Eksamensoppgaver etter tema

Formen \( {a \cdot x^b} \) er en potensfunksjon, så vi bruker potensregresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon. Øv heller på b), c) og d) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Lag en liste med punktene Vi skriver lengdene i kolonne A og vektene i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør potensregresjon Potensregresjon finner de tallene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) = RegPot(l1)

Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ F(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot x^{\textcolor{red}{b}} \]Det gir \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{0{,}009657}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{2{,}999583}}\text{.} \) Grafen til \( F \) går nær alle de seks punktene.

I b), c) og d) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {a \approx 0{,}01} \) og \( {b \approx 3}\text{.} \) Regner vi videre med dem, blir stigningstallet i b) omtrent 218 i stedet for 210, og vekstfarten i c) 300 i stedet for 289.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Stigningstallet til linja gjennom to punkter på grafen er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{.} \) Vi regner ut \( F(75) \) og \( F(95) \) først.

1. Regn ut funksjonsverdiene I a) fant vi modellen: \[ F(x) \approx 0{,}009657 \cdot x^{2{,}9996} \]

Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{75}} \) og \( {x = \textcolor{red}{95}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} F(\textcolor{blue}{75}) &\approx 0{,}009657 \cdot \textcolor{blue}{75}^{2{,}9996} \\ &\approx \textcolor{blue}{4067{,}0} \\ F(\textcolor{red}{95}) &\approx 0{,}009657 \cdot \textcolor{red}{95}^{2{,}9996} \\ &\approx \textcolor{red}{8264{,}6} \end{aligned} \]

2. Regn ut stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \begin{aligned} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &\approx \dfrac{\textcolor{red}{8264{,}6} - \textcolor{blue}{4067{,}0}}{\textcolor{red}{95} - \textcolor{blue}{75}} \\ &\approx 209{,}9\,\text{g/cm} \end{aligned} \]

Vekten er i gram og lengden i centimeter, så stigningstallet er gram per centimeter. Fra 75 cm til 95 cm øker vekten i gjennomsnitt med omtrent 210 gram for hver centimeter fisken blir lengre.

1. Regn ut stigningstallet I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra, med alle desimalene. Vi skriver stigningstallet inn i Algebrafeltet:

Skriv inn i GeoGebra: s = (F(95) - F(75)) / (95 - 75)

GeoGebra gir \( {s \approx 209{,}8548}\text{.} \) Fra 75 cm til 95 cm øker vekten i gjennomsnitt med omtrent 210 gram per centimeter.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Den momentane vekstfarten er den deriverte. Vi deriverer modellen med potensregelen og setter inn \( {x = 100}\text{.} \)

1. Deriver modellen Den momentane vekstfarten er stigningstallet til tangenten, altså den deriverte, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Den gjelder for alle tall \( n\text{.} \) Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

I a) fant vi \( {F(x) \approx \textcolor{blue}{a} \cdot x^{\textcolor{red}{b}}} \) med \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{0{,}009657}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{2{,}9996}}\text{.} \) Konstanten \( \textcolor{blue}{a} \) blir stående, så: \[ F'(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot x^{\textcolor{red}{b} - 1} \]

2. Sett inn lengden Vi ganger først sammen konstantene og setter så inn \( {x = 100}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} &\approx \textcolor{blue}{0{,}009657} \cdot \textcolor{red}{2{,}9996} \\ &\approx 0{,}028967 \\ F'(100) &\approx 0{,}028967 \cdot 100^{1{,}9996} \\ &\approx 289{,}1\,\text{g/cm} \end{aligned} \]

Når fisken er 100 cm lang, øker vekten med omtrent 289 gram per centimeter den blir lengre.

1. Regn ut den deriverte I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra. Vi skriver den deriverte i \( {x = 100} \) inn i Algebrafeltet:

Skriv inn i GeoGebra: d = F'(100)

GeoGebra gir \( {F'(100) \approx 289{,}1038}\text{.} \) Når fisken er 100 cm lang, øker vekten med omtrent 289 gram per centimeter.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Når lengden øker med 20 %, ganges den med \( 1{,}2\text{.} \) Vi ser hva det gjør med vekten i modellen.

1. Sett inn den nye lengden En økning på 20 % gir vekstfaktoren \( {1 + 0{,}20 = \textcolor{green}{1{,}2}}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. En fisk som er \( x \) cm lang, blir altså \( \textcolor{green}{1{,}2}x \) cm lang.

I a) fant vi \( {F(x) \approx a \cdot x^b}\text{.} \) Siden \( {(\textcolor{green}{1{,}2} \cdot x)^b = \textcolor{green}{1{,}2}^b \cdot x^b}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} F(\textcolor{green}{1{,}2}x) &= a \cdot (\textcolor{green}{1{,}2}x)^b \\ F(\textcolor{green}{1{,}2}x) &= \textcolor{green}{1{,}2}^b \cdot a \cdot x^b = \textcolor{green}{1{,}2}^b \cdot F(x) \end{aligned} \]Vekten ganges med \( \textcolor{green}{1{,}2}^b\text{,} \) uansett hvor lang fisken er.

2. Regn ut økningen Med \( {b \approx 2{,}9996} \) fra a) er vekstfaktoren for vekten: \[ 1{,}2^{2{,}9996} \approx 1{,}7279 \]

Økningen er vekstfaktoren minus 1: \[ 1{,}7279 - 1 = 0{,}7279 = 72{,}79\,\% \]Vekten øker altså med omtrent 72,8 %.

1. Sammenlign to vekter Vi tar en fisk som er 100 cm, og en som er 20 % lengre, og deler vektene på hverandre:

Skriv inn i GeoGebra: k = F(1.2*100) / F(100)

GeoGebra gir \( {k \approx 1{,}7279}\text{,} \) så vekten øker med omtrent 72,8 %. Kalkulatorruten viser at det gjelder for alle lengder.

Vi regner ut hva modellen gir i månedene i tabellen og sammenligner med tallene som er registrert. I GeoGebra lager vi en eksponentiell regresjon av punktene og ser at den gir \( K\text{.} \)

1. Finn månedsnumrene i tabellen \( x \) er antall måneder etter desember 2022, så januar 2024 er \( {x = 13}\text{.} \) Månedene i tabellen er da: \[ x = 1, \ 5, \ 10, \ 14, \ 20 \text{ og } 22 \]

2. Sammenlign modellen med tabellen Modellen er startverdien \( 27{,}8 \) ganget med vekstfaktoren \( 1{,}2 \) én gang per måned, som i videoen Vekstfaktor. Vi regner ut \( \textcolor{blue}{K(x)} \) med kalkulator og setter den ved siden av de registrerte tallene: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \text{Registrert} & \textcolor{blue}{K(x)} \\ \hline 1 & 29 & \textcolor{blue}{33{,}4} \\ 5 & 93 & \textcolor{blue}{69{,}2} \\ 10 & 164 & \textcolor{blue}{172{,}1} \\ 14 & 284 & \textcolor{blue}{356{,}9} \\ 20 & 1035 & \textcolor{blue}{1065{,}8} \\ 22 & 1657 & \textcolor{blue}{1534{,}7} \end{array} \]

Modellen følger den raske veksten fra omtrent 30 til omtrent 1600 tilfeller i måneden, og de registrerte tallene ligger dels over og dels under modellen. Avvikene er små sammenlignet med veksten, så \( K \) er en god modell for perioden.

1. Lag en eksponentiell regresjon Vi lager en liste med punktene og bruker eksponentiell regresjon med RegEksp, som gir en modell på formen \( {a \cdot b^x}\text{,} \) på samme måte som den logistiske regresjonen i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1, 29), (5, 93), (10, 164), (14, 284), (20, 1035), (22, 1657)} f(x) = RegEksp(l1)

GeoGebra gir \( {f(x) \approx 27{,}809 \cdot 1{,}1987^x}\text{.} \) Avrundet er det \( {27{,}8 \cdot 1{,}2^x = K(x)}\text{,} \) og grafen går tett forbi punktene. \( K \) er altså en god modell.

Linjen går gjennom to punkter på grafen til \( K\text{.} \) Vi regner ut \( K(4) \) og \( K(21)\text{,} \) og finner stigningstallet mellom punktene.

1. Regn ut de to modellverdiene Vi setter inn i modellen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{K(4)} &= 27{,}8 \cdot 1{,}2^4 \approx \textcolor{blue}{57{,}65} \\ \textcolor{red}{K(21)} &= 27{,}8 \cdot 1{,}2^{21} \approx \textcolor{red}{1278{,}94} \end{aligned} \]

2. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{K(21)} - \textcolor{blue}{K(4)}}{21 - 4} \]

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ a \approx \dfrac{\textcolor{red}{1278{,}94} - \textcolor{blue}{57{,}65}}{17} \approx 71{,}8 \]

3. Tolk svaret \( {x = 4} \) er april 2023, og \( {x = 21} \) er september 2024. \( K(x) \) er antall tilfeller som registreres i måned \( x\text{.} \) Stigningstallet forteller at dette antallet økte med i gjennomsnitt omtrent 72 tilfeller per måned fra april 2023 til september 2024.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( K \) i CAS med \( {:=} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, og regner ut stigningstallet med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) := 27.8*1.2^x (K(21) - K(4))/(21 - 4)

CAS gir stigningstallet \( {\approx 71{,}84}\text{.} \) Antall registrerte tilfeller i måneden økte altså med i gjennomsnitt omtrent 72 per måned fra april 2023 til september 2024.

Mai 2025 er 29 måneder etter desember 2022. Vi setter derfor \( {x = 29} \) inn i modellen.

1. Finn månedsnummeret for mai 2025 Desember 2024 er 24 måneder etter desember 2022, og mai 2025 kommer 5 måneder senere: \[ x = 24 + 5 = \textcolor{blue}{29} \]

2. Regn ut modellverdien Modellen er startverdien ganget med vekstfaktoren én gang per måned, som i videoen Vekstfaktor: \[ K(\textcolor{blue}{29}) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{\textcolor{blue}{29}} \approx 5499{,}2 \]Ifølge modellen blir det registrert omtrent 5499 tilfeller i mai 2025.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( K \) i CAS og regner ut \( K(29) \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) := 27.8*1.2^x K(29)

CAS gir \( {K(29) \approx 5499{,}2}\text{,} \) altså omtrent 5499 tilfeller.

Vi regner ut hva modellen gir for antallene i tabellen, og sammenligner med overskuddet kantinen fikk. I GeoGebra lager vi en andregradsregresjon av punktene og ser at den gir \( O\text{.} \)

1. Sammenlign modellen med tabellen Vi setter antallene i tabellen inn i modellen med kalkulator. For \( {x = 100} \) er \( {-0{,}09 \cdot 100^2 = -900} \) og \( {51{,}04 \cdot 100 = 5104}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{O(100)} &= -900 + 5104 - 2776{,}98 \\ &= \textcolor{blue}{1427{,}02} \end{aligned} \]

Vi setter alle verdiene ved siden av overskuddet i tabellen: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \text{Overskudd} & \textcolor{blue}{O(x)} \\ \hline 100 & 1450 & \textcolor{blue}{1427{,}02} \\ 130 & 2300 & \textcolor{blue}{2337{,}22} \\ 160 & 3050 & \textcolor{blue}{3085{,}42} \\ 175 & 3365 & \textcolor{blue}{3398{,}77} \\ 190 & 3720 & \textcolor{blue}{3671{,}62} \\ 220 & 4140 & \textcolor{blue}{4095{,}82} \\ 235 & 4175 & \textcolor{blue}{4247{,}17} \end{array} \]

Avviket er størst for 235 bagetter, \( {4247{,}17 - 4175 = 72{,}17} \) kroner, og det er under 2 % av overskuddet. Modellen følger også at overskuddet øker stadig langsommere. \( O \) er derfor en god modell.

1. Lag en andregradsregresjon Vi lager en liste med punktene, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, og bruker regresjon med et andregradspolynom, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Regresjonen finner andregradsfunksjonen som går så nær punktene som mulig:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(100, 1450), (130, 2300), (160, 3050), (175, 3365), (190, 3720), (220, 4140), (235, 4175)} f(x) = RegPoly(l1, 2)

GeoGebra gir: \[ \begin{aligned} f(x) &\approx -0{,}0903x^2 + 51{,}0367x \\ &\quad - 2776{,}9766 \end{aligned} \]Avrundet til to desimaler er det \( O(x)\text{,} \) og grafen går tett forbi alle punktene. \( O \) er altså en god modell.

Modellen \( O(x) \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Overskuddet er størst i toppunktet til \( O\text{,} \) der \( {O'(x) = 0}\text{.} \) Antall bagetter er et helt tall, så vi sammenligner de to hele tallene på hver side av toppunktet.

1. Deriver og sett lik null Modellen fra oppgaveteksten i a) er: \[ \begin{aligned} O(x) &= -0{,}09x^2 + 51{,}04x \\ &\quad - 2776{,}98 \end{aligned} \]

Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd: \( {-0{,}09x^2} \) blir \( {-0{,}18x}\text{,} \) \( 51{,}04x \) blir \( 51{,}04\text{,} \) og konstanten blir 0: \[ O'(x) = -0{,}18x + 51{,}04 \]

I toppunktet er \( {O'(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -0{,}18x + 51{,}04 &= 0 \\ x &= \dfrac{51{,}04}{0{,}18} \approx 283{,}56 \end{aligned} \]Tallet foran \( x^2 \) er negativt, så grafen er en parabel som vender ned, og dette er et toppunkt.

2. Sjekk hele bagetter Kantinen kan ikke selge \( 283{,}56 \) bagetter, så vi sammenligner de to nærmeste hele tallene, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} O(\textcolor{blue}{283}) &= \textcolor{blue}{4459{,}33} \\ O(\textcolor{red}{284}) &= \textcolor{red}{4459{,}34} \end{aligned} \]\( \textcolor{red}{284} \) bagetter gir størst overskudd, \( \textcolor{red}{4459{,}34} \) kroner. Forskjellen er bare 1 øre.

1. Finn toppunktet i GeoGebra Vi skriver inn \( O\text{,} \) finner toppunktet med Ekstremalpunkt, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, og regner ut \( O(283) \) og \( O(284)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = -0.09x^2 + 51.04x - 2776.98 T = Ekstremalpunkt(O) o_1 = O(283) o_2 = O(284)

Toppunktet er \( {T \approx (283{,}5556,\ 4459{,}3578)}\text{,} \) og \( {O(284) = 4459{,}34} \) er større enn \( {O(283) = 4459{,}33}\text{.} \) 284 bagetter gir størst overskudd.

Modellen \( O(x) \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Stigningstallet til linja gjennom to punkter er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{.} \) Vi regner ut \( O(100) \) og \( O(200) \) først.

1. Regn ut funksjonsverdiene Vi setter \( {x = \textcolor{blue}{100}} \) og \( {x = \textcolor{red}{200}} \) inn i modellen med kalkulator: \[ \begin{aligned} O(\textcolor{blue}{100}) &= \textcolor{blue}{1427{,}02} \\ O(\textcolor{red}{200}) &= \textcolor{red}{3831{,}02} \end{aligned} \]

2. Regn ut stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{O(200)} - \textcolor{blue}{O(100)}}{\textcolor{red}{200} - \textcolor{blue}{100}} \]

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} a &= \dfrac{\textcolor{red}{3831{,}02} - \textcolor{blue}{1427{,}02}}{100} \\ a &= \dfrac{2404}{100} = 24{,}04 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret \( x \) er antall bagetter og \( O(x) \) overskuddet i kroner, så stigningstallet er kroner per bagett. Når salget øker fra 100 til 200 bagetter i uka, øker overskuddet i gjennomsnitt med 24,04 kroner per ekstra bagett.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( O \) i CAS med \( {:=} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, og regner ut stigningstallet med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) := -0.09x^2 + 51.04x - 2776.98 (O(200) - O(100)) / (200 - 100)

CAS gir \( 24{,}04\text{.} \) Fra 100 til 200 bagetter øker overskuddet i gjennomsnitt med 24,04 kroner per ekstra bagett.

Modellen \( O(x) \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Den momentane vekstfarten er den deriverte. Vi deriverer \( O \) og setter inn \( {x = 235}\text{.} \)

1. Deriver modellen Den momentane vekstfarten er stigningstallet til tangenten, altså den deriverte, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Modellen fra oppgaveteksten i a) er: \[ \begin{aligned} O(x) &= \textcolor{blue}{-0{,}09x^2} + \textcolor{red}{51{,}04x} \\ &\quad - 2776{,}98 \end{aligned} \]

Vi deriverer ledd for ledd. \( {\textcolor{blue}{-0{,}09x^2}} \) derivert blir \( {-0{,}09 \cdot 2x = \textcolor{blue}{\underline{-0{,}18x}}}\text{,} \) \( \textcolor{red}{51{,}04x} \) derivert blir \( \textcolor{red}{\underline{51{,}04}}\text{,} \) og konstanten blir \( \underline{0}\text{.} \) Slår vi dette sammen, får vi: \[ O'(x) = \textcolor{blue}{-0{,}18x} + \textcolor{red}{51{,}04} \]

2. Sett inn antallet Vi setter inn \( {x = 235}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O'(235) &= -0{,}18 \cdot 235 + 51{,}04 \\ O'(235) &= -42{,}3 + 51{,}04 = 8{,}74 \end{aligned} \]

Når kantinen selger 235 bagetter i uka, øker overskuddet med omtrent 8,74 kroner for hver ekstra bagett. Overskuddet øker fortsatt, men langsomt, fordi vi nærmer oss toppunktet.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( O \) i CAS og deriverer med \( O'(x)\text{,} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) := -0.09x^2 + 51.04x - 2776.98 O'(x) O'(235)

CAS gir \( {O'(x) = -0{,}18x + 51{,}04} \) og \( {O'(235) = 8{,}74}\text{.} \) Ved 235 bagetter øker overskuddet med omtrent 8,74 kroner per ekstra bagett.

Formen \( {a \cdot x^b} \) er en potensfunksjon, så vi bruker potensregresjon i GeoGebra med punktene fra tabellen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon. Øv heller på b) og c) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Kjør potensregresjon Vi lager en liste med punktene fra tabellen, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, og bruker potensregresjon med RegPot. Den finner tallene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, på samme måte som regresjonen i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1000, 100), (500, 81.4), (200, 60.1), (80, 41.5), (40, 29)} K(x) = RegPot(l1)

2. Les av modellen Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ K(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot x^{\textcolor{red}{b}} \]Det gir \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{7{,}562}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{0{,}3804}}\text{.} \) Grafen til \( K \) går nær alle de fem punktene.

I c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Begge modellene starter på 1000 hPa ved havet, og lufttrykket ganges med en fast vekstfaktor for hver kilometer. Vi finner vekstfaktoren til Ari fra prosenten, og den til Lisa fra halveringen.

1. Finn modellen til Ari Når lufttrykket minker med 12 % per km, er vekstfaktoren, som i videoen Vekstfaktor: \[ \textcolor{blue}{v} = 1 - 0{,}12 = \textcolor{blue}{0{,}88} \]

Lufttrykket ved havet, 1000 hPa, ganges med vekstfaktoren én gang per kilometer. Med \( x \) km over havet er lufttrykket i hPa: \[ A(x) = 1000 \cdot \textcolor{blue}{0{,}88}^x \]

2. Finn modellen til Lisa Lisa vil ha samme form, \( {L(x) = 1000 \cdot \textcolor{red}{w}^x}\text{.} \) Etter 5,5 km er lufttrykket halvert, fra 1000 til 500 hPa: \[ 1000 \cdot \textcolor{red}{w}^{5{,}5} = 500 \]

Vi deler på 1000 og opphøyer begge sider i \( \dfrac{1}{5{,}5}\text{,} \) slik at \( \textcolor{red}{w} \) står alene, som i videoen Potenser og røtter: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{w}^{5{,}5} &= 0{,}5 \\ \textcolor{red}{w} &= 0{,}5^{1/5{,}5} \approx \textcolor{red}{0{,}8816} \end{aligned} \]

Det gir modellen: \[ L(x) \approx 1000 \cdot \textcolor{red}{0{,}8816}^x \]Den er det samme som \( {1000 \cdot 0{,}5^{x/5{,}5}}\text{,} \) der \( \dfrac{x}{5{,}5} \) er antall halveringer.

1. Lag modellene med regresjon Modellen til Ari går gjennom \( (0, 1000) \) og \( (1, 880)\text{,} \) fordi 12 % av 1000 er 120. Modellen til Lisa går gjennom \( (0, 1000) \) og \( (5{,}5,\ 500)\text{.} \) Vi bruker RegEksp, som gir en modell på formen \( {a \cdot b^x} \) gjennom punktene:

Skriv inn i GeoGebra: l2 = {(0, 1000), (1, 880)} A(x) = RegEksp(l2) l3 = {(0, 1000), (5.5, 500)} L(x) = RegEksp(l3)

GeoGebra gir \( {A(x) = 1000 \cdot 0{,}88^x} \) og \( {L(x) \approx 1000 \cdot 0{,}8816^x}\text{.} \)

Vi bruker modellene fra a) og b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Egg blir hardkokte så lenge vannet koker ved minst 85 °C. Vi finner lufttrykket der kokepunktet er 85 °C med modellen \( K\text{,} \) og så hvor høyt over havet lufttrykket er så lavt, med modellene til Ari og Lisa.

1. Finn lufttrykket ved 85 grader I a) fant vi modellen: \[ K(x) \approx 7{,}562 \cdot x^{0{,}3804} \]

Vi setter \( {K(x) = 85} \) og deler på 7,562: \[ \begin{aligned} 7{,}562 \cdot x^{0{,}3804} &= 85 \\ x^{0{,}3804} &= \dfrac{85}{7{,}562} \end{aligned} \]

Vi opphøyer begge sider i \( \dfrac{1}{0{,}3804}\text{,} \) slik at \( x \) står alene, som i videoen Potenser og røtter: \[ x = \left(\dfrac{85}{7{,}562}\right)^{1/0{,}3804} \approx 578{,}5 \]Ved omtrent 578,5 hPa koker vannet ved 85 °C. Er lufttrykket lavere, koker vannet ved under 85 °C.

2. Finn høyden med modellene I b) fant vi modellene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A(x)} &= 1000 \cdot 0{,}88^x \\ \textcolor{red}{L(x)} &\approx 1000 \cdot 0{,}8816^x \end{aligned} \]

Vi prøver oss fram med kalkulatoren og ser når lufttrykket blir 578,5 hPa: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \textcolor{blue}{A(x)} & \textcolor{red}{L(x)} \\ \hline 4{,}2 & \textcolor{blue}{584{,}6} & \textcolor{red}{589{,}0} \\ 4{,}3 & \textcolor{blue}{577{,}1} & \textcolor{red}{581{,}7} \\ 4{,}4 & \textcolor{blue}{569{,}8} & \textcolor{red}{574{,}4} \end{array} \]

Med modellen til Ari er lufttrykket 578,5 hPa mellom 4,2 og 4,3 km over havet, nærmest 4,3. Med modellen til Lisa er det mellom 4,3 og 4,4 km, nærmest 4,3. Begge modellene gir altså omtrent 4,3 km.

1. Løs likningene i CAS I a) lagret vi modellen som \( K\text{.} \) Vi skriver modellene til Ari og Lisa inn i Algebrafeltet og løser likningene med NLøs i CAS:

Skriv inn i GeoGebra: A(x) = 1000*0.88^x L(x) = 1000*0.5^(x/5.5) NLøs(K(x) = 85, x = 500) NLøs(A(x) = 578.3375, x = 4) NLøs(L(x) = 578.3375, x = 4)

CAS gir lufttrykket 578,3375 hPa, og høyden 4,2837 km med modellen til Ari og 4,3451 km med modellen til Lisa. Begge er omtrent 4,3 km.