Forkurseksamen etter tema

Funksjonen er en brøk, så vi deriverer den med kvotientregelen.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen, som i videoen Kvotientregelen, forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{4x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{4} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2 + 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{4}(\textcolor{blue}{x^2 + 1}) - \textcolor{red}{4x} \cdot \textcolor{blue}{2x}}{(\textcolor{blue}{x^2 + 1})^2} \\ &= \dfrac{4x^2 + 4 - 8x^2}{(x^2 + 1)^2} \\ &= \dfrac{-4x^2 + 4}{(x^2 + 1)^2} \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten til a).

Topp- og bunnpunkter finner vi der den deriverte er null. Med en fortegnslinje ser vi hva slags punkter det er.

1. Sett den deriverte lik null I a) viste vi at: \[ f'(x) = \dfrac{-4x^2 + 4}{(x^2 + 1)^2} \]

Vi setter den deriverte lik \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/​S1 Eksamen Vår 2026. Nevneren er aldri \( 0\text{,} \) så telleren må være \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} -4x^2 + 4 &= 0 \\ x^2 &= 1 \\ x &= -1 \quad \text{eller} \quad x = 1 \end{aligned} \]

2. Lag en fortegnslinje Vi faktoriserer telleren som \( {\textcolor{darkorange}{-4(x + 1)}} \) ganger \( {\textcolor{magenta}{x - 1}}\text{.} \) Nevneren er alltid positiv, så fortegnet til \( f'(x) \) finner vi ved å gange fortegnene til faktorene: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 1], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{-4(x + 1)}", "expr": "-4*(x + 1)"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "(-4*x^2 + 4)/(x^2 + 1)^2"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) I \( {x = -1} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så det er et bunnpunkt. I \( {x = 1} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så det er et toppunkt.

3. Finn y-koordinatene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(-1) &= \dfrac{4 \cdot (-1)}{(-1)^2 + 1} = -2 \\ f(1) &= \dfrac{4 \cdot 1}{1^2 + 1} = 2 \end{aligned} \]

Vi bruker topp- og bunnpunktet fra b).

En vertikal asymptote krever at nevneren blir null, og en horisontal får vi ved å la \( x \) vokse. Skissen tegner vi fra asymptoten og noen punkter.

1. Se etter vertikale asymptoter En vertikal asymptote kan bare være der nevneren er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Men nevneren blir aldri \( 0\text{:} \) \[ x^2 + 1 \ge 1 \]

Funksjonen har derfor ingen vertikale asymptoter.

2. Finn den horisontale asymptoten Vi begynner med å la \( x \) gå mot uendelig i telleren og nevneren hver for seg. Begge vokser uten grense, så vi deler på \( \textcolor{blue}{x^2}\text{,} \) med samme metode som i videoen: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to \pm\infty} f(x) &= \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{\tfrac{4x}{\textcolor{blue}{x^2}}}{\tfrac{x^2 + 1}{\textcolor{blue}{x^2}}} \\ &= \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{\tfrac{4}{x}}{1 + \tfrac{1}{x^2}} = \dfrac{0}{1} = 0 \end{aligned} \]

Dermed er \( {y = 0} \) en horisontal asymptote.

3. Skisser grafen I b) fant vi toppunktet \( (1, 2) \) og bunnpunktet \( {(-1, -2)}\text{.} \) Noen flere verdier: \[ \begin{aligned} f(0) &= 0 \\ f(5) &= \dfrac{10}{13} \\ f(-5) &= -\dfrac{10}{13} \end{aligned} \]

Det gir denne skissen, der grafen nærmer seg \( {x\text{-aksen}} \) på begge sider:

Vi bruker \( f'(x) \) fra a).

Vi bruker tangentformelen. Den trenger funksjonsverdien og stigningstallet i punktet.

1. Skriv opp tangentformelen Tangentformelen, som i videoen Tangentlinje, forteller oss at: \[ y = \textcolor{blue}{f'(a)}(x - \textcolor{green}{a}) + \textcolor{red}{f(a)} \]

Her er \( {\textcolor{green}{a} = 0{,}40 = \textcolor{green}{\dfrac{2}{5}}}\text{.} \) Funksjonsverdien er: \[ \textcolor{red}{f\left(\dfrac{2}{5}\right)} = \dfrac{\tfrac{8}{5}}{\tfrac{4}{25} + 1} = \dfrac{8}{5} \cdot \dfrac{25}{29} = \textcolor{red}{\dfrac{40}{29}} \]

I a) viste vi at \( {f'(x) = \dfrac{-4x^2 + 4}{(x^2 + 1)^2}}\text{.} \) Det gir stigningstallet: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{f'\left(\dfrac{2}{5}\right)} &= \dfrac{-\tfrac{16}{25} + 4}{\left(\tfrac{29}{25}\right)^2} \\ &= \dfrac{84}{25} \cdot \dfrac{625}{841} = \textcolor{blue}{\dfrac{2100}{841}} \end{aligned} \]

2. Sett inn i formelen Plugger vi dette inn i tangentformelen, får vi: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{blue}{\dfrac{2100}{841}}\left(x - \textcolor{green}{\dfrac{2}{5}}\right) + \textcolor{red}{\dfrac{40}{29}} \\ &= \dfrac{2100}{841}x - \dfrac{840}{841} + \dfrac{1160}{841} \\ &= \dfrac{2100}{841}x + \dfrac{320}{841} \end{aligned} \]

Vi finner hvor grafene skjærer hverandre. Arealet er integralet av den øverste minus den nederste mellom skjæringspunktene.

1. Finn skjæringspunktene Vi setter funksjonene like: \[ \dfrac{4x}{x^2 + 1} = \dfrac{4}{5}x \]

\( {x = 0} \) er én løsning. For \( {x \neq 0} \) deler vi på \( 4x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{x^2 + 1} &= \dfrac{1}{5} \\ x^2 + 1 &= 5 \\ x &= 2 \end{aligned} \]

I første kvadrant er \( {x > 0}\text{,} \) så vi bruker ikke \( {x = -2}\text{.} \) Mellom skjæringspunktene ligger \( f \) øverst: \[ f(1) = 2 > \dfrac{4}{5} = g(1) \]

2. Sett opp integralet Arealet er integralet av den øverste minus den nederste, som i videoen Hva er integrasjon: \[ A = \int_0^2 \left(\textcolor{red}{\dfrac{4x}{x^2 + 1}} - \textcolor{blue}{\dfrac{4}{5}x}\right) dx \]

3. Integrer ledd for ledd \( {\textcolor{red}{\dfrac{4x}{x^2 + 1}}}\text{:} \) Vi bruker substitusjon med \( {u = x^2 + 1} \) og \( {du = 2x\,dx}\text{:} \) \[ \int \dfrac{2}{u}\,du = 2\ln u = \underline{\textcolor{red}{2\ln(x^2 + 1)}} \]

\( \textcolor{blue}{\dfrac{4}{5}x} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}x^2}}\text{.} \)

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} A &= \left[\textcolor{red}{2\ln(x^2 + 1)} - \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}x^2}\right]_0^2 \\ &= 2\ln 5 - \dfrac{8}{5} - (2\ln 1 - 0) \\ &= 2\ln 5 - \dfrac{8}{5} \end{aligned} \]