1T eksamen våren 2022 – løsningsforslag

Alle oppgavene fra Udir-eksamenen, med svar og løsningsforslag steg for steg. Prøv selv først – løsningen ligger under hver oppgave.

Last ned PDF

Del 1

Uten hjelpemidler · 6 oppgaver

Oppgave 1

Oppgave 1a)

Løs likningen

(x - 2)(x + 1) = 0

Vis løsning

Svar

Likningen har to løsninger:

\underline{\underline{x = -1 \quad \text{eller} \quad x = 2}}

Venstre side er et produkt av to faktorer. Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{,} \) så vi setter hver faktor lik \( 0\text{.} \)

1. Sett hver faktor lik null For at et produkt skal bli \( 0\text{,} \) må en av faktorene være \( 0\text{,} \) som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: \[ (\textcolor{darkorange}{x - 2})(\textcolor{magenta}{x + 1}) = 0 \]

Hver faktor gir en løsning: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{x - 2} &= 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \\ \textcolor{magenta}{x + 1} &= 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \end{aligned} \]

Kontroll: \( {(2 - 2)(2 + 1) = 0} \) og \( {(-1 - 2)(-1 + 1) = 0}\text{.} \)

Oppgave 1b)

Sett opp en ulikhet som har løsning

{x \in \langle \leftarrow, -1 \rangle \cup \langle 2, \rightarrow \rangle}

Husk å begrunne svaret.

Vis løsning

Svar

Produktet er positivt for

{x < -1}

og for

{x > 2}\text{,}

så ulikheten er

\underline{\underline{(x - 2)(x + 1) > 0}}

Vi bruker produktet fra a), som er \( 0 \) i \( {x = -1} \) og \( {x = 2}\text{.} \)

Endepunktene \( {-1} \) og \( 2 \) er nullpunktene til produktet i a). Vi ser i et fortegnsskjema hvor produktet er positivt.

1. Sett opp et fortegnsskjema Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Oppgave 1 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Vi kaller produktet \( P(x)\text{:} \) :::fortegnsskjema {"points": [-1, 2], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x + 1}", "expr": "x + 1"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 2}", "expr": "x - 2"}, {"label": "P(x)", "expr": "(x - 2)(x + 1)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

Produktet er positivt til venstre for \( {-1} \) og til høyre for \( 2\text{.} \) Intervallene er åpne, så \( {-1} \) og \( 2 \) er ikke med. Derfor bruker vi \( {>} \) og ikke \( {\ge}\text{,} \) som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: \[ (x - 2)(x + 1) > 0 \]

Andre ulikheter er også riktige, for eksempel \( {\dfrac{x + 1}{x - 2} > 0}\text{.} \)

Oppgave 2

Bestem

r

s

slik at sammenhengen nedenfor blir en identitet

9x^2 - 30x + r = (3x - s)^2

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{r = 25 \quad \text{og} \quad s = 5}}

En identitet stemmer for alle \( x\text{.} \) Vi ganger ut høyre side med andre kvadratsetning og krever at leddene med \( x \) og konstantleddene er like på begge sider.

1. Gang ut høyre side Andre kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 - 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{s}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} (3x - s)^2 &= (\textcolor{blue}{3x})^2 - 2 \cdot \textcolor{blue}{3x} \cdot \textcolor{red}{s} + \textcolor{red}{s}^2 \\ (3x - s)^2 &= 9x^2 - 6sx + s^2 \end{aligned} \]

2. Sammenlign leddene Skal likheten stemme for alle \( x\text{,} \) må leddene med \( x \) og konstantleddene være like på hver side, som når vi faktoriserer baklengs i videoen Kvadratsetningene: \[ 9x^2 \textcolor{green}{{}- 30x} \textcolor{magenta}{{}+ r} = 9x^2 \textcolor{green}{{}- 6sx} \textcolor{magenta}{{}+ s^2} \]

Det gir to likninger, som vi løser ovenfra og ned: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{-6s} &= \textcolor{green}{-30}, \quad \text{så } s = 5 \\ \textcolor{magenta}{r} &= \textcolor{magenta}{s^2} = 5^2 = 25 \end{aligned} \]

Kontroll: Andre kvadratsetning gir \( {(3x - 5)^2 = 9x^2 - 30x + 25}\text{.} \)

Oppgave 3

Om en rettvinklet trekant

ABC

får du vite at

{\tan \angle B = \dfrac{3}{4}}

• Kan det være riktig at

{\sin \angle B = \dfrac{3}{10}}\text{?}

• Kan det være riktig at den ene kateten er 6 og den andre kateten er 8? • Kan det være riktig at hypotenusen er kortere enn 4?

Husk å begrunne alle tre svarene.

Vis løsning

Svar

Sidene er

3k\text{,}

4k

5k\text{,}

der

{k > 0}

kan være hva som helst:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Nei, } \sin \angle B = \tfrac{3}{5}}} \\ &\underline{\underline{\text{Ja, med } 6 \text{ mot } B}} \\ &\underline{\underline{\text{Ja, for eksempel } 5k = 2{,}5}} \end{aligned}

\( {\tan \angle B = \dfrac{3}{4}} \) sier bare hvor lange katetene er i forhold til hverandre. Vi finner sidene med en ukjent størrelse \( k \) og Pytagoras, og svarer på hvert spørsmål for seg.

1. Finn sidene i trekanten Definisjonene forteller oss at for en spiss vinkel \( B \) i en rettvinklet trekant er: \[ \begin{aligned} \tan B &= \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående katet}}}{\textcolor{blue}{\text{hosliggende katet}}} \\ \sin B &= \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående katet}}}{\textcolor{green}{\text{hypotenus}}} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

\( {\tan \angle B = \dfrac{3}{4}} \) betyr at kateten mot \( B \) er \( \dfrac{3}{4} \) av kateten inntil \( B\text{.} \) Vi kaller dem \( \textcolor{red}{3k} \) og \( \textcolor{blue}{4k}\text{,} \) der \( {k > 0}\text{.} \) Pytagoras gir hypotenusen, som i videoen Oppgave 3B (Pytagoras): \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{h}^2 &= (\textcolor{red}{3k})^2 + (\textcolor{blue}{4k})^2 = 25k^2 \\ \textcolor{green}{h} &= \textcolor{green}{5k} \end{aligned} \]

2. Svar på spørsmålene ett for ett \( \sin \angle B\text{:} \) Plugger vi sidene inn i definisjonen, får vi: \[ \sin \angle B = \dfrac{\textcolor{red}{3k}}{\textcolor{green}{5k}} = \dfrac{3}{5} \]Det er ikke \( \dfrac{3}{10}\text{,} \) så det kan ikke være riktig.

Katetene 6 og 8: Med \( {k = 2} \) er \( {\textcolor{red}{3k} = 6} \) og \( {\textcolor{blue}{4k} = 8}\text{.} \) Står kateten 6 mot \( B\text{,} \) er: \[ \tan \angle B = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4} \]Så det kan være riktig.

Hypotenusen: \( \tan \angle B \) bestemmer bare formen på trekanten, ikke størrelsen. Med \( {k = \dfrac{1}{2}} \) er katetene \( 1{,}5 \) og \( 2\text{,} \) og hypotenusen er: \[ \textcolor{green}{5k} = 5 \cdot \dfrac{1}{2} = 2{,}5 < 4 \]Hypotenusen kan altså være kortere enn 4.

Oppgave 4

Flere oppgaver om programmering

Forklar hva som skjer når programmet ovenfor kjøres. Hva blir resultatet?

Vis løsning

Svar

Programmet skriver ut kvadrattallene fra

1^2

til

20^2\text{,}

ett på hver linje:

\underline{\underline{1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \dots,\ 361,\ 400}}

Vi leser programmet linje for linje, som datamaskinen gjør, og ser hvilke verdier løkka skriver ut og når den stopper.

1. Les programmet Vi tenker som datamaskinen og går gjennom programmet linje for linje, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 1 og 2 definerer funksjonen \[ f(x) = x^2 \]

Linje 4 starter med \( {\textcolor{blue}{x = 1}}\text{.} \) Løkka i linje 6 går så lenge \( {\textcolor{red}{f(x) \le 400}}\text{.} \) Linje 7 skriver ut \( f(x)\text{,} \) og linje 8 gjør \( x \) én større. Programmet skriver altså ut \( 1^2\text{,} \) \( 2^2\text{,} \) \( 3^2 \) og så videre.

2. Finn når løkka stopper Løkka går så lenge kvadratet er \( 400 \) eller mindre: \[ \begin{aligned} 20^2 &= 400 \le 400 \\ 21^2 &= 441 > 400 \end{aligned} \]Med \( {\textcolor{red}{\le}} \) blir \( 400 \) skrevet ut. Når \( {x = 21}\text{,} \) er betingelsen usann, og programmet stopper uten å skrive ut \( 441\text{.} \)

Oppgave 5

En rasjonal funksjon

f

har vertikal asymptote

{x = -2}

og horisontal asymptote

{y = 3}\text{.}

Bestem to mulige funksjonsuttrykk for

f\text{.}

Husk å forklare hvordan du tenker.

Vis løsning

Svar

To funksjoner med nevneren

{x + 2}

og tallet 3 foran

x

i telleren:

\begin{aligned} &\underline{\underline{f(x) = \dfrac{3x}{x + 2}}} \\ &\underline{\underline{f(x) = \dfrac{3x + 1}{x + 2}}} \end{aligned}

Den vertikale asymptoten bestemmer nevneren, og den horisontale bestemmer tallet foran \( x \) i telleren. Vi lager en brøk med førstegradsuttrykk i teller og nevner, og sjekker begge asymptotene.

1. Velg nevneren En brøk har en vertikal asymptote der: \[ \textcolor{blue}{\text{nevneren}} = 0 \quad \text{og} \quad \textcolor{red}{\text{telleren}} \neq 0 \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025.

Nevneren \( {\textcolor{blue}{x + 2}} \) er \( 0 \) i \( {x = -2}\text{.} \) Vi prøver: \[ f(x) = \dfrac{\textcolor{red}{3x}}{\textcolor{blue}{x + 2}} \]I \( {x = -2} \) er telleren \( {\textcolor{red}{3 \cdot (-2)} = -6 \neq 0}\text{,} \) så \( {x = -2} \) er en vertikal asymptote.

2. Sjekk den horisontale asymptoten Den horisontale asymptoten finner vi ved å dele både telleren og nevneren på \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x): \[ f(x) = \dfrac{3}{1 + \dfrac{2}{x}} \]Når \( x \) blir veldig stor, positiv eller negativ, går \( \dfrac{2}{x} \) mot \( 0\text{,} \) og \( f(x) \) nærmer seg \( 3\text{.} \) Så \( {y = 3} \) er en horisontal asymptote.

3. Finn et uttrykk til Et annet uttrykk får vi ved å legge til et tall i telleren. Det endrer ikke tallet \( 3 \) foran \( x\text{,} \) så den horisontale asymptoten er fortsatt \( {y = 3}\text{:} \) \[ f(x) = \dfrac{\textcolor{red}{3x + 1}}{\textcolor{blue}{x + 2}} = \dfrac{3 + \dfrac{1}{x}}{1 + \dfrac{2}{x}} \]I \( {x = -2} \) er telleren \( {\textcolor{red}{-6 + 1} = -5 \neq 0}\text{,} \) så \( {x = -2} \) er også her en vertikal asymptote.

Tallet i telleren kan ikke være \( 6\text{:} \) da er \( {\dfrac{3x + 6}{x + 2} = 3} \) for \( {x \neq -2}\text{,} \) og asymptoten forsvinner. Andre svar er også riktige, for eksempel \( {\dfrac{3x - 4}{x + 2}}\text{.} \)

Oppgave 6

Funksjonen

f

er gitt ved

f(x) = 2x^3 + x^2 - 18x - 9

Oppgave 6a)

Vis at divisjonen

{f(x) : (x - 3)}

går opp.

Vis løsning

Svar

Divisjonen gir resten

0\text{:}

\underline{\underline{f(x) : (x - 3) = 2x^2 + 7x + 3}}

Vi deler \( f(x) \) på \( {(x - 3)} \) med polynomdivisjon. Divisjonen går opp hvis det står \( 0 \) nederst.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( f(x) \) på \( {(x - 3)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{2x^3} + x^2 - 18x - 9) : (\textcolor{green}{x} - 3) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{2x^2} \\ \textcolor{red}{2x^2} \cdot (x - 3) &= 2x^3 - 6x^2 \\ -(2x^3 - 6x^2) &= \textcolor{red}{-2x^3 + 6x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + x^2 - 18x - 9) : (\textcolor{green}{x} - 3) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ x^2 & {}- 18x & {}- 9 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 6x^2} & & \\ \hline & 7x^2 & {}- 18x & {}- 9 \end{array} \end{array} \]\( 2x^3 \) strykes mot \( {-2x^3}\text{,} \) \( {x^2 + 6x^2 = 7x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-18x} \) og \( {-9}\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{7x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{7x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{7x} \\ \textcolor{magenta}{7x} \cdot (x - 3) &= 7x^2 - 21x \\ -(7x^2 - 21x) &= \textcolor{magenta}{-7x^2 + 21x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + x^2 - 18x - 9) : (\textcolor{green}{x} - 3) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 7x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ x^2 & {}- 18x & {}- 9 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 6x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{7x^2}} & {}- 18x & {}- 9 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-7x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 21x} & \\ \hline & & 3x & {}- 9 \end{array} \end{array} \]\( 7x^2 \) strykes mot \( {-7x^2}\text{,} \) \( {-18x + 21x = 3x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-9}\text{.} \) Linja \( {3x - 9} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{3x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{3x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{blue}{3} \cdot (x - 3) &= 3x - 9 \\ -(3x - 9) &= \textcolor{blue}{-3x + 9} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + x^2 - 18x - 9) : (\textcolor{green}{x} - 3) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 7x} \textcolor{blue}{{}+ 3} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ x^2 & {}- 18x & {}- 9 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 6x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{7x^2}} & {}- 18x & {}- 9 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-7x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 21x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x}} & {}- 9 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{-3x}} & \textcolor{blue}{{}+ 9} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( 3x \) strykes mot \( {-3x}\text{,} \) og \( {-9 + 9 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &2x^3 + x^2 - 18x - 9 \\ &= (x - 3)(2x^2 + 7x + 3) \end{aligned} \]

Kontroll: \( {f(3) = 54 + 9 - 54 - 9 = 0}\text{,} \) så \( {x - 3} \) er en faktor i \( f(x)\text{,} \) som i videoen Nullpunktssetningen.

Oppgave 6b)

Gjør beregninger, og vurder hvilken av grafene nedenfor som kan være grafen til

f\text{.}

Vis løsning

Svar

Nullpunktene

{-3}\text{,}

{-\dfrac{1}{2}}

3

{f(0) = -9 < 0}

passer bare med

\underline{\underline{\text{grafen C}}}

Vi bruker fra a) at divisjonen med \( {x - 3} \) gir \( {2x^2 + 7x + 3}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi finner nullpunktene fra faktorene og hvor grafen skjærer \( y \)-aksen, og sammenligner med de tre grafene.

1. Finn nullpunktene I a) fant vi at: \[ f(x) = (x - 3)(2x^2 + 7x + 3) \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{.} \) Faktoren \( {x - 3} \) gir \( {x = 3}\text{,} \) og \( {2x^2 + 7x + 3 = 0} \) løser vi med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{7}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{3}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{7} \pm \sqrt{\textcolor{red}{7}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ x &= \dfrac{-7 \pm \sqrt{25}}{4} = \dfrac{-7 \pm 5}{4} \\ x_1 &= \dfrac{-7 - 5}{4} = -3 \\ x_2 &= \dfrac{-7 + 5}{4} = -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]Nullpunktene er altså \( {-3}\text{,} \) \( {-\dfrac{1}{2}} \) og \( 3\text{.} \)

2. Finn skjæringen med y-aksen Grafen skjærer \( y \)-aksen der \( {x = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ f(0) = 2 \cdot 0^3 + 0^2 - 18 \cdot 0 - 9 = -9 \]Grafen skjærer \( y \)-aksen under \( x \)-aksen.

3. Sammenlign med grafene Grafen skal skjære \( x \)-aksen to ganger til venstre for \( y \)-aksen og én gang til høyre, som i videoen Oppgave 4B - Del 1 - 1T Eksamen Vår 2025. A har bare ett nullpunkt til venstre, så A passer ikke.

\( {-3} \) og \( 3 \) ligger like langt fra \( y \)-aksen, og \( {-\dfrac{1}{2}} \) ligger like til venstre for den. Slik er det i C. I B ligger det høyre nullpunktet bare en tredjedel så langt ut som det venstre, så B passer ikke. C skjærer også \( y \)-aksen under \( x \)-aksen, som \( {f(0) = -9} \) sier.

Del 2

Med hjelpemidler · 6 oppgaver

Oppgave 1

En fabrikk har en vanntank. Vannet i tanken skal tappes ut.

Anta at funksjonen

V

gitt ved

\begin{gathered} V(x) = 2000 - 2000 \cdot \left(1 - \dfrac{x}{40}\right)^2, \\ 0 \le x \le 40 \end{gathered}

kan brukes som en modell for hvor mange liter vann

V(x)

som er tappet ut av tanken

x

minutter etter at tappingen startet.

Oppgave 1a)

Bestem

V(0)\text{.}

Gi en praktisk tolkning av svaret.

Vis løsning

Svar

Når tappingen starter, er ingen liter tappet ut:

\underline{\underline{V(0) = 0}}

\( {x = 0} \) er når tappingen starter, så vi setter \( {x = 0} \) inn i \( V(x)\text{.} \)

Metode: For hånd

1. Sett inn starttidspunktet Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{0}}\text{,} \) slik vi setter inn \( {x = 0} \) i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} V(\textcolor{blue}{0}) &= 2000 - 2000 \cdot \left(1 - \dfrac{\textcolor{blue}{0}}{40}\right)^2 \\ V(0) &= 2000 - 2000 \cdot 1^2 = 0 \end{aligned} \]\( V(x) \) er antall liter som er tappet ut, så når tappingen starter, er ingenting tappet ut ennå.

Oppgave 1b)

Bestem verdimengden til

V\text{.}

Vis løsning

Svar

V

øker fra

{V(0) = 0}

til

{V(40) = 2000}\text{,}

så verdimengden er:

\underline{\underline{[0, 2000]}}

Verdimengden er alle verdiene \( V(x) \) tar for \( {0 \le x \le 40}\text{.} \) Vi ser hvordan parentesen endrer seg, og finner den minste og den største verdien.

Metode: For hånd

1. Se hvordan parentesen endrer seg Når \( x \) går fra \( 0 \) til \( 40\text{,} \) går \( {\textcolor{red}{1 - \dfrac{x}{40}}} \) fra \( 1 \) ned til \( 0\text{,} \) og kvadratet \( {\textcolor{red}{\left(1 - \dfrac{x}{40}\right)^2}} \) går også fra \( 1 \) ned til \( 0\text{.} \) Vi trekker altså fra mindre og mindre, så \( V(x) \) blir større hele tiden.

2. Finn minste og største verdi \( V \) er minst i \( {x = 0} \) og størst i \( {x = 40}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V(0) &= 2000 - 2000 \cdot 1^2 = 0 \\ V(40) &= 2000 - 2000 \cdot 0^2 = 2000 \end{aligned} \]\( V \) tar alle verdiene mellom, så verdimengden er \( [0, 2000]\text{.} \) Tanken har altså 2000 liter, som er tappet ut etter 40 minutter.

Metode: Med GeoGebra

1. Tegn grafen med endepunktene Vi tegner \( V \) med definisjonsmengden \( {0 \le x \le 40} \) og legger inn punktene i hver ende:

Skriv inn i GeoGebra: V(x) = 2000 - 2000(1 - x/40)^2, 0 <= x <= 40 A = (0, V(0)) B = (40, V(40))

Grafen stiger hele veien fra \( {A = (0, 0)} \) til \( {B = (40, 2000)}\text{,} \) så \( V \) tar alle verdiene fra 0 til 2000.

Oppgave 1c)

Hvor lang tid vil det ta før halvparten av vannet er tappet ut av tanken?

Vis løsning

Svar

Halvparten av vannet, 1000 liter, er tappet ut etter omtrent 11 minutter og 43 sekunder, som avrundet til én desimal er:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 11{,}7 \text{ minutter}}}

Vi bruker fra b) at tanken har 2000 liter, den største verdien \( V \) kan ha.

Halvparten av 2000 liter er 1000 liter. Vi løser likningen \( {V(x) = 1000}\text{.} \)

Metode: Med kalkulator

1. Sett opp likningen Vi setter \( {V(x) = \textcolor{red}{1000}}\text{:} \) \[ 2000 - 2000 \cdot \left(1 - \dfrac{x}{40}\right)^2 = \textcolor{red}{1000} \]

Vi trekker fra 2000 og deler på \( {-2000} \) på begge sider: \[ \left(1 - \dfrac{x}{40}\right)^2 = 0{,}5 \]

2. Løs for x Vi tar kvadratroten på begge sider, som i videoen Oppgave 6B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. For \( {0 \le x < 40} \) er \( {1 - \dfrac{x}{40}} \) positiv, så vi bruker den positive roten: \[ \begin{aligned} 1 - \dfrac{x}{40} &= \sqrt{0{,}5} \\ x &= 40 \cdot \left(1 - \sqrt{0{,}5}\right) \approx 11{,}72 \end{aligned} \]\( 0{,}72 \) minutter er \( {0{,}72 \cdot 60 \approx 43} \) sekunder. Det tar altså omtrent 11 minutter og 43 sekunder.

Metode: Med GeoGebra

1. Finn skjæringspunktet Vi tegner grafen til \( V\text{,} \) linja \( {y = 1000} \) og finner skjæringspunktet med Skjæring, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: V(x) = 2000 - 2000(1 - x/40)^2, 0 <= x <= 40 g: y = 1000 S = Skjæring(V, g, (10, 1000))

Skjæringspunktet er \( {S \approx (11{,}7157,\ 1000)}\text{.} \) Etter omtrent 11,7 minutter er halvparten av vannet tappet ut.

Oppgave 1d)

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene

(0, V(0))

(30, V(30))\text{.}

Gi en praktisk tolkning av svaret.

Vis løsning

Svar

De første 30 minuttene tappes det i gjennomsnitt ut 62,5 liter vann per minutt:

\underline{\underline{\text{Stigningstallet} = 62{,}5}}

Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{.} \) Her er \( x \) minutter og \( V(x) \) liter, så stigningstallet er liter per minutt.

Metode: Med kalkulator

1. Regn ut funksjonsverdiene Vi setter inn \( {x = 0} \) og \( {x = 30}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V(\textcolor{blue}{0}) &= 2000 - 2000 \cdot 1^2 = \textcolor{blue}{0} \\ V(\textcolor{red}{30}) &= 2000 - 2000 \cdot 0{,}25^2 \\ &= \textcolor{red}{1875} \end{aligned} \]

2. Regn ut stigningstallet Vi deler endringen i liter på endringen i tid, som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \begin{aligned} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &= \dfrac{\textcolor{red}{V(30)} - \textcolor{blue}{V(0)}}{30 - 0} \\ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &= \dfrac{\textcolor{red}{1875} - \textcolor{blue}{0}}{30} = 62{,}5 \end{aligned} \]

3. Tolk stigningstallet Stigningstallet er \( 62{,}5 \) liter per minutt. De første 30 minuttene tappes det altså i gjennomsnitt ut \( 62{,}5 \) liter vann per minutt.

Metode: Med GeoGebra

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( V \) i CAS med \( {:=}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, og regner ut stigningstallet:

Skriv inn i GeoGebra: V(x) := 2000 - 2000(1 - x/40)^2 V(30) (V(30) - V(0))/(30 - 0)

CAS gir \( {\dfrac{125}{2} = 62{,}5}\text{.} \) De første 30 minuttene tappes det i gjennomsnitt ut \( 62{,}5 \) liter per minutt.

Oppgave 1e)

Undersøk om det noen gang vil tappes ut mer enn 105 liter vann i løpet av ett minutt.

Vis løsning

Svar

Det tappes mest det første minuttet,

98{,}75

liter:

\underline{\underline{\text{Nei, aldri mer enn } 105 \text{ liter}}}

Vi finner hvor mye vann som tappes ut fra et tidspunkt \( x \) til ett minutt senere, og ser når det er mest.

Metode: Med kalkulator

1. Skriv om modellen Andre kvadratsetning forteller oss at: \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {a = 1} \) og \( {b = \dfrac{x}{40}}\text{:} \) \[ \left(1 - \dfrac{x}{40}\right)^2 = 1 - \dfrac{x}{20} + \dfrac{x^2}{1600} \]

Ganger vi med 2000 og trekker fra, får vi: \[ \begin{aligned} V(x) &= 2000 - 2000 \\ &\quad + 100x - 1{,}25x^2 \\ V(x) &= 100x - 1{,}25x^2 \end{aligned} \]

2. Finn vannet på ett minutt Fra \( x \) til \( {x + 1} \) tappes det ut \( {V(x + 1) - V(x)} \) liter. Vi kaller det \( N(x)\text{,} \) for \( {0 \le x \le 39}\text{.} \) Siden \( {(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} N(x) &= 100(x + 1) - 1{,}25(x + 1)^2 \\ &\quad - 100x + 1{,}25x^2 \\ N(x) &= 100 - 1{,}25 \cdot (2x + 1) \\ N(x) &= \textcolor{red}{98{,}75} \textcolor{blue}{{}- 2{,}5x} \end{aligned} \]

3. Finn det meste på ett minutt \( {\textcolor{blue}{-2{,}5x}} \) blir mer negativ jo større \( x \) er, så det tappes ut mest det første minuttet, når \( {x = 0}\text{:} \) \[ N(0) = \textcolor{red}{98{,}75} \]Det er mindre enn 105 liter, og etterpå tappes det ut 2,5 liter mindre for hvert minutt.

Kontroll: \( {0{,}975^2 = 0{,}950625}\text{,} \) så \( {V(1) = 2000 - 1901{,}25}\text{,} \) som er \( 98{,}75\text{.} \) Og \( {V(2) = 195}\text{,} \) så \( {V(2) - V(1) = 96{,}25}\text{.} \)

Metode: Med GeoGebra

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( V \) i CAS, forenkler \( {V(x + 1) - V(x)} \) og regner ut vannet de fire første minuttene med Følge og knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: V(x) := 2000 - 2000(1 - x/40)^2 Forenkle(V(x + 1) - V(x)) Følge(V(n + 1) - V(n), n, 0, 3)

CAS gir \( {-\dfrac{5}{2}x + \dfrac{395}{4} = 98{,}75 - 2{,}5x}\text{,} \) som blir mindre for hvert minutt: \( 98{,}75\text{,} \) \( 96{,}25 \) og så videre. Det meste er \( 98{,}75 \) liter, det første minuttet.

Oppgave 2

Flere oppgaver om tallfølger

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små klosser. Roar vil fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Oppgave 2a)

Hvor mange klosser trenger han for å lage figur 5?

Vis løsning

Svar

Figur 5 har lagene

1^2

til

5^2\text{,}

så han trenger:

\underline{\underline{55 \text{ klosser}}}

Hver figur er en pyramide av kvadratiske lag. Vi ser hvordan lagene vokser fra figur til figur, og fortsetter mønsteret til figur 5.

Metode: For hånd

1. Finn mønsteret Figur 1 er ett lag med \( {1 \cdot 1} \) kloss. Figur 2 har et nytt lag med \( {2 \cdot 2} \) klosser under, og figur 3 et nytt lag med \( {3 \cdot 3} \) klosser under det igjen: \[ \begin{aligned} \text{Figur 1:}\quad & \textcolor{blue}{1^2} = 1 \\ \text{Figur 2:}\quad & \textcolor{blue}{1^2} + \textcolor{red}{2^2} = 5 \\ \text{Figur 3:}\quad & \textcolor{blue}{1^2} + \textcolor{red}{2^2} + \textcolor{green}{3^2} = 14 \end{aligned} \]Figur nummer \( n \) får altså et nytt nederste lag med \( n^2 \) klosser.

2. Fortsett til figur 5 Vi følger mønsteret videre, som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. Figur 5 har lagene \( 1^2\text{,} \) \( 2^2\text{,} \) \( 3^2\text{,} \) \( 4^2 \) og \( 5^2\text{:} \) \[ 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 \]

Oppgave 2b)

Hvor mange klosser trenger han til sammen for å lage de 10 første figurene?

Vis løsning

Svar

De 10 første figurene har til sammen:

\underline{\underline{1210 \text{ klosser}}}

Vi bruker mønsteret fra a): figur \( n \) har ett lag mer enn figur \( {n - 1}\text{,} \) med \( n^2 \) klosser.

Vi finner antall klosser i hver av de 10 figurene ved å legge til et nytt lag hver gang, og legger sammen.

Metode: Med kalkulator

1. Finn klossene i hver figur Hver figur er den forrige pluss et nytt lag med \( \textcolor{red}{n^2} \) klosser, som i mønsteret i a). Vi fører mønsteret videre, som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{array}{r|r|r} n & \textcolor{red}{n^2} & \text{Figur } n \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 9 & 14 \\ 4 & 16 & 30 \\ 5 & 25 & 55 \\ 6 & 36 & 91 \\ 7 & 49 & 140 \\ 8 & 64 & 204 \\ 9 & 81 & 285 \\ 10 & 100 & 385 \end{array} \]

2. Legg sammen figurene Med kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} &1 + 5 + 14 + 30 + 55 + 91 \\ &{}+ 140 + 204 + 285 + 385 \\ &{}= 1210 \end{aligned} \]

Metode: Med regneark

1. Lag oversikten i regnearket Vi skriver overskriftene i rad 1 og \( 1 \) i A2 og B2. Figurnummeret øker med \( 1\text{,} \) klossene øker med figurnummeret i andre, og til sammen er summen så langt: \[ \begin{aligned} \text{A3:}\quad & \texttt{=A2+1} \\ \text{B3:}\quad & \texttt{=B2+}\textcolor{red}{\texttt{A3\textasciicircum{}2}} \\ \text{C2:}\quad & \texttt{=B2} \\ \text{C3:}\quad & \texttt{=C2+B3} \end{aligned} \]Vi drar A3, B3 og C3 ned til rad 11, figur 10, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023:

I C11 står summen for de 10 første figurene, \( 1210 \) klosser.

Roar har 10 000 klosser. Han vil starte med den minste figuren og lage én figur i hver størrelse.

Oppgave 2c)

Hvor mange figurer kan han lage? Hvor mange klosser vil han ha igjen når han har laget figurene?

Vis løsning

Svar

De 17 første figurene trenger 8721 klosser, og til figur 18 har han ikke nok klosser:

\begin{aligned} &\underline{\underline{17 \text{ figurer}}} \\ &\underline{\underline{1279 \text{ klosser igjen}}} \end{aligned}

Vi bruker tabellen fra b), der figur 10 har 385 klosser og de 10 første 1210 til sammen.

Vi fortsetter tabellen fra b) og legger sammen figurene etter hvert. Han kan lage figurer så lenge summen er høyst 10 000.

Metode: Med kalkulator

1. Fortsett tabellen Hver nye figur er den forrige pluss \( n^2\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. I siste kolonne legger vi sammen alle figurene så langt, og starter med \( 1210 \) fra b): \[ \begin{array}{r|r|r} n & \text{Figur } n & \text{Til sammen} \\ \hline 11 & 506 & 1716 \\ 12 & 650 & 2366 \\ 13 & 819 & 3185 \\ 14 & 1015 & 4200 \\ 15 & 1240 & 5440 \\ 16 & 1496 & 6936 \\ 17 & 1785 & \textcolor{blue}{8721} \\ 18 & 2109 & \textcolor{red}{10\,830} \end{array} \]

2. Finn antallet og resten De 17 første figurene trenger \( \textcolor{blue}{8721} \) klosser. Med figur 18 blir det \( \textcolor{red}{10\,830}\text{,} \) og det er mer enn 10 000. Han kan altså lage 17 figurer, og har igjen: \[ 10\,000 - \textcolor{blue}{8721} = 1279 \]Figur 18 trenger 2109 klosser, så de 1279 klossene er ikke nok til den.

Metode: Med regneark

1. Fortsett oversikten I b) laget vi oversikten med formlene: \[ \begin{aligned} \text{A3:}\quad & \texttt{=A2+1} \\ \text{B3:}\quad & \texttt{=B2+}\textcolor{red}{\texttt{A3\textasciicircum{}2}} \\ \text{C3:}\quad & \texttt{=C2+B3} \end{aligned} \]Vi drar dem ned til rad 19, figur 18. I D1 skriver vi «Igjen», og i D2 hvor mange klosser han har igjen: \[ \text{D2:}\quad \texttt{=10000-C2} \]Vi drar D2 ned til rad 19, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023:

Rad 18 er den siste der det er klosser igjen: etter figur 17 har han brukt \( 8721 \) og har \( 1279 \) igjen. Rad 19 viser at figur 18 ville krevd \( 830 \) klosser mer enn han har.

Oppgave 3

Gitt firkanten

ABCD

ovenfor.

Oppgave 3a)

Bestem et eksakt uttrykk for omkretsen av firkanten.

Vis løsning

Svar

Med

{AB = 3\sqrt{2}\,a}

{AD = (3 + \sqrt{3})\,a}

er omkretsen

\underline{\underline{O = (7 + 3\sqrt{2} + \sqrt{3})\,a}}

Vi mangler \( AB \) og \( AD\text{.} \) Vi finner diagonalen \( BD \) med cosinussetningen i trekant \( BCD\text{,} \) og deler så trekant \( ABD \) med høyden fra \( B\text{,} \) så vi får to rettvinklede trekanter med vinkler vi kjenner sinus og cosinus til.

Metode: For hånd

1. Finn diagonalen BD Cosinussetningen forteller oss at siden \( BD\text{,} \) som står mot vinkelen \( \textcolor{green}{C} \) mellom \( \textcolor{blue}{CD} \) og \( \textcolor{red}{CB}\text{,} \) er gitt ved: \[ \begin{aligned} BD^2 &= \textcolor{blue}{CD}^2 + \textcolor{red}{CB}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{CD} \cdot \textcolor{red}{CB} \cdot \cos \textcolor{green}{C} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.

Her er \( {\textcolor{blue}{CD} = \textcolor{red}{CB} = 2a} \) og \( {\textcolor{green}{C} = \textcolor{green}{120^\circ}}\text{,} \) og \( {\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} BD^2 &= 4a^2 + 4a^2 \\ &\quad - 2 \cdot 2a \cdot 2a \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) \\ BD^2 &= 8a^2 + 4a^2 = 12a^2 \\ BD &= \sqrt{12a^2} = 2\sqrt{3}\,a \end{aligned} \]

2. Del trekant ABD med høyden Vinkelsummen i trekant \( ABD \) er \( 180^\circ\text{:} \) \[ \angle ADB = 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ = 60^\circ \]

Høyden \( \textcolor{magenta}{BH} \) fra \( B \) ned på \( AD \) gir to rettvinklede trekanter. \( H \) ligger på \( AD\text{,} \) fordi vinklene i \( A \) og \( D \) er spisse. I trekant \( BDH \) er \( {BD = 2\sqrt{3}\,a} \) hypotenusen og vinkel \( {D = 60^\circ}\text{.} \) Med \( {\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}} \) og \( {\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}}\text{,} \) som i videoen Oppgave 13B (Enkel trigonometri), får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{magenta}{BH} &= 2\sqrt{3}\,a \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \textcolor{magenta}{3a} \\ \textcolor{darkorange}{DH} &= 2\sqrt{3}\,a \cdot \dfrac{1}{2} = \textcolor{darkorange}{\sqrt{3}\,a} \end{aligned} \]

Trekant \( ABH \) har vinkelen \( 45^\circ \) i \( A\text{,} \) så den er likebeint, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Da er \( {AH = \textcolor{magenta}{BH} = 3a}\text{,} \) og Pytagoras gir: \[ \begin{aligned} AB^2 &= (3a)^2 + (\textcolor{magenta}{3a})^2 = 18a^2 \\ AB &= \sqrt{18a^2} = 3\sqrt{2}\,a \end{aligned} \]

\( AD \) er \( AH \) og \( \textcolor{darkorange}{DH} \) til sammen: \[ AD = 3a + \textcolor{darkorange}{\sqrt{3}\,a} = (3 + \sqrt{3})\,a \]

3. Legg sammen sidene Omkretsen er \( {AB + BC + CD + DA}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O &= 3\sqrt{2}\,a + 2a + 2a + (3 + \sqrt{3})\,a \\ O &= (7 + 3\sqrt{2} + \sqrt{3})\,a \end{aligned} \]

Metode: Med GeoGebra

1. Regn ut i CAS Vi finner \( BD \) med cosinussetningen, og \( AB \) og \( AD \) med sinussetningen i trekant \( ABD\text{,} \) der vinkel \( D \) er \( 60^\circ \) og \( AB \) og \( AD \) står mot vinklene \( 60^\circ \) og \( 75^\circ\text{,} \) som i videoen Sinussetningen: \[ \dfrac{AB}{\sin 60^\circ} = \dfrac{AD}{\sin 75^\circ} = \dfrac{BD}{\sin 45^\circ} \]

CAS regner med eksakte verdier:

Skriv inn i GeoGebra: BD := sqrt((2a)^2 + (2a)^2 - 2*2a*2a*cos(120°)) AB := BD*sin(60°)/sin(45°) AD := BD*sin(75°)/sin(45°) O := AB + 2a + 2a + AD

GeoGebra skriver \( |a|\text{,} \) og siden \( a \) er en lengde, er \( {|a| = a}\text{.} \) Da er: \[ \begin{aligned} O &= (3\sqrt{2} + \sqrt{3} + 3)\,a + 4a \\ O &= (7 + 3\sqrt{2} + \sqrt{3})\,a \end{aligned} \]

Oppgave 3b)

Vis at forholdet mellom arealet av

\triangle ABD

og arealet av

\triangle BCD

{\dfrac{3}{2}\left(\sqrt{3} + 1\right)}

Vis løsning

Svar

Med

{T_{ABD} = \dfrac{3(3 + \sqrt{3})}{2}\,a^2}

{T_{BCD} = \sqrt{3}\,a^2}

blir

\underline{\underline{\dfrac{T_{ABD}}{T_{BCD}} = \dfrac{3}{2}\left(\sqrt{3} + 1\right)}}

Vi bruker fra a) at \( {AD = (3 + \sqrt{3})\,a} \) og at høyden fra \( B \) er \( {BH = 3a}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi finner arealet av \( ABD \) med grunnlinja \( AD \) og høyden \( BH\text{,} \) og arealet av \( BCD \) med arealsetningen. Så deler vi og forenkler.

Metode: For hånd

1. Finn de to arealene Arealet av en trekant er grunnlinje ganger høyde delt på 2. I trekant \( ABD \) er grunnlinja \( {\textcolor{blue}{AD} = \textcolor{blue}{(3 + \sqrt{3})\,a}} \) og høyden \( {\textcolor{red}{BH} = \textcolor{red}{3a}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ABD} &= \dfrac{\textcolor{blue}{(3 + \sqrt{3})\,a} \cdot \textcolor{red}{3a}}{2} \\ T_{ABD} &= \dfrac{3(3 + \sqrt{3})}{2}\,a^2 \end{aligned} \]

Arealsetningen forteller oss at en trekant med sidene \( s_1 \) og \( s_2 \) og vinkelen \( v \) mellom dem har arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot s_1 \cdot s_2 \cdot \sin v \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.

I trekant \( BCD \) er sidene \( 2a \) og \( 2a\text{,} \) og vinkelen mellom dem er \( 120^\circ\text{.} \) Sinusgrafen er symmetrisk om \( 90^\circ\text{,} \) som i videoen Oppgave 5C - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025, så \( {\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{:} \) \[ T_{BCD} = \dfrac{1}{2} \cdot 2a \cdot 2a \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\,a^2 \]

2. Del arealene på hverandre \( a^2 \) forkortes bort, og \( {\dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}}\text{,} \) fordi \( {\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{T_{ABD}}{T_{BCD}} &= \dfrac{3(3 + \sqrt{3})}{2\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{3 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{3}{2} \cdot \left(\dfrac{3}{\sqrt{3}} + 1\right) \\ &= \dfrac{3}{2}\left(\sqrt{3} + 1\right) \end{aligned} \]

Metode: Med GeoGebra

1. Regn ut i CAS Vi bruker \( {AB = 3\sqrt{2}\,a} \) og \( {AD = (3 + \sqrt{3})\,a} \) fra a), med vinkelen \( 45^\circ \) mellom dem, og arealsetningen for begge trekantene:

Skriv inn i GeoGebra: T_1 := 1/2*3*sqrt(2)*a*(3 + sqrt(3))*a*sin(45°) T_2 := 1/2*2a*2a*sin(120°) Forenkle(T_1/T_2)

CAS gir \( {\dfrac{3(\sqrt{3} + 1)}{2}}\text{,} \) som er \( {\dfrac{3}{2}\left(\sqrt{3} + 1\right)}\text{.} \)

Oppgave 4

Da Eline og Malene kom til hytta, var temperaturen i stua

2{,}0\,^\circ\text{C}\text{.}

De skrudde på varmen og stilte termostaten på

20\,^\circ\text{C}\text{.}

Tabell 1 viser temperaturen i stua

x

minutter etter at de skrudde på varmen.

\begin{array}{r|r} \text{Tid} & \text{Temperatur} \\ \text{(minutter)} & \text{(°C)} \\ \hline 1 & 2{,}0 \\ 5 & 3{,}7 \\ 10 & 5{,}3 \\ 20 & 8{,}0 \\ 30 & 10{,}2 \\ 50 & 13{,}4 \\ 80 & 16{,}4 \\ 120 & 18{,}4 \end{array}

Tabell 1

Eline og Malene vil lage en modell som viser temperaturen i stua

x

minutter etter at de skrudde på varmen. De starter med å bruke tallene i tabell 1 til å lage en modell

T_1

på formen

{T_1(x) = a \cdot x^b}

Oppgave 4a)

Bestem tallene

a

b\text{.}

Vis løsning

Svar

Med

a

avrundet til tre desimaler og

b

til fire:

\underline{\underline{a \approx 1{,}853 \text{ og } b \approx 0{,}4892}}

Formen \( {a \cdot x^b} \) er en potensfunksjon, så vi bruker potensregresjon i GeoGebra med punktene fra tabell 1.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon på åtte punkter. Øv heller på b) og e) med modellene i svarene, med kalkulator.

Metode: Med GeoGebra

1. Kjør potensregresjon Vi lager en liste med punktene fra tabell 1, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, og bruker potensregresjon med RegPot. Den finner tallene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1, 2), (5, 3.7), (10, 5.3), (20, 8), (30, 10.2), (50, 13.4), (80, 16.4), (120, 18.4)} T_1(x) = RegPot(l1)

2. Les av modellen Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ T_1(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot x^{\textcolor{red}{b}} \]Det gir \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{1{,}853}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{0{,}4892}}\text{.} \) Grafen går nær alle de åtte punktene.

I b) og d) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Oppgave 4b)

Vurder gyldighetsområdet til modellen

T_1\text{.}

Vis løsning

Svar

Modellen passer med målingene, men gir

0\,^\circ\text{C}

i starten og over

20\,^\circ\text{C}

etter omtrent 129 minutter:

\underline{\underline{\text{Gyldig omtrent for } 1 \le x \le 120}}

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

En modell er mest pålitelig der vi har målinger. Vi ser hva \( T_1 \) gir i starten og etter den siste målingen, og sammenligner med det vi vet om stua.

Metode: Med kalkulator

1. Se på målingene og starten I a) fant vi modellen: \[ T_1(x) \approx 1{,}853 \cdot x^{0{,}4892} \]Målingene går fra \( {x = 1} \) til \( {x = 120}\text{,} \) og der vurderer vi gyldighetsområdet, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

I starten gir modellen \( {T_1(\textcolor{blue}{0}) = \textcolor{blue}{0}}\text{,} \) men stua var \( \textcolor{blue}{2{,}0}\,^\circ\text{C} \) da de kom. Modellen passer altså ikke helt i starten.

2. Finn når modellen passerer 20 °C Termostaten står på \( 20\,^\circ\text{C}\text{,} \) så temperaturen skal flate ut der. Vi setter \( {T_1(x) = \textcolor{red}{20}} \) og løser for \( x \) med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} 1{,}853 \cdot x^{0{,}4892} &= \textcolor{red}{20} \\ x^{0{,}4892} &= \dfrac{\textcolor{red}{20}}{1{,}853} \approx 10{,}793 \\ x &\approx 10{,}793^{\tfrac{1}{0{,}4892}} \approx 129 \end{aligned} \]Etter omtrent 129 minutter gir modellen mer enn \( 20\,^\circ\text{C}\text{,} \) og den fortsetter å stige: \( {T_1(240) \approx 27\,^\circ\text{C}}\text{.} \) Det passer ikke med en termostat på \( 20\,^\circ\text{C}\text{.} \)

Modellen er derfor gyldig omtrent fra 1 til 120 minutter, og den kan ikke brukes etter omtrent 129 minutter.

Metode: Med GeoGebra

1. Finn skjæringspunktet med 20 °C Med \( T_1 \) fra a) tegner vi linja \( {y = 20} \) og finner skjæringspunktet med Skjæring, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: g: y = 20 S = Skjæring(T_1, g, (130, 20))

Skjæringspunktet er \( {S \approx (129{,}4289,\ 20)}\text{.} \) Etter omtrent 129 minutter gir modellen mer enn \( 20\,^\circ\text{C}\text{,} \) og \( {T_1(0) = 0} \) passer ikke med \( 2{,}0\,^\circ\text{C}\text{.} \) Modellen er derfor gyldig omtrent for \( {1 \le x \le 120}\text{.} \)

Eline og Malene ønsker å forbedre modellen

T_1\text{.}

Eline foreslår at de skal trekke

20\,^\circ\text{C}

fra hver temperatur de har målt, og heller bruke en eksponentialfunksjon som modell. Hun setter opp en ny tabell.

\begin{array}{r|r} \text{Tid} & \text{Korrigert temperatur} \\ \text{(minutter)} & \text{(°C)} \\ \hline 1 & -18{,}0 \\ 5 & -16{,}3 \\ 10 & -14{,}7 \\ 20 & -12{,}0 \\ 30 & -9{,}8 \\ 50 & -6{,}6 \\ 80 & -3{,}6 \\ 120 & -1{,}6 \end{array}

Tabell 2

Oppgave 4c)

Lag en eksponentialfunksjon

f

som passer godt til tallene i tabell 2.

Vis løsning

Svar

Med

a

avrundet til tre desimaler og

b

til fire:

\underline{\underline{f(x) \approx -18{,}087 \cdot 0{,}9800^x}}

En eksponentialfunksjon har formen \( {a \cdot b^x}\text{,} \) og den finner vi med eksponentiell regresjon i GeoGebra. Tallene er negative, så \( a \) blir negativ.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon på åtte punkter. Øv heller på å lage en eksponentiell modell gjennom to av punktene med kalkulatoren, der vekstfaktoren er en rot.

Metode: Med GeoGebra

1. Kjør eksponentiell regresjon Vi legger punktene fra tabell 2 i en liste og bruker RegEksp, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den gir en modell på formen \( {\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x}\text{,} \) også når tallene er negative:

Skriv inn i GeoGebra: l2 = {(1, -18), (5, -16.3), (10, -14.7), (20, -12), (30, -9.8), (50, -6.6), (80, -3.6), (120, -1.6)} f(x) = RegEksp(l2)

2. Les av modellen GeoGebra gir \( {f(x) \approx \textcolor{blue}{-18{,}0874} \cdot \textcolor{red}{0{,}98}^x}\text{,} \) og grafen går nær alle punktene. Vekstfaktoren \( \textcolor{red}{0{,}98} \) er mindre enn 1, som i videoen Vekstfaktor, så \( |f(x)| \) blir 2 % mindre hvert minutt: avstanden fra temperaturen opp til \( 20\,^\circ\text{C} \) minker med 2 % per minutt.

Oppgave 4d)

Tegn grafen til

T_1

og grafen til

f

i samme koordinatsystem. Beskriv forskjeller mellom de to grafene.

Vis løsning

Svar

T_1

ligger over

x

-aksen og stiger uten grense, mens

f

ligger under og flater ut:

\begin{aligned} &\underline{\underline{T_1 \text{ vokser uten grense}}} \\ &\underline{\underline{f \text{ nærmer seg } 0 \text{ nedenfra}}} \end{aligned}

Vi bruker modellene fra a) og c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi tegner begge grafene i GeoGebra og ser på hvor de ligger, hvordan de stiger, og hva som skjer når \( x \) blir stor.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du skissere grafene fra en verditabell du lager med kalkulatoren, for eksempel for \( {x = 0, 50, 100, \dots, 250}\text{.} \)

Metode: Med GeoGebra

1. Tegn grafene Med \( T_1 \) og \( f \) fra a) og c) tegner GeoGebra begge grafene i samme koordinatsystem:

Skriv inn i GeoGebra: T_1(x) = RegPot(l1) f(x) = RegEksp(l2)

2. Beskriv forskjellene \( \textcolor{blue}{T_1} \) ligger over \( x \)-aksen og starter i origo. Den stiger hele tiden og vokser uten grense, også forbi \( 20\,^\circ\text{C}\text{.} \)

\( \textcolor{red}{f} \) ligger under \( x \)-aksen og starter i \( {-18{,}087} \) på \( y \)-aksen. Den stiger raskt først og så langsommere, og nærmer seg \( x \)-aksen uten å nå den, fordi \( 0{,}98^x \) går mot 0, som i videoen Vekstfaktor. Grafen til \( f \) flater altså ut, mens grafen til \( T_1 \) ikke gjør det.

Malene mener de kan bruke funksjonen

f

til å lage en bedre modell enn

T_1

for temperaturen i stua. «Vi løfter grafen til

f

opp

20\,^\circ\text{C}\text{,}

slik at den starter omtrent i punktet

(0, 2)

», sier hun. «Da vil den passe perfekt.»

Oppgave 4e)

Bruk funksjonen

f\text{,}

og lag en modell

T_2

ved å gjøre som Malene foreslår. Hva vil temperaturen i stua være etter 4 timer ifølge modellen

T_2\text{?}

Vis løsning

Svar

Modellen er

f

løftet 20 opp. Etter 4 timer, avrundet til én desimal:

\begin{aligned} &\underline{\underline{T_2(x) \approx 20 - 18{,}087 \cdot 0{,}9800^x}} \\ &\underline{\underline{T_2(240) \approx 19{,}9\,^\circ\text{C}}} \end{aligned}

Vi bruker modellen fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Å løfte grafen 20 opp er å legge til 20 i funksjonsuttrykket. 4 timer er 240 minutter, så vi setter \( {x = 240} \) inn i \( T_2\text{.} \)

Metode: Med kalkulator

1. Lag modellen I c) fant vi modellen: \[ f(x) \approx -18{,}087 \cdot 0{,}9800^x \]

Vi legger til \( \textcolor{blue}{20}\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_2(x) &= f(x) + \textcolor{blue}{20} \\ T_2(x) &\approx \textcolor{blue}{20} - 18{,}087 \cdot 0{,}9800^x \end{aligned} \]I starten er: \[ T_2(0) \approx 20 - 18{,}087 = 1{,}913 \]Grafen starter altså omtrent i \( (0, 2)\text{,} \) som Malene sier.

2. Sett inn 4 timer 4 timer er \( {4 \cdot 60 = \textcolor{red}{240}} \) minutter. Vekstfaktoren ganges inn én gang per minutt, som i videoen Vekstfaktor, og kalkulatoren gir: \[ \begin{aligned} T_2(\textcolor{red}{240}) &\approx 20 - 18{,}087 \cdot 0{,}9800^{\textcolor{red}{240}} \\ T_2(240) &\approx 20 - 0{,}14 \approx 19{,}86 \end{aligned} \]Etter 4 timer er temperaturen omtrent \( 19{,}9\,^\circ\text{C} \) ifølge modellen.

Metode: Med GeoGebra

1. Finn punktet på grafen Med \( f \) fra c) lager vi \( T_2 \) og skriver inn punktet på grafen der \( {x = 240}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: T_2(x) = f(x) + 20 P = (240, T_2(240))

GeoGebra gir \( {P \approx (240,\ 19{,}8585)}\text{,} \) altså omtrent \( 19{,}9\,^\circ\text{C}\text{,} \) som med kalkulator.

Oppgave 5

Grafen til en andregradsfunksjon

f

har • en tangent i punktet

(1, f(1))

med stigningstall 0 • en tangent i punktet

(4, f(4))

med stigningstall 6

Oppgave 5a)

Bestem

f'(x)

Vis løsning

Svar

f'

er linja gjennom

(1, 0)

(4, 6)\text{:}

\underline{\underline{f'(x) = 2x - 2}}

Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten der. Når \( f \) er en andregradsfunksjon, er \( f' \) en rett linje, og den finner vi fra to punkter.

Metode: For hånd

1. Les av stigningstallene Stigningstallet til tangenten i et punkt er den deriverte i punktet, som i videoen Tangentlinje: \[ f'(\textcolor{blue}{1}) = \textcolor{blue}{0} \quad \text{og} \quad f'(\textcolor{red}{4}) = \textcolor{red}{6} \]

2. Skriv opp den deriverte Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/Formler.

En andregradsfunksjon kan skrives \( {f(x) = ax^2 + bx + c}\text{.} \) Med potensregelen blir \( {(ax^2)' = 2ax} \) og \( {(bx)' = b}\text{,} \) og konstanten \( c \) har derivert \( 0\text{:} \) \[ f'(x) = 2ax + b \]Grafen til \( f' \) er altså en rett linje gjennom \( (\textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{0}) \) og \( (\textcolor{red}{4}, \textcolor{red}{6})\text{.} \)

3. Finn linja gjennom to punkter Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ 2a = \dfrac{\textcolor{red}{6} - \textcolor{blue}{0}}{\textcolor{red}{4} - \textcolor{blue}{1}} = \dfrac{6}{3} = 2 \]

Da er \( {f'(x) = 2x + b}\text{.} \) Setter vi inn \( {f'(1) = 0}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 2 \cdot 1 + b &= 0 \\ b &= -2 \end{aligned} \]

Kontroll: \( {f'(4) = 8 - 2 = 6}\text{,} \) som stigningstallet til tangenten i \( (4, f(4))\text{.} \)

Metode: Med GeoGebra

1. Løs likningssettet i CAS Vi skriver \( f \) med ukjente \( a\text{,} \) \( b \) og \( c \) i CAS, og løser \( {f'(1) = 0} \) og \( {f'(4) = 6} \) med Løs, som i videoen Oppgave 1 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := a*x^2 + b*x + c Løs({f'(1) = 0, f'(4) = 6}, {a, b})

CAS gir \( {a = 1} \) og \( {b = -2}\text{,} \) så \( {f'(x) = 2ax + b = 2x - 2}\text{.} \)

Grafen til

f

skjærer

y

-aksen i punktet

(0, 4)\text{.}

Oppgave 5b)

Bestem

f(x)

Vis løsning

Svar

Med

{a = 1}\text{,}

{b = -2}

{c = 4}

\underline{\underline{f(x) = x^2 - 2x + 4}}

Vi bruker \( {f'(x) = 2x - 2} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi sammenligner \( {f'(x) = 2ax + b} \) med svaret i a) og finner \( a \) og \( b\text{.} \) Konstantleddet \( c \) er der grafen skjærer \( y \)-aksen.

Metode: For hånd

1. Finn a og b I a) fant vi: \[ f'(x) = 2x - 2 \]Den deriverte av \( {f(x) = ax^2 + bx + c} \) er \( {f'(x) = \textcolor{blue}{2a}x + \textcolor{red}{b}}\text{.} \) Tallene foran \( x \) og konstantleddene må være like: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2a} &= \textcolor{blue}{2}, \quad \text{så } a = 1 \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{-2} \end{aligned} \]

2. Finn c Grafen skjærer \( y \)-aksen der \( {x = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Med \( {f(x) = x^2 - 2x + \textcolor{green}{c}} \) får vi: \[ \begin{aligned} f(0) &= 0 - 0 + \textcolor{green}{c} = 4 \\ \textcolor{green}{c} &= \textcolor{green}{4} \end{aligned} \]

Kontroll: \( {f(x) = x^2 - 2x + 4} \) gir \( {f'(x) = 2x - 2}\text{,} \) \( {f'(1) = 0}\text{,} \) \( {f'(4) = 6} \) og \( {f(0) = 4}\text{.} \)

Metode: Med GeoGebra

1. Løs likningssettet i CAS Vi legger til \( {f(0) = 4} \) og løser for \( a\text{,} \) \( b \) og \( c \) med Løs:

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := a*x^2 + b*x + c Løs({f'(1) = 0, f'(4) = 6, f(0) = 4}, {a, b, c})

CAS gir \( {a = 1}\text{,} \) \( {b = -2} \) og \( {c = 4}\text{,} \) så \( {f(x) = x^2 - 2x + 4}\text{.} \)

Oppgave 6

Funksjonen

f

er gitt ved

\begin{gathered} f(x) = x^3 - 2b \cdot x^2 + (b^2 + 3) \cdot x \\ \text{der} \quad b \in \mathbb{R} \end{gathered}

Oppgave 6a)

Vis at

f

bare har ett nullpunkt uavhengig av verdien av

b\text{.}

Vis løsning

Svar

{f(x) = x\left((x - b)^2 + 3\right)}\text{,}

{(x - b)^2 + 3 \ge 3}\text{,}

så for alle

b

er det eneste nullpunktet

\underline{\underline{x = 0}}

Alle leddene har faktoren \( x\text{,} \) så vi setter \( x \) utenfor. Så viser vi at det som står igjen i parentesen, aldri er \( 0\text{.} \)

Metode: For hånd

1. Sett x utenfor Vi faktoriserer ut \( \textcolor{darkorange}{x}\text{:} \) \[ f(x) = \textcolor{darkorange}{x} \cdot (\textcolor{magenta}{x^2 - 2bx + b^2 + 3}) \]Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{.} \) Faktoren \( \textcolor{darkorange}{x} \) gir nullpunktet \( {x = 0}\text{.} \)

2. Vis at parentesen aldri er null Andre kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{x}^2 - 2\textcolor{blue}{x}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvadratsetningene.

De tre første leddene i parentesen er altså \( {(x - b)^2}\text{:} \) \[ \textcolor{magenta}{x^2 - 2bx + b^2 + 3} = (x - b)^2 + 3 \]Et kvadrat er aldri negativt, så \( {(x - b)^2 + 3 \ge 3}\text{.} \) Parentesen er aldri \( 0\text{,} \) hva \( b \) og \( x \) enn er, og \( {x = 0} \) er det eneste nullpunktet.

Metode: Med GeoGebra

1. Faktoriser og løs i CAS Vi definerer \( f \) i CAS, faktoriserer og løser \( {f(x) = 0}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := x^3 - 2b*x^2 + (b^2 + 3)*x Faktoriser(f(x)) Løs(f(x) = 0, x)

CAS gir bare \( {x = 0}\text{,} \) uten noen betingelse på \( b\text{.} \) Parentesen er \( {(x - b)^2 + 3}\text{,} \) som aldri er \( 0\text{.} \)

Oppgave 6b)

Løs likningen

{f'(x) = 0}

For hvilke verdier av

b

har grafen til

f

bare ett stasjonært punkt?

Vis løsning

Svar

Løsningene finnes for

{b \le -3}

eller

{b \ge 3}\text{,}

og det er bare én når

{b^2 = 9}\text{:}

\begin{aligned} &\underline{\underline{x = \dfrac{2b \pm \sqrt{b^2 - 9}}{3}}} \\ &\underline{\underline{b = -3 \quad \text{eller} \quad b = 3}} \end{aligned}

Vi deriverer, løser andregradslikningen \( {f'(x) = 0} \) med abc-formelen og ser når den har bare én løsning.

Metode: For hånd

1. Deriver funksjonen Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/Formler.

Vi deriverer ledd for ledd. \( b \) er et tall, så \( {(-2b \cdot x^2)' = -4bx} \) og \( {((b^2 + 3) \cdot x)' = b^2 + 3}\text{:} \) \[ f'(x) = 3x^2 - 4bx + b^2 + 3 \]

2. Løs likningen med abc-formelen I et stasjonært punkt er \( {f'(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026. Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{p}x^2 + \textcolor{red}{q}x + \textcolor{green}{r} = 0} \) har løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Vi kaller tallene \( p\text{,} \) \( q \) og \( r\text{,} \) fordi \( b \) er brukt i oppgaven. Hvis du er usikker på abc-formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{-4b}} \) og \( {\textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{b^2 + 3}}\text{.} \) Under rottegnet får vi: \[ \begin{aligned} &(\textcolor{red}{-4b})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{green}{b^2 + 3}) \\ &= 16b^2 - 12b^2 - 36 = 4(b^2 - 9) \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, og bruker at \( {\sqrt{4(b^2 - 9)} = 2\sqrt{b^2 - 9}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{4b \pm 2\sqrt{b^2 - 9}}{6} \\ x &= \dfrac{2b \pm \sqrt{b^2 - 9}}{3} \end{aligned} \]Løsningene finnes bare når \( {b^2 - 9 \ge 0}\text{,} \) altså når \( {b \le -3} \) eller \( {b \ge 3}\text{.} \)

3. Finn når det er én løsning Det er bare én løsning når tallet under rottegnet er \( 0\text{,} \) fordi \( {\pm 0} \) gir det samme: \[ \begin{aligned} b^2 - 9 &= 0 \\ b &= -3 \quad \text{eller} \quad b = 3 \end{aligned} \]Da er \( {x = \dfrac{2b}{3}}\text{,} \) altså \( {x = -2} \) eller \( {x = 2}\text{.} \) For \( {-3 < b < 3} \) har grafen ingen stasjonære punkter, og ellers to.

Metode: Med GeoGebra

1. Løs likningen i CAS Med \( f \) fra a) løser vi \( {f'(x) = 0} \) med Løs:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(f'(x) = 0, x)

CAS gir \( {x = \dfrac{2b \pm \sqrt{b^2 - 9}}{3}}\text{.} \) De to løsningene er like når \( {b^2 - 9 = 0}\text{,} \) altså når \( {b = -3} \) eller \( {b = 3}\text{.} \)

Dersom

{b \neq 0}

har grafen til

f

to tangenter med stigningstall 3.

Oppgave 6c)

Bestem likningene for disse tangentene.

Vis løsning

Svar

Tangentene i

{x = b}

{x = \dfrac{b}{3}}

\begin{aligned} &\underline{\underline{y = 3x}} \\ &\underline{\underline{y = 3x + \dfrac{4b^3}{27}}} \end{aligned}

Tangentene har stigningstall 3 der \( {f'(x) = 3}\text{.} \) Vi finner de to \( x \)-verdiene, punktene på grafen og konstantleddet i hver tangent.

Metode: For hånd

1. Finn punktene med stigningstall 3 Stigningstallet til tangenten er den deriverte i punktet, som i videoen Tangentlinje. Med \( {f'(x) = 3x^2 - 4bx + b^2 + 3} \) fra b) setter vi \( {f'(x) = 3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3x^2 - 4bx + b^2 + 3 &= 3 \\ 3x^2 - 4bx + b^2 &= 0 \end{aligned} \]

Abc-formelen med \( {p = 3}\text{,} \) \( {q = -4b} \) og \( {r = b^2} \) gir \( {16b^2 - 12b^2 = 4b^2} \) under rottegnet, og \( {\pm\sqrt{4b^2} = \pm 2b}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{4b \pm 2b}{6} \\ x &= \textcolor{blue}{b} \quad \text{eller} \quad x = \textcolor{red}{\dfrac{b}{3}} \end{aligned} \]For \( {b \neq 0} \) er dette to ulike punkter.

2. Finn punktene på grafen Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(\textcolor{blue}{b}) &= b^3 - 2b^3 + b^3 + 3b = \textcolor{blue}{3b} \\ f\left(\textcolor{red}{\dfrac{b}{3}}\right) &= \dfrac{b^3}{27} - \dfrac{6b^3}{27} + \dfrac{9b^3}{27} + b \\ &= \textcolor{red}{\dfrac{4b^3}{27} + b} \end{aligned} \]

3. Finn konstantleddene Begge tangentene har stigningstallet 3, så de har formen \( {y = 3x + k}\text{,} \) der \( k \) er konstantleddet, som i videoen Tangentlinje. Vi setter inn punktene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{3b} &= 3 \cdot \textcolor{blue}{b} + k, \quad k = 0 \\ \textcolor{red}{\dfrac{4b^3}{27} + b} &= 3 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{b}{3}} + k, \quad k = \dfrac{4b^3}{27} \end{aligned} \]

Kontroll: Med \( {b = 3} \) er punktene \( (3, 9) \) og \( (1, 7)\text{,} \) og \( {y = 3x} \) går gjennom \( (3, 9) \) og \( {y = 3x + 4} \) gjennom \( (1, 7)\text{.} \)

Metode: Med GeoGebra

1. Løs og finn tangentene i CAS Med \( f \) fra a) løser vi \( {f'(x) = 3} \) og lager tangentene i de to punktene med Tangent:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(f'(x) = 3, x) Tangent(b, f) Tangent(b/3, f)

CAS gir tangentene \( {y = 3x} \) og \( {y = 3x + \dfrac{4}{27}b^3}\text{.} \)

Ferdig med settet? Se de andre 1T-eksamenene, eller øv på ett tema om gangen.