Eksamensoppgaver etter tema

Vi ser hvilke to tall Susanne ganger sammen i hver linje, og fortsetter mønsteret til tall nummer 8.

1. Finn mønsteret i linjene I hver linje er den andre faktoren nummeret på tallet, og den første er én mindre. Til slutt legger Susanne til \( 1\text{:} \) \[ \begin{aligned} \text{Nr. } \textcolor{blue}{1}\text{: } & \textcolor{red}{0} \cdot \textcolor{blue}{1} + 1 = 1 \\ \text{Nr. } \textcolor{blue}{2}\text{: } & \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{2} + 1 = 3 \\ \text{Nr. } \textcolor{blue}{3}\text{: } & \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{3} + 1 = 7 \\ \text{Nr. } \textcolor{blue}{4}\text{: } & \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{blue}{4} + 1 = 13 \end{aligned} \]

2. Regn ut tall nummer 8 For tall nummer 8 er faktorene \( \textcolor{red}{7} \) og \( \textcolor{blue}{8}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{7} \cdot \textcolor{blue}{8} + 1 = 56 + 1 = 57 \]

Kontroll: Forskjellen mellom tallene øker med 2 hver gang: 2, 4, 6, 8, … Da er tall nummer 6, 7 og 8 lik \( {21 + 10 = 31}\text{,} \) \( {31 + 12 = 43} \) og \( {43 + 14 = 57}\text{.} \) Et lignende mønster finner du i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025.

Vi skriver linje nummer \( n \) i Susannes mønster med bokstaven \( n \) i stedet for et tall.

1. Skriv mønsteret med n Vi følger mønsteret helt fram til linje nummer \( n\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. Der er den andre faktoren \( \textcolor{blue}{n} \) og den første \( {\textcolor{red}{n - 1}}\text{.} \) Vi kaller tall nummer \( n \) for \( a_n\text{:} \) \[ a_n = (\textcolor{red}{n - 1}) \cdot \textcolor{blue}{n} + 1 \]

Ganger vi ut parentesen, får vi: \[ a_n = n^2 - n + 1 \]

Kontroll: For \( {n = 5} \) gir formelen \( {25 - 5 + 1 = 21}\text{,} \) som er tall nummer 5 i følgen.

Vi finner arealet av de første grå trekantene og ser hvilket mønster de følger. Så skriver vi opp summen av de 100 første.

1. Regn ut de første grå arealene 1:18 Vi kaller arealet av trekanten Maria starter med, \( A\text{.} \) Når hun deler en trekant, får hun fire like store trekanter, så hver av dem har \( \dfrac{1}{4} \) av arealet. Den første grå trekanten er én av fire i den store trekanten: \[ T_1 = A \cdot \dfrac{1}{4} \]

Den andre grå trekanten er én av fire i den øverste trekanten, som har arealet \( {A \cdot \dfrac{1}{4}}\text{:} \) \[ T_2 = A \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} = A \cdot \dfrac{1}{4^2} \]På samme måte er \( {T_3 = A \cdot \dfrac{1}{4^3}}\text{.} \)

2. Følg mønsteret 3:21 For hver ny grå trekant ganger vi med \( \dfrac{1}{4} \) én gang til. Eksponenten er nummeret til trekanten, så den grå trekanten nummer \( \textcolor{red}{n} \) har arealet: \[ T_{\textcolor{red}{n}} = A \cdot \dfrac{1}{4^{\textcolor{red}{n}}} \]

3. Sett opp summen 3:53 Summen av de 100 første grå trekantene er: \[ \begin{aligned} S_{100} &= A \cdot \dfrac{1}{4} + A \cdot \dfrac{1}{4^2} \\ &\quad + \dots + A \cdot \dfrac{1}{4^{100}} \\ S_{100} &= \textcolor{darkorange}{A}\left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4^2} + \dots + \dfrac{1}{4^{100}}\right) \end{aligned} \]Vi har satt \( \textcolor{darkorange}{A} \) utenfor parentesen, fordi den står i alle leddene.

Som algoritme i steg: Start med summen 0. For hver \( \textcolor{red}{n} \) fra 1 til 100 legger vi \( {A \cdot \dfrac{1}{4^{\textcolor{red}{n}}}} \) til summen. Til slutt er summen \( S_{100}\text{.} \)

Vi bruker algoritmen fra a): den grå trekanten nummer \( n \) har arealet \( {A \cdot \dfrac{1}{4^n}}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi lar en løkke gå gjennom de 100 grå trekantene, regner ut arealet av hver og legger det til summen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å finne arealet av trekant nummer \( n\text{,} \) som i a), og på å skrive og lese slike løkker på papir.

1. Les programmet linje for linje 1:21 Programmet står i svaret. Linje 1 setter startarealet \( {A = 36}\text{,} \) og linje 3 setter summen til 0 før vi har lagt til noe.

Løkka i linje 5 går gjennom \( {i = 0, 1, 2, \dots, 99}\text{,} \) altså 100 ganger. Fordi \( i \) starter på 0, er trekantens nummer \( {\textcolor{red}{i + 1}}\text{.} \) Linje 6 regner derfor ut arealet av den grå trekanten nummer \( {\textcolor{red}{i + 1}}\text{:} \) \[ \texttt{areal} = A \cdot \dfrac{1}{4^{\textcolor{red}{i + 1}}} \]Linje 7 legger arealet til summen, og linje 9 skriver ut summen.

2. Kjør programmet 4:32 Programmet skriver ut \( 11{,}999999999999998\text{.} \) Hver ny trekant legger til mindre og mindre, så summen kommer nærmere og nærmere 12 uten å nå det. Summen av arealene er altså omtrent 12.

Vi finner hvor mange kvadrater figur \( n \) har. Så kan algoritmen la \( n \) gå fra 1 til 20 og regne ut antallet for hver figur.

1. Finn antallet i hver figur Vi følger figurene og danner et mønster, som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. Figur \( n \) har et kvadrat med \( {\textcolor{blue}{n \cdot n}} \) ruter øverst, en trapp med \( {\textcolor{red}{n + 1}} \) ruter på skrå nedover og en søyle med \( \textcolor{green}{n} \) ruter til høyre: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{n^2} + \textcolor{red}{(n + 1)} + \textcolor{green}{n} &= n^2 + 2n + 1 \\ &= (n + 1)^2 \end{aligned} \]Det siste er første kvadratsetning baklengs, \( {a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2} \) med \( {a = n} \) og \( {b = 1}\text{,} \) som i videoen Kvadratsetningene.

Kontroll: Figur 1, 2 og 3 gir \( {2^2 = 4}\text{,} \) \( {3^2 = 9} \) og \( {4^2 = 16} \) kvadrater, som på figurene.

2. Skriv algoritmen Trinn 1: Start med figur nummer \( {n = 1}\text{.} \) Trinn 2: Regn ut antall kvadrater i figur \( n\text{,} \) \( {(n + 1)^2}\text{.} \) Trinn 3: Skriv ut \( n \) og antallet. Trinn 4: Øk \( n \) med 1, og gå tilbake til trinn 2 så lenge \( {n \le 20}\text{.} \)

Vi bruker algoritmen fra a): figur \( n \) har \( {(n + 1)^2} \) kvadrater.

Vi lar en for-løkke gå gjennom figur 1 til 20 og skriver ut \( {(n + 1)^2} \) for hver figur.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å finne antallet i figur \( n\text{,} \) som i a), og på å skrive og lese slike løkker på papir.

1. Skriv programmet Programmet står i svaret. Løkka i linje 1 går gjennom figur 1 til 20, fordi \( \texttt{range(1, 21)} \) stopper før 21, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

Linje 2 regner ut antall kvadrater i figur \( n\text{,} \) \( {\textcolor{red}{(n + 1)^2}}\text{,} \) og linje 3 skriver det ut. Utskriften går fra 4 kvadrater i figur 1 til 441 i figur 20.

Vi trekker fra kvadratene til figur 1, figur 2 og så videre, så lenge det er nok kvadrater igjen til neste figur. Det gjør en while-løkke.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese en while-løkke på papir, og på å følge den noen runder for hånd.

1. Skriv programmet Programmet står i svaret. Linje 1 starter med \( 1\,000\,000 \) kvadrater, og i linje 2 er \( \texttt{n} \) nummeret på figuren vi skal lage. Løkka i linje 4 går så lenge vi har minst \( {\textcolor{red}{(n + 1)^2}} \) kvadrater igjen, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025.

Linje 5 trekker fra kvadratene til figur \( n\text{,} \) og linje 6 går videre til neste figur. Når løkka stopper, er \( \texttt{n} \) den første figuren vi ikke har nok kvadrater til, så vi har laget \( {n - 1} \) figurer.

2. Les av utskriften Linje 8 og 9 skriver ut at vi kan lage 142 figurer og har \( 15\,017 \) kvadrater igjen. Figur 143 trenger \( {144^2 = 20\,736} \) kvadrater, og det er flere enn vi har igjen.

Hver sum er den forrige summen pluss neste oddetall. Vi lar en løkke gå gjennom \( {n = 1} \) til 20, legger til oddetall nummer \( n \) og skriver ut summen hver gang.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, og på å regne ut de første summene selv.

1. Finn en formel for oddetallene Oddetallene \( 1, 3, 5, 7, \ldots \) øker med 2 hver gang, så oddetall nummer \( n \) er: \[ \textcolor{blue}{2n - 1} \]For eksempel er oddetall nummer 6 lik \( {2 \cdot 6 - 1 = 11}\text{,} \) som er det siste leddet i \( S_6\text{.} \)

2. Skriv programmet Programmet står i svaret. Linje 1 starter med summen 0. Løkka i linje 3 går gjennom \( {n = 1} \) til 20, fordi \( \texttt{range(1, 21)} \) stopper før 21, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

Linje 4 legger oddetall nummer \( n\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{2n - 1}}\text{,} \) til \( \textcolor{red}{\texttt{summen}}\text{,} \) og linje 5 skriver ut \( \textcolor{red}{S_n}\text{.} \) Programmet regner altså ut: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{S_1} &= 0 + \textcolor{blue}{1} = 1 \\ \textcolor{red}{S_2} &= 1 + \textcolor{blue}{3} = 4 \\ \textcolor{red}{S_3} &= 4 + \textcolor{blue}{5} = 9 \end{aligned} \]og så videre til \( {S_{20} = 400}\text{.} \)

Vi bruker summene programmet i a) skriver ut. Selv om du ikke fikk til a), kan du regne ut de første summene selv.

Summene som skrives ut, er kvadrattall. Figuren viser hvorfor: hvert nytt oddetall er en vinkel av kuler som gjør kvadratet én kule større på hver side.

1. Beskriv sammenhengen Programmet i a) skriver ut: \[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ \ldots,\ 400 \]Det er kvadrattallene \( 1^2, 2^2, 3^2, \ldots, 20^2\text{.} \) Summen av de \( n \) første oddetallene er altså \( n^2\text{:} \) \[ S_n = 1 + 3 + \ldots + (2n - 1) = n^2 \]

2. Argumenter med figuren Figuren er bygd opp av vinkler rundt kula nede til venstre. Hver figur er den forrige med et nytt lag utenpå, slik som skallene i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Lagene har 1, 3, 5, 7 og 9 kuler: \[ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5^2 \]

Lag nummer \( n \) legger en ny rad med \( n \) kuler oppå kvadratet med \( {n - 1} \) kuler på hver side, og en ny kolonne med \( {n - 1} \) kuler til høyre for det. Det er \[ n + (n - 1) = \textcolor{blue}{2n - 1} \]kuler, som er oddetall nummer \( n\text{.} \) Etter \( n \) lag har vi lagt sammen de \( n \) første oddetallene, og fått et kvadrat med \( {n \cdot n = n^2} \) kuler. Derfor må \( {S_n = n^2}\text{.} \)