \) har stigningstallet \( f'(\textcolor{blue}{b}) \) og går gjennom punktet \( (\textcolor{blue}{b}, f(\textcolor{blue}{b}))\text{:} \) \[ y = f'(\textcolor{blue}{b}) \cdot (x - \textcolor{blue}{b}) + f(\textcolor{blue}{b}) \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Tangentlinje.

Siden \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, er \( {f'(\textcolor{blue}{b}) = \dfrac{1}{\textcolor{blue}{b}}}\text{.} \) Det gir tangenten: \[ y = \dfrac{1}{\textcolor{blue}{b}} \cdot (x - \textcolor{blue}{b}) + \ln \textcolor{blue}{b} \]

2. Krev at tangenten går gjennom A Tangenten går gjennom \( A(0, 0) \) når \( {y = 0} \) for \( {x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0 &= \dfrac{1}{\textcolor{blue}{b}} \cdot (0 - \textcolor{blue}{b}) + \ln \textcolor{blue}{b} \\ 0 &= -1 + \ln \textcolor{blue}{b} \\ \ln \textcolor{blue}{b} &= 1 \end{aligned} \]

Fra definisjonen er \( {\ln e = 1}\text{,} \) så \( {\textcolor{blue}{b} = e}\text{.} \) Andrekoordinaten er \( {f(e) = \ln e = 1}\text{.} \)

1. Løs likningen i CAS Tangenten i \( {x = b} \) er \[ g(x) = f'(b) \cdot (x - b) + f(b) \]og den går gjennom origo når \( {g(0) = 0}\text{.} \) Vi skriver funksjonen og tangenten inn i CAS og løser likningen med Løs, som gir eksakte svar:

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := ln(x) g(x) := f'(b)*(x - b) + f(b) Løs(g(0) = 0, b) f(e)

CAS gir \( {b = e} \) og \( {f(e) = 1}\text{,} \) så \( {B = (e, 1)}\text{.} \)

Vi bruker \( B(e, 1) \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( C \) ligger på \( {y = x}\text{,} \) så \( {C = (c, c)}\text{.} \) Vinkelen i \( C \) er rett når \( {\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0}\text{,} \) og arealet er halvparten av produktet av katetene.

1. Skriv opp kravet Vinkelen \( \angle ACB \) er \( 90^\circ \) når skalarproduktet av \( \overrightarrow{CA} \) og \( \overrightarrow{CB} \) er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Med koordinater ganger vi sammen førstekoordinatene og andrekoordinatene, og legger sammen: \[ [\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{red}{y_1}] \cdot [\textcolor{blue}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}] = \textcolor{blue}{x_1 \cdot x_2} + \textcolor{red}{y_1 \cdot y_2} \]

Begge vektorene starter i \( C(c, c)\text{:} \) \[ \begin{aligned} \overrightarrow{CA} &= [0 - c,\ 0 - c] = [\textcolor{blue}{-c}, \textcolor{red}{-c}] \\ \overrightarrow{CB} &= [\textcolor{blue}{e - c}, \textcolor{red}{1 - c}] \end{aligned} \]

2. Finn C Plugger vi dette inn og faktoriserer ut \( {-c}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{-c})(\textcolor{blue}{e - c}) + (\textcolor{red}{-c})(\textcolor{red}{1 - c}) &= 0 \\ -c\,(e + 1 - 2c) &= 0 \end{aligned} \]

\( {c = 0} \) gir \( {C = A}\text{,} \) og da er det ingen trekant. Altså er \( {e + 1 - 2c = 0}\text{,} \) så: \[ c = \dfrac{e + 1}{2} \]

3. Regn ut arealet Vinkelen i \( C \) er rett, så \( CA \) og \( CB \) er katetene, og arealet \( T \) er halvparten av produktet av dem. Med \( {c = \dfrac{e + 1}{2}} \) er \( {\overrightarrow{CB} = \left[\dfrac{e - 1}{2},\ \dfrac{1 - e}{2}\right]}\text{,} \) og med Pythagoras, \( {|[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{CA}| &= \sqrt{2c^2} = \dfrac{e + 1}{\sqrt{2}} \\ |\overrightarrow{CB}| &= \sqrt{2 \cdot \left(\dfrac{e - 1}{2}\right)^2} = \dfrac{e - 1}{\sqrt{2}} \end{aligned} \]

Konjugatsetningen, \( {(e + 1)(e - 1) = e^2 - 1}\text{,} \) gir da: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{e + 1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{e - 1}{\sqrt{2}} = \dfrac{e^2 - 1}{4} \]

1. Løs i CAS Vi fortsetter i CAS-vinduet fra a) og skriver \( \overrightarrow{CA} \) og \( \overrightarrow{CB} \) inn som \( u \) og \( w\text{,} \) løser \( {u \cdot w = 0} \) og setter \( {c = \dfrac{e + 1}{2}} \) inn i arealet med ByttUt. Rad 9 er rad 8 med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: u := Vektor((-c, -c)) w := Vektor((e - c, 1 - c)) Løs(u*w = 0, c) ByttUt(1/2*Lengde(u)*Lengde(w), c = (e + 1)/2)

CAS gir \( {c = \dfrac{e + 1}{2}} \) og arealet \( {\dfrac{1}{4}e^2 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{e^2 - 1}{4} \approx 1{,}5973}\text{.} \) Løsningen \( {c = 0} \) gir \( {C = A}\text{,} \) så den forkaster vi.