Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

polynomdivisjon

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

5 oppgaver i 1T om polynomdivisjon

Oppgavene

1T vår 2026 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 3

3 poeng

Løs likningen
2x3+3x2−18x+8=0 2x^3 + 3x^2 - 18x + 8 = 0
Vis løsning på oppgave 3

Svar

Likningen har tre løsninger:
x=−4,x=12ellerx=2‾‾ \underline{\underline{x = -4, \quad x = \dfrac{1}{2} \quad \text{eller} \quad x = 2}}
Dette er en tredjegradslikning. Vi prøver oss fram til én løsning, deler med polynomdivisjon og løser andregradslikningen som blir igjen.
1. Prøv små heltall Vi kaller venstre side \( P(x)\text{.} \) Dette er del 1, så en av løsningene er nok et lite heltall. Vi prøver oss fram, som i videoen Oppgave 2 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} P(1) &= 2 + 3 - 18 + 8 = -5 \\ P(2) &= 16 + 12 - 36 + 8 = 0 \end{aligned} \]
Nullpunktssetningen forteller oss at: \[ P(r) = 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{P(x)}{x - r} \text{ går opp} \]Med \( {r = 2} \) går divisjonen \( {P(x) : (x - 2)} \) opp, som i videoen Nullpunktssetningen.
2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( P(x) \) på \( {(x - 2)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{2x^3} + 3x^2 - 18x + 8) : (\textcolor{green}{x} - 2) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.
Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{2x^2} \\ \textcolor{red}{2x^2} \cdot (x - 2) &= 2x^3 - 4x^2 \\ -(2x^3 - 4x^2) &= \textcolor{red}{-2x^3 + 4x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 18x + 8) : (\textcolor{green}{x} - 2) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 18x & {}+ 8 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 4x^2} & & \\ \hline & 7x^2 & {}- 18x & {}+ 8 \end{array} \end{array} \]\( 2x^3 \) strykes mot \( {-2x^3}\text{,} \) \( {3x^2 + 4x^2 = 7x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-18x} \) og \( 8\text{.} \)
Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{7x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{7x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{7x} \\ \textcolor{magenta}{7x} \cdot (x - 2) &= 7x^2 - 14x \\ -(7x^2 - 14x) &= \textcolor{magenta}{-7x^2 + 14x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 18x + 8) : (\textcolor{green}{x} - 2) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 7x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 18x & {}+ 8 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 4x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{7x^2}} & {}- 18x & {}+ 8 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-7x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 14x} & \\ \hline & & -4x & {}+ 8 \end{array} \end{array} \]\( 7x^2 \) strykes mot \( {-7x^2}\text{,} \) \( {-18x + 14x = -4x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 8\text{.} \) Linja \( {-4x + 8} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.
Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-4x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-4x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-4} \\ \textcolor{blue}{-4} \cdot (x - 2) &= -4x + 8 \\ -(-4x + 8) &= \textcolor{blue}{4x - 8} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 18x + 8) : (\textcolor{green}{x} - 2) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 7x} \textcolor{blue}{{}- 4} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 18x & {}+ 8 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 4x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{7x^2}} & {}- 18x & {}+ 8 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-7x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 14x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x}} & {}+ 8 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{4x}} & \textcolor{blue}{{}- 8} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-4x} \) strykes mot \( 4x\text{,} \) og \( {8 - 8 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &2x^3 + 3x^2 - 18x + 8 \\ &= (x - 2)(2x^2 + 7x - 4) \end{aligned} \]
3. Løs andregradslikningen Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{.} \) Faktoren \( {x - 2} \) gir \( {x = 2}\text{,} \) og \( {2x^2 + 7x - 4 = 0} \) løser vi med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]
Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{7}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-4}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{7} \pm \sqrt{\textcolor{red}{7}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{green}{-4})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ x &= \dfrac{-7 \pm \sqrt{81}}{4} = \dfrac{-7 \pm 9}{4} \end{aligned} \]Det gir \( {x = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}} \) eller \( {x = \dfrac{-16}{4} = -4}\text{.} \)

1T høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

3 poeng

Bestem nullpunktene til funksjonen f f gitt ved
f(x)=x3−5x2−8x+12 f(x) = x^3 - 5x^2 - 8x + 12
Vis løsning på oppgave 2

Svar

Funksjonen har tre nullpunkter:
x=−2,x=1ogx=6‾‾ \underline{\underline{x = -2, \quad x = 1 \quad \text{og} \quad x = 6}}
Oppgave 2 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025, video, 07:25
Dette er en tredjegradsfunksjon. Vi prøver oss fram til ett nullpunkt, deler med polynomdivisjon og løser andregradslikningen som blir igjen.
1. Prøv små heltall 0:00 Nullpunktene er der \( {f(x) = 0}\text{.} \) Dette er del 1, så ett av nullpunktene er nok et lite heltall. Vi prøver \( {x = 1}\text{:} \) \[ f(1) = 1 - 5 - 8 + 12 = 0 \]
Nullpunktssetningen forteller oss at: \[ f(r) = 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{f(x)}{x - r} \text{ går opp} \]Med \( {r = 1} \) går divisjonen \( {f(x) : (x - 1)} \) opp, som i videoen Nullpunktssetningen.
2. Del med polynomdivisjon 1:38 Vi deler \( f(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} - 5x^2 - 8x + 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.
Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 1) &= x^3 - x^2 \\ -(x^3 - x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 5x^2 - 8x + 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 5x^2 & {}- 8x & {}+ 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & -4x^2 & {}- 8x & {}+ 12 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {-5x^2 + x^2 = -4x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-8x} \) og \( 12\text{.} \)
Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-4x^2}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-4x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{-4x} \\ \textcolor{magenta}{-4x} \cdot (x - 1) &= -4x^2 + 4x \\ -(-4x^2 + 4x) &= \textcolor{magenta}{4x^2 - 4x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 5x^2 - 8x + 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 4x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 5x^2 & {}- 8x & {}+ 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x^2}} & {}- 8x & {}+ 12 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{4x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 4x} & \\ \hline & & -12x & {}+ 12 \end{array} \end{array} \]\( {-4x^2} \) strykes mot \( 4x^2\text{,} \) \( {-8x - 4x = -12x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 12\text{.} \) Linja \( {-12x + 12} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.
Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-12x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-12x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-12} \\ \textcolor{blue}{-12} \cdot (x - 1) &= -12x + 12 \\ -(-12x + 12) &= \textcolor{blue}{12x - 12} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 5x^2 - 8x + 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 4x} \textcolor{blue}{{}- 12} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 5x^2 & {}- 8x & {}+ 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x^2}} & {}- 8x & {}+ 12 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{4x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 4x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-12x}} & {}+ 12 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{12x}} & \textcolor{blue}{{}- 12} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-12x} \) strykes mot \( 12x\text{,} \) og \( {12 - 12 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &x^3 - 5x^2 - 8x + 12 \\ &= (x - 1)(x^2 - 4x - 12) \end{aligned} \]
3. Løs andregradslikningen 5:04 Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{.} \) Faktoren \( {x - 1} \) gir \( {x = 1}\text{,} \) og \( {x^2 - 4x - 12 = 0} \) løser vi med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]
Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-4}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-12}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og bruker at \( {-(\textcolor{red}{-4}) = 4}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{4 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-4})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-12})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{4 \pm \sqrt{64}}{2} = \dfrac{4 \pm 8}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x = \dfrac{12}{2} = 6} \) eller \( {x = \dfrac{-4}{2} = -2}\text{.} \)

1T vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 4

4 poeng

Oppgave 4a)

Løs likningen
x3−7x2−10x+16=0 x^3 - 7x^2 - 10x + 16 = 0
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Likningen har tre løsninger:
x=−2,x=1ellerx=8‾‾ \underline{\underline{x = -2, \quad x = 1 \quad \text{eller} \quad x = 8}}
Oppgave 4A - Del 1 - 1T Eksamen Vår 2025, video, 06:07
Dette er en tredjegradslikning. Vi gjetter oss fram til én løsning, deler med polynomdivisjon og løser andregradslikningen som blir igjen.
1. Gjett én løsning 0:17 Vi kaller venstre side \( P(x)\text{.} \) Dette er del 1, så en av løsningene er nok et lite heltall. Vi prøver \( {x = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} P(1) &= 1^3 - 7 \cdot 1^2 - 10 \cdot 1 + 16 \\ P(1) &= 1 - 7 - 10 + 16 = 0 \end{aligned} \]
Nullpunktssetningen forteller oss at: \[ P(r) = 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{P(x)}{x - r} \text{ går opp} \]Med \( {r = 1} \) går divisjonen \( {P(x) : (x - 1)} \) opp, som i videoen Nullpunktssetningen.
2. Del med polynomdivisjon 1:30 Vi deler \( P(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} - 7x^2 - 10x + 16) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.
Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 1) &= x^3 - x^2 \\ -(x^3 - x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 7x^2 - 10x + 16) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 7x^2 & {}- 10x & {}+ 16 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & -6x^2 & {}- 10x & {}+ 16 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {-7x^2 + x^2 = -6x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-10x} \) og \( 16\text{.} \)
Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-6x^2}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-6x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{-6x} \\ \textcolor{magenta}{-6x} \cdot (x - 1) &= -6x^2 + 6x \\ -(-6x^2 + 6x) &= \textcolor{magenta}{6x^2 - 6x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 7x^2 - 10x + 16) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 6x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 7x^2 & {}- 10x & {}+ 16 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-6x^2}} & {}- 10x & {}+ 16 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{6x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 6x} & \\ \hline & & -16x & {}+ 16 \end{array} \end{array} \]\( {-6x^2} \) strykes mot \( 6x^2\text{,} \) \( {-10x - 6x = -16x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 16\text{.} \) Linja \( {-16x + 16} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.
Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-16x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-16x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-16} \\ \textcolor{blue}{-16} \cdot (x - 1) &= -16x + 16 \\ -(-16x + 16) &= \textcolor{blue}{16x - 16} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 7x^2 - 10x + 16) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 6x} \textcolor{blue}{{}- 16} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 7x^2 & {}- 10x & {}+ 16 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-6x^2}} & {}- 10x & {}+ 16 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{6x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 6x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-16x}} & {}+ 16 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{16x}} & \textcolor{blue}{{}- 16} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-16x} \) strykes mot \( 16x\text{,} \) og \( {16 - 16 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &x^3 - 7x^2 - 10x + 16 \\ &= (x - 1)(x^2 - 6x - 16) \end{aligned} \]
3. Løs andregradslikningen 4:10 Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{.} \) Faktoren \( {x - 1} \) gir \( {x = 1}\text{,} \) og \( {x^2 - 6x - 16 = 0} \) løser vi med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]
Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-6}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-16}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og bruker at \( {-(\textcolor{red}{-6}) = 6}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{6 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-6})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-16})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{6 \pm \sqrt{100}}{2} = \dfrac{6 \pm 10}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x = \dfrac{16}{2} = 8} \) eller \( {x = \dfrac{-4}{2} = -2}\text{.} \)

Oppgave 4b)

Funksjonen f f er gitt ved
f(x)=x3−7x2−10x+16 f(x) = x^3 - 7x^2 - 10x + 16
Hvilken av grafene nedenfor kan være grafen til f? f\text{?} Husk å begrunne svaret.
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Grafen skjærer y y -aksen i 16 16 og har ett negativt og to positive nullpunkter:
Graf C‾‾ \underline{\underline{\text{Graf C}}}
Oppgave 4B - Del 1 - 1T Eksamen Vår 2025, video, 03:15
Vi bruker nullpunktene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Grafene har ingen tall på aksene. Vi ser derfor på hvor grafen skjærer \( y \)-aksen, og på om nullpunktene er positive eller negative.
1. Finn skjæringspunktet med y-aksen 0:25 Grafen skjærer \( y \)-aksen der \( {x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(0) &= 0^3 - 7 \cdot 0^2 - 10 \cdot 0 + 16 \\ f(0) &= \textcolor{blue}{16} \end{aligned} \]
Grafen skjærer altså \( y \)-aksen i et positivt tall, over \( x \)-aksen. A og B skjærer \( y \)-aksen under \( x \)-aksen, så de kan ikke være grafen til \( f\text{.} \)
2. Bruk nullpunktene fra a) 1:48 Nullpunktene til \( f \) er løsningene av \( {f(x) = 0}\text{,} \) og den likningen løste vi i a): \[ x = \textcolor{red}{-2}, \quad x = 1 \quad \text{og} \quad x = 8 \]Det er \( \textcolor{red}{\text{ett negativt}} \) og to positive nullpunkter.
C har ett nullpunkt til venstre for \( y \)-aksen og to til høyre. D har to nullpunkter til venstre for \( y \)-aksen, så D kan ikke være grafen til \( f\text{.} \) Bare C passer.

1T høst 2024 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 3

4 poeng

Funksjonen f f er gitt ved
f(x)=x3+7x2+4x−12 f(x) = x^3 + 7x^2 + 4x - 12
Løs ulikheten f(x)<0 {f(x) < 0} og illustrer løsningen grafisk ved å lage en skisse.
Vis løsning på oppgave 3

Svar

Ulikheten gjelder der grafen ligger under x x -aksen:
x<−6eller−2<x<1‾‾ \underline{\underline{x < -6 \quad \text{eller} \quad -2 < x < 1}}
Vi faktoriserer \( f(x) \) med polynomdivisjon og abc-formelen. Så ser vi i et fortegnsskjema og en skisse hvor \( f(x) \) er negativ.
1. Prøv små heltall Dette er et tredjegradspolynom, så vi finner først ett nullpunkt ved å prøve små heltall, som i videoen Oppgave 2 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ f(1) = 1 + 7 + 4 - 12 = 0 \]
Nullpunktssetningen forteller oss at: \[ f(r) = 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{f(x)}{x - r} \text{ går opp} \]Med \( {r = 1} \) går divisjonen \( {f(x) : (x - 1)} \) opp, som i videoen Nullpunktssetningen.
2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( f(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} + 7x^2 + 4x - 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.
Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 1) &= x^3 - x^2 \\ -(x^3 - x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 7x^2 + 4x - 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 7x^2 & {}+ 4x & {}- 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & 8x^2 & {}+ 4x & {}- 12 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {7x^2 + x^2 = 8x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( 4x \) og \( {-12}\text{.} \)
Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{8x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{8x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{8x} \\ \textcolor{magenta}{8x} \cdot (x - 1) &= 8x^2 - 8x \\ -(8x^2 - 8x) &= \textcolor{magenta}{-8x^2 + 8x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 7x^2 + 4x - 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 8x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 7x^2 & {}+ 4x & {}- 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{8x^2}} & {}+ 4x & {}- 12 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-8x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 8x} & \\ \hline & & 12x & {}- 12 \end{array} \end{array} \]\( 8x^2 \) strykes mot \( {-8x^2}\text{,} \) \( {4x + 8x = 12x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-12}\text{.} \) Linja \( {12x - 12} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.
Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{12x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{12x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{12} \\ \textcolor{blue}{12} \cdot (x - 1) &= 12x - 12 \\ -(12x - 12) &= \textcolor{blue}{-12x + 12} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 7x^2 + 4x - 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 8x} \textcolor{blue}{{}+ 12} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 7x^2 & {}+ 4x & {}- 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{8x^2}} & {}+ 4x & {}- 12 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-8x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 8x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{12x}} & {}- 12 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{-12x}} & \textcolor{blue}{{}+ 12} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( 12x \) strykes mot \( {-12x}\text{,} \) og \( {-12 + 12 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &x^3 + 7x^2 + 4x - 12 \\ &= (x - 1)(x^2 + 8x + 12) \end{aligned} \]
3. Faktoriser andregradsuttrykket Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) har løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.
For \( {x^2 + 8x + 12 = 0} \) er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{8}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{12}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{8} \pm \sqrt{\textcolor{red}{8}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{12}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{-8 \pm \sqrt{16}}{2} = \dfrac{-8 \pm 4}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x = -2} \) eller \( {x = -6}\text{.} \) Hvert nullpunkt \( r \) gir en faktor \( {x - r}\text{,} \) som i videoen Faktorisering med abc-formelen, så faktorene er \( {x + 2} \) og \( {x + 6}\text{:} \) \[ f(x) = (x - 1)(x + 2)(x + 6) \]
4. Sett opp et fortegnsskjema Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Oppgave 1 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: :::fortegnsskjema {"points": [-6, -2, 1], "rows": [{"label": "x + 6", "expr": "x + 6"}, {"label": "x + 2", "expr": "x + 2"}, {"label": "x - 1", "expr": "x - 1"}, {"label": "f(x)", "expr": "(x - 1)(x + 2)(x + 6)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)
\( f(x) \) er negativ til venstre for \( {-6} \) og mellom \( {-2} \) og \( 1\text{.} \) Ulikheten har \( {<}\text{,} \) så nullpunktene er ikke med: \[ x < -6 \quad \text{eller} \quad -2 < x < 1 \]
5. Lag en skisse Grafen skjærer \( x \)-aksen i nullpunktene og \( y \)-aksen i \( {f(0) = -12}\text{,} \) som i videoen Oppgave 4B - Del 1 - 1T Eksamen Vår 2025. Leddet \( x^3 \) gjør at grafen kommer nedenfra til venstre og går opp til høyre. Løsningen er der grafen ligger under \( x \)-aksen, markert med rødt:

1T vår 2024 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

3 poeng

Guri har utført to ulike polynomdivisjoner og påstår at begge divisjonene viser at faktoriseringen nedenfor er riktig.
2x3+3x2−11x−6=(2x2+7x+3)⋅(x−2) \begin{aligned} &2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 \\ &= (2x^2 + 7x + 3) \cdot (x - 2) \end{aligned}
Hvilke to polynomdivisjoner kan hun ha utført? Utfør de to polynomdivisjonene, og forklar at hver av dem viser at faktoriseringen er riktig.
Vis løsning på oppgave 2

Svar

Guri kan ha delt på hver av de to faktorene. Begge divisjonene går opp, og svaret er den andre faktoren:
Delt pa˚ x−2: 2x2+7x+3‾‾Delt pa˚ 2x2+7x+3: x−2‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Delt på } x - 2\text{: } 2x^2 + 7x + 3}} \\ &\underline{\underline{\text{Delt på } 2x^2 + 7x + 3\text{: } x - 2}} \end{aligned}
Går en polynomdivisjon opp, er telleren lik nevneren ganget med svaret. Guri kan derfor ha delt på hver av de to faktorene, og da skal den andre faktoren komme ut.
1. Del på den første faktoren Vi deler \( {2x^3 + 3x^2 - 11x - 6} \) på \( {(x - 2)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{2x^3} + 3x^2 - 11x - 6) : (\textcolor{green}{x} - 2) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.
Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{2x^2} \\ \textcolor{red}{2x^2} \cdot (x - 2) &= 2x^3 - 4x^2 \\ -(2x^3 - 4x^2) &= \textcolor{red}{-2x^3 + 4x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 11x - 6) : (\textcolor{green}{x} - 2) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 11x & {}- 6 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 4x^2} & & \\ \hline & 7x^2 & {}- 11x & {}- 6 \end{array} \end{array} \]\( 2x^3 \) strykes mot \( {-2x^3}\text{,} \) \( {3x^2 + 4x^2 = 7x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-11x} \) og \( {-6}\text{.} \)
Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{7x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{7x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{7x} \\ \textcolor{magenta}{7x} \cdot (x - 2) &= 7x^2 - 14x \\ -(7x^2 - 14x) &= \textcolor{magenta}{-7x^2 + 14x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 11x - 6) : (\textcolor{green}{x} - 2) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 7x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 11x & {}- 6 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 4x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{7x^2}} & {}- 11x & {}- 6 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-7x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 14x} & \\ \hline & & 3x & {}- 6 \end{array} \end{array} \]\( 7x^2 \) strykes mot \( {-7x^2}\text{,} \) \( {-11x + 14x = 3x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-6}\text{.} \) Linja \( {3x - 6} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.
Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{3x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{3x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{blue}{3} \cdot (x - 2) &= 3x - 6 \\ -(3x - 6) &= \textcolor{blue}{-3x + 6} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 11x - 6) : (\textcolor{green}{x} - 2) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 7x} \textcolor{blue}{{}+ 3} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 11x & {}- 6 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 4x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{7x^2}} & {}- 11x & {}- 6 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-7x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 14x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x}} & {}- 6 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{-3x}} & \textcolor{blue}{{}+ 6} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( 3x \) strykes mot \( {-3x}\text{,} \) og \( {-6 + 6 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.
Da er nevneren ganget med svaret lik telleren, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon: \[ \begin{aligned} &2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 \\ &= (x - 2)(2x^2 + 7x + 3) \end{aligned} \]Det er faktoriseringen til Guri.
2. Del på den andre faktoren Vi deler \( {2x^3 + 3x^2 - 11x - 6} \) på \( {(2x^2 + 7x + 3)} \) på samme måte. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (2). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ \begin{aligned} &(\textcolor{darkorange}{2x^3} + 3x^2 - 11x - 6) \\ &: (\textcolor{green}{2x^2} + 7x + 3) \end{aligned} \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.
Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{2x^2}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} &\dfrac{\textcolor{darkorange}{2x^3}}{\textcolor{green}{2x^2}} = \textcolor{red}{x} \\ &\textcolor{red}{x} \cdot (2x^2 + 7x + 3) \\ &\quad = 2x^3 + 7x^2 + 3x \\ &-(2x^3 + 7x^2 + 3x) \\ &\quad = \textcolor{red}{-2x^3 - 7x^2 - 3x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 11x - 6) \\ &: (\textcolor{green}{2x^2} + 7x + 3) \\ &= \textcolor{red}{x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 11x & {}- 6 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}- 7x^2} & \textcolor{red}{{}- 3x} & \\ \hline & -4x^2 & {}- 14x & {}- 6 \end{array} \end{array} \]\( 2x^3 \) strykes mot \( {-2x^3}\text{,} \) \( {3x^2 - 7x^2 = -4x^2}\text{,} \) \( {-11x - 3x = -14x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-6}\text{.} \) Linja \( {-4x^2 - 14x - 6} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.
Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-4x^2}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{2x^2}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} &\dfrac{\textcolor{darkorange}{-4x^2}}{\textcolor{green}{2x^2}} = \textcolor{magenta}{-2} \\ &\textcolor{magenta}{-2} \cdot (2x^2 + 7x + 3) \\ &\quad = -4x^2 - 14x - 6 \\ &-(-4x^2 - 14x - 6) \\ &\quad = \textcolor{magenta}{4x^2 + 14x + 6} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 11x - 6) \\ &: (\textcolor{green}{2x^2} + 7x + 3) \\ &= \textcolor{red}{x} \textcolor{magenta}{{}- 2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 11x & {}- 6 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}- 7x^2} & \textcolor{red}{{}- 3x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x^2}} & {}- 14x & {}- 6 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{4x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 14x} & \textcolor{magenta}{{}+ 6} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-4x^2} \) strykes mot \( 4x^2\text{,} \) \( {-14x + 14x = 0}\text{,} \) og \( {-6 + 6 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.
Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 \\ &= (2x^2 + 7x + 3)(x - 2) \end{aligned} \]Også denne divisjonen viser at faktoriseringen er riktig.