Eksamensoppgaver etter tema

Tallene har mange nuller, så vi skriver dem på standardform. Da kan vi gange tallene for seg og tierpotensene for seg.

1. Skriv tallene på standardform På standardform er et tall et tall mellom \( 1 \) og \( 10 \) ganget med en tierpotens, som i videoen Hva er Standardform?. Vi flytter kommaet \( 8 \) plasser til venstre i det første tallet og \( 6 \) plasser til høyre i det andre: \[ \begin{aligned} 250\,000\,000 &= \textcolor{blue}{2{,}5} \cdot \textcolor{red}{10^8} \\ 0{,}000\,008 &= \textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{10^{-6}} \end{aligned} \]

2. Gang tall og potenser for seg Når vi ganger potenser med samme grunntall, legger vi sammen eksponentene: \[ a^m \cdot a^n = a^{m + n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.

Vi ganger tallene foran for seg og tierpotensene for seg, som i videoen Standardform: Gange og Dele: \[ \begin{aligned} &250\,000\,000 \cdot 0{,}000\,008 \\ &= \textcolor{blue}{2{,}5 \cdot 8} \cdot \textcolor{red}{10^8 \cdot 10^{-6}} \\ &= \textcolor{blue}{20} \cdot \textcolor{red}{10^{8 + (-6)}} \\ &= 20 \cdot 10^2 = 2000 \end{aligned} \]

Vi regner ut tallene ett for ett. Tre av dem blir brøker med \( 1 \) i telleren, og dem sammenligner vi ved å se på nevneren.

1. Regn ut brøkene En negativ eksponent betyr at vi tar \( 1 \) delt på potensen med positiv eksponent: \[ \textcolor{blue}{a}^{-\textcolor{red}{n}} = \dfrac{1}{\textcolor{blue}{a}^{\textcolor{red}{n}}} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.

\( {3^{-2}}\text{:} \) Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3}} \) og \( {\textcolor{red}{n} = \textcolor{red}{2}}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{3}^{-\textcolor{red}{2}} = \dfrac{1}{\textcolor{blue}{3}^{\textcolor{red}{2}}} = \underline{\dfrac{1}{9}} \]

\( {10^{-1}}\text{:} \) På samme måte er: \[ 10^{-1} = \dfrac{1}{10^1} = \underline{\dfrac{1}{10}} \]

\( \dfrac{1}{2^3}\text{:} \) Siden \( {2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8}\text{,} \) er: \[ \dfrac{1}{2^3} = \underline{\dfrac{1}{8}} \]

2. Regn ut resten \( \sqrt{81}\text{:} \) Kvadratroten av \( 81 \) er det positive tallet som ganget med seg selv gir \( 81\text{.} \) Siden \( {9 \cdot 9 = 81}\text{,} \) er \( {\sqrt{81} = \underline{9}}\text{.} \)

Når vi ganger potenser med samme grunntall, legger vi sammen eksponentene: \[ a^m \cdot a^n = a^{m + n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.

\( \sqrt{10^6}\text{:} \) Siden \( {10^3 \cdot 10^3 = 10^{3 + 3} = 10^6}\text{,} \) er: \[ \sqrt{10^6} = 10^3 = \underline{1000} \]

\( 10^2\text{:} \) Hoderegning gir \( {10^2 = 10 \cdot 10 = \underline{100}}\text{.} \)

\( {2 \cdot 2^4}\text{:} \) Med den samme regelen er: \[ 2 \cdot 2^4 = 2^1 \cdot 2^4 = 2^5 = \underline{32} \]

3. Sorter tallene De tre brøkene har \( 1 \) i telleren, og jo større nevner, desto mindre er brøken. Alle tre er mindre enn \( 1\text{.} \) Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{1}{\textcolor{green}{10}} < \dfrac{1}{\textcolor{green}{9}} < \dfrac{1}{\textcolor{green}{8}} < 9 \\ &{} < 32 < 100 < 1000 \end{aligned} \]

Vi deler 20 gram på vekten av én partikkel. Den vekten har mange nuller, så vi skriver den på standardform først.

1. Skriv vekten på standardform På standardform er et tall et tall mellom 1 og 10 ganget med en tierpotens, som i videoen Hva er Standardform?. Vi flytter kommaet 9 plasser til høyre: \[ 0{,}000\,000\,005 = \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{10^{-9}} \]

2. Del 20 gram på vekten Antall partikler er den samlede vekten delt på vekten av én: \[ \dfrac{20}{\textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{10^{-9}}} = \dfrac{20}{\textcolor{blue}{5}} \cdot \dfrac{1}{\textcolor{red}{10^{-9}}} \]

En negativ eksponent betyr 1 delt på potensen med positiv eksponent: \[ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.

Siden \( {\textcolor{red}{10^{-9}} = \dfrac{1}{10^9}}\text{,} \) er \( {\dfrac{1}{\textcolor{red}{10^{-9}}} = 10^9}\text{.} \) Det gir oss: \[ \dfrac{20}{\textcolor{blue}{5}} \cdot 10^9 = 4 \cdot 10^9 \]

Vi skriver svaret med en tierpotens. Da ser vi hva tallene i rutene må være, og kan sette opp to løsninger som ikke har noe tall felles.

1. Skriv svaret med en tierpotens \( 8\,000\,000\,000 \) er \( 8 \) med \( 9 \) nuller etter: \[ 8\,000\,000\,000 = 8 \cdot 10^9 \]

2. Finn hva rutene må være Når vi ganger potenser med samme grunntall, legger vi sammen eksponentene: \[ 10^m \cdot 10^n = 10^{m + n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.

Vi kaller tallene i de store rutene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b}\text{,} \) og eksponentene \( \textcolor{red}{m} \) og \( \textcolor{red}{n}\text{.} \) Vi bytter rekkefølgen på faktorene, som i videoen Standardform: Gange og Dele: \[ \textcolor{blue}{a} \cdot 10^{\textcolor{red}{m}} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot 10^{\textcolor{red}{n}} = \textcolor{blue}{a \cdot b} \cdot 10^{\textcolor{red}{m + n}} \]Skal dette bli \( {8 \cdot 10^9}\text{,} \) må \( {\textcolor{blue}{a \cdot b} = 8} \) og \( {\textcolor{red}{m + n} = 9}\text{.} \)

3. Sett opp to løsninger Vi får \( 8 \) som \( {1 \cdot 8} \) og som \( {2 \cdot 4}\text{.} \) Da er \( 1\text{,} \) \( 2\text{,} \) \( 4 \) og \( 8 \) brukt, så eksponentene tar vi fra de andre tallene: \( {9 = 0 + 9} \) og \( {9 = 3 + 6}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1} \cdot 10^{\textcolor{red}{0}} \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot 10^{\textcolor{red}{9}} &= 8 \cdot 10^{0 + 9} = 8 \cdot 10^9 \\ \textcolor{blue}{2} \cdot 10^{\textcolor{red}{3}} \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot 10^{\textcolor{red}{6}} &= 8 \cdot 10^{3 + 6} = 8 \cdot 10^9 \end{aligned} \]

Den første løsningen bruker \( 1\text{,} \) \( 0\text{,} \) \( 8 \) og \( 9\text{,} \) og den andre \( 2\text{,} \) \( 3\text{,} \) \( 4 \) og \( 6\text{.} \) Det er åtte ulike tall, og ingen er brukt to ganger. Elias har altså rett.

Tallene har ulike tierpotenser. Vi skriver alle med \( 10^9 \) og legger sammen tallene foran.

1. Skriv tallene med samme tierpotens Når vi ganger potenser med samme grunntall, legger vi sammen eksponentene: \[ 10^m \cdot 10^n = 10^{m + n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.

Siden \( {10^{12} = 10^3 \cdot 10^9} \) og \( {10^{11} = 10^2 \cdot 10^9}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 5 \cdot 10^{12} &= 5 \cdot 10^3 \cdot 10^9 = \textcolor{red}{5000} \cdot 10^9 \\ 3 \cdot 10^{11} &= 3 \cdot 10^2 \cdot 10^9 = \textcolor{green}{300} \cdot 10^9 \end{aligned} \]

2. Legg sammen De hvite blodcellene er \( {\textcolor{blue}{7} \cdot 10^9}\text{.} \) Nå har alle tre tallene \( 10^9\text{,} \) så vi legger sammen tallene foran: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{7} \cdot 10^9 + \textcolor{red}{5000} \cdot 10^9 + \textcolor{green}{300} \cdot 10^9 \\ &= (\textcolor{blue}{7} + \textcolor{red}{5000} + \textcolor{green}{300}) \cdot 10^9 \\ &= 5307 \cdot 10^9 \end{aligned} \]

På standardform flytter vi kommaet tre plasser til venstre, som i videoen Hva er Standardform?, og legger \( 3 \) til eksponenten: \[ 5307 \cdot 10^9 = 5{,}307 \cdot 10^{12} \]