Eksamensoppgaver etter tema

Overskuddet er inntekt minus kostnad. Det er en andregradsfunksjon som er 0 der grafene krysser, og den er størst midt mellom nullpunktene.

1. Finn nullpunktene til overskuddet Overskuddet er inntekt minus kostnad, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ O(x) = I(x) - K(x) \]

\( O \) er 0 der grafene til \( I \) og \( K \) krysser. For vare 1 er det i \( {x = \textcolor{blue}{60}} \) og \( {x = \textcolor{blue}{100}}\text{,} \) og for vare 2 i \( {x = \textcolor{green}{20}} \) og \( {x = \textcolor{green}{80}}\text{.} \) Mellom nullpunktene er \( {I > K}\text{,} \) så der går bedriften med overskudd.

2. Skriv overskuddet på faktorisert form En andregradsfunksjon med nullpunktene \( x_1 \) og \( x_2 \) kan skrives som: \[ O(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \]

Vi kaller konstanten \( a_1 \) for vare 1 og \( a_2 \) for vare 2, og finner dem med \( {O(0) = -K(0)}\text{,} \) fordi \( {I(0) = 0}\text{.} \) Figuren gir \( {K_1(0) = 6000} \) og \( {K_2(0) = 1600}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O_1(0) &= a_1(-\textcolor{blue}{60})(-\textcolor{blue}{100}) = 6000a_1 \\ O_2(0) &= a_2(-\textcolor{green}{20})(-\textcolor{green}{80}) = 1600a_2 \end{aligned} \]Siden \( {6000a_1 = -6000} \) og \( {1600a_2 = -1600}\text{,} \) er \( {a_1 = a_2 = -1}\text{,} \) så \( {O_1(x) = -(x - 60)(x - 100)} \) og \( {O_2(x) = -(x - 20)(x - 80)}\text{.} \)

3. Finn det største overskuddet Grafen er en parabel som vender nedover, så toppunktet ligger midt mellom nullpunktene: \[ \begin{aligned} O_1(\textcolor{blue}{80}) &= -(80 - 60)(80 - 100) \\ &= -20 \cdot (-20) = 400 \\ O_2(\textcolor{green}{50}) &= -(50 - 20)(50 - 80) \\ &= -30 \cdot (-30) = 900 \end{aligned} \]Vare 2 gir altså størst overskudd, 900 kr.

Inntekten er pris ganger antall solgte enheter, så prisen er stigningstallet til inntektslinja.

1. Finn prisene Med prisen \( p \) per enhet er \( {I(x) = p \cdot x}\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, så \( {p = \dfrac{I(x)}{x}}\text{.} \) Vi bruker et punkt på hver linje der rutenettet er tydelig, \( (60, 12\,000) \) og \( (20, 2400)\text{:} \) \[ \begin{aligned} p_1 &= \dfrac{12\,000}{60} = \textcolor{blue}{200} \\ p_2 &= \dfrac{2400}{20} = \textcolor{green}{120} \end{aligned} \]Prisforskjellen er da: \[ \textcolor{blue}{200} - \textcolor{green}{120} = 80 \]

Enhetskostnaden er stigningstallet til linja fra origo til et punkt på grafen til \( K_2\text{.} \) Den er lavest når linja så vidt rører grafen, altså er en tangent.

1. Se enhetskostnaden som et stigningstall Enhetskostnaden er kostnaden per enhet: \[ E(x) = \dfrac{K_2(x)}{x} = \dfrac{K_2(x) - 0}{x - 0} \]Det er stigningstallet til linja fra origo \( (0, 0) \) til punktet \( (x, K_2(x)) \) på grafen.

2. Finn den lavest mulige Vi dreier linja fra origo ned mot grafen. Stigningstallet er minst når linja bare så vidt rører grafen, altså når den er tangent. Den stiplede linja \( {y = \textcolor{red}{100}x} \) går gjennom origo og er tangent i \( (\textcolor{blue}{40}, 4000)\text{.} \) Alle andre linjer fra origo til grafen er brattere.

Vi skriver \( {K_2(x) = ax^2 + bx + c} \) og bruker at stigningstallet til en tangent er den deriverte. De to tangentene gir oss tre opplysninger, nok til å finne \( a\text{,} \) \( b \) og \( c\text{.} \)

1. Les av konstantleddet Tangenten \( {y = 20x + 1600} \) rører grafen i \( (0, K_2(0))\text{,} \) så \( {K_2(0) = 1600}\text{.} \) Det gir \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{1600}}\text{.} \)

2. Bruk stigningstallene til tangentene Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler. Vi deriverer: \[ K_2'(x) = 2\textcolor{blue}{a}x + \textcolor{red}{b} \]

Stigningstallet til tangenten i \( {x = 0} \) er 20, og i \( {x = 40} \) er det 100: \[ \begin{aligned} K_2'(0) &= \textcolor{red}{b} = 20 \\ K_2'(40) &= 80\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{20} = 100 \\ 80\textcolor{blue}{a} &= 80 \\ \textcolor{blue}{a} &= 1 \end{aligned} \]Så \( {K_2(x) = x^2 + 20x + 1600}\text{.} \)

3. Finn inntektsfunksjonen \( I_2 \) går gjennom origo, og den krysser \( K_2 \) i \( {x = 20}\text{.} \) Der er \( {I_2(20) = K_2(20)}\text{:} \) \[ K_2(20) = 400 + 400 + 1600 = 2400 \]Stigningstallet til \( I_2 \) er derfor \( {\dfrac{2400}{20} = 120}\text{.} \)

Kontroll: Punktet \( (40, 4000) \) er tangeringspunktet på figuren, og modellen gir det samme: \[ \begin{aligned} K_2(40) &= 1600 + 800 + 1600 \\ &= 4000 \end{aligned} \]

Inntekten er pris ganger antall solgte enheter. Den høyeste inntekten finner vi der den deriverte er null.

1. Sett opp inntekten Med prisen \( \textcolor{blue}{p} \) selger bedriften \( \textcolor{red}{E(p)} \) enheter i uka, så: \[ \begin{aligned} I(p) &= \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{red}{(2700 - p^2)} \\ &= 2700p - p^3 \end{aligned} \]

2. Deriver og sett lik null Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd og setter den deriverte lik null, som for toppunktet i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} I'(p) = 2700 - 3p^2 &= 0 \\ p^2 &= 900 \\ p &= 30 \end{aligned} \]Vi forkaster \( {p = -30}\text{,} \) fordi \( p \in [10, 45]\text{.} \)

3. Sjekk at det er et toppunkt \( {I'(p) = 3(900 - p^2)} \) er positiv for \( {p < 30} \) og negativ for \( {p > 30}\text{,} \) så inntekten stiger fram til \( {p = 30} \) og synker etterpå. Inntekten blir da: \[ I(30) = 81\,000 - 27\,000 = 54\,000 \]

Vi lager en kostnadsmodell med regresjon og skriver inntekten som en funksjon av antall enheter \( x\text{.} \) Så finner vi toppunktet til overskuddet \( {O(x) = I(x) - K(x)}\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Regresjonen krever et digitalt verktøy. Uten PC kan du øve på å skrive inntekten som funksjon av \( x\text{,} \) og på å derivere \( O(x) \) når \( K(x) \) er gitt.

1. Lag kostnadsmodellen Kostnadene vokser stadig raskere, så vi bruker andregradsregresjon, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi lager en liste med punktene og skriver \( {K(x) =} \) RegPoly(l1, 2). Modellen går gjennom alle de fem punktene: \[ K(x) = 0{,}01x^2 + 15x + 5000 \]

2. Skriv inntekten som funksjon av x Bedriften selger \( {\textcolor{red}{x} = 2700 - \textcolor{blue}{p}^2} \) enheter. Løser vi for prisen, får vi \( {\textcolor{blue}{p} = \sqrt{2700 - x}}\text{,} \) så: \[ I(x) = \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{red}{x} = x\sqrt{2700 - x} \]Prisen \( p \in [10, 45] \) gir \( x \in [675, 2600]\text{.} \)

3. Finn toppunktet til overskuddet Overskuddet er inntekt minus kostnad: \[ \begin{aligned} O(x) &= I(x) - K(x) \\ &= x\sqrt{2700 - x} \\ &\quad - (0{,}01x^2 + 15x + 5000) \end{aligned} \]

Vi skriver det inn på intervallet og finner toppunktet med Ekstremalpunkt, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Toppunktet ligger ikke på et helt tall, så vi regner også ut \( O(874) \) og \( O(875)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(50, 5775), (100, 6600), (300, 10400), (600, 17600), (1000, 30000)} K(x) = RegPoly(l1, 2) O(x) = Funksjon(x*sqrt(2700 - x) - K(x), 675, 2600) E = Ekstremalpunkt(O, 675, 2600) A = O(874) B = O(875)

Toppunktet er \( (874{,}54;\ 11\,598{,}77)\text{.} \) Bedriften må selge et helt antall enheter, så vi sammenligner 874 og 875: \[ \begin{aligned} O(874) &\approx 11\,598{,}764 \\ O(875) &\approx 11\,598{,}766 \end{aligned} \]\( O(875) \) er størst, så overskuddet er størst med 875 enheter i uka.

Salget øker stadig mindre, så vi sammenligner snittet bedriften må selge resten av året med der salget flater ut. Med GeoGebra lager vi en logistisk modell og summerer den over 52 uker.

1. Regn ut snittet som trengs De 8 første ukene er det solgt \( 6460 \) enheter til sammen. Resten av året, \( {52 - 8 = 44} \) uker, må det selges: \[ \dfrac{45\,000 - 6460}{44} = \dfrac{38\,540}{44} \approx \textcolor{red}{876} \]enheter i uka i snitt.

2. Sammenlign med trenden Økningen fra uke til uke er \( 70\text{,} \) \( 40\text{,} \) \( 30\text{,} \) \( 20\text{,} \) \( 15\text{,} \) \( 5 \) og \( 5\text{,} \) så salget flater ut rundt \( \textcolor{blue}{870} \) i uka, under \( \textcolor{red}{876}\text{.} \) Selv om bedriften solgte \( \textcolor{blue}{875} \) hver eneste uke resten av året, mer enn salget flater ut på, ville den bare nå: \[ 6460 + 44 \cdot \textcolor{blue}{875} = 44\,960 \]Det er under \( 45\,000\text{,} \) så bedriften når ikke målet.

1. Lag en logistisk modell og summer Salget vokser og flater ut, så vi bruker logistisk regresjon, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den finner tallene i modellen som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. Så summerer vi modellen for uke 1 til 52:

Skriv inn i GeoGebra: l2 = {(1, 680), (2, 750), (3, 790), (4, 820), (5, 840), (6, 855), (7, 860), (8, 865)} s(x) = RegLogist(l2) S = Sum(s(k), k, 1, 52)

Med tallene avrundet til tre desimaler er modellen: \[ s(x) \approx \dfrac{\textcolor{red}{871{,}812}}{1 + \textcolor{blue}{0{,}464} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}507}x}} \]Den flater ut på omtrent \( \textcolor{red}{872} \) enheter i uka og gir \( {S \approx 44\,809} \) enheter det første året. Det er under \( 45\,000\text{,} \) så bedriften når ikke målet.

Merk – Andre modeller: En logaritmisk modell og en potensmodell vokser uten grense og gir omtrent \( 50\,000 \) og \( 51\,000 \) enheter, altså ja. De passer dårligere med at økningen nesten har stoppet opp, så vi velger den logistiske modellen. Andre modeller kan også være riktige når valget er begrunnet.

Vi deriverer med kjerneregelen og setter inn \( {x = 150}\text{.} \) \( K'(x) \) sier hvor mye kostnaden øker per ekstra enhet.

1. Deriver med kjerneregelen Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u}' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\dfrac{x}{200}}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u}' = \textcolor{green}{\dfrac{1}{200}}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} K'(x) &= 700 \cdot e^{\textcolor{green}{\tfrac{x}{200}}} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{1}{200}} \\ &= 3{,}5 \cdot e^{\tfrac{x}{200}} \end{aligned} \]

2. Regn ut og tolk \[ K'(150) = 3{,}5 \cdot e^{0{,}75} \approx 7{,}41 \]Når bedriften produserer 150 enheter per dag, øker kostnaden med omtrent 7,41 kr for hver ekstra enhet den produserer.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( K \) i CAS og regner ut \( K'(150) \) med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: K(x) := 700*ℯ^(x/200) K'(150)

Rad 2 gir \( {K'(150) \approx 7{,}41}\text{.} \)

Enhetskostnaden er kostnaden delt på antall enheter. Vi deriverer den med kvotientregelen og setter den deriverte lik null.

1. Sett opp enhetskostnaden Enhetskostnaden er kostnaden per enhet: \[ E(x) = \dfrac{K(x)}{x} = \dfrac{700 \cdot e^{\tfrac{x}{200}}}{x} \]

2. Deriver med kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er, med \( u' \) fra kjerneregelen som i a): \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{700e^{\tfrac{x}{200}}} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{3{,}5e^{\tfrac{x}{200}}} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og faktoriserer ut \( 3{,}5e^{\tfrac{x}{200}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} E'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{3{,}5e^{\tfrac{x}{200}}} \cdot \textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{700e^{\tfrac{x}{200}}} \cdot \textcolor{blue}{1}}{\textcolor{blue}{x}^2} \\ &= \dfrac{3{,}5e^{\tfrac{x}{200}}(x - 200)}{x^2} \end{aligned} \]

3. Finn bunnpunktet Brøken er null når telleren er null, og \( 3{,}5e^{\tfrac{x}{200}} \) er aldri null: \[ \begin{aligned} E'(x) &= 0 \\ x - 200 &= 0 \\ x &= 200 \end{aligned} \]

\( e^{\tfrac{x}{200}} \) og \( x^2 \) er positive for \( {x > 0}\text{,} \) så \( E'(x) \) har samme fortegn som \( {x - 200}\text{.} \) Den er negativ for \( {x < 200} \) og positiv for \( {x > 200}\text{,} \) så enhetskostnaden synker fram til \( {x = 200} \) og stiger etterpå. Den laveste enhetskostnaden er: \[ E(200) = \dfrac{700 \cdot e^{1}}{200} = 3{,}5e \approx 9{,}51 \]

1. Løs i CAS På samme CAS-ark som i a) definerer vi \( E\text{,} \) løser \( {E'(x) = 0} \) og regner ut \( E(200)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: E(x) := K(x)/x Løs(E'(x) = 0, x) E(200)

Rad 4 gir \( {x = 200}\text{,} \) og rad 5 gir \( {E(200) \approx 9{,}51}\text{.} \) Fortegnet til \( E' \) skifter fra minus til pluss i \( {x = 200}\text{,} \) som i kalkulatorruten, så det er et bunnpunkt.

Overskuddet er inntekt minus kostnad. Vi finner hvor overskuddet er positivt, og det gjør vi med grafen og Nullpunkt i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen \( {O(x) = 0} \) kan ikke løses for hånd. Uten PC kan du prøve deg fram med kalkulatoren: \( {O(9) \approx -20} \) og \( {O(10) \approx 54}\text{.} \) Grafen til \( O \) krummer nedover, fordi \( {O''(x) < 0}\text{,} \) og \( {O(500) \approx 6472}\text{,} \) så overskuddet er positivt hele veien opp til 500.

1. Sett opp overskuddet Overskuddet er inntekt minus kostnad, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} O(x) &= \textcolor{blue}{I(x)} - \textcolor{red}{K(x)} \\ &= \textcolor{blue}{80x - 0{,}10x^2} - \textcolor{red}{700e^{\tfrac{x}{200}}} \end{aligned} \]

2. Finn hvor overskuddet er positivt Vi tegner \( O \) for \( x \) fra 0 til 500 og finner nullpunktet med Nullpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = Funksjon(80x - 0.1x^2 - 700*ℯ^(x/200), 0, 500) N = Nullpunkt(O, 0, 100) P = (500, O(500))

Grafen krysser \( x \)-aksen i \( {N \approx (9{,}27;\ 0)} \) og ligger over \( x \)-aksen resten av veien til \( {P = (500;\ 6472)}\text{.} \) Overskuddet er altså positivt for \( {9{,}27 < x \le 500}\text{.} \) Bedriften produserer hele enheter, så det minste antallet er 10.

Enhetskostnaden er kostnaden per enhet, altså stigningstallet til linja fra origo til punktet på grafen. Grensekostnaden er den deriverte, altså stigningstallet til tangenten.

1. Finn enhetskostnaden Enhetskostnaden ved 180 enheter er kostnaden delt på antallet: \[ \begin{aligned} \dfrac{K(180)}{180} &= \dfrac{14\,920 - 0}{180 - 0} \\ &= \dfrac{746}{9} \approx 82{,}89 \end{aligned} \]Det er stigningstallet til linja fra origo \( (0, 0) \) til punktet \( (180, 14\,920)\text{.} \)

Den svarte stiplede linja \( {y = 82{,}89x} \) går gjennom origo og punktet, så enhetskostnaden er omtrent \( 82{,}89 \) kr per enhet, avrundet til hele øre.

Kontroll: \( {9 \cdot 83 = 747}\text{,} \) så \( \dfrac{746}{9} \) er litt under 83 kr, som figuren viser.

2. Finn grensekostnaden Grensekostnaden er den deriverte, \( K'(180)\text{.} \) Den er stigningstallet til tangenten i punktet, og tangenten er den blå stiplede linja \( {y = \textcolor{blue}{138}x - 9920}\text{:} \) \[ K'(180) = \textcolor{blue}{138} \]Den forteller at én enhet til koster omtrent 138 kr mer når det allerede produseres 180 enheter, som i videoen Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023.

Vi bruker grensekostnaden \( {K'(180) = 138} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Der overskuddet er størst, er den deriverte av overskuddet null. Vi setter derfor \( {O'(180) = 0} \) og løser for \( p\text{.} \)

1. Sett opp overskuddet Overskuddet er inntekt minus kostnad, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} O(x) &= I(x) - K(x) \\ &= \textcolor{green}{p} \cdot x - K(x) \end{aligned} \]

Vi deriverer: \[ O'(x) = \textcolor{green}{p} - K'(x) \]

2. Sett den deriverte lik null I et toppunkt er den deriverte null, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. I a) fant vi \( {K'(180) = \textcolor{blue}{138}}\text{,} \) stigningstallet til den blå tangenten, så: \[ \begin{aligned} O'(180) = \textcolor{green}{p} - \textcolor{blue}{138} &= 0 \\ \textcolor{green}{p} &= 138 \end{aligned} \]

Grafen til \( K \) krummer oppover, så stigningstallet \( K'(x) \) øker. Da er \( {O'(x) = \textcolor{blue}{138} - K'(x)} \) positiv før \( {x = 180} \) og negativ etter: \[ \begin{aligned} x < 180&\text{:} \quad O'(x) > 0 \\ x > 180&\text{:} \quad O'(x) < 0 \end{aligned} \]Overskuddet er derfor størst ved 180 enheter.

Vi finner \( a\text{,} \) \( b \) og \( c \) med andregradsregresjon på tabellen, og deriverer modellen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Regresjonen krever et digitalt verktøy. Uten PC kan du øve på å derivere en andregradsfunksjon når den er gitt, og på å tolke \( K'(x)\text{.} \)

1. Lag modellen med regresjon Vi legger punktene fra tabellen i en liste og bruker andregradsregresjon, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Regresjonen finner tallene som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. Så lar vi GeoGebra derivere modellen:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(10, 400), (20, 850), (40, 2070), (50, 2890)} K(x) = RegPoly(l1, 2) D(x) = Derivert(K)

Med tallene avrundet til fire desimaler er \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{0{,}6167}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{25}}\text{,} \) og modellen er: \[ K(x) \approx \textcolor{blue}{0{,}6167}x^2 + \textcolor{red}{25}x + 93{,}3333 \]

2. Deriver modellen Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler. Konstantleddet blir borte, og vi får: \[ \begin{aligned} K'(x) &\approx 2 \cdot \textcolor{blue}{0{,}6167}x + \textcolor{red}{25} \\ &\approx 1{,}233x + 25 \end{aligned} \]GeoGebra regner med tallene uten avrunding og viser \( {D(x) = 1{,}2333x + 25}\text{.} \) Avrundet til to desimaler er det \( {1{,}23x + 25}\text{.} \)

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( K'(x) \) står i oppgaveteksten.

Vi deriverer \( I \) med regelen for \( \ln u \) og setter inn \( {x = 35} \) i begge de deriverte. De deriverte forteller hvor mye inntekten og kostnaden øker per ekstra enhet.

1. Deriver inntekten Regelen for \( \ln \) av en kjerne forteller oss at: \[ \left(\ln \textcolor{green}{u}\right)' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u}' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{5x}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u}' = \textcolor{green}{5}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} I'(x) &= 3000 \cdot \dfrac{1}{\textcolor{green}{5x}} \cdot \textcolor{green}{5} \\ &= \dfrac{3000}{x} \end{aligned} \]

2. Sett inn 35 enheter I a) viste vi: \[ K'(x) = 1{,}23x + 25 \]

Vi setter inn \( {x = 35} \) i begge: \[ \begin{aligned} I'(35) &= \dfrac{3000}{35} \approx \textcolor{blue}{85{,}71} \\ K'(35) &= 1{,}23 \cdot 35 + 25 = \textcolor{red}{68{,}05} \end{aligned} \]

Merk – Avrunding: Med modellen fra a) uten avrunding blir \( {K'(35) \approx 68{,}17}\text{.} \) Forskjellen kommer bare av at oppgaven runder av til \( {1{,}23x + 25}\text{,} \) og begge regnemåtene er riktige.

3. Tolk svarene \( I \) og \( K \) er i kroner og \( x \) i enheter per uke, så de deriverte er i kroner per enhet, som i videoen Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023. Når bedriften produserer og selger 35 enheter i uka, gir én enhet til omtrent \( \textcolor{blue}{85{,}71} \) kr mer i inntekt og omtrent \( \textcolor{red}{68{,}05} \) kr mer i kostnad. Overskuddet øker altså hvis bedriften produserer og selger litt flere enn 35 enheter.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( I \) i CAS, regner ut \( I'(35) \) og setter inn i \( {K'(x) = 1{,}23x + 25} \) fra oppgaveteksten, med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: I(x) := 3000*ln(5x) I'(35) 1.23*35 + 25

Rad 2 gir \( {I'(35) \approx 85{,}71} \) kr per enhet, og rad 3 gir \( {K'(35) = 68{,}05} \) kr per enhet.

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( K'(x) \) står i oppgaveteksten.

Vi integrerer \( {K'(x) = 1{,}23x + 25} \) ledd for ledd og setter inn grensene. Integralet av den deriverte er hvor mye \( K \) endrer seg mellom grensene.

1. Finn en antiderivert I a) viste vi: \[ K'(x) = 1{,}23x + 25 \]

For potenser forteller integrasjonsreglene oss at: \[ \int x^{\textcolor{green}{n}}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n} + 1}x^{\textcolor{green}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

\( \textcolor{blue}{1{,}23x} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{blue}{0{,}615x^2}}\text{,} \) og \( \textcolor{red}{25} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{red}{25x}}\text{.} \)

2. Sett inn grensene Et bestemt integral regner vi ut med en antiderivert \( F\text{:} \) \[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} & \int_{20}^{30} \left(1{,}23x + 25\right) dx \\ &= \left[\textcolor{blue}{0{,}615x^2} + \textcolor{red}{25x}\right]_{20}^{30} \\ &= (\textcolor{blue}{553{,}5} + \textcolor{red}{750}) - (\textcolor{blue}{246} + \textcolor{red}{500}) \\ &= 557{,}5 \end{aligned} \]

Merk – Avrunding: Med modellen fra a) uten avrunding blir \( {K(30) - K(20) \approx 558{,}33}\text{.} \) Forskjellen kommer bare av at oppgaven runder av til \( {1{,}23x + 25}\text{,} \) og begge regnemåtene er riktige.

3. Tolk svaret \( K \) er en antiderivert til \( K'\text{,} \) så integralet er \( {K(30) - K(20)}\text{:} \) hvor mye kostnaden øker fra 20 til 30 enheter. Når produksjonen øker fra 20 til 30 enheter per uke, øker kostnaden med omtrent \( 557{,}50 \) kr.

1. Regn ut integralet i CAS På samme CAS-ark som i b) integrerer vi \( {K'(x) = 1{,}23x + 25} \) fra oppgaveteksten, med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Integral(1.23x + 25, 20, 30)

Rad 4 gir \( 557{,}5\text{,} \) altså at kostnaden øker med omtrent \( 557{,}50 \) kr fra 20 til 30 enheter per uke.

Grensekostnaden er den deriverte \( K'(x)\text{,} \) og enhetskostnaden er kostnaden per enhet, \( \dfrac{K(x)}{x}\text{.} \) Vi setter dem like og løser for \( x\text{.} \)

1. Finn grensekostnaden og enhetskostnaden Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler. Vi deriverer ledd for ledd og får \( \textcolor{red}{\text{grensekostnaden}}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{K'(x)} = \textcolor{red}{0{,}6x + 10} \]

Vi deler hvert ledd i \( K(x) \) på \( x \) og får \( \textcolor{blue}{\text{enhetskostnaden}}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{E(x)} = \dfrac{K(x)}{x} = \textcolor{blue}{0{,}3x + 10 + \dfrac{3000}{x}} \]

2. Sett dem like \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{0{,}6x + 10} &= \textcolor{blue}{0{,}3x + 10 + \dfrac{3000}{x}} \\ 0{,}3x &= \dfrac{3000}{x} \\ 0{,}3x^2 &= 3000 \\ x^2 &= 10\,000 \\ x &= \pm 100 \end{aligned} \]Vi forkaster \( {x = -100}\text{,} \) fordi antall enheter ikke kan være negativt.

3. Tolk svaret For \( {x = 100} \) er begge kostnadene \( 70 \) kr: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{K'(100)} &= 60 + 10 = 70 \\ \textcolor{blue}{E(100)} &= 30 + 10 + 30 = 70 \end{aligned} \]

Er grensekostnaden lavere enn enhetskostnaden, koster neste enhet mindre enn snittet, og snittet synker. Er den høyere, stiger snittet. Vi ser det også av den deriverte til \( \textcolor{blue}{E}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{E'(x)} = 0{,}3 - \dfrac{3000}{x^2} \]Den er negativ for \( {x < 100} \) og positiv for \( {x > 100}\text{,} \) så enhetskostnaden er lavest i \( {x = 100}\text{.} \)

Overskuddet er inntekt minus kostnad. Det er en andregradsfunksjon, og vi finner toppunktet der den deriverte er null.

1. Sett opp overskuddet Inntekten er \( {\textcolor{blue}{I(x) = 400x}}\text{.} \) Overskuddet er inntekt minus kostnad, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} O(x) &= \textcolor{blue}{I(x)} - \textcolor{red}{K(x)} \\ &= \textcolor{blue}{400x} \\ &\quad - \left(\textcolor{red}{0{,}3x^2 + 10x + 3000}\right) \\ &= -0{,}3x^2 + 390x - 3000 \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik null Toppunktet finner vi der \( {O'(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Vi deriverer ledd for ledd: \[ \begin{aligned} O'(x) = -0{,}6x + 390 &= 0 \\ 0{,}6x &= 390 \\ x &= 650 \end{aligned} \]\( O \) er en andregradsfunksjon med negativt andregradsledd, så grafen vender nedover og \( {x = 650} \) gir toppunktet.

Vi setter \( {p = 30} \) inn i \( E(p)\text{.} \) Etterspørselen er hvor mange varer kundene vil kjøpe ved den prisen.

1. Sett inn prisen \[ \begin{aligned} E(\textcolor{blue}{30}) &= 300e^{-0{,}01 \cdot \textcolor{blue}{30}} \\ &= 300e^{-0{,}3} \approx 222{,}2 \end{aligned} \]

2. Tolk svaret Etterspørselen er antallet varer kundene vil kjøpe. Med prisen \( \textcolor{blue}{30} \) kr per vare vil de altså kjøpe omtrent 222 varer.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( E \) i CAS og bruker \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: E(p) := 300*ℯ^(-0.01p) E(30)

Rad 2 gir \( {E(30) \approx 222{,}2}\text{.} \)

Inntekten er pris ganger antall solgte enheter. Antallet er etterspørselen, \( {x = E(p)}\text{,} \) så vi løser for prisen \( p \) og ganger med \( x\text{.} \)

1. Løs for prisen Bedriften selger \( \textcolor{red}{x} \) enheter når prisen er \( \textcolor{blue}{p}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{x} &= 300e^{-0{,}01\textcolor{blue}{p}} \\ \dfrac{\textcolor{red}{x}}{300} &= e^{-0{,}01\textcolor{blue}{p}} \\ \ln\left(\dfrac{\textcolor{red}{x}}{300}\right) &= -0{,}01\textcolor{blue}{p} \\ \textcolor{blue}{p} &= -100\ln\left(\dfrac{\textcolor{red}{x}}{300}\right) \end{aligned} \]Vi tok \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026.

2. Gang pris med antall Inntekten er pris ganger antall, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Siden \( {-\ln\left(\dfrac{x}{300}\right) = \ln\left(\dfrac{300}{x}\right)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} I(x) &= \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{red}{x} \\ &= 100\textcolor{red}{x}\ln\left(\dfrac{300}{\textcolor{red}{x}}\right) \end{aligned} \]Prisen er positiv, så \( {0 < x < 300}\text{.} \)

Enhetskostnaden er kostnaden delt på antall enheter. Vi finner \( K(40) \) fra linja som går gjennom \( A\text{.} \)

1. Finn kostnaden ved 40 enheter På figuren ligger \( A \) på grafen til \( K \) med \( {x = 40}\text{.} \) Både den grønne linja \( f \) og den røde linja \( h \) går gjennom \( A\text{,} \) og de gir samme verdi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{f(40)} &= 31 \cdot 40 + 2030 = 3270 \\ \textcolor{red}{h(40)} &= 81{,}75 \cdot 40 = 3270 \end{aligned} \]Kostnaden ved 40 enheter er altså \( {K(40) = 3270}\text{.} \)

2. Del på antall enheter Enhetskostnaden er kostnaden per enhet: \[ E(x) = \dfrac{K(x)}{x} \]

Plugger vi inn \( {x = 40}\text{,} \) får vi: \[ E(40) = \dfrac{K(40)}{40} = \dfrac{3270}{40} = \textcolor{red}{81{,}75} \]Det er stigningstallet til den røde linja \( h\text{,} \) som går fra origo til \( A\text{.} \)

Grensekostnaden er den deriverte \( K'(40)\text{.} \) Den er stigningstallet til tangenten i \( A\text{,} \) og den tangenten er \( f\text{.} \)

1. Finn tangenten Grensekostnaden er den deriverte av kostnaden: \[ \text{grensekostnad} = K'(x) \]

Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten der. I videoen Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023 betyr \( {K'(500) = 200} \) at én enhet til koster omtrent 200 kr mer.

Den røde linja \( h \) går også gjennom \( A\text{,} \) men den krysser grafen der og er ikke en tangent. Det er den grønne linja \( f \) som tangerer grafen til \( K \) i \( {A = (40, 3270)}\text{.} \)

2. Les av stigningstallet \( {f(x) = \textcolor{green}{31}x + 2030} \) har stigningstallet \( \textcolor{green}{31}\text{,} \) så: \[ K'(40) = f'(40) = \textcolor{green}{31} \]Når bedriften produserer 40 enheter, koster én enhet til omtrent 31 kr.

Enhetskostnaden er stigningstallet til linja fra origo til et punkt på grafen til \( K\text{.} \) Den er minst når linja så vidt rører grafen, altså er en tangent.

1. Se enhetskostnaden som et stigningstall Enhetskostnaden kan skrives: \[ E(x) = \dfrac{K(x)}{x} = \dfrac{K(x) - 0}{x - 0} \]Det er stigningstallet til linja fra origo \( (0, 0) \) til punktet \( (x, K(x)) \) på grafen. I a) var det den røde linja \( h \) til \( A\text{.} \)

2. Finn den slakeste linja fra origo Vi dreier linja fra origo ned mot grafen. Stigningstallet er minst når linja bare så vidt rører grafen, altså når den er tangent. Den blå linja \( {g(x) = \textcolor{blue}{60}x} \) går gjennom origo og tangerer grafen i \( {B = (100, 6000)}\text{.} \) Alle andre linjer fra origo til grafen er brattere.

Den minste enhetskostnaden er da: \[ E(100) = \dfrac{K(100)}{100} = \dfrac{6000}{100} = \textcolor{blue}{60} \]

I \( B \) er grensekostnaden lik enhetskostnaden, fordi tangenten \( g \) går gjennom origo: \[ K'(100) = g'(100) = \textcolor{blue}{60} = E(100) \]

Etterspørselen blir ganget med omtrent det samme tallet for hver 10 kr, så vi finner en eksponentiell modell med regresjon. Gyldighetsområdet vurderer vi ut fra prisene i tabellen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Regresjonen krever et digitalt verktøy. Uten PC kan du legge en eksponentiell modell gjennom to av punktene: med det første og det siste er \( {b^{40} = \dfrac{12}{237}}\text{,} \) så \( {b \approx 0{,}928} \) og \( {a = \dfrac{237}{b^{10}} \approx 500}\text{.} \)

1. Lag modellen med regresjon Vi deler hvert tall i tabellen på det forrige: \[ \begin{aligned} \dfrac{111}{237} &\approx 0{,}47 & \dfrac{49}{111} &\approx 0{,}44 \\ \dfrac{22}{49} &\approx 0{,}45 & \dfrac{12}{22} &\approx 0{,}55 \end{aligned} \]

Etterspørselen blir altså ganget med omtrent det samme tallet hver gang, og da passer en eksponentiell modell: \[ q(p) = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^p \]

Vi lager en liste med punktene og bruker RegEksp, på samme måte som videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025 bruker RegLogist for en logistisk modell. Den finner tallene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. GeoGebra bruker \( x \) for prisen \( p\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(10, 237), (20, 111), (30, 49), (40, 22), (50, 12)} q(x) = RegEksp(l1)

Med \( \textcolor{blue}{a} \) avrundet til to desimaler og \( \textcolor{red}{b} \) til tre er modellen: \[ q(p) \approx \textcolor{blue}{494{,}98} \cdot \textcolor{red}{0{,}927}^p \]Etterspørselen synker altså med omtrent \( 7{,}3\,\% \) for hver krone prisen øker.

2. Vurder gyldighetsområdet Tabellen har priser fra 10 kr til 50 kr, og der ligger modellen nær punktene. Utenfor vet vi lite, som når gyldighetsområdet vurderes i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Med gratis vare, \( {p = 0}\text{,} \) gir modellen omtrent 495, men tabellen sier ingenting om så lave priser. Modellen blir heller aldri 0, uansett hvor høy prisen er. Vi sier derfor at modellen gjelder for priser fra 10 kr til 50 kr.

Merk – Andre modeller: Andre modeller kan også være riktige når valget er begrunnet, for eksempel en eksponentiell modell gjennom det første og det siste punktet, \( {q \approx 500 \cdot 0{,}928^p}\text{.} \) En potensmodell \( {q = c \cdot p^r} \) passer dårligere: den gir omtrent 299 i stedet for 237 når prisen er 10 kr.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi løser likningen \( {q(p) = 70}\text{.} \) Den ukjente står i eksponenten, så vi tar \( \ln \) på begge sider.

1. Sett opp likningen I a) fant vi modellen: \[ q(p) \approx 494{,}98 \cdot 0{,}927^p \]

Bedriften skal selge 70 enheter, så vi setter \( {q(p) = 70} \) og deler på \( 494{,}98\text{:} \) \[ \begin{aligned} 494{,}98 \cdot 0{,}927^p &= 70 \\ 0{,}927^p &= \dfrac{70}{494{,}98} \end{aligned} \]

2. Løs med ln Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen forteller oss at: \[ \ln\left(\textcolor{red}{b}^{\textcolor{green}{p}}\right) = \textcolor{green}{p} \cdot \ln \textcolor{red}{b} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{p} \cdot \ln \textcolor{red}{0{,}927} &= \ln\left(\dfrac{70}{494{,}98}\right) \\ \textcolor{green}{p} &= \dfrac{\ln\left(\dfrac{70}{494{,}98}\right)}{\ln \textcolor{red}{0{,}927}} \\ &\approx \dfrac{-1{,}9560}{-0{,}0758} \approx 25{,}8 \end{aligned} \]

1. Finn skjæringspunktet Vi tegner linja \( {y = 70} \) og finner skjæringspunktet med modellen \( {q(p) \approx 494{,}98 \cdot 0{,}927^p} \) fra a) med Skjæring, som «skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: g: y = 70 A = Skjæring(q, g)

Skjæringspunktet er \( {A \approx (25{,}79;\ 70)}\text{,} \) så prisen bør være omtrent \( 25{,}8 \) kr.

Inntekten er pris ganger antall solgte enheter. Vi skriver den som en funksjon av \( x\text{,} \) deriverer og setter den deriverte lik null.

1. Sett opp inntekten Bedriften selger \( x \) enheter til prisen \( p\text{,} \) så inntekten er: \[ \begin{aligned} I(x) &= x \cdot p \\ &= x(79 - 12{,}2\ln x) \\ &= 79x - 12{,}2\,\textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\ln x} \end{aligned} \]

2. Deriver med produktregelen Det siste leddet er et produkt. Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u}' \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v}' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Produktregelen.

\( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}}\text{,} \) som er regelen for \( \ln u \) med \( {u = x} \) i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\ln x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} I'(x) &= 79 - 12{,}2\left(\textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\ln x} + \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}}\right) \\ &= 79 - 12{,}2\ln x - 12{,}2 \\ &= 66{,}8 - 12{,}2\ln x \end{aligned} \]

3. Sett den deriverte lik null \[ \begin{aligned} 66{,}8 - 12{,}2\ln x &= 0 \\ 12{,}2\ln x &= 66{,}8 \\ x &= e^{66{,}8/12{,}2} \approx 238{,}7 \end{aligned} \]\( I'(x) \) er positiv før dette punktet og negativ etter, fordi \( \ln x \) vokser. Inntekten er derfor størst her.

4. Finn prisen Vi trenger ikke regne ut \( x \) først, for prisen inneholder \( 12{,}2\ln x\text{,} \) som vi nettopp fant: \[ \begin{aligned} p &= 79 - 12{,}2\ln x \\ &= 79 - 66{,}8 = 12{,}2 \end{aligned} \]

1. Løs i CAS Vi definerer prisen og inntekten, løser \( {I'(x) = 0} \) og setter løsningen inn i \( p\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: p(x) := 79 - 12.2 ln(x) I(x) := x p(x) Løs(I'(x) = 0, x) p(238.7483)

Rad 3 gir \( {x \approx 238{,}7}\text{,} \) og rad 4 gir prisen \( 12{,}2 \) kr.

Vi bruker grenseinntekten \( I'(x) \) fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Grenseinntekten er \( I'(x) \) og grensekostnaden er \( K'(x)\text{.} \) Vi setter dem like og løser likningen. Der er overskuddet størst.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen har både \( \ln x \) og \( x\text{,} \) så vi kan ikke få \( x \) alene med regnereglene i S2. Uten PC kan du prøve deg fram med kalkulatoren: med \( {x = 79} \) er \( {I'(x) - K'(x) \approx 0{,}17}\text{,} \) og med \( {x = 80} \) er den omtrent \( {-0{,}02}\text{,} \) så løsningen ligger mellom 79 og 80, nærmest 80.

1. Sett opp likningen I c) fant vi \( \textcolor{blue}{\text{grenseinntekten}}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{I'(x)} = \textcolor{blue}{66{,}8 - 12{,}2\ln x} \]

Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer \( K \) ledd for ledd og får \( \textcolor{red}{\text{grensekostnaden}}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{K'(x)} = \textcolor{red}{0{,}042x + 10} \]

Vi setter dem like: \[ \textcolor{blue}{66{,}8 - 12{,}2\ln x} = \textcolor{red}{0{,}042x + 10} \]

2. Løs i CAS På samme CAS-ark som i c) definerer vi \( K \) og løser likningen, som med Løs i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Her bruker vi NLøs med en startverdi, fordi likningen har både \( \ln x \) og \( x\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: K(x) := 0.021x^2 + 10x + 910 NLøs(I'(x) = K'(x), x = 80)

Rad 6 gir \( {x \approx 79{,}9}\text{,} \) altså omtrent 80 enheter per dag.

3. Tolk svaret Overskuddet er inntekt minus kostnad, så: \[ O'(x) = I'(x) - K'(x) \]

For færre enn 80 enheter er grenseinntekten større enn grensekostnaden, så én enhet til øker overskuddet. For flere enn 80 er det omvendt. Overskuddet er derfor størst ved omtrent 80 enheter per dag, og da er prisen omtrent \( {79 - 12{,}2\ln 80 \approx 25{,}5} \) kr.