Eksamensoppgaver etter tema

Vi kjenner den deriverte, så vi integrerer for å finne \( f\text{.} \) Konstanten finner vi med punktet grafen går gjennom.

1. Integrer den deriverte Vi skriver \( \dfrac{2}{x^2} \) som \( {2x^{\textcolor{green}{-2}}} \) og bruker potensregelen for integraler, som gjelder for \( {n \neq -1}\text{:} \) \[ \int x^{\textcolor{green}{n}}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n} + 1}x^{\textcolor{green}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på å skrive om brøken til en potens, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{-2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f(x) &= \int 2x^{\textcolor{green}{-2}}\,dx \\ &= 2 \cdot \dfrac{1}{\textcolor{green}{-2} + 1}x^{\textcolor{green}{-2} + 1} + \textcolor{darkorange}{C} \\ &= 2 \cdot \dfrac{1}{-1}x^{-1} + \textcolor{darkorange}{C} \\ &= -\dfrac{2}{x} + \textcolor{darkorange}{C} \end{aligned} \]

2. Finn konstanten med punktet Grafen går gjennom \( (2, 2)\text{,} \) så \( {f(2) = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -\dfrac{2}{2} + \textcolor{darkorange}{C} &= 2 \\ \textcolor{darkorange}{C} &= \textcolor{darkorange}{3} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ f(x) = -\dfrac{2}{x} + \textcolor{darkorange}{3} \]

Vi finner først hvor grafene skjærer hverandre. Arealet er integralet av den øverste grafen minus den nederste, mellom skjæringspunktene.

1. Finn skjæringspunktene Vi setter \( {g(x) = h(x)}\text{:} \) \[ x = -\dfrac{3}{x} + 4 \]

Vi ganger begge sider med \( x\text{,} \) som går fordi \( {x > 0}\text{,} \) og samler alt på én side: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]

Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) har løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-4}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{3}}\text{.} \) Hvis du er usikker på abc-formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-4}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-4})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{4 \pm 2}{2} \end{aligned} \]Grafene skjærer hverandre i \( {\underline{x = 1}} \) og \( {\underline{x = 3}}\text{.} \)

2. Finn grafen som ligger øverst Vi setter inn \( {x = 2}\text{,} \) som ligger mellom skjæringspunktene: \[ g(2) = 2 \qquad h(2) = -\dfrac{3}{2} + 4 = \dfrac{5}{2} \]Grafen til \( h \) ligger altså over grafen til \( g \) mellom \( {x = 1} \) og \( {x = 3}\text{.} \)

3. Regn ut arealet Arealet er integralet av den øverste minus den nederste: \[ \begin{aligned} A &= \int_1^3 \left(h(x) - g(x)\right) dx \\ &= \int_1^3 \left(-\dfrac{3}{x} + 4 - x\right) dx \end{aligned} \]

En antiderivert er \( {F(x) = -3\ln x + 4x - \dfrac{1}{2}x^2}\text{,} \) fordi \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}} \) for \( {x > 0}\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Det gir oss: \[ \begin{aligned} F(3) &= -3\ln 3 + 12 - \dfrac{9}{2} \\ &= \dfrac{15}{2} - 3\ln 3 \\ F(1) &= -3\ln 1 + 4 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2} \end{aligned} \]Her brukte vi at \( {\ln 1 = 0}\text{.} \)

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} A &= F(3) - F(1) \\ &= \dfrac{15}{2} - 3\ln 3 - \dfrac{7}{2} \\ &= 4 - 3\ln 3 \end{aligned} \]

Et integral regner arealet under \( x \)-aksen som negativt. Vi ser derfor på figuren hvor grafen ligger over og under \( x \)-aksen.

1. Se hvor grafen ligger Fra figuren ser vi at grafen ligger over \( x \)-aksen fra \( {x = -2} \) til \( {x = 0}\text{,} \) og under \( x \)-aksen fra \( {x = 0} \) til \( {x = 1}\text{.} \) Vi kaller arealet over \( x \)-aksen \( \textcolor{blue}{A_1} \) og arealet under \( \textcolor{red}{A_2}\text{.} \)

Der grafen ligger over \( x \)-aksen, er integralet lik arealet, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Der den ligger under, er integralet negativt, så arealet er minus integralet: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A_1} &= \int_{-2}^0 f(x)\,dx \\ \textcolor{red}{A_2} &= -\int_0^1 f(x)\,dx \end{aligned} \]

2. Sett sammen arealet Arealet av det markerte området er derfor: \[ \begin{aligned} A &= \textcolor{blue}{A_1} + \textcolor{red}{A_2} \\ &= \textcolor{blue}{\int_{-2}^{0} f(x)\,dx} - \textcolor{red}{\int_{0}^{1} f(x)\,dx} \end{aligned} \]Det er uttrykk 4.

Uttrykk 1 og 3 er like, og trekker arealet under \( x \)-aksen fra i stedet for å legge det til. Uttrykk 2 blir \( {\int_{-2}^{0} f(x)\,dx}\text{,} \) bare den delen som ligger over.

Vi bruker uttrykket for arealet fra a).

Vi finner en antiderivert til \( f \) og regner ut de to integralene i uttrykket fra a) hver for seg.

1. Finn en antiderivert Vi integrerer ledd for ledd med potensregelen for integraler: \[ \int x^{\textcolor{green}{n}}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n} + 1}x^{\textcolor{green}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( \textcolor{green}{n} \) lik \( 3\text{,} \) \( 2 \) og \( 1 \) i de tre leddene. Det gir oss: \[ F(x) = \dfrac{1}{4}x^4 + \dfrac{1}{3}x^3 - x^2 \]

2. Regn ut de to integralene I a) fant vi at arealet er: \[ A = \textcolor{blue}{\int_{-2}^{0} f(x)\,dx} - \textcolor{red}{\int_{0}^{1} f(x)\,dx} \]

Et bestemt integral regner vi ut med den antideriverte: \[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]

Vi setter inn grensene. Her er \( {F(0) = 0}\text{,} \) og: \[ \begin{aligned} F(-2) &= 4 - \dfrac{8}{3} - 4 = -\dfrac{8}{3} \\ F(1) &= \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{5}{12} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\int_{-2}^{0} f(x)\,dx} &= F(0) - F(-2) = \textcolor{blue}{\dfrac{8}{3}} \\ \textcolor{red}{\int_{0}^{1} f(x)\,dx} &= F(1) - F(0) = \textcolor{red}{-\dfrac{5}{12}} \end{aligned} \]

3. Sett sammen arealet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A &= \textcolor{blue}{\dfrac{8}{3}} - \left(\textcolor{red}{-\dfrac{5}{12}}\right) \\ &= \dfrac{32}{12} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{37}{12} \end{aligned} \]

Vi bruker de to integralene fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Integralet er null når arealet over \( x \)-aksen er like stort som arealet under. Vi ser på figuren hvor det kan skje.

1. Forklar hvorfor det finnes to løsninger Vi deler integralet i to ved \( {x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int_a^1 f(x)\,dx &= \int_a^0 f(x)\,dx \\ &\quad + \textcolor{red}{\int_0^1 f(x)\,dx} \end{aligned} \]I b) fant vi at \( {\textcolor{red}{\int_0^1 f(x)\,dx = -\dfrac{5}{12}}}\text{,} \) så integralet er null når: \[ \int_a^0 f(x)\,dx = \dfrac{5}{12} \]

Når \( a \) går fra \( 0 \) mot \( {-2}\text{,} \) ligger grafen over \( x \)-aksen, så \( \int_a^0 f(x)\,dx \) vokser fra \( 0 \) til \( \textcolor{blue}{\dfrac{8}{3}}\text{,} \) som vi fant i b). Den passerer \( \dfrac{5}{12} \) én gang, ved \( {a \approx -0{,}6}\text{,} \) som Kristian fant.

Til venstre for \( {x = -2} \) ligger grafen under \( x \)-aksen og går stadig lenger ned, så arealet mellom grafen og \( x \)-aksen fra \( a \) til \( {-2} \) blir så stort vi vil når \( a \) går mot venstre. Integralet blir da mindre igjen, og det er \( \dfrac{5}{12} \) igjen når dette arealet er: \[ \textcolor{blue}{\dfrac{8}{3}} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{32}{12} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{9}{4} \]Da er integralet null en gang til, så Unni har rett.

2. Anslå den andre løsningen Fra figuren er grafen omtrent \( {-4{,}4} \) ved \( {x = -2{,}5}\text{,} \) og omtrent \( {-7} \) ved \( {x = -2{,}7}\text{.} \) Vi regner området mellom grafen og \( x \)-aksen som en trekant fra \( a \) til \( {-2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} a = -2{,}5\text{:} \quad & \dfrac{1}{2} \cdot 0{,}5 \cdot 4{,}4 = 1{,}1 \\ a = -2{,}7\text{:} \quad & \dfrac{1}{2} \cdot 0{,}7 \cdot 7 = 2{,}45 \end{aligned} \]Grafen bøyer seg inn mot \( x \)-aksen, så det virkelige arealet er litt mindre enn trekanten. Trekanten ved \( {a = -2{,}7} \) er litt større enn \( {\dfrac{9}{4} = 2{,}25}\text{,} \) så arealet blir \( \dfrac{9}{4} \) nær \( {a = -2{,}7}\text{.} \)

Vi ser at integralet er et produkt av en potens og \( \ln x\text{.} \) Vi bruker derfor delvis integrasjon, med \( \ln x \) som den vi deriverer.

1. Velg u og v′ Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v}\,dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Delvis integrasjon.

\( \ln x \) blir enklere når vi deriverer den, så vi velger: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{x^2} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\dfrac{x^3}{3}} \end{aligned} \]

2. Sett inn i formelen Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \begin{aligned} \int x^2 \ln x\,dx &= \textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{x^3}{3}} \\ &\quad - \int \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{x^3}{3}}\,dx \\ &= \dfrac{x^3}{3}\ln x - \int \dfrac{x^2}{3}\,dx \\ &= \dfrac{x^3}{3}\ln x - \dfrac{x^3}{9} + C \end{aligned} \]

Vi integrerer ledd for ledd med potensregelen og setter inn grensene. Det gir en likning i \( x\text{,} \) som vi løser ved å faktorisere.

1. Integrer og sett inn grensene Potensregelen for integraler forteller oss at: \[ \int a \cdot t^n\,dt = \dfrac{a}{n + 1} \cdot t^{n + 1} + C \]Den gjelder for \( {n \neq -1}\text{.} \) Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Den antideriverte til \( {3t^2 - 1} \) er derfor \( {t^3 - t}\text{.} \) Vi setter inn den øvre grensen \( \textcolor{blue}{x} \) og trekker fra den nedre grensen \( {\textcolor{red}{-1}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\int_{\textcolor{red}{-1}}^{\textcolor{blue}{x}} \left(3t^2 - 1\right) dt \\ &= \Big[t^3 - t\Big]_{\textcolor{red}{-1}}^{\textcolor{blue}{x}} \\ &= \left(\textcolor{blue}{x}^3 - \textcolor{blue}{x}\right) - \left((\textcolor{red}{-1})^3 - (\textcolor{red}{-1})\right) \\ &= x^3 - x - 0 \end{aligned} \]

2. Løs likningen Vi setter \( {x^3 - x = 0} \) og faktoriserer ut \( x\text{.} \) Konjugatsetningen \( {x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)} \) gir: \[ \begin{aligned} x^3 - x &= 0 \\ x\left(x^2 - 1\right) &= 0 \\ x(x - 1)(x + 1) &= 0 \end{aligned} \]Et produkt er 0 når en av faktorene er 0, så \( {x = 0}\text{,} \) \( {x = 1} \) eller \( {x = -1}\text{.} \) Oppgaven krever \( {x > -1}\text{,} \) så vi forkaster \( {x = -1}\text{.} \)

Vi bruker svaret fra b), \( {x = 0} \) og \( {x = 1}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Et bestemt integral er arealet over \( t \)-aksen minus arealet under. Er funksjonen en endring per tid, er integralet hvor mye størrelsen har endret seg til sammen.

1. Tolk integralet som areal Grafen til \( {3t^2 - 1} \) ligger under \( t \)-aksen mellom nullpunktene \( {t = \pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}} \) og over ellers. At integralet fra \( {-1} \) til \( x \) er \( 0\text{,} \) betyr at \( \textcolor{blue}{\text{arealet over}} \) aksen er like stort som \( \textcolor{red}{\text{arealet under}}\text{.} \)

2. Gi et eksempel La \( {3t^2 - 1} \) være hvor fort temperaturen \( T \) i et rom endrer seg, i grader per time, \( t \) timer etter klokka 12. Integralet fra \( {-1} \) til \( x \) er da hvor mye temperaturen har endret seg fra klokka 11, som i videoen Hva er integrasjon: \[ T(x) - T(-1) = \int_{-1}^{x} \left(3t^2 - 1\right) dt \]

Fra b) er integralet \( 0 \) for \( {x = 0} \) og \( {x = 1}\text{:} \) \[ T(0) = T(1) = T(-1) \]Temperaturen klokka 12 og klokka 13 er altså den samme som klokka 11. Økningen og nedgangen veier hverandre opp.

Vi finner kvotienten for \( {x = \dfrac{1}{e}}\text{,} \) og ser om rekken konvergerer før vi bruker sumformelen.

1. Finn kvotienten Hvert ledd er det forrige ganget med \( {\textcolor{red}{k = \ln x - 1}}\text{.} \) Med \( {x = \dfrac{1}{e}} \) er \( {\ln \dfrac{1}{e} = -1}\text{,} \) så: \[ \textcolor{red}{k} = -1 - 1 = \textcolor{red}{-2} \]

2. Sjekk om rekken konvergerer En uendelig geometrisk rekke konvergerer bare når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{.} \) Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Med \( {\textcolor{red}{k = -2}} \) er rekken \( {1 - 2 + 4 - 8 + \dots}\text{,} \) og tallverdien til leddene blir større og større. Rekken divergerer, så den har ingen sum.

Sumformelen ville gitt \( {\dfrac{1}{1 - (-2)} = \dfrac{1}{3}}\text{,} \) men formelen gjelder ikke når rekken divergerer. Påstanden er derfor usann.

Vi ser på differansen \( {f(x) - g(x)}\text{.} \) Nullpunktene er skjæringspunktene, og arealet mellom grafene er integralet av den.

1. Finn skjæringspunktene Vi trekker \( g \) fra \( f\text{,} \) og \( {-x^2} \) forsvinner: \[ \begin{aligned} h(x) &= f(x) - g(x) \\ &= x^3 - (a + 1)x \\ &= x\left(x^2 - (a + 1)\right) \end{aligned} \]

Når \( {a > -1} \) er \( {a + 1 > 0}\text{,} \) og grafene skjærer hverandre i tre punkter: \[ x = 0 \quad \vee \quad x = \pm\sqrt{a + 1} \]Mellom dem avgrenser grafene to områder.

2. Regn ut de to arealene Integralet gir arealet under en graf, og arealet mellom grafene er integralet av differansen. Hvis du er usikker på det første, kan du se videoen Hva er integrasjon. Vi kaller \( {s = \sqrt{a + 1}}\text{,} \) så \( {s^2 = a + 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int_0^{\textcolor{red}{s}} h(x)\,dx &= \left[\dfrac{x^4}{4} - \dfrac{s^2 x^2}{2}\right]_0^{\textcolor{red}{s}} \\ &= \dfrac{s^4}{4} - \dfrac{s^4}{2} = -\dfrac{s^4}{4} \end{aligned} \]

På samme måte er: \[ \int_{\textcolor{blue}{-s}}^0 h(x)\,dx = 0 - \left(\dfrac{s^4}{4} - \dfrac{s^4}{2}\right) = \dfrac{s^4}{4} \]Det ene området har \( f \) over \( g\text{,} \) det andre \( g \) over \( f\text{,} \) og begge har arealet \( {\dfrac{s^4}{4} = \dfrac{(a + 1)^2}{4}}\text{.} \)

Det kunne vi også sett av at \( {h(-x) = -h(x)}\text{:} \) grafen til \( h \) er symmetrisk om origo. Påstanden er sann.

Vi finner en antiderivert ledd for ledd med potensregelen, og setter inn grensene.

1. Finn en antiderivert Potensregelen for integrasjon, som gjelder for \( {\textcolor{blue}{n} \neq -1}\text{,} \) forteller oss at: \[ \int a x^{\textcolor{blue}{n}}\,dx = \dfrac{a}{\textcolor{blue}{n} + 1}x^{\textcolor{blue}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Vi bruker den på hvert ledd, med \( {a = -1}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{3}} \) i \( {-x^3} \) og \( {a = 3}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{1}} \) i \( 3x\text{:} \) \[ F(x) = -\dfrac{x^{\textcolor{blue}{4}}}{\textcolor{blue}{4}} + \dfrac{3x^{\textcolor{blue}{2}}}{\textcolor{blue}{2}} \]

2. Sett inn grensene Det bestemte integralet er \( {F(0) - F(-1)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int_{-1}^{0} f(x)\,dx &= 0 - \left(-\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2}\right) \\ &= -\dfrac{5}{4} \end{aligned} \]

Vi bruker integralet fra a), \( {\displaystyle\int_{-1}^{0} f(x)\,dx = -\dfrac{5}{4}}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi ser hvor grafen ligger under og over \( x \)-aksen. Der den ligger under, er integralet negativt, så vi tar arealet av hver del for seg.

1. Finn fortegnet til f Vi faktoriserer: \[ f(x) = x(3 - x^2) \]

For \( x \) mellom \( {-1} \) og \( 1 \) er \( {3 - x^2 > 0}\text{,} \) så \( f(x) \) har samme fortegn som \( x\text{.} \) Grafen ligger under \( x \)-aksen fra \( {-1} \) til \( 0 \) og over fra \( 0 \) til \( 1\text{.} \) Hvis du er usikker på arealet som integral, kan du se videoen Hva er integrasjon.

2. Regn ut de to delene Fra \( 0 \) til \( 1 \) ligger grafen over aksen, og integralet er \( \textcolor{red}{\text{arealet over}}\text{:} \) \[ \int_0^1 f(x)\,dx = -\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2} - 0 = \textcolor{red}{\dfrac{5}{4}} \]

Fra \( {-1} \) til \( 0 \) ligger grafen under aksen, så \( \textcolor{blue}{\text{arealet under}} \) er minus integralet fra a). Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} A &= -\int_{-1}^{0} f(x)\,dx + \int_0^1 f(x)\,dx \\ &= \textcolor{blue}{\dfrac{5}{4}} + \textcolor{red}{\dfrac{5}{4}} = \dfrac{5}{2} \end{aligned} \]

Vi ser hva som legges til \( S \) i hver runde av løkka. Det er arealet av et smalt rektangel.

1. Les programmet Linje 1 til 4 deler intervallet \( {[-2, 2]} \) i \( {N = 1000} \) like deler med bredde \( {dx = \dfrac{2 - (-2)}{1000} = 0{,}004}\text{.} \) Linje 6 og 7 definerer \( {f(x) = x^2 - 1}\text{.} \)

I løkka i linje 10 til 12 er \( x_i \) venstre ende av del nummer \( i\text{,} \) og linje 12 legger til \( {\textcolor{red}{|f(x_i)|} \cdot \textcolor{blue}{dx}}\text{.} \) Det er arealet av et rektangel med bredde \( \textcolor{blue}{dx} \) og høyde \( \textcolor{red}{|f(x_i)|}\text{.} \)

Summen blir: \[ S = \sum_{i=0}^{999} \textcolor{red}{|f(x_i)|} \cdot \textcolor{blue}{dx} \]

2. Se hva summen blir Summen av rektanglene er en venstre Riemannsum, som i videoen Riemann sum. Med \( 1000 \) smale rektangler er den svært nær integralet: \[ S \approx \int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx \]Absoluttverdien gjør at områdene under \( x \)-aksen også telles positivt.

Vi regner ut \( {\displaystyle\int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( {x^2 - 1} \) skifter fortegn i \( {x = -1} \) og \( {x = 1}\text{.} \) Grafen er symmetrisk om \( y \)-aksen, så vi regner ut arealet fra \( 0 \) til \( 2 \) og ganger med \( 2\text{.} \)

1. Del opp intervallet \( {x^2 - 1 < 0} \) for \( {0 < x < 1}\text{,} \) og \( {x^2 - 1 > 0} \) for \( {1 < x < 2}\text{.} \) Der grafen er under aksen, integrerer vi \( {1 - x^2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx \\ &= 2\textcolor{blue}{\int_0^1 (1 - x^2)\,dx} \\ &\quad + 2\textcolor{red}{\int_1^2 (x^2 - 1)\,dx} \end{aligned} \]

2. Regn ut de to integralene Vi integrerer ledd for ledd med potensregelen, som gjelder for \( {n \neq -1}\text{,} \) se videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C \]

Det gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\int_0^1 (1 - x^2)\,dx} &= \left[x - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}} \\ \textcolor{red}{\int_1^2 (x^2 - 1)\,dx} &= \left[\dfrac{x^3}{3} - x\right]_1^2 \end{aligned} \]

Det siste er: \[ \left(\dfrac{8}{3} - 2\right) - \left(\dfrac{1}{3} - 1\right) = \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} = \textcolor{red}{\dfrac{4}{3}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ 2\left(\textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}} + \textcolor{red}{\dfrac{4}{3}}\right) = 2 \cdot 2 = 4 \]