Eksamensoppgaver etter tema

Gjerdet går rundt hele bedet: langs to lange sider, én kort side og halvsirkelen. Vi legger sammen lengdene.

1. Se hva x og y er Skissen har ingen mål, men formelen viser at \( \textcolor{red}{y} \) er de to lange sidene og \( \textcolor{blue}{x} \) den korte siden. Den korte siden er like lang som diameteren i halvsirkelen:

2. Legg sammen sidene og halvsirkelen Omkretsen er summen av alle sidene, som i videoen Areal og Omkrets. Rektangelet gir to sider \( \textcolor{red}{y} \) og én side \( \textcolor{blue}{x}\text{.} \) Den fjerde siden ligger inni bedet, der halvsirkelen begynner, så den har ikke gjerde: \[ \textcolor{red}{y} + \textcolor{red}{y} + \textcolor{blue}{x} = 2 \cdot \textcolor{red}{y} + \textcolor{blue}{x} \]

Halvsirkelen er halve omkretsen av en sirkel med radius \( {r = \dfrac{x}{2}}\text{.} \) Med \( {O = 2 \cdot \pi \cdot r} \) fra oppgaven blir den: \[ \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \pi \cdot \dfrac{x}{2} = \textcolor{green}{\dfrac{\pi \cdot x}{2}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ O = 2 \cdot \textcolor{red}{y} + \textcolor{blue}{x} + \textcolor{green}{\dfrac{\pi \cdot x}{2}} \]

Formelen for omkretsen står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Gjerdet er 12 meter, så omkretsen er 12. Vi setter inn \( {x = 1} \) i formelen og løser for \( y\text{.} \)

1. Sett inn i formelen Med \( {O = 12} \) og \( {x = \textcolor{blue}{1}} \) gir formelen fra a): \[ 2 \cdot y + \textcolor{blue}{1} + \dfrac{\pi \cdot \textcolor{blue}{1}}{2} = 12 \]

2. Løs for y Vi trekker fra \( 1 \) og \( \dfrac{\pi}{2} \) på begge sider, og deler så med 2: \[ \begin{aligned} 2y &= 11 - \dfrac{\pi}{2} \approx 9{,}4292 \\ y &\approx \dfrac{9{,}4292}{2} \approx 4{,}7146 \end{aligned} \]Avrundet til én desimal er \( {y \approx 4{,}7} \) meter.

Bedet er et rektangel og en halvsirkel. Vi finner arealet av hver del og legger sammen.

1. Finn arealet av rektangelet Arealet av et rektangel er lengde ganger bredde, som i videoen Areal og Omkrets: \[ \textcolor{red}{A_1} = 4{,}7\,\text{m} \cdot 1\,\text{m} = \textcolor{red}{4{,}7}\,\text{m}^2 \]

2. Finn arealet av halvsirkelen Halvsirkelen har diameter 1 m, altså radius \( {r = 0{,}5\,\text{m}}\text{.} \) Med \( {A = \pi \cdot r^2} \) fra oppgaven er en halv sirkel: \[ \textcolor{green}{A_2} = \dfrac{\pi \cdot (0{,}5\,\text{m})^2}{2} \approx \textcolor{green}{0{,}3927}\,\text{m}^2 \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} A &= \textcolor{red}{A_1} + \textcolor{green}{A_2} \\ A &\approx \textcolor{red}{4{,}7} + \textcolor{green}{0{,}3927} \approx 5{,}09\,\text{m}^2 \end{aligned} \]

Vi bruker formelen for omkretsen fra a) og regner ut arealet som i c).

Gjerdet er alltid 12 meter, så når vi velger \( x\text{,} \) er \( y \) bestemt. Vi lager en tabell med ulike verdier av \( x\text{,} \) og regner ut \( y \) og arealet for hver av dem.

1. Skriv y og arealet med x Med \( {O = 12} \) i formelen fra a) får vi: \[ \begin{aligned} 2y &= 12 - x - \dfrac{\pi x}{2} \\ \textcolor{red}{y} &= 6 - \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi x}{4} \end{aligned} \]Lengden \( \textcolor{red}{y} \) må være positiv, og det er den når \( x \) er mindre enn omtrent \( 4{,}67\text{.} \)

Arealet er rektangelet, lengde ganger bredde som i videoen Areal og Omkrets, pluss halvsirkelen med radius \( \dfrac{x}{2}\text{:} \) \[ A = x \cdot \textcolor{red}{y} + \dfrac{\pi}{2} \cdot \left(\dfrac{x}{2}\right)^2 = x \cdot \textcolor{red}{y} + \dfrac{\pi x^2}{8} \]

2. Regn ut radene i tabellen For \( {x = 1} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{y} &= 6 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{\pi}{4} \approx \textcolor{red}{4{,}7146} \\ A &\approx 1 \cdot \textcolor{red}{4{,}7146} + \dfrac{\pi}{8} \approx 5{,}11 \end{aligned} \]Slik regner vi ut \( y \) og \( A \) for \( x \) fra 0,5 til 4,5 meter, med et halvt meters mellomrom. Tabellen står i svaret. Arealet er størst når \( x \) er mellom 3 og 4 meter. Andre valg av \( x \) gir også en riktig oversikt.

Merk – Avrunding: For \( {x = 1} \) er arealet her \( 5{,}11\,\text{m}^2\text{,} \) mens c) ga \( 5{,}09\,\text{m}^2\text{.} \) I c) var \( y \) avrundet til 4,7 m.

Vi bruker uttrykkene for \( y \) og arealet fra d). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi setter uttrykket for \( y \) inn i arealet, så arealet bare avhenger av \( x\text{.} \) Så tegner vi grafen og finner toppunktet.

1. Sett opp funksjonsuttrykket I d) fant vi \( {\textcolor{red}{y} = 6 - \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi x}{4}} \) og \( {A = x \cdot \textcolor{red}{y} + \dfrac{\pi x^2}{8}}\text{.} \) Setter vi inn \( \textcolor{red}{y}\text{,} \) får vi arealet som en funksjon av \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} A(x) &= x\textcolor{red}{\left(6 - \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi x}{4}\right)} + \dfrac{\pi x^2}{8} \\ A(x) &= 6x - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{\pi x^2}{4} + \dfrac{\pi x^2}{8} \\ A(x) &= 6x - \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\pi}{8}\right) x^2 \end{aligned} \]Her er \( x \) mellom 0 og omtrent \( 4{,}67\text{,} \) fordi \( \textcolor{red}{y} \) må være positiv.

2. Tegn grafen Vi tegner punktene fra tabellen i d) og trekker en jevn kurve gjennom dem:

Grafen stiger til et toppunkt mellom \( {x = 3} \) og \( {x = 4}\text{,} \) og synker så.

3. Finn toppunktet med en finere tabell Vi regner ut \( A(x) \) rundt toppunktet, med tre desimaler: \[ \begin{array}{r|r} x & A(x) \\ \hline 3{,}2 & 10{,}059 \\ 3{,}3 & 10{,}079 \\ \textcolor{blue}{3{,}4} & \textcolor{blue}{10{,}080} \\ 3{,}5 & 10{,}064 \end{array} \]Det største arealet er omtrent \( \textcolor{blue}{10{,}08}\,\text{m}^2\text{,} \) når \( x \) er omtrent 3,4 meter.

1. Finn toppunktet med Maks Vi skriver inn arealfunksjonen med definisjonsmengden og finner toppunktet med Maks, som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: A(x) = x (12 - x - pi x / 2) / 2 + pi x^2 / 8, 0 < x < 4.67 T = Maks(A, 0, 4.67)

Toppunktet er \( {T \approx (3{,}3606,\ 10{,}0818)}\text{.} \) Det størst mulige arealet er omtrent \( 10{,}08\,\text{m}^2\text{,} \) når \( {x \approx 3{,}36} \) m.

Vi kjenner volumet og radien. Vi finner høyden fra volumformelen, og setter radien og høyden inn i formelen for overflaten.

Merk – Boksen har ikke lokk: Tegningen ser ut som en lukket sylinder, men formelen for overflaten har bare én \( \pi r^2\text{,} \) altså bare bunnen. En lukket sylinder har \( {2\pi r^2 + 2\pi r h}\text{,} \) som i videoen Volum og Overflate. Her er det formelen i oppgaven som gjelder.

1. Finn et uttrykk for høyden Volumet er grunnflaten ganget med høyden, som i videoen Volum og Overflate. For boksen er grunnflaten en sirkel med areal \( {\pi \cdot r^2}\text{:} \) \[ V = \pi \cdot r^2 \cdot h \]

Med \( {V = 450} \) deler vi med \( {\pi \cdot r^2} \) på begge sider: \[ h = \dfrac{450}{\pi \cdot r^2} \]

2. Regn ut høyde og overflate For \( {r = \textcolor{blue}{4}} \) gir kalkulatoren: \[ \begin{aligned} h &= \dfrac{450}{\pi \cdot \textcolor{blue}{4}^2} \approx \textcolor{red}{8{,}952} \\ O &= \pi \cdot \textcolor{blue}{4}^2 + 2 \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{8{,}952} \approx 275{,}3 \end{aligned} \]

På samme måte for \( {r = 6} \) og \( {r = 8}\text{:} \) \[ \begin{aligned} r = 6\text{: } \quad h &\approx 3{,}979 & O &\approx 263{,}1 \\ r = 8\text{: } \quad h &\approx 2{,}238 & O &\approx 313{,}6 \end{aligned} \]

Merk – Ikke rund av for tidlig: Regn ut \( O \) med høyden slik kalkulatoren gir den, og rund av til slutt. Med \( {h = 9{,}0} \) for \( {r = 4} \) blir \( {O \approx 276{,}5} \) i stedet for \( 275{,}3\text{.} \) Tallet \( 462{,}6 \) i oppgavens tabell er regnet ut på samme måte.

Vi bruker uttrykket for høyden fra a).

Vi setter uttrykket for høyden inn i formelen for overflaten. Da blir overflaten en funksjon av radien alene, og den kan vi tegne.

1. Sett høyden inn i formelen I a) fant vi \( {h = \dfrac{450}{\pi \cdot r^2}}\text{.} \) Vi setter det inn i formelen for overflaten: \[ O = \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \dfrac{450}{\pi \cdot r^2} \]

I det siste leddet forkorter vi \( \textcolor{darkorange}{\pi} \) og én \( \textcolor{darkorange}{r}\text{,} \) og \( {2 \cdot 450 = 900}\text{:} \) \[ 2 \cdot \textcolor{darkorange}{\pi \cdot r} \cdot \dfrac{450}{\textcolor{darkorange}{\pi \cdot r} \cdot r} = \dfrac{900}{r} \]

Overflaten i \( \text{cm}^2 \) som funksjon av radien \( r \) i cm er da: \[ O(r) = \pi r^2 + \dfrac{900}{r}, \quad r > 0 \]

2. Lag en verditabell Vi regner ut \( O(r) \) for noen radier med kalkulatoren: \[ \begin{array}{r|r} r & O(r) \\ \hline 2 & 462{,}6 \\ 3 & 328{,}3 \\ 4 & 275{,}3 \\ 5 & 258{,}5 \\ 6 & 263{,}1 \\ 8 & 313{,}6 \\ 10 & 404{,}2 \end{array} \]

3. Tegn grafen Vi setter av punktene og trekker en jevn kurve gjennom dem:

Overflaten er stor for små radier, blir minst like over \( {r = 5} \) og øker igjen for større radier.

1. Tegn grafen Vi skriver inn funksjonen fra kalkulatorruten med \( {r > 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: O(r) = pi*r^2 + 900/r, r > 0

Grafen viser at overflaten er minst når radien er litt over \( 5\,\text{cm}\text{.} \)

Vi bruker funksjonen \( O(r) \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi leter etter radien som gir minst overflate. Med kalkulator bruker vi en verditabell, og med GeoGebra finner vi bunnpunktet på grafen.

1. Finn hvor overflaten er minst I b) fant vi: \[ O(r) = \pi r^2 + \dfrac{900}{r} \]Verditabellen i b) har \( {O(4) \approx 275{,}3}\text{,} \) \( {O(5) \approx 258{,}5} \) og \( {O(6) \approx 263{,}1}\text{.} \) Den minste overflaten ligger altså mellom \( {r = 4} \) og \( {r = 6}\text{.} \)

2. Lag en finere tabell rundt 5 Vi regner ut \( O(r) \) for hver tidels centimeter rundt \( 5\text{,} \) med to desimaler: \[ \begin{array}{r|r} r & O(r) \\ \hline 5{,}0 & 258{,}54 \\ 5{,}1 & 258{,}18 \\ \textcolor{red}{5{,}2} & \textcolor{red}{258{,}03} \\ 5{,}3 & 258{,}06 \\ 5{,}4 & 258{,}28 \end{array} \]Overflaten er minst ved omtrent \( {\textcolor{red}{r = 5{,}2\,\text{cm}}}\text{,} \) og da er den omtrent \( \textcolor{red}{258{,}0\,\text{cm}^2}\text{.} \)

1. Finn bunnpunktet på grafen Vi finner bunnpunktet mellom \( {r = 1} \) og \( {r = 10} \) med Min, slik toppunktet finnes med Maks i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: O(r) = pi*r^2 + 900/r, r > 0 B = Min(O, 1, 10)

Bunnpunktet er \( {B \approx (5{,}2322,\ 258{,}0158)}\text{.} \) Radien bør være omtrent \( 5{,}2\,\text{cm}\text{,} \) og da er overflaten omtrent \( 258{,}0\,\text{cm}^2\text{.} \)