Eksamensoppgaver etter tema

Vi går gjennom programmet linje for linje, som datamaskinen gjør. Det trekker to tilfeldige tall mange ganger og teller hvem som har størst, men bare når minst ett av dem er over grensen.

1. Les løkka Løkka i linje 10 går \( {\texttt{SIMULERINGER} = 100} \) ganger, som løkka i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Hver gang trekker linje 11 en tilfeldig verdi \( \textcolor{blue}{\texttt{A}} \) fra en normalfordeling med forventning 80 og standardavvik 20, og linje 12 en \( \textcolor{green}{\texttt{B}} \) med forventning 70 og standardavvik 30.

Linje 13 sjekker om minst én av dem er større enn \( {\texttt{GRENSE} = 110}\text{.} \) Bare da teller runden: er \( {\textcolor{blue}{\texttt{A}} > \textcolor{green}{\texttt{B}}}\text{,} \) får A et poeng, ellers får B et poeng.

2. Les utskriften Linje 20 til 25 står utenfor løkka. De sammenligner poengene og skriver ut «A vinner», «B vinner» eller «Uavgjort».

I hver runde som teller, er det litt mer sannsynlig at B vinner. Jo flere runder, desto nærmere kommer andelen B-seirer denne sannsynligheten, og desto sikrere får B flest poeng.

1. Forklar effekten av flere runder Siden programmet oftest skriver ut «B vinner», vinner \( \textcolor{green}{B} \) en runde som teller, med en sannsynlighet \( \textcolor{green}{q} \) som er større enn \( \dfrac{1}{2}\text{.} \) Med bare 100 runder kan tilfeldighetene likevel gi \( \textcolor{blue}{A} \) flest poeng.

Når antallet runder øker, kommer andelen runder \( \textcolor{green}{B} \) vinner, nærmere og nærmere \( \textcolor{green}{q}\text{.} \) Det er de store talls lov, og det er derfor vi simulerer mange ganger, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Da blir det mindre og mindre sannsynlig at A får flest poeng ved en tilfeldighet.

Runden teller bare når minst én verdi er over grensen. Figuren viser hvilken fordeling som oftest gir de største verdiene.

1. Les av figuren Til høyre for omtrent \( {x = 115} \) ligger den grønne kurven, til \( \textcolor{green}{B}\text{,} \) over den mørke, til \( \textcolor{blue}{A}\text{.} \) B har større standardavvik, så svært store verdier kommer oftere fra \( \textcolor{green}{B} \) enn fra \( \textcolor{blue}{A}\text{.} \)

2. Forklar virkningen av høyere grense Jo høyere grensen er, desto oftere er det \( \textcolor{green}{B} \) som er over den når en runde teller. Da er det også oftere \( \textcolor{green}{B} \) som er størst, så B vinner en større andel av rundene.

Grensen må likevel ikke bli for høy. Da teller nesten ingen runder, og med bare 100 runder kan resultatet bli tilfeldig eller uavgjort.

Vi starter med \( {a_1 = 5} \) og bruker den rekursive sammenhengen fem ganger i en løkke, slik at vi får ledd nummer 2 til 6.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å regne ut de første leddene for hånd, og på å skrive og lese slike løkker på papir.

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 1 setter \( \texttt{a} \) lik det første leddet, \( {a_1 = 5}\text{,} \) og linje 2 skriver det ut.

Løkka i linje 3 går gjennom \( {n = 2, 3, 4, 5, 6}\text{,} \) fordi \( \texttt{range(2, 7)} \) stopper før 7, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 4 bruker den rekursive sammenhengen: \[ \textcolor{blue}{a_n} = (\textcolor{red}{a_{n-1}} - 1)^2 \]\( \textcolor{red}{\texttt{a}} \) på høyre side er det forrige leddet, og \( \textcolor{blue}{\texttt{a}} \) på venstre side blir det nye. Linje 5 skriver ut hvert nytt ledd.

2. Kjør programmet Programmet skriver ut de seks leddene: \( 5\text{,} \) \( 16\text{,} \) \( 225\text{,} \) \( 50\,176\text{,} \) \( 2\,517\,530\,625 \) og \( 6\,337\,960\,442\,777\,829\,376\text{.} \) De første kan vi sjekke for hånd: \( {(5 - 1)^2 = 16}\text{,} \) \( {(16 - 1)^2 = 225} \) og \( {(225 - 1)^2 = 50\,176}\text{.} \)

En uendelig rekke kan bare konvergere hvis leddene går mot \( 0\text{.} \) Vi undersøker derfor om leddene kan gå mot \( 0 \) når \( a_1 \) er et heltall.

1. Sjekk om leddene går mot null For at summen \( {a_1 + a_2 + a_3 + \dots} \) skal konvergere, må leddene gå mot \( 0\text{:} \) \[ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \]Går de ikke mot \( 0\text{,} \) divergerer rekken, som i videoen Konvergens & divergens intro.

Når \( a_1 \) er et heltall, blir alle leddene heltall, fordi vi bare trekker fra \( 1 \) og kvadrerer. Heltall som går mot \( 0\text{,} \) må fra et ledd av være \( 0 \) hele tiden: \[ a_n = 0 \quad \text{for alle } n \ge N \]

2. Se hva som kommer etter null Hvis et ledd er \( \textcolor{blue}{0}\text{,} \) blir de to neste: \[ (\textcolor{blue}{0} - 1)^2 = \textcolor{red}{1} \qquad (\textcolor{red}{1} - 1)^2 = \textcolor{blue}{0} \]Leddene veksler da mellom \( \textcolor{blue}{0} \) og \( \textcolor{red}{1}\text{,} \) og blir aldri \( 0 \) hele tiden. Med \( {a_1 = 1} \) blir rekken for eksempel \( {\textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{0} + \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{0} + \dots}\text{,} \) som vokser uten grense.

Leddene kan altså aldri gå mot \( 0\text{,} \) uansett hvilket heltall \( a_1 \) er. Da divergerer rekken for alle heltall \( a_1\text{.} \)

Hvert kast Ane gjør, teller én i antallet. Det forventede antallet kast er derfor summen av sannsynlighetene for at hvert kast blir gjort, og fra kast 3 er det en uendelig geometrisk rekke.

1. Forklar sannsynlighetene i tabellen Kast 1 og 2 må Ane alltid gjøre. Fra kast 3 er et kast nødvendig bare hvis ingen to kast på rad har vært like før det. Hvert kast er ulikt det forrige med sannsynlighet \( \dfrac{5}{6}\text{,} \) og kastene er uavhengige, så kast 3 er nødvendig med sannsynlighet \( \dfrac{5}{6}\text{,} \) kast 4 med \( {\left(\dfrac{5}{6}\right)^2}\text{,} \) og så videre.

2. Forklar summen La \( \textcolor{blue}{X_m} \) være 1 hvis kast nummer \( m \) blir gjort, og 0 ellers, og la \( \textcolor{red}{p_m} \) være sannsynligheten for at kast nummer \( m \) blir gjort. Antallet kast er da \( {N = \textcolor{blue}{X_1} + \textcolor{blue}{X_2} + \textcolor{blue}{X_3} + \dots}\text{,} \) og forventningsverdien til \( \textcolor{blue}{X_m} \) er: \[ \begin{aligned} E(\textcolor{blue}{X_m}) &= 1 \cdot \textcolor{red}{p_m} + 0 \cdot (1 - \textcolor{red}{p_m}) \\ &= \textcolor{red}{p_m} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på forventningsverdi, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans). Forventningen til en sum er summen av forventningene, så: \[ \begin{aligned} E(N) &= E(\textcolor{blue}{X_1}) + E(\textcolor{blue}{X_2}) + \dots \\ &= \textcolor{red}{p_1} + \textcolor{red}{p_2} + \textcolor{red}{p_3} + \dots \\ &= 1 + 1 + \dfrac{5}{6} \\ &\quad + \left(\dfrac{5}{6}\right)^2 + \left(\dfrac{5}{6}\right)^3 + \dots \end{aligned} \]

3. Regn ut summen Fra det tredje leddet er rekken uendelig geometrisk med \( {\textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{p_3} = \textcolor{red}{\dfrac{5}{6}}} \) og \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{\dfrac{5}{6}}}\text{.} \) Summen av en uendelig geometrisk rekke med \( {-1 < k < 1} \) er: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}}{1 - \textcolor{green}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} E(N) &= 1 + 1 + \dfrac{\textcolor{red}{\tfrac{5}{6}}}{1 - \textcolor{green}{\tfrac{5}{6}}} \\ &= 2 + \dfrac{\tfrac{5}{6}}{\tfrac{1}{6}} = 2 + 5 = 7 \end{aligned} \]

Vi lar datamaskinen kaste terningen til to kast på rad er like, mange ganger, og regner ut gjennomsnittet av summene.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre en simulering. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir.

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 3 sier hvor mange ganger vi gjentar forsøket, og linje 4 starter summen av alle forsøkene på 0. Løkka i linje 5 gjentar forsøket, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

I hvert forsøk kaster linje 6 og 7 terningen to ganger, og linje 8 legger sammen øynene. While-løkka i linje 9 kaster videre så lenge \( \textcolor{red}{\texttt{kast}} \) er ulik \( \textcolor{blue}{\texttt{forrige}}\text{,} \) og legger hvert nytt kast til summen. Når to kast på rad er like, legger linje 13 summen til \( \texttt{total}\text{.} \)

2. Kjør programmet Linje 14 skriver ut gjennomsnittet av de \( 100\,000 \) summene. Én kjøring ga \( 24{,}56\text{,} \) og en ny kjøring gir et litt annet tall, fordi kastene er tilfeldige. Forventningsverdien til summen er altså omtrent \( 24{,}5 \) øyne.

Kontroll: Hvert kast gir i gjennomsnitt \( 3{,}5 \) øyne, og om et kast blir gjort, avhenger bare av kastene før det. Med 7 kast i gjennomsnitt fra a) ventes summen \( {7 \cdot 3{,}5 = 24{,}5}\text{,} \) som stemmer med simuleringen.

Vi går gjennom løkka én runde om gangen og skriver opp hva \( \texttt{a} \) er i hver runde.

1. Les koden linje for linje Linje 1 setter \( {\texttt{a} = 2}\text{,} \) og linje 2 setter \( {\texttt{n} = 5}\text{.} \) Løkka i linje 3 går gjennom \( {\texttt{i} = 1, 2, 3, 4, 5}\text{,} \) fordi \( \texttt{range(1, 6)} \) stopper før 6, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

I hver runde skriver linje 4 ut \( \texttt{a}\text{,} \) og linje 5 legger til \( {\textcolor{red}{\texttt{i} + 2}}\text{.} \)

2. Kjør løkka for hånd De fire første rundene gir: \[ \begin{aligned} \texttt{i} = 1&\text{:} \quad 2 + \textcolor{red}{3} = 5 \\ \texttt{i} = 2&\text{:} \quad 5 + \textcolor{red}{4} = 9 \\ \texttt{i} = 3&\text{:} \quad 9 + \textcolor{red}{5} = 14 \\ \texttt{i} = 4&\text{:} \quad 14 + \textcolor{red}{6} = 20 \end{aligned} \]Programmet skriver ut \( \texttt{a} \) før det legger til, så det skriver ut \( 2\text{,} \) \( 5\text{,} \) \( 9\text{,} \) \( 14 \) og \( 20\text{.} \)

Tallfølgen starter altså på \( 2\text{,} \) og hvert nytt tall er det forrige pluss \( \textcolor{red}{3}\text{,} \) \( \textcolor{red}{4}\text{,} \) \( \textcolor{red}{5}\text{,} \) \( \textcolor{red}{6}\text{,} \) … Det vi legger til, øker med \( 1 \) hver gang.

Vi bruker leddene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi ser at programmet legger hvert ledd til \( \texttt{S} \) før det lager det neste. \( \texttt{S} \) blir derfor summen av leddene.

1. Les koden Linje 3 setter \( {\texttt{S} = 0}\text{.} \) I hver runde legger linje 5 det leddet vi har nå, til \( \texttt{S}\text{,} \) og linje 6 lager det neste leddet, som i a). Slik oppdaterer vi en sum i en løkke, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

Linje 7 står utenfor løkka, så den skriver ut \( \textcolor{blue}{\texttt{S}} \) én gang, etter den siste runden. Løkka går fem runder, så eleven vil finne summen av de fem første leddene.

2. Regn ut summen Leddene fra a) er \( 2\text{,} \) \( 5\text{,} \) \( 9\text{,} \) \( 14 \) og \( 20\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{\texttt{S}} = 2 + 5 + 9 + 14 + 20 = \textcolor{blue}{50} \]

Lengden er normalfordelt for hver hopper. Vi gjør 90 meter om til en \( z \)-verdi for hver av dem og slår opp i tabellen over standard normalfordeling.

1. Standardiser For en normalfordelt \( X \) med forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik \( \textcolor{red}{\sigma} \) er: \[ \begin{aligned} & P(X > 90) \\ &= 1 - P\left(Z \le \dfrac{90 - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling.

Vi regner ut \( z \)-verdien for hver hopper: \[ \begin{aligned} \text{Birger: } z &= \dfrac{90 - \textcolor{blue}{70}}{\textcolor{red}{20}} = 1 \\ \text{Maren: } z &= \dfrac{90 - \textcolor{blue}{80}}{\textcolor{red}{5}} = 2 \\ \text{Espen: } z &= \dfrac{90 - \textcolor{blue}{75}}{\textcolor{red}{10}} = 1{,}5 \end{aligned} \]

2. Slå opp i tabellen Tabellen gir \( {P(Z \le 1{,}00) = 0{,}8413}\text{,} \) \( {P(Z \le 2{,}00) = 0{,}9772} \) og \( {P(Z \le 1{,}50) = 0{,}9332}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \text{Birger: } & 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587 \\ \text{Maren: } & 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228 \\ \text{Espen: } & 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668 \end{aligned} \]Birger har størst sjanse for et hopp over 90 meter. Han har lavest forventning, men størst standardavvik.

1. Regn ut i CAS FordelingNormal\( (\mu, \sigma, x) \) gir \( {P(X \le x)}\text{.} \) Vi trekker den fra 1 og bruker \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingNormal(70, 20, 90) 1 - FordelingNormal(80, 5, 90) 1 - FordelingNormal(75, 10, 90)

Rad 1 til 3 gir \( 0{,}1587\text{,} \) \( 0{,}0228 \) og \( 0{,}0668 \) for Birger, Maren og Espen.

Maren hoppet lengst hvis både Birger og Espen hoppet kortere enn 83 meter. Hoppene er uavhengige, så vi ganger de to sannsynlighetene.

1. Finn sannsynlighetene for de andre For Birger og Espen standardiserer vi 83 meter, som i videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling: \[ z = \dfrac{x - \mu}{\sigma} \]

Det gir: \[ \begin{aligned} \text{Birger: } z &= \dfrac{83 - 70}{20} = 0{,}65 \\ \text{Espen: } z &= \dfrac{83 - 75}{10} = 0{,}80 \end{aligned} \]

Tabellen over standard normalfordeling gir: \[ \begin{aligned} P(\text{Birger} < 83) &= \textcolor{blue}{0{,}7422} \\ P(\text{Espen} < 83) &= \textcolor{red}{0{,}7881} \end{aligned} \]

2. Gang sannsynlighetene Hoppene er uavhengige, så sannsynligheten for at begge hopper kortere, er produktet, som når vi kaster flere terninger i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]

Maren hoppet lengst når både Birger og Espen hoppet kortere enn 83 meter: \[ \begin{aligned} P(\text{Maren lengst}) &= \textcolor{blue}{0{,}7422} \cdot \textcolor{red}{0{,}7881} \\ &\approx 0{,}585 \end{aligned} \]

1. Regn ut i CAS På samme CAS-ark som i a) ganger vi \( {P(\text{Birger} < 83)} \) med \( {P(\text{Espen} < 83)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: FordelingNormal(70, 20, 83)*FordelingNormal(75, 10, 83)

Rad 4 gir \( {P(\text{Maren lengst}) \approx 0{,}585}\text{.} \)

Nå er også Marens hopp tilfeldig. Vi lar et program trekke tre tilfeldige hopp mange ganger og teller hvor ofte Maren hopper lengst. Andelen er et anslag for sannsynligheten.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre en simulering. Øv heller på å lese og skrive slike programmer på papir, og på å forklare hvorfor flere simuleringer gir et sikrere anslag.

1. Skriv programmet Vi trekker lengdene med \( \texttt{normal}\text{,} \) der det første tallet er forventningen og det andre standardavviket, og gjentar forsøket i en løkke, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

2. Les programmet og kjør det Løkka i linje 6 går \( {N = 100\,000} \) ganger. Linje 7 til 9 trekker ett hopp for hver hopper. Linje 10 sjekker om \( \textcolor{blue}{\texttt{maren}} \) er lenger enn både \( \texttt{birger} \) og \( \texttt{espen}\text{,} \) og da teller linje 11 én til. Linje 13 skriver ut andelen av forsøkene der Maren hopper lengst:

Simuleringen gir litt ulike tall hver gang, men med så mange forsøk endrer svaret seg bare i tredje desimal.

Vi ser på differansen mellom to ledd som kommer etter hverandre. Den viser hvordan vi kommer fra ett ledd til det neste.

1. Se på differansene Vi trekker hvert ledd fra det neste: \[ \begin{aligned} 2 - 1 &= 1 = \textcolor{red}{1^2} \\ 6 - 2 &= 4 = \textcolor{red}{2^2} \\ 15 - 6 &= 9 = \textcolor{red}{3^2} \\ 31 - 15 &= 16 = \textcolor{red}{4^2} \\ 56 - 31 &= 25 = \textcolor{red}{5^2} \end{aligned} \]Differansene er kvadrattallene.

2. Skriv opp formelen Fra ledd nummer \( n \) til ledd nummer \( {n + 1} \) legger vi til \( \textcolor{red}{n^2}\text{.} \) Med det første leddet \( {a_1 = 1} \) blir den rekursive formelen: \[ a_{n+1} = a_n + \textcolor{red}{n^2} \]For eksempel er \( {a_3 = a_2 + 2^2 = 2 + 4 = 6}\text{.} \)

Vi bruker den rekursive formelen fra a), \( {a_1 = 1} \) og \( {a_{n+1} = a_n + n^2}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi lar en løkke gå \( 30 \) ganger. Hver gang legger vi leddet til summen, og regner så ut neste ledd med formelen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, og på å regne ut de første rundene for hånd.

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 1 og 2 setter det første leddet \( {\textcolor{blue}{a} = 1} \) og summen \( {\textcolor{red}{S} = 0}\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker, kan du se videoen Oppgave 7B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023.

Løkka i linje 3 går for \( {n = 1, 2, \dots, 30}\text{.} \) Linje 4 legger ledd nummer \( n \) til \( \textcolor{red}{S}\text{,} \) og linje 5 regner ut neste ledd \( \textcolor{blue}{a} \) med formelen fra a), \( {\textcolor{blue}{a_{n+1}} = \textcolor{blue}{a_n} + n^2}\text{.} \)

2. Sjekk de første rundene I de tre første rundene legges \( 1\text{,} \) \( 2 \) og \( 6 \) til summen, så \( {S = 9}\text{,} \) og \( a \) blir \( 15\text{,} \) det fjerde leddet. Programmet skriver ut \( 67\,455\text{,} \) som er summen av de \( 30 \) første leddene.

Vi ser hva som legges til \( S \) i hver runde, og når løkka stopper.

1. Se hva som legges til Linje 4 er en while-løkke: den går så lenge \( {S \le 200}\text{.} \) Hvis du er usikker på while-løkker, kan du se videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025.

I hver runde øker linje 5 \( n \) med \( 1\text{,} \) og linje 6 legger til \( {\textcolor{blue}{4n - 2}}\text{.} \) For \( {n = 1, 2, 3, \dots} \) er det: \[ \textcolor{blue}{2} + \textcolor{blue}{6} + \textcolor{blue}{10} + \textcolor{blue}{14} + \dots \]

Det er en aritmetisk rekke med \( {a_1 = 2} \) og differanse \( {d = 4}\text{,} \) og \( S \) er summen av de \( n \) første leddene.

2. Se når programmet stopper Løkka stopper første gang summen er større enn \( 200\text{,} \) og linje 8 skriver ut \( n\text{.} \)

Vi bruker rekken fra a), med \( {a_1 = 2} \) og \( {d = 4}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi finner en formel for summen av de \( n \) første leddene, og ser når den blir større enn \( 200\text{.} \)

1. Finn summen av n ledd Summen av de \( n \) første leddene i en aritmetisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + \textcolor{red}{a_n})}{2} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {\textcolor{red}{a_n} = \textcolor{red}{4n - 2}}\text{:} \) \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{4n - 2})}{2} = 2n^2 \]

2. Finn når summen passerer 200 Løkka stopper første gang \( {S > 200}\text{,} \) altså når: \[ \begin{aligned} 2n^2 &> 200 \\ n^2 &> 100 \\ n &> 10 \end{aligned} \]Med \( {n = 10} \) er \( {S = 200}\text{,} \) som ikke er større enn \( 200\text{,} \) så løkka går én runde til. Med \( {n = 11} \) er \( {S = 2 \cdot 11^2 = 242}\text{.} \)

Fra \( S_n \) til \( {S_{n+1}} \) legger vi til ett kubikktall til. For den eksplisitte formelen regner vi ut de første summene og ser etter et mønster.

1. Skriv opp sammenhengen \( {S_{n+1}} \) er summen av de \( {n + 1} \) første kubikktallene, altså \( S_n \) pluss det neste kubikktallet: \[ S_{n+1} = S_n + \textcolor{red}{(n + 1)^3} \quad\text{og}\quad S_1 = 1 \]

2. Regn ut de første summene Vi legger til ett kubikktall om gangen: \[ \begin{aligned} S_1 &= 1 = 1^2 \\ S_2 &= 1 + 8 = 9 = 3^2 \\ S_3 &= 9 + 27 = 36 = 6^2 \\ S_4 &= 36 + 64 = 100 = 10^2 \\ S_5 &= 100 + 125 = 225 = 15^2 \end{aligned} \]Alle summene er kvadrattall.

3. Finn mønsteret Tallene \( 1, 3, 6, 10, 15 \) er summene \( {1 + 2 + \dots + n}\text{,} \) og den summen er: \[ 1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene.

Summen av kubikktallene er kvadratet av den: \[ S_n = \left(\dfrac{n(n + 1)}{2}\right)^2 \]For eksempel er \( {S_5 = \left(\dfrac{5 \cdot 6}{2}\right)^2 = 15^2 = 225}\text{.} \)

Formelen passer med den rekursive sammenhengen, for: \[ \begin{aligned} & \left(\dfrac{(n + 1)(n + 2)}{2}\right)^2 \\ &\quad - \left(\dfrac{n(n + 1)}{2}\right)^2 \\ &= \dfrac{(n + 1)^2}{4}\left((n + 2)^2 - n^2\right) \\ &= \dfrac{(n + 1)^2}{4} \cdot (4n + 4) \\ &= (n + 1)^3 \end{aligned} \]Formelen gir også \( {S_1 = 1}\text{,} \) så den gir de samme summene som sammenhengen for alle \( n\text{.} \)

Vi bruker den rekursive sammenhengen fra a), \( {S_{n+1} = S_n + (n + 1)^3}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi starter med summen \( 0\text{,} \) og lar en løkke legge til ett kubikktall om gangen, \( 50 \) ganger.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, og på å regne ut de første rundene for hånd.

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 1 setter summen \( {S = 0}\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker som legger sammen, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene.

Løkka i linje 2 går for \( {n = 1, 2, \dots, 50}\text{,} \) og linje 3 er den rekursive sammenhengen: den legger \( \textcolor{red}{n^3} \) til summen.

2. Sjekk de første rundene Etter tre runder er \( {S = \textcolor{red}{1} + \textcolor{red}{8} + \textcolor{red}{27} = 36 = S_3}\text{.} \) Programmet skriver ut \( 1\,625\,625\text{.} \) Formelen fra a) gir det samme: \[ \left(\dfrac{50 \cdot 51}{2}\right)^2 = 1275^2 = 1\,625\,625 \]

Vi ser hva som legges til \( S \) i hver runde av løkka. Det er arealet av et smalt rektangel.

1. Les programmet Linje 1 til 4 deler intervallet \( {[-2, 2]} \) i \( {N = 1000} \) like deler med bredde \( {dx = \dfrac{2 - (-2)}{1000} = 0{,}004}\text{.} \) Linje 6 og 7 definerer \( {f(x) = x^2 - 1}\text{.} \)

I løkka i linje 10 til 12 er \( x_i \) venstre ende av del nummer \( i\text{,} \) og linje 12 legger til \( {\textcolor{red}{|f(x_i)|} \cdot \textcolor{blue}{dx}}\text{.} \) Det er arealet av et rektangel med bredde \( \textcolor{blue}{dx} \) og høyde \( \textcolor{red}{|f(x_i)|}\text{.} \)

Summen blir: \[ S = \sum_{i=0}^{999} \textcolor{red}{|f(x_i)|} \cdot \textcolor{blue}{dx} \]

2. Se hva summen blir Summen av rektanglene er en venstre Riemannsum, som i videoen Riemann sum. Med \( 1000 \) smale rektangler er den svært nær integralet: \[ S \approx \int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx \]Absoluttverdien gjør at områdene under \( x \)-aksen også telles positivt.

Vi regner ut \( {\displaystyle\int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( {x^2 - 1} \) skifter fortegn i \( {x = -1} \) og \( {x = 1}\text{.} \) Grafen er symmetrisk om \( y \)-aksen, så vi regner ut arealet fra \( 0 \) til \( 2 \) og ganger med \( 2\text{.} \)

1. Del opp intervallet \( {x^2 - 1 < 0} \) for \( {0 < x < 1}\text{,} \) og \( {x^2 - 1 > 0} \) for \( {1 < x < 2}\text{.} \) Der grafen er under aksen, integrerer vi \( {1 - x^2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx \\ &= 2\textcolor{blue}{\int_0^1 (1 - x^2)\,dx} \\ &\quad + 2\textcolor{red}{\int_1^2 (x^2 - 1)\,dx} \end{aligned} \]

2. Regn ut de to integralene Vi integrerer ledd for ledd med potensregelen, som gjelder for \( {n \neq -1}\text{,} \) se videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C \]

Det gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\int_0^1 (1 - x^2)\,dx} &= \left[x - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}} \\ \textcolor{red}{\int_1^2 (x^2 - 1)\,dx} &= \left[\dfrac{x^3}{3} - x\right]_1^2 \end{aligned} \]

Det siste er: \[ \left(\dfrac{8}{3} - 2\right) - \left(\dfrac{1}{3} - 1\right) = \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} = \textcolor{red}{\dfrac{4}{3}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ 2\left(\textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}} + \textcolor{red}{\dfrac{4}{3}}\right) = 2 \cdot 2 = 4 \]