Eksamensoppgaver etter tema

Grunnflaten er et kvadrat med sider like lange som høyden. Vi skriver derfor volumet med bare \( h \) og løser likningen der volumet er 9.

1. Skriv volumet med høyden Volumformelen fra oppgaven forteller oss at: \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{G} \cdot h \]

Grunnflaten er et kvadrat, og arealet av et kvadrat er side ganger side, som for et rektangel i videoen Areal og Omkrets. Sidene er like lange som høyden \( h\text{,} \) så: \[ \textcolor{blue}{G} = \textcolor{blue}{h \cdot h} = \textcolor{blue}{h^2} \]

Plugger vi dette inn i volumformelen, får vi: \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{h^2} \cdot h = \dfrac{h^3}{3} \]

2. Løs likningen Volumet er \( 9\,\text{dm}^3\text{:} \) \[ \dfrac{h^3}{3} = 9 \]

Vi ganger med 3 på begge sider. Tallet som opphøyd i tredje blir 27, er 3, fordi \( {3 \cdot 3 \cdot 3 = 27}\text{:} \) \[ \begin{aligned} h^3 &= 27 \\ h &= 3 \end{aligned} \]Volumet er i kubikkdesimeter, så høyden er i desimeter.

Kontroll: \( {G = 3 \cdot 3 = 9\,\text{dm}^2}\text{,} \) og \( {V = \dfrac{1}{3} \cdot 9 \cdot 3 = 9\,\text{dm}^3}\text{.} \)

Vi bruker uttrykket for volumet fra a).

Før vi starter, må vi vite hva proporsjonale størrelser er. Så sammenligner vi to pyramider, der den ene er dobbelt så høy som den andre.

1. Skriv opp hva proporsjonal betyr Volumet og høyden er proporsjonale hvis volumet er høyden ganget med et fast tall \( k\text{:} \) \[ V = k \cdot h \]Da er \( {\dfrac{V}{h} = k} \) det samme for alle pyramidene, og dobbel høyde gir dobbelt volum.

2. Sammenlign to pyramider I a) fant vi at: \[ V = \dfrac{h^3}{3} \]

Vi regner ut volumet for høyden \( \textcolor{blue}{3} \) dm og den dobbelte, \( \textcolor{red}{6} \) dm: \[ \begin{aligned} h &= \textcolor{blue}{3} & V &= \dfrac{\textcolor{blue}{3}^3}{3} = \dfrac{27}{3} = \textcolor{blue}{9} \\ h &= \textcolor{red}{6} & V &= \dfrac{\textcolor{red}{6}^3}{3} = \dfrac{216}{3} = \textcolor{red}{72} \end{aligned} \]

Dobbel høyde gir \( {\dfrac{\textcolor{red}{72}}{\textcolor{blue}{9}} = 8} \) ganger så stort volum, ikke dobbelt så stort. Dette kalles et moteksempel, og påstanden er derfor ikke riktig.

Vi kjenner volumet og radien. Vi finner høyden fra volumformelen, og setter radien og høyden inn i formelen for overflaten.

Merk – Boksen har ikke lokk: Tegningen ser ut som en lukket sylinder, men formelen for overflaten har bare én \( \pi r^2\text{,} \) altså bare bunnen. En lukket sylinder har \( {2\pi r^2 + 2\pi r h}\text{,} \) som i videoen Volum og Overflate. Her er det formelen i oppgaven som gjelder.

1. Finn et uttrykk for høyden Volumet er grunnflaten ganget med høyden, som i videoen Volum og Overflate. For boksen er grunnflaten en sirkel med areal \( {\pi \cdot r^2}\text{:} \) \[ V = \pi \cdot r^2 \cdot h \]

Med \( {V = 450} \) deler vi med \( {\pi \cdot r^2} \) på begge sider: \[ h = \dfrac{450}{\pi \cdot r^2} \]

2. Regn ut høyde og overflate For \( {r = \textcolor{blue}{4}} \) gir kalkulatoren: \[ \begin{aligned} h &= \dfrac{450}{\pi \cdot \textcolor{blue}{4}^2} \approx \textcolor{red}{8{,}952} \\ O &= \pi \cdot \textcolor{blue}{4}^2 + 2 \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{8{,}952} \approx 275{,}3 \end{aligned} \]

På samme måte for \( {r = 6} \) og \( {r = 8}\text{:} \) \[ \begin{aligned} r = 6\text{: } \quad h &\approx 3{,}979 & O &\approx 263{,}1 \\ r = 8\text{: } \quad h &\approx 2{,}238 & O &\approx 313{,}6 \end{aligned} \]

Merk – Ikke rund av for tidlig: Regn ut \( O \) med høyden slik kalkulatoren gir den, og rund av til slutt. Med \( {h = 9{,}0} \) for \( {r = 4} \) blir \( {O \approx 276{,}5} \) i stedet for \( 275{,}3\text{.} \) Tallet \( 462{,}6 \) i oppgavens tabell er regnet ut på samme måte.

Vi bruker uttrykket for høyden fra a).

Vi setter uttrykket for høyden inn i formelen for overflaten. Da blir overflaten en funksjon av radien alene, og den kan vi tegne.

1. Sett høyden inn i formelen I a) fant vi \( {h = \dfrac{450}{\pi \cdot r^2}}\text{.} \) Vi setter det inn i formelen for overflaten: \[ O = \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \dfrac{450}{\pi \cdot r^2} \]

I det siste leddet forkorter vi \( \textcolor{darkorange}{\pi} \) og én \( \textcolor{darkorange}{r}\text{,} \) og \( {2 \cdot 450 = 900}\text{:} \) \[ 2 \cdot \textcolor{darkorange}{\pi \cdot r} \cdot \dfrac{450}{\textcolor{darkorange}{\pi \cdot r} \cdot r} = \dfrac{900}{r} \]

Overflaten i \( \text{cm}^2 \) som funksjon av radien \( r \) i cm er da: \[ O(r) = \pi r^2 + \dfrac{900}{r}, \quad r > 0 \]

2. Lag en verditabell Vi regner ut \( O(r) \) for noen radier med kalkulatoren: \[ \begin{array}{r|r} r & O(r) \\ \hline 2 & 462{,}6 \\ 3 & 328{,}3 \\ 4 & 275{,}3 \\ 5 & 258{,}5 \\ 6 & 263{,}1 \\ 8 & 313{,}6 \\ 10 & 404{,}2 \end{array} \]

3. Tegn grafen Vi setter av punktene og trekker en jevn kurve gjennom dem:

Overflaten er stor for små radier, blir minst like over \( {r = 5} \) og øker igjen for større radier.

1. Tegn grafen Vi skriver inn funksjonen fra kalkulatorruten med \( {r > 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: O(r) = pi*r^2 + 900/r, r > 0

Grafen viser at overflaten er minst når radien er litt over \( 5\,\text{cm}\text{.} \)

Vi bruker funksjonen \( O(r) \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi leter etter radien som gir minst overflate. Med kalkulator bruker vi en verditabell, og med GeoGebra finner vi bunnpunktet på grafen.

1. Finn hvor overflaten er minst I b) fant vi: \[ O(r) = \pi r^2 + \dfrac{900}{r} \]Verditabellen i b) har \( {O(4) \approx 275{,}3}\text{,} \) \( {O(5) \approx 258{,}5} \) og \( {O(6) \approx 263{,}1}\text{.} \) Den minste overflaten ligger altså mellom \( {r = 4} \) og \( {r = 6}\text{.} \)

2. Lag en finere tabell rundt 5 Vi regner ut \( O(r) \) for hver tidels centimeter rundt \( 5\text{,} \) med to desimaler: \[ \begin{array}{r|r} r & O(r) \\ \hline 5{,}0 & 258{,}54 \\ 5{,}1 & 258{,}18 \\ \textcolor{red}{5{,}2} & \textcolor{red}{258{,}03} \\ 5{,}3 & 258{,}06 \\ 5{,}4 & 258{,}28 \end{array} \]Overflaten er minst ved omtrent \( {\textcolor{red}{r = 5{,}2\,\text{cm}}}\text{,} \) og da er den omtrent \( \textcolor{red}{258{,}0\,\text{cm}^2}\text{.} \)

1. Finn bunnpunktet på grafen Vi finner bunnpunktet mellom \( {r = 1} \) og \( {r = 10} \) med Min, slik toppunktet finnes med Maks i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: O(r) = pi*r^2 + 900/r, r > 0 B = Min(O, 1, 10)

Bunnpunktet er \( {B \approx (5{,}2322,\ 258{,}0158)}\text{.} \) Radien bør være omtrent \( 5{,}2\,\text{cm}\text{,} \) og da er overflaten omtrent \( 258{,}0\,\text{cm}^2\text{.} \)

Kvadratene gjør platen kortere og smalere, og sidekantene som brettes opp, blir høyden. Vi regner i desimeter, fordi \( 1\,\text{dm}^3 \) er \( 1 \) liter.

1. Finn målene på kassen Det går \( 100\,\text{mm} \) på \( 1\,\text{dm}\text{,} \) så platen er \( 12\,\text{dm} \) lang og \( 8\,\text{dm} \) bred, og kvadratene har side \( 1\,\text{dm}\text{.} \) Et kvadrat skjæres bort i hver ende, så lengden og bredden blir \( {2 \cdot 1\,\text{dm}} \) kortere: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{l} &= 12\,\text{dm} - 2\,\text{dm} = \textcolor{blue}{10\,\text{dm}} \\ \textcolor{red}{b} &= 8\,\text{dm} - 2\,\text{dm} = \textcolor{red}{6\,\text{dm}} \\ \textcolor{green}{h} &= \textcolor{green}{1\,\text{dm}} \end{aligned} \]

2. Regn ut volumet Volumet av en kasse er lengde ganger bredde ganger høyde: \[ V = \textcolor{blue}{l} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{green}{h} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Volum og Overflate.

Vi ganger tallene for seg og enhetene for seg, og \( {\text{dm} \cdot \text{dm} \cdot \text{dm} = \text{dm}^3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V &= \textcolor{blue}{10\,\text{dm}} \cdot \textcolor{red}{6\,\text{dm}} \cdot \textcolor{green}{1\,\text{dm}} \\ V &= 60\,\text{dm}^3 = 60\,\text{L} \end{aligned} \]

Vi regner ut volumet på samme måte som i a).

Vi lager en tabell der sidene i kvadratene øker med \( 0{,}5\,\text{dm}\text{,} \) og regner ut volumet for hver av dem. Der volumet er størst i tabellen, ser vi omtrent hvor lange sidene bør være.

1. Sett opp volumet Med kvadrater med side \( \textcolor{green}{x} \) dm blir kassen \( {\textcolor{blue}{12 - 2x}} \) dm lang, \( {\textcolor{red}{8 - 2x}} \) dm bred og \( \textcolor{green}{x} \) dm høy. Volumet i liter er lengde ganger bredde ganger høyde, som i videoen Volum og Overflate: \[ V = (\textcolor{blue}{12 - 2x}) \cdot (\textcolor{red}{8 - 2x}) \cdot \textcolor{green}{x} \]

2. Lag tabellen For \( {\textcolor{green}{x} = 1{,}5} \) er kassen \( 9 \) dm lang og \( 5 \) dm bred, så \( {V = 9 \cdot 5 \cdot 1{,}5 = 67{,}5}\text{.} \) Slik regner vi ut hver rad: \[ \begin{array}{r|r|r|r} \textcolor{green}{x} & \textcolor{blue}{12 - 2x} & \textcolor{red}{8 - 2x} & V \\ \hline 0{,}5 & 11 & 7 & 38{,}5 \\ 1{,}0 & 10 & 6 & 60{,}0 \\ \underline{1{,}5} & 9 & 5 & \underline{67{,}5} \\ 2{,}0 & 8 & 4 & 64{,}0 \\ 2{,}5 & 7 & 3 & 52{,}5 \\ 3{,}0 & 6 & 2 & 36{,}0 \\ 3{,}5 & 5 & 1 & 17{,}5 \end{array} \]Volumet øker fram til \( {x = 1{,}5} \) og minker etterpå, så det største volumet får vi når sidene i kvadratene er omtrent \( {1{,}5\,\text{dm} = 150\,\text{mm}}\text{.} \)

Vi bruker uttrykket for volumet og tabellen fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Alle de tre målene på kassen avhenger av sidene \( x \) i kvadratene. Volumet som funksjon av \( x \) er uttrykket fra b), og grafen tegner vi fra tabellen eller i GeoGebra.

1. Sett opp funksjonsuttrykket Med kvadrater med side \( \textcolor{green}{x} \) dm er kassen \( {\textcolor{blue}{12 - 2x}} \) dm lang, \( {\textcolor{red}{8 - 2x}} \) dm bred og \( \textcolor{green}{x} \) dm høy. Volumet i liter er: \[ V(x) = \textcolor{green}{x} \cdot (\textcolor{blue}{12 - 2x}) \cdot (\textcolor{red}{8 - 2x}) \]

2. Tegn grafen Vi setter av punktene fra tabellen i b) og trekker en jevn kurve gjennom dem:

Grafen starter i \( 0\text{,} \) stiger til en topp nær \( {x = 1{,}5} \) og synker til \( 0 \) igjen ved \( {x = 4}\text{.} \)

1. Tegn grafen Vi skriver inn funksjonen med en start og en slutt for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: V(x) = x(12 - 2x)(8 - 2x), 0 < x < 4

Grafen viser volumet for alle sidelengder mellom \( 0 \) og \( 4 \) dm, med toppen mellom \( {x = 1} \) og \( {x = 2}\text{.} \)

Vi bruker funksjonen fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi leter etter toppunktet på grafen til \( V\text{.} \) Med kalkulator lager vi finere tabeller rundt \( {x = 1{,}5}\text{,} \) og med GeoGebra finner vi toppunktet direkte.

1. Lag en finere tabell I c) fant vi: \[ V(x) = x(12 - 2x)(8 - 2x) \]I b) var volumet størst ved \( {x = 1{,}5}\text{.} \) Vi regner ut \( V(x) \) for hver tiendedel rundt \( 1{,}5\text{:} \) \[ \begin{array}{r|r} x & V(x) \\ \hline 1{,}4 & 66{,}976 \\ 1{,}5 & 67{,}500 \\ \textcolor{red}{1{,}6} & \textcolor{red}{67{,}584} \\ 1{,}7 & 67{,}252 \end{array} \]Toppunktet ligger altså mellom \( 1{,}5 \) og \( 1{,}7\text{.} \)

2. Lag en enda finere tabell Vi regner ut \( V(x) \) for hver hundredel fra \( 1{,}55 \) og ser hvor volumet snur: \[ \begin{array}{r|r} x & V(x) \\ \hline 1{,}55 & 67{,}5955 \\ 1{,}56 & 67{,}6017 \\ \textcolor{red}{1{,}57} & \textcolor{red}{67{,}6036} \\ 1{,}58 & 67{,}6012 \\ 1{,}59 & 67{,}5947 \end{array} \]Volumet er størst ved omtrent \( {\textcolor{red}{x = 1{,}57}}\text{,} \) altså kvadrater med sider på omtrent \( 157\,\text{mm}\text{.} \) Da er volumet omtrent \( \textcolor{red}{67{,}6} \) liter.

1. Finn toppunktet Vi finner toppunktet med Ekstremalpunkt mellom \( 0 \) og \( 4\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: V(x) = x(12 - 2x)(8 - 2x), 0 < x < 4 T = Ekstremalpunkt(V, 0, 4)

Toppunktet er \( {T \approx (1{,}5695,\ 67{,}6036)}\text{.} \) Sidene i kvadratene skal være omtrent \( 1{,}57 \) dm, altså \( 157\,\text{mm}\text{,} \) og volumet blir omtrent \( 67{,}6 \) liter.

Vi bruker funksjonen fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Modellen gir bare mening for de sidene i kvadratene som gir en kasse. Vi ser hvilke verdier av \( x \) som gir en positiv høyde, lengde og bredde.

1. Finn grensene Gyldighetsområdet er de verdiene av \( x \) der modellen beskriver kassene, som i videoen Oppgave 5B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, der sidelengdene ikke kan være negative. I c) fant vi: \[ V(x) = \textcolor{green}{x} \cdot (\textcolor{blue}{12 - 2x}) \cdot (\textcolor{red}{8 - 2x}) \]

Høyden \( \textcolor{green}{x} \) må være større enn \( 0\text{.} \) Bredden \( {\textcolor{red}{8 - 2x}} \) må også være større enn \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{8 - 2x} &> 0 \\ 8 &> 2x \\ x &< 4 \end{aligned} \]Da er også lengden \( {\textcolor{blue}{12 - 2x}} \) positiv.

For \( {x = 0} \) og \( {x = 4} \) er volumet \( 0\text{,} \) og da blir det ingen kasse. Ved \( {x = 4}\text{,} \) altså \( 400\,\text{mm}\text{,} \) skjæres hele bredden bort.