Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

tangent

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

4 oppgaver i 1T om tangent

Oppgavene

1T vår 2026 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 9

3 poeng

Nedenfor ser du grafen til en andregradsfunksjon f f • Bunnpunktet har koordinater (−1,−12,5) {(-1, -12{,}5)} • Den rette linjen er en tangent med stigningtall 5

Oppgave 9a)

Forklar at f′(4)=5 {f'(4) = 5}
Vis løsning på oppgave 9a
Svar
Tangenten i (4,0) (4, 0) har stigningstall 5, så
f′(4)=5‾‾ \underline{\underline{f'(4) = 5}}
Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten i punktet. Vi ser derfor på tangenten der \( {x = 4}\text{.} \)
1. Les av tangenten Den rette linjen tangerer grafen i punktet \( (4, 0)\text{,} \) så \( f'(4) \) er stigningstallet til linjen, som i videoen Tangentlinje. Stigningstrekanten viser at linjen går \( \textcolor{blue}{1} \) bortover og \( \textcolor{red}{5} \) oppover: \[ f'(4) = \dfrac{\textcolor{red}{5}}{\textcolor{blue}{1}} = 5 \]

Oppgave 9b)

Bestem f′(x) f'(x)
Vis løsning på oppgave 9b
Svar
f′(x)=x+1‾‾ \underline{\underline{f'(x) = x + 1}}
At \( {f'(4) = 5}\text{,} \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).
Når \( f \) er en andregradsfunksjon, er grafen til \( f' \) en rett linje. Vi finner den fra to punkter: i bunnpunktet er \( f' \) lik \( 0\text{,} \) og i \( {x = 4} \) er den \( 5\text{.} \)
1. Skriv opp den deriverte Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
En andregradsfunksjon kan skrives \( {f(x) = ax^2 + bx + c}\text{.} \) Med potensregelen blir \( {(ax^2)' = 2ax} \) og \( {(bx)' = b}\text{,} \) og konstanten \( c \) har derivert \( 0\text{.} \) Den deriverte er derfor en rett linje: \[ f'(x) = 2ax + b \]
2. Finn linja gjennom to punkter I bunnpunktet er tangenten vannrett, og fra a) vet vi at \( {f'(4) = 5}\text{.} \) Det gir oss: \[ f'(\textcolor{blue}{-1}) = \textcolor{blue}{0} \quad \text{og} \quad f'(\textcolor{red}{4}) = \textcolor{red}{5} \]Grafen til \( f' \) går derfor gjennom \( {(\textcolor{blue}{-1}, \textcolor{blue}{0})} \) og \( (\textcolor{red}{4}, \textcolor{red}{5})\text{.} \)
Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \dfrac{\textcolor{red}{5} - \textcolor{blue}{0}}{\textcolor{red}{4} - (\textcolor{blue}{-1})} = \dfrac{5}{5} = 1 \]
Da er \( {2a = 1}\text{,} \) så \( {f'(x) = x + b}\text{.} \) Setter vi inn \( {f'(-1) = 0}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} -1 + b &= 0 \\ b &= 1 \end{aligned} \]
Kontroll: \( {f'(4) = 4 + 1 = 5}\text{,} \) som i a).

1T høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 6

3 poeng

En arkitekt har tegnet et snitt av en lagerhall. Lagerhallen er 20 meter høy og har form som en parabel gitt ved
p(x)=−112x2+20 p(x) = -\dfrac{1}{12}x^2 + 20
På taket av lagerhallen skal det plasseres et webkamera. Webkameraet skal festes på en stang som er 3 meter lang.
Den rette linjen på figuren går gjennom punktet (0,23) (0, 23) og er en tangent til grafen.

Oppgave 6a)

Bestem likningen for tangenten.
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
y=−x+23‾‾ \underline{\underline{y = -x + 23}}
Oppgave 6A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, video, 08:34
Tangenten er en rett linje gjennom \( (0, 23)\text{.} \) Stigningstallet er den deriverte i punktet der linja rører parabelen, så vi finner det punktet først.
Metode: For hånd
1. Skriv opp formen til tangenten 1:03 En rett linje har stigningstallet \( \textcolor{red}{a} \) og skjærer \( y \)-aksen i \( \textcolor{blue}{b}\text{,} \) som i videoen Tangentlinje: \[ y = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]Tangenten går gjennom \( (0, 23)\text{,} \) så \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{23}}\text{.} \)
2. Finn stigningstallet med den deriverte 1:27 Vi kaller \( x \)-verdien der tangenten rører parabelen, for \( \textcolor{green}{t}\text{.} \) Der er stigningstallet lik den deriverte. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]
Konstanten 20 har derivert 0, så: \[ p'(x) = -\dfrac{2}{12}x = -\dfrac{1}{6}x \]Stigningstallet er altså \( {\textcolor{red}{a} = -\dfrac{1}{6}\textcolor{green}{t}}\text{.} \)
3. Finn punktet der tangenten rører parabelen 4:34 I \( {x = \textcolor{green}{t}} \) har parabelen og tangenten samme \( y \)-verdi: \[ -\dfrac{1}{12}\textcolor{green}{t}^2 + 20 = -\dfrac{1}{6}\textcolor{green}{t} \cdot \textcolor{green}{t} + \textcolor{blue}{23} \]
Vi samler leddene med \( t^2 \) på venstre side og tallene på høyre side: \[ \begin{aligned} -\dfrac{1}{12}t^2 + \dfrac{1}{6}t^2 &= 23 - 20 \\ \dfrac{1}{12}t^2 &= 3 \\ t^2 &= 36 \end{aligned} \]Det gir \( {t = 6} \) eller \( {t = -6}\text{.} \) Tangenten på figuren rører parabelen til høyre for \( y \)-aksen, så \( {\textcolor{green}{t} = \textcolor{green}{6}}\text{.} \)
4. Sett sammen tangenten 7:43 Stigningstallet er: \[ \textcolor{red}{a} = -\dfrac{1}{6} \cdot \textcolor{green}{6} = -1 \]Med \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{23}} \) blir tangenten \( {y = -x + 23}\text{.} \)
Vanlig feil: ✗ \( {a = 6}\text{,} \) fordi tangenten rører i \( {x = 6}\text{.} \) ✓ \( {a = -\dfrac{1}{6} \cdot 6 = -1}\text{.} \)

Oppgave 6b)

Hvor langt fra veggen på lagerhallen kan en tyv bevege seg uten å bli fotografert av webkameraet?
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Avrundet til én desimal kan tyven bevege seg
7,5 m fra veggen‾‾ \underline{\underline{7{,}5\,\text{m fra veggen}}}
Oppgave 6B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, video, 07:28
Vi bruker tangenten \( {y = -x + 23} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Kameraet ser ikke det som ligger under tangenten, fordi taket er i veien. Tyven er skjult mellom veggen og punktet der tangenten treffer bakken.
Metode: For hånd
1. Se hva kameraet ser 1:23 Lys går i rette linjer. Kameraet står i \( (0, 23)\text{,} \) og tangenten er linja som så vidt går klar av taket. Til høyre for veggen ser kameraet bare det som ligger over tangenten, så en tyv på bakken er skjult fram til tangenten treffer bakken.
2. Finn der tangenten treffer bakken 3:00 Bakken er \( x \)-aksen, så vi setter \( {y = 0} \) i tangenten: \[ \begin{aligned} 0 &= -x + 23 \\ x &= \textcolor{red}{23} \end{aligned} \]
3. Finn veggen 3:30 Veggen står der parabelen treffer bakken, altså der \( {p(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -\dfrac{1}{12}x^2 + 20 &= 0 \\ \dfrac{1}{12}x^2 &= 20 \\ x^2 &= 240 \\ x &= \sqrt{240} \approx \textcolor{blue}{15{,}49} \end{aligned} \]Vi ser på veggen til høyre, så \( x \) er positiv.
4. Regn ut avstanden 4:47 Tyven er skjult fra veggen og ut til der tangenten treffer bakken: \[ \textcolor{red}{23} - \textcolor{blue}{15{,}49} \approx 7{,}5 \]
Merk – Tyvens høyde: Står tyven oppreist, blir han sett før. Tangenten synker 1 meter for hver meter bortover, så en tyv som er \( h \) meter høy, kan bevege seg omtrent \( {7{,}5 - h} \) meter fra veggen.

1T høst 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 5

3 poeng

Du får vite følgende om en tredjegradsfunksjon f f gitt ved
f(x)=a⋅x3+b⋅x2+c⋅x+d f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d
• Grafen til f f går gjennom punktet (2,6). (2, 6)\text{.} • Punktet (−2,8) {(-2, 8)} er et toppunkt på grafen til f. f\text{.} • Tangenten til grafen til f f i punktet (3,f(3)) (3, f(3)) har stigningstall 4.
Bruk opplysningene ovenfor til å bestemme a, a\text{,} b, b\text{,} c c og d. d\text{.}
Vis løsning på oppgave 5

Svar

a=0,15,b=0,175‾‾c=−1,1,d=6,3‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{a = 0{,}15, \quad b = 0{,}175}} \\ &\underline{\underline{c = -1{,}1, \quad d = 6{,}3}} \end{aligned}
Opplysningene gir fire likninger: to for punktene på grafen og to for den deriverte, som er \( 0 \) i toppunktet og \( 4 \) i \( {x = 3}\text{.} \) Vi løser likningssettet.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp fire likninger Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
Vi deriverer ledd for ledd, og konstanten \( d \) blir \( 0\text{:} \) \[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \]
Grafen går gjennom \( (2, 6) \) og toppunktet \( {(-2, 8)}\text{,} \) der den deriverte er \( 0\text{.} \) Stigningstallet til tangenten i \( {x = 3} \) er \( f'(3)\text{,} \) som i videoen Tangentlinje. Det gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{f(2)} &= \textcolor{blue}{6} & \textcolor{red}{f(-2)} &= \textcolor{red}{8} \\ \textcolor{red}{f'(-2)} &= \textcolor{red}{0} & \textcolor{green}{f'(3)} &= \textcolor{green}{4} \end{aligned} \]
Plugger vi inn i \( f(x) \) og \( f'(x)\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{8a + 4b + 2c + d} &= \textcolor{blue}{6} \\ \textcolor{red}{-8a + 4b - 2c + d} &= \textcolor{red}{8} \\ \textcolor{red}{12a - 4b + c} &= \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{green}{27a + 6b + c} &= \textcolor{green}{4} \end{aligned} \]
2. Fjern d og c Vi trekker den andre likningen fra den første, så \( d \) forsvinner, og den tredje fra den fjerde, så \( c \) forsvinner: \[ \begin{aligned} 16a + 4c &= -2 \\ 15a + 10b &= 4 \end{aligned} \]
Den tredje likningen gir \( {c = 4b - 12a}\text{.} \) Setter vi det inn i \( {16a + 4c = -2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 16a + 4(4b - 12a) &= -2 \\ -32a + 16b &= -2 \\ b &= 2a - \dfrac{1}{8} \end{aligned} \]
3. Løs for a og b Vi setter \( {b = 2a - \dfrac{1}{8}} \) inn i \( {15a + 10b = 4}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2 - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} 15a + 10\left(2a - \dfrac{1}{8}\right) &= 4 \\ 35a &= 5{,}25 \\ a &= 0{,}15 \end{aligned} \]Det gir \( {b = 2 \cdot 0{,}15 - 0{,}125 = 0{,}175}\text{.} \)
4. Finn c og d Vi setter \( a \) og \( b \) inn i \( {c = 4b - 12a} \) og i den første likningen: \[ \begin{aligned} c &= 4 \cdot 0{,}175 - 12 \cdot 0{,}15 = -1{,}1 \\ d &= 6 - 8a - 4b - 2c \\ d &= 6 - 1{,}2 - 0{,}7 + 2{,}2 = 6{,}3 \end{aligned} \]
Kontroll: \( {f'(x) = 0{,}45x^2 + 0{,}35x - 1{,}1} \) gir \( {f'(-3) = 1{,}9 > 0} \) og \( {f'(0) = -1{,}1 < 0}\text{,} \) så grafen går fra å stige til å synke i \( {x = -2}\text{:} \) et toppunkt.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningssettet i CAS Vi definerer \( f \) i CAS og løser de fire likningene for \( a\text{,} \) \( b\text{,} \) \( c \) og \( d \) med Løs:
Skriv inn i GeoGebra: f(x) := a*x^3 + b*x^2 + c*x + d Løs({f(2) = 6, f(-2) = 8, f'(-2) = 0, f'(3) = 4}, {a, b, c, d})
CAS gir \( {a = \dfrac{3}{20} = 0{,}15}\text{,} \) \( {b = \dfrac{7}{40} = 0{,}175}\text{,} \) \( {c = -\dfrac{11}{10} = -1{,}1} \) og \( {d = \dfrac{63}{10} = 6{,}3}\text{.} \)

1T vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 6

2 poeng

Den rette linjen som er tegnet i koordinatsystemet ovenfor, er den deriverte av en funksjon f. f\text{.}
Punktet P(1,2) P(1, 2) ligger på grafen til f. f\text{.}
Bestem likningen for tangenten til grafen til f f i punktet P. P\text{.} Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.
Vis løsning på oppgave 6

Svar

Tangenten i P(1,2) P(1, 2) har stigningstallet f′(1)=−2: {f'(1) = -2}\text{:}
y=−2x+4‾‾ \underline{\underline{y = -2x + 4}}
Stigningstallet til tangenten i \( P \) er \( f'(1)\text{,} \) og det kan vi lese av på grafen til \( f'\text{.} \) Så finner vi likningen \( {y = ax + b} \) med punktet \( P\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Finn stigningstallet i punktet Den rette linjen er grafen til \( f'\text{.} \) Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten i punktet, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Punktet \( P \) har \( {x = 1}\text{,} \) og i figuren går linjen gjennom \( {(1, -2)}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{a} = f'(1) = \textcolor{red}{-2} \]
Kontroll: Linjen går gjennom \( (2, 0) \) og \( (4, 4)\text{,} \) så \( {f'(x) = 2x - 4} \) og \( {f'(1) = 2 \cdot 1 - 4 = -2}\text{.} \)
2. Finn likningen til tangenten En rett linje har likningen \[ y = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]der \( \textcolor{red}{a} \) er stigningstallet og \( \textcolor{blue}{b} \) er der linjen skjærer \( y \)-aksen, som i videoen Oppgave 6A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.
Tangenten går gjennom \( P(1, 2)\text{.} \) Vi setter inn \( {\textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{-2}}\text{,} \) \( {x = 1} \) og \( {y = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2 &= \textcolor{red}{-2} \cdot 1 + \textcolor{blue}{b} \\ \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{4} \end{aligned} \]
Tangenten er altså \( {y = -2x + 4}\text{.} \) Den går gjennom \( P\text{,} \) og den har samme stigningstall som grafen til \( f \) i \( P\text{,} \) nemlig \( {f'(1) = -2}\text{.} \)