Forkurseksamen etter tema

Vi får roten alene og kvadrerer begge sider. Kvadrering kan gi løsninger som ikke stemmer, så vi setter prøve til slutt.

1. Få roten alene Vi trekker fra \( 1 \) på begge sider og kvadrerer: \[ \begin{aligned} \sqrt{2x + 1} &= x - 1 \\ 2x + 1 &= (x - 1)^2 \end{aligned} \]

2. Gang ut høyre side Andre kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 - 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Se videoen Kvadratsetningene hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{x} \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{1})^2 &= \textcolor{blue}{x}^2 - 2 \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{1} + \textcolor{red}{1}^2 \\ &= x^2 - 2x + 1 \end{aligned} \]

3. Løs likningen Vi samler alt på én side og setter \( \textcolor{darkorange}{x} \) utenfor, som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ \begin{aligned} 2x + 1 &= x^2 - 2x + 1 \\ 0 &= x^2 - 4x \\ 0 &= \textcolor{darkorange}{x}(x - 4) \end{aligned} \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{:} \) \[ x = 0 \quad \text{eller} \quad x = 4 \]

4. Sett prøve Vi setter begge inn i den opprinnelige likningen: \[ \begin{aligned} x = 0&: \quad \sqrt{1} + 1 = 2 \neq 0 \\ x = 4&: \quad \sqrt{9} + 1 = 4 \end{aligned} \]

Bare \( {x = 4} \) stemmer.

Vi finner først alle vinklene \( 3x \) med riktig sinusverdi. Så deler vi på \( 3 \) og tester hvilke \( x \) som ligger i intervallet.

1. Finn vinklene Fra de eksakte verdiene vet vi at: \[ \sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

To vinkler på enhetssirkelen gir samme sinusverdi, og vi kan legge til hele omganger. Når \( {\sin \textcolor{green}{u} = \sin v}\text{,} \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= v + k \cdot 2\pi \\ \textcolor{green}{u} &= \pi - v + k \cdot 2\pi \end{aligned} \]Se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025 hvis du er usikker.

Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{3x}} \) og \( {v = \dfrac{\pi}{4}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{3x} &= \dfrac{\pi}{4} + k \cdot 2\pi \\ \textcolor{green}{3x} &= \pi - \dfrac{\pi}{4} + k \cdot 2\pi = \dfrac{3\pi}{4} + k \cdot 2\pi \end{aligned} \]

2. Del på tre Vi deler alle leddene på \( \textcolor{green}{3}\text{,} \) og gir de to gruppene hver sin farge: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{\dfrac{\pi}{12} + k \cdot \dfrac{2\pi}{3}} \\ x &= \textcolor{red}{\dfrac{\pi}{4} + k \cdot \dfrac{2\pi}{3}} \end{aligned} \]

3. Test verdier av k Vi setter inn \( {k = 0, 1, 2}\text{.} \) Med \( {\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{8\pi}{12}} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{\dfrac{\pi}{12}}, \ \textcolor{blue}{\dfrac{9\pi}{12}}, \ \textcolor{blue}{\dfrac{17\pi}{12}} \\ \textcolor{red}{x} &= \textcolor{red}{\dfrac{3\pi}{12}}, \ \textcolor{red}{\dfrac{11\pi}{12}}, \ \textcolor{red}{\dfrac{19\pi}{12}} \end{aligned} \]

Med \( {k = 3} \) blir begge større enn \( {2\pi = \dfrac{24\pi}{12}}\text{:} \) \[ \dfrac{25\pi}{12} > 2\pi, \qquad \dfrac{27\pi}{12} > 2\pi \]

Med \( {k = -1} \) blir begge negative. Vi har altså seks løsninger.

Vi forkorter de to som kan forkortes: \[ \dfrac{9\pi}{12} = \dfrac{3\pi}{4}, \qquad \dfrac{3\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} \]

Vi flytter alt over på én side og skriver det som én brøk. Så finner vi fortegnet til brøken med et fortegnsskjema.

1. Skriv som én brøk Vi flytter alt over på venstre side, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: \[ \dfrac{x + 3}{x - 2} - \dfrac{x + 1}{x - 3} \leq 0 \]

Nevneren kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 2} \) og \( {x \neq 3}\text{.} \)

Fellesnevneren er \( {(x - 2)(x - 3)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\dfrac{(x + 3)(x - 3) - (x + 1)(x - 2)}{(x - 2)(x - 3)} \\ &\leq 0 \end{aligned} \]

Vi ganger ut telleren for seg: \[ \begin{aligned} &(x + 3)(x - 3) - (x + 1)(x - 2) \\ &= x^2 - 9 - (x^2 - x - 2) \\ &= x - 7 \end{aligned} \]

Ulikheten er altså: \[ \dfrac{\textcolor{magenta}{x - 7}}{(\textcolor{darkorange}{x - 2})(\textcolor{green}{x - 3})} \leq 0 \]

2. Sett opp fortegnsskjemaet Fortegnet til brøken finner vi ved å gange og dele fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering.

:::fortegnsskjema {"points": [2, 3, 7], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x - 7}", "expr": "x - 7"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 2}", "expr": "x - 2", "denominator": true}, {"label": "\\textcolor{green}{x - 3}", "expr": "x - 3", "denominator": true}, {"label": "\\dfrac{x - 7}{(x - 2)(x - 3)}", "expr": "(x - 7)/((x - 2)(x - 3))"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × viser hvor nevneren er \( 0\text{.} \)

3. Les av svaret Brøken er negativ til venstre for \( 2 \) og mellom \( 3 \) og \( 7\text{.} \)

Den er \( 0 \) i \( {x = 7}\text{,} \) så det punktet er med. Den er ikke definert i \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{,} \) så de er ikke med: \[ x < 2 \quad \text{eller} \quad 3 < x \leq 7 \]

Vi finner kvotienten \( k\text{.} \) Rekken konvergerer når \( {|k| < 1}\text{,} \) og da bruker vi sumformelen.

1. Finn kvotienten Kvotienten er et ledd delt på leddet foran, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k} = \dfrac{25x}{5} &= \textcolor{red}{5x} \\ \dfrac{125x^2}{25x} &= 5x \end{aligned} \]

Det første leddet er: \[ \textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{5} \]

2. Finn når rekken konvergerer En geometrisk rekke konvergerer når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ |\textcolor{red}{k}| < 1 \]

Plugger vi inn \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{5x}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} |\textcolor{red}{5x}| &< 1 \\ -\dfrac{1}{5} < x &< \dfrac{1}{5} \end{aligned} \]

3. Finn summen Summen av en konvergent geometrisk rekke er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Videoen Geometrisk rekke test viser hvorfor summen blir et fast tall når kvotienten er mindre enn \( 1\text{.} \)

Plugger vi dette inn, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{5}}{1 - \textcolor{red}{5x}} \]