Eksamensoppgaver etter tema

Et punkt ligger i planet når koordinatene passer i likningen. Vi setter derfor koordinatene til \( D \) inn i venstre side.

1. Sett inn punktet i likningen Vi setter inn \( {\textcolor{blue}{x = 3}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{y = 1}} \) og \( {\textcolor{green}{z = -1}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} & 2 \cdot \textcolor{blue}{3} - 5 \cdot \textcolor{red}{1} + 4 \cdot (\textcolor{green}{-1}) \\ &= 6 - 5 - 4 = -3 \end{aligned} \]Venstre side blir \( {-3}\text{,} \) ikke \( {-4}\text{.} \) Koordinatene passer ikke i likningen, så \( D \) ligger ikke i planet. Hvis du er usikker på likningen for et plan, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Kryssproduktet av to vektorer i planet står vinkelrett på begge, og dermed på planet. Vi regner ut \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \) og sammenligner med \( {[2, -5, 4]}\text{.} \)

1. Finn to vektorer i planet Vi lager to vektorer mellom punktene i planet: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [2 - 1,\ 0 - 2,\ -2 - 1] \\ &= [\textcolor{blue}{1}, \textcolor{red}{-2}, \textcolor{green}{-3}] \\ \overrightarrow{AC} &= [-1 - 1,\ 2 - 2,\ 2 - 1] \\ &= [\textcolor{blue}{-2}, \textcolor{red}{0}, \textcolor{green}{1}] \end{aligned} \]

2. Regn ut kryssproduktet For \( {\vec{a} = [\textcolor{blue}{a_1}, \textcolor{red}{a_2}, \textcolor{green}{a_3}]} \) og \( {\vec{b} = [\textcolor{blue}{b_1}, \textcolor{red}{b_2}, \textcolor{green}{b_3}]} \) er kryssproduktet: \[ \begin{aligned} \vec{a} \times \vec{b} = [\, &\textcolor{red}{a_2}\textcolor{green}{b_3} - \textcolor{green}{a_3}\textcolor{red}{b_2}, \\ &\textcolor{green}{a_3}\textcolor{blue}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{green}{b_3}, \\ &\textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_2} - \textcolor{red}{a_2}\textcolor{blue}{b_1}\,] \end{aligned} \]Hvis du er usikker på kryssproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet, som regner det ut med en determinant.

Plugger vi inn \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = [\, &(\textcolor{red}{-2}) \cdot \textcolor{green}{1} - (\textcolor{green}{-3}) \cdot \textcolor{red}{0}, \\ &(\textcolor{green}{-3}) \cdot (\textcolor{blue}{-2}) - \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{1}, \\ &\textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{0} - (\textcolor{red}{-2}) \cdot (\textcolor{blue}{-2})\,] \end{aligned} \]

3. Sammenlign med vektoren Regner vi ut koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= [-2, 5, -4] \\ &= -1 \cdot [2, -5, 4] \end{aligned} \]Kryssproduktet står vinkelrett på både \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) og dermed på planet. \( {[2, -5, 4]} \) er parallell med kryssproduktet, så den står også vinkelrett på planet og er en normalvektor.

Vi fullfører kvadratene i \( y \) og \( z\text{,} \) slik at likningen får formen til en kuleflate, der vi kan lese av sentrum.

1. Skriv opp formen til en kuleflate En kuleflate med sentrum \( (\textcolor{blue}{x_0}, \textcolor{red}{y_0}, \textcolor{green}{z_0}) \) og radius \( r \) har likningen: \[ \begin{aligned} (x - \textcolor{blue}{x_0})^2 &+ (y - \textcolor{red}{y_0})^2 \\ &+ (z - \textcolor{green}{z_0})^2 = r^2 \end{aligned} \]

2. Fullfør kvadratene Vi bruker kvadratsetningene baklengs og trekker fra det som blir til overs: \[ \begin{aligned} y^2 - 18y &= (y - \textcolor{red}{9})^2 - 81 \\ z^2 + 2z &= (z + \textcolor{green}{1})^2 - 1 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på å fullføre kvadratet, kan du se videoen abc-formelen – hvor kommer den fra?.

Plugger vi dette inn i likningen og flytter tallene over på høyre side, får vi: \[ x^2 + (y - \textcolor{red}{9})^2 + (z + \textcolor{green}{1})^2 = 82 - k \]

3. Les av sentrum Vi skriver \( {x^2 = (x - \textcolor{blue}{0})^2} \) og \( {z + \textcolor{green}{1} = z - (\textcolor{green}{-1})}\text{.} \) Da har likningen formen over, med sentrum: \[ (\textcolor{blue}{0}, \textcolor{red}{9}, \textcolor{green}{-1}) \]

Selv om du ikke fikk til b) og c), kan du løse denne: normalvektoren og sentrum står i oppgaveteksten.

Kulen tangerer planet i \( P\text{,} \) så radien fra sentrum til \( P \) står vinkelrett på planet. Linjen har derfor normalvektoren som retningsvektor.

1. Finn en retningsvektor Når en kule tangerer et plan, står radien til tangeringspunktet vinkelrett på planet. Linjen gjennom sentrum og \( P \) er derfor parallell med normalvektoren fra b): \[ \vec{n} = [\textcolor{blue}{2}, \textcolor{red}{-5}, \textcolor{green}{4}] \]

2. Sett opp parameterframstillingen En linje gjennom punktet \( (x_0, y_0, z_0) \) med retningsvektor \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{green}{c}] \) har parameterframstillingen: \[ \begin{cases} x = x_0 + \textcolor{blue}{a}t \\ y = y_0 + \textcolor{red}{b}t \\ z = z_0 + \textcolor{green}{c}t \end{cases} \]Hvis du er usikker på parameterframstillinger, kan du se videoen Forskjellige måter å skrive på.

Vi bruker sentrum \( {(0, 9, -1)} \) fra c) og plugger inn: \[ \begin{cases} x = \textcolor{blue}{2}t \\ y = 9 \textcolor{red}{- 5}t \\ z = -1 + \textcolor{green}{4}t \end{cases} \]

Vi bruker likningen fra c) og linjen fra d). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Tangeringspunktet \( P \) ligger både på linjen og i planet. Vi finner \( P\text{,} \) så radien, og da kan vi bestemme \( k\text{.} \)

1. Finn tangeringspunktet I d) fant vi linjen gjennom sentrum og \( P\text{:} \) \[ \begin{cases} x = 2t \\ y = 9 - 5t \\ z = -1 + 4t \end{cases} \]

Vi setter den inn i venstre side av likningen for planet: \[ \begin{aligned} & 2 \cdot 2t - 5(9 - 5t) + 4(-1 + 4t) \\ &= 4t - 45 + 25t - 4 + 16t \\ &= 45t - 49 \end{aligned} \]

Planet har \( {-4} \) på høyre side: \[ \begin{aligned} 45t - 49 &= -4 \\ 45t &= 45 \\ t &= 1 \end{aligned} \]

Det gir punktet: \[ \begin{aligned} P &= (2 \cdot 1,\ 9 - 5 \cdot 1,\ -1 + 4 \cdot 1) \\ &= (\textcolor{blue}{2}, \textcolor{red}{4}, \textcolor{green}{3}) \end{aligned} \]

2. Regn ut radien Radien er lengden av vektoren fra sentrum \( {(0, 9, -1)} \) til \( P(2, 4, 3)\text{.} \) Lengden finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}, \textcolor{green}{z}]|^2 = \textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2 + \textcolor{green}{z}^2 \]Hvis du er usikker på lengden av en vektor, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} r^2 &= (\textcolor{blue}{2} - 0)^2 + (\textcolor{red}{4} - 9)^2 \\ &\quad + (\textcolor{green}{3} - (-1))^2 \\ &= \textcolor{blue}{4} + \textcolor{red}{25} + \textcolor{green}{16} = 45 \end{aligned} \]

3. Finn konstanten I c) fant vi at kuleflaten har likningen: \[ x^2 + (y - 9)^2 + (z + 1)^2 = 82 - k \]

Høyre side er \( r^2\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} 82 - k &= 45 \\ k &= 37 \end{aligned} \]

Kontroll: Setter vi \( P(2, 4, 3) \) og \( {k = 37} \) inn i likningen fra oppgaven, blir venstre side \( {4 + 16 + 9 - 72 + 6 + 37}\text{,} \) som er \( 0\text{.} \)

Påstanden gjelder alle par av ortogonale vektorer, så vi ser på hva eleven faktisk har vist.

1. Se hva eleven har vist Eleven har valgt to bestemte vektorer, \( \textcolor{blue}{[4, 0, 0]} \) og \( \textcolor{red}{[0, 0, 3]}\text{,} \) og vist at likheten stemmer for dem. Det er et eksempel.

Påstanden sier at likheten stemmer for «alle» ortogonale vektorer \( \textcolor{blue}{\vec{p}} \) og \( \textcolor{red}{\vec{q}}\text{.} \) Ett eksempel viser ikke at den stemmer for alle de andre parene. Et eksempel kan bare vise at en slik påstand er usann. Det kalles et moteksempel, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1/​S1 Eksamen Vår 2026.

Et bevis må gjelde for vilkårlige vektorer der vi bare vet at \( {\vec{p} \cdot \vec{q} = 0}\text{.} \)

Vi skriver lengden i andre som skalarproduktet av vektoren med seg selv, ganger ut og bruker at \( {\vec{p} \cdot \vec{q} = 0}\text{.} \)

1. Skriv lengden som et skalarprodukt For en vektor \( \vec{v} \) er lengden i andre lik skalarproduktet med seg selv: \[ |\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v} \]To vektorer er ortogonale når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

2. Gang ut parentesene Vi lar \( \vec{p} \) og \( \vec{q} \) være vilkårlige ortogonale vektorer, så \( {\textcolor{darkorange}{\vec{p} \cdot \vec{q}} = 0}\text{.} \) Vi ganger ut parentesene som i vanlig algebra: \[ \begin{aligned} |\vec{p} + \vec{q}|^2 &= (\vec{p} + \vec{q}) \cdot (\vec{p} + \vec{q}) \\ &= \vec{p} \cdot \vec{p} + \vec{p} \cdot \vec{q} + \vec{q} \cdot \vec{p} + \vec{q} \cdot \vec{q} \\ &= |\vec{p}|^2 + 2\,\textcolor{darkorange}{\vec{p} \cdot \vec{q}} + |\vec{q}|^2 \\ &= |\vec{p}|^2 + |\vec{q}|^2 \end{aligned} \]I den tredje linjen brukte vi at \( {\vec{q} \cdot \vec{p} = \vec{p} \cdot \vec{q}}\text{,} \) og i den siste at \( {\textcolor{darkorange}{\vec{p} \cdot \vec{q}} = 0}\text{.} \)

Motorveien ligger i \( xy \)-planet, så høyden over veien er \( z \)-koordinaten. Vi setter inn \( {t = 4}\text{.} \)

1. Sett inn tiden i høyden \( z \)-koordinaten til \( \vec{r}(t) \) er \( {\textcolor{green}{50\left(1 - \dfrac{t}{10}\right)^2}}\text{.} \) Med \( {t = 4} \) får vi: \[ \begin{aligned} z(4) &= \textcolor{green}{50\left(1 - \dfrac{4}{10}\right)^2} \\ &= 50 \cdot 0{,}6^2 = 18 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på å lese av koordinatene i en parameterframstilling, kan du se videoen Forskjellige måter å skrive på.

Flyet lander når høyden er \( 0\text{.} \) Banefarten er lengden av fartsvektoren, som er den deriverte av posisjonsvektoren.

1. Finn når flyet lander Flyet lander når \( z \)-koordinaten er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 50\left(1 - \dfrac{t}{10}\right)^2 &= 0 \\ 1 - \dfrac{t}{10} &= 0 \\ t &= 10 \end{aligned} \]

2. Finn fartsvektoren Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, \( {\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)}\text{,} \) som i videoen Regn ut farten og akselerasjonen til partikkelen. For \( y \) og \( z \) bruker vi kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen: \[ \big(g(u)\big)' = g'(u) \cdot u' \]

Kjernen \( \dfrac{\pi}{10}t \) har derivert \( \dfrac{\pi}{10}\text{,} \) og kjernen \( {1 - \dfrac{t}{10}} \) har derivert \( {-\dfrac{1}{10}}\text{.} \) Vi deriverer hver koordinat for seg: \[ \begin{aligned} x'(t) &= \textcolor{blue}{30 - 2t} \\ y'(t) &= 8\cos\left(\dfrac{\pi}{10}t\right) \cdot \dfrac{\pi}{10} \\ &= \textcolor{red}{0{,}8\pi\cos\left(\dfrac{\pi}{10}t\right)} \\ z'(t) &= 50 \cdot 2\left(1 - \dfrac{t}{10}\right) \cdot \left(-\dfrac{1}{10}\right) \\ &= \textcolor{green}{t - 10} \end{aligned} \]

3. Regn ut banefarten ved landing Vi setter inn \( {t = 10}\text{.} \) Der er \( {\cos \pi = -1}\text{:} \) \[ \vec{v}(10) = [\textcolor{blue}{10},\ \textcolor{red}{-0{,}8\pi},\ \textcolor{green}{0}] \]

Banefarten er lengden av fartsvektoren. Lengden finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ |[x, y, z]| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}(10)| &= \sqrt{\textcolor{blue}{10}^2 + (\textcolor{red}{-0{,}8\pi})^2 + \textcolor{green}{0}^2} \\ &= \sqrt{100 + 0{,}64\pi^2} \approx 10{,}31 \end{aligned} \]Banefarten idet flyet lander, er omtrent \( 10{,}31\,\text{m/s}\text{.} \)

1. Regn ut banefarten i CAS Vi definerer posisjonen, deriverer den, finner når \( {z = 0} \) og regner ut lengden av fartsvektoren da. Den siste raden regner vi ut med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (30t - t^2, 8*sin(π/10*t), 50*(1 - t/10)^2) v(t) := Derivert(r(t), t) Løs(50*(1 - t/10)^2 = 0, t) Lengde(v(10))

Rad 3 viser at flyet lander ved \( {t = 10}\text{,} \) og rad 4 gir banefarten \( {|\vec{v}(10)| \approx 10{,}311\,\text{m/s}}\text{.} \)

Vi bruker fartsvektoren fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi skal finne \( t \) når lengden av fartsvektoren er \( 14{,}3\text{.} \) Vi tegner grafen til banefarten og finner skjæringen med linja \( {y = 14{,}3}\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke løse denne likningen. Øv heller på å finne fartsvektoren og banefarten, som i b), og på å regne ut banefarten for en gitt \( t\text{.} \)

1. Skriv opp banefarten I b) fant vi fartsvektoren. Kvadratet av banefarten er: \[ \begin{aligned} |\vec{v}(t)|^2 = \ &(\textcolor{blue}{30 - 2t})^2 \\ &+ \left(\textcolor{red}{0{,}8\pi\cos\left(\dfrac{\pi}{10}t\right)}\right)^2 \\ &+ (\textcolor{green}{t - 10})^2 \end{aligned} \]Vi skal finne \( t \) mellom \( 0 \) og landingen ved \( {t = 10} \) der \( {|\vec{v}(t)| = 14{,}3}\text{.} \) Likningen blander et polynom og cosinus, så den kan ikke løses for hånd.

2. Finn skjæringen med linja Vi tegner banefarten som en funksjon fra \( 0 \) til \( 10 \) og linja \( {y = 14{,}3}\text{,} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: b(x) = Funksjon(sqrt((30 - 2x)^2 + (0.8π*cos(π/10*x))^2 + (x - 10)^2), 0, 10) h: y = 14.3

Skjæringspunktet er \( {S \approx (7{,}9939,\ 14{,}3)}\text{.} \) Grafen synker hele veien fra start til landing, så banefarten er \( 14{,}3\,\text{m/s} \) bare én gang, etter omtrent \( 8{,}0 \) sekunder.

Vi bruker fartsvektoren fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi finner når flyet og fuglen er i krysningspunktet. Fuglen treffer flyet hvis flyet ikke har rukket å passere punktet når fuglen kommer dit.

1. Finn når flyet er i krysningspunktet Flyet er i \( {\left(125, 8, \dfrac{25}{2}\right)} \) når \( z \)-koordinaten er \( \dfrac{25}{2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 50\left(1 - \dfrac{t}{10}\right)^2 &= \dfrac{25}{2} \\ \left(1 - \dfrac{t}{10}\right)^2 &= \dfrac{1}{4} \\ 1 - \dfrac{t}{10} &= \pm\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {t = 5} \) eller \( {t = 15}\text{.} \) Flyet lander ved \( {t = 10}\text{,} \) så \( {t = 5}\text{.} \)

Vi sjekker de to andre koordinatene: \[ \begin{aligned} x(5) &= \textcolor{blue}{30 \cdot 5 - 5^2} = 125 \\ y(5) &= \textcolor{red}{8\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)} = 8 \end{aligned} \]Flyet er i krysningspunktet etter \( \underline{5\,\text{s}}\text{.} \)

2. Finn tiden fuglen bruker Fuglen flyr i en rett linje fra \( (131, 67, 23) \) til \( (125, 8, 12{,}5)\text{.} \) Vi trekker koordinatene fra hverandre: \[ \begin{aligned} 125 - 131 &= \textcolor{blue}{-6} \\ 8 - 67 &= \textcolor{red}{-59} \\ 12{,}5 - 23 &= \textcolor{green}{-10{,}5} \end{aligned} \]Vektoren mellom punktene er \( {[\textcolor{blue}{-6}, \textcolor{red}{-59}, \textcolor{green}{-10{,}5}]}\text{.} \)

Avstanden er lengden av vektoren: \[ \begin{aligned} s &= \sqrt{(\textcolor{blue}{-6})^2 + (\textcolor{red}{-59})^2 + (\textcolor{green}{-10{,}5})^2} \\ &= \sqrt{3627{,}25} \approx 60{,}227 \end{aligned} \]Tiden er strekning delt på fart, som i videoen Strekning, Fart og Tid (SVT): \[ t = \dfrac{s}{v} \approx \dfrac{60{,}227}{12} \approx 5{,}019 \]Fuglen er i krysningspunktet etter omtrent \( \underline{5{,}02\,\text{s}}\text{.} \)

3. Sammenlign tidene Fuglen kommer \( {5{,}019 - 5 = 0{,}019\,\text{s}} \) etter flyet. Regnet som punkter er de ikke der samtidig, men forskjellen er svært liten.

I b) fant vi koordinatene til fartsvektoren. Med \( {t = 5} \) er de: \[ \begin{aligned} x'(5) &= \textcolor{blue}{30 - 2 \cdot 5} = 20 \\ y'(5) &= \textcolor{red}{0{,}8\pi\cos\dfrac{\pi}{2}} = 0 \\ z'(5) &= \textcolor{green}{5 - 10} = -5 \end{aligned} \]

Banefarten til flyet er lengden av \( \vec{v}(5)\text{,} \) og strekningen det flytter seg på \( 0{,}019\,\text{s}\text{,} \) er banefart ganger tid: \[ \begin{aligned} |\vec{v}(5)| &= \sqrt{20^2 + (-5)^2} \approx 20{,}6 \\ s_{\text{fly}} &\approx 20{,}6 \cdot 0{,}019 \approx 0{,}39 \end{aligned} \]Flyet flytter seg bare omtrent \( 0{,}4\,\text{m}\text{,} \) og et lite propellfly er flere meter langt. Flyet er altså fortsatt i krysningspunktet når fuglen kommer, så fuglen treffer flyet.

1. Sammenlign tidene i CAS Vi fortsetter i CAS fra b), der \( r(t) \) er definert. Rad 5 finner når flyet er i krysningspunktet, rad 6 tiden fuglen bruker, avstanden delt på farten, og rad 7 banefarten til flyet da, med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Løs(r(t) = (125, 8, 25/2), t) Lengde((125, 8, 25/2) - (131, 67, 23)) / 12 Lengde(v(5))

Flyet er i krysningspunktet ved \( {t = 5}\text{,} \) og fuglen kommer dit etter omtrent \( 5{,}0189\,\text{s}\text{.} \) Rad 7 gir banefarten \( {|\vec{v}(5)| \approx 20{,}6155\,\text{m/s}}\text{,} \) så på de \( 0{,}0189\,\text{s} \) flytter flyet seg omtrent \( {20{,}6155 \cdot 0{,}0189 \approx 0{,}39\,\text{m}}\text{.} \) Det er mye mindre enn flyet er langt, så fuglen treffer flyet.

Vi fullfører kvadratene for \( x \) og \( z\text{,} \) slik at likningen får formen til likningen for en kuleflate.

1. Fullfør kvadratene En kuleflate med sentrum \( (\textcolor{blue}{x_0}, \textcolor{red}{y_0}, \textcolor{green}{z_0}) \) og radius \( r \) har likningen: \[ \begin{aligned} (x - \textcolor{blue}{x_0})^2 &+ (y - \textcolor{red}{y_0})^2 \\ &+ (z - \textcolor{green}{z_0})^2 = r^2 \end{aligned} \]

Vi bruker kvadratsetningene baklengs og trekker fra det som blir til overs, som i videoen abc-formelen – hvor kommer den fra?: \[ \begin{aligned} x^2 - 4x &= (x - 2)^2 - 4 \\ z^2 + 2z &= (z + 1)^2 - 1 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i likningen og legger \( 4 \) og \( 1 \) til på begge sider, får vi: \[ (x - \textcolor{blue}{2})^2 + y^2 + (z + \textcolor{green}{1})^2 = 9 \]

2. Les av sentrum og radius Vi skriver \( {y^2 = (y - \textcolor{red}{0})^2} \) og \( {z + \textcolor{green}{1} = z - (\textcolor{green}{-1})}\text{.} \) Sammenligner vi med likningen for en kuleflate, er \( {\textcolor{blue}{x_0} = \textcolor{blue}{2}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{y_0} = \textcolor{red}{0}} \) og \( {\textcolor{green}{z_0} = \textcolor{green}{-1}}\text{,} \) og \( {r^2 = 9}\text{,} \) så \( {r = 3}\text{.} \)

Et plan som tangerer en kuleflate, står vinkelrett på radien i tangeringspunktet. Vektoren fra sentrum til \( P \) er derfor en normalvektor til planet.

1. Finn en normalvektor Vi kaller sentrum i \( K \) for \( {C(1, -1, 3)}\text{.} \) Vektoren fra \( C \) til \( P \) er: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{CP} &= [3 - 1,\ -1 + 1,\ 3 - 3] \\ &= [\textcolor{blue}{2}, \textcolor{red}{0}, \textcolor{green}{0}] \end{aligned} \]Vi bruker \( {\vec{n} = \overrightarrow{CP}} \) som normalvektor.

2. Sett opp likningen for planet Et plan gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) med normalvektor \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{green}{c}] \) har likningen: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - x_0) + \textcolor{red}{b}(y - y_0) \\ &+ \textcolor{green}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Tangentplan eksempel!.

Plugger vi inn \( {P(3, -1, 3)} \) og \( {\vec{n} = [\textcolor{blue}{2}, \textcolor{red}{0}, \textcolor{green}{0}]}\text{,} \) blir leddene med \( y \) og \( z \) lik \( 0\text{,} \) og vi får: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2}(x - 3) &= 0 \\ x &= 3 \end{aligned} \]

Et plan skjærer gjennom en kuleflate hvis avstanden fra sentrum til planet er mindre enn radien. Vi regner ut avstanden fra sentrum i \( K \) til \( \beta\text{.} \)

1. Regn ut avstanden til planet Avstanden fra et punkt \( (x_0, y_0, z_0) \) til planet \( {\textcolor{blue}{a}x + \textcolor{red}{b}y + \textcolor{green}{c}z + d = 0} \) er: \[ D = \dfrac{|\textcolor{blue}{a}x_0 + \textcolor{red}{b}y_0 + \textcolor{green}{c}z_0 + d|}{\sqrt{\textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{red}{b}^2 + \textcolor{green}{c}^2}} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-2}} \) og \( {d = 1}\text{,} \) og sentrum er \( {(1, -1, 3)}\text{.} \) Vi regner ut telleren og det som står under rottegnet, hver for seg: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{3} \cdot 1 + \textcolor{red}{1} \cdot (-1) + (\textcolor{green}{-2}) \cdot 3 + 1 &= -3 \\ \textcolor{blue}{3}^2 + \textcolor{red}{1}^2 + (\textcolor{green}{-2})^2 &= 14 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ D = \dfrac{|-3|}{\sqrt{14}} = \dfrac{3}{\sqrt{14}} \]

2. Sammenlign med radien Radien i \( K \) er \( 2\text{,} \) og \( {\dfrac{3}{\sqrt{14}} < 2}\text{,} \) fordi \( {3 < 2\sqrt{14} = \sqrt{56}}\text{.} \) Planet er altså nærmere sentrum enn radien, så det skjærer gjennom kuleflaten.

Farten er lengden av fartsvektoren, og fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren. Vi deriverer, setter inn \( {t = 2} \) og regner ut lengden.

1. Finn fartsvektoren Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, \( {\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)}\text{,} \) som i videoen Regn ut farten og akselerasjonen til partikkelen. Vi deriverer hver koordinat for seg: \[ \vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{6},\ \textcolor{red}{7},\ \textcolor{green}{-5 + 0{,}2t}] \]

2. Regn ut farten etter to sekunder Med \( {t = 2} \) er \( z \)-koordinaten \( {\textcolor{green}{-5 + 0{,}2 \cdot 2 = -4{,}6}}\text{.} \) Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ |[x, y, z]| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}(2)| &= \sqrt{\textcolor{blue}{6}^2 + \textcolor{red}{7}^2 + (\textcolor{green}{-4{,}6})^2} \\ &= \sqrt{106{,}16} \approx 10{,}30 \end{aligned} \]Farten etter \( 2 \) sekunder er omtrent \( 10{,}30\,\text{m/s}\text{.} \)

1. Regn ut farten i CAS Vi definerer posisjonen, deriverer den og regner ut lengden av fartsvektoren for \( {t = 2}\text{.} \) Den siste raden regner vi ut med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (6t, 7t, -250 - 5t + 0.1t^2) v(t) := Derivert(r(t), t) Lengde(v(2))

Rad 2 gir fartsvektoren, og rad 3 gir farten \( {|\vec{v}(2)| \approx 10{,}3034\,\text{m/s}}\text{.} \)

Dybden er gitt av \( z \)-koordinaten. Vi finner bunnpunktet til \( z(t) \) ved å sette den deriverte lik null.

1. Finn når ubåten er dypest \( z \)-koordinaten er \( {z(t) = -250 - 5t + 0{,}1t^2}\text{,} \) og den deriverte er \( {z'(t) = \textcolor{green}{-5 + 0{,}2t}}\text{.} \) Den er null når: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{-5 + 0{,}2t} &= 0 \\ t &= 25 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på hvorfor vi setter den deriverte lik null, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025.

\( z'(t) \) er negativ før \( {t = 25} \) og positiv etter. Ubåten synker altså til \( {t = 25}\text{,} \) og stiger etterpå.

2. Regn ut dybden Vi setter inn \( {t = 25} \) i \( z(t)\text{:} \) \[ \begin{aligned} z(25) &= -250 - 5 \cdot 25 + 0{,}1 \cdot 25^2 \\ &= -250 - 125 + 62{,}5 \\ &= -312{,}5 \end{aligned} \]Ubåten er altså \( 312{,}5\,\text{m} \) under havoverflaten på det dypeste.

1. Finn bunnpunktet i CAS Vi fortsetter i CAS fra a). \( z \) er et navn GeoGebra bruker selv, så vi kaller \( z \)-koordinaten \( h(t)\text{.} \) Vi løser \( {h'(t) = 0} \) og setter løsningen inn:

Skriv inn i GeoGebra: h(t) := -250 - 5t + 0.1t^2 Løs(Derivert(h(t), t) = 0, t) h(25)

Rad 5 viser at den deriverte er null ved \( {t = 25}\text{,} \) og rad 6 gir \( {h(25) = -\dfrac{625}{2} = -312{,}5}\text{.} \) Ubåten er \( 312{,}5\,\text{m} \) under havoverflaten på det dypeste.

Vi finner avstanden mellom ubåten og midten av fiskestimen som en funksjon av \( t\text{,} \) og finner den minste avstanden. Ubåten kan bare kollidere hvis midtpunktene kommer nærmere enn radien til stimen pluss halve diagonalen til ubåten.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke finne bunnpunktet til denne avstanden for hånd. Øv heller på å sette opp vektoren mellom to punkter som beveger seg, og på å regne ut avstanden for en gitt \( t\text{.} \)

1. Sett opp avstanden Vektoren fra midten av stimen til ubåten er \( {\vec{r}(t) - \vec{s}(t)}\text{.} \) Vi trekker koordinatene fra hverandre, og \( {-250} \) i \( z \)-koordinaten forsvinner: \[ \begin{aligned} \vec{r}(t) - \vec{s}(t) = [&\textcolor{blue}{4t - 40},\ \textcolor{red}{5t - 60}, \\ &\textcolor{green}{0{,}1t^2 - 5t}] \end{aligned} \]

Avstanden \( d(t) \) er lengden av denne vektoren: \[ \begin{aligned} d(t)^2 = \ &(\textcolor{blue}{4t - 40})^2 + (\textcolor{red}{5t - 60})^2 \\ &+ (\textcolor{green}{0{,}1t^2 - 5t})^2 \end{aligned} \]

2. Finn den minste avstanden Vi tegner \( d \) for \( t \) fra \( 0 \) til \( 60 \) og finner bunnpunktet med kommandoen Ekstremalpunkt, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: d(x) = Funksjon(sqrt((4x - 40)^2 + (5x - 60)^2 + (0.1x^2 - 5x)^2), 0, 60) E = Ekstremalpunkt(d, 0, 60)

Bunnpunktet er \( {E \approx (8{,}3908,\ 39{,}8251)}\text{.} \) Etter omtrent \( 8{,}4 \) sekunder er ubåten nærmest midten av stimen, omtrent \( 39{,}8\,\text{m} \) unna. Etterpå øker avstanden hele tiden.

3. Vurder om de kolliderer Ingen del av ubåten er lenger fra midten av ubåten enn halve diagonalen: \[ \sqrt{2^2 + 2{,}5^2 + 4^2} = \sqrt{26{,}25} \approx 5{,}1 \]

Ubåten kan altså bare treffe stimen hvis midtpunktene kommer nærmere enn \( {15 + 5{,}1 \approx 20{,}1\,\text{m}}\text{.} \) Den minste avstanden er \( 39{,}8\,\text{m}\text{,} \) så ubåten kolliderer ikke med fiskestimen.

En vinkel er større enn \( 90^\circ \) når skalarproduktet av de to vektorene ut fra hjørnet er negativt. Vi regner ut skalarproduktet i hvert hjørne.

1. Skriv opp regelen Skalarproduktet av to vektorer er: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \textcolor{red}{\theta} \]der \( \textcolor{red}{\theta} \) er vinkelen mellom dem. Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Lengdene er positive, så skalarproduktet har samme fortegn som \( \cos \textcolor{red}{\theta}\text{.} \) Er det negativt, er \( \textcolor{red}{\theta} \) større enn \( 90^\circ\text{.} \)

2. Regn ut i hvert hjørne Ut fra \( A \) går \( {\overrightarrow{AB} = [2, 3, 0]} \) og \( {\overrightarrow{AC} = [1, 4, 1]}\text{,} \) ut fra \( B \) går \( {\overrightarrow{BA} = [-2, -3, 0]} \) og \( {\overrightarrow{BC} = [-1, 1, 1]}\text{,} \) og ut fra \( C \) går \( {\overrightarrow{CA} = [-1, -4, -1]} \) og \( {\overrightarrow{CB} = [1, -1, -1]}\text{.} \)

Vi ganger koordinatene parvis og legger sammen: \[ \begin{aligned} A\text{:} \quad \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} &= 2 + 12 + 0 = 14 \\ B\text{:} \quad \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} &= 2 - 3 + 0 = \textcolor{red}{-1} \\ C\text{:} \quad \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} &= -1 + 4 + 1 = 4 \end{aligned} \]Skalarproduktet er negativt bare i \( B\text{,} \) så vinkelen i \( B \) er større enn \( 90^\circ\text{.} \)

Arealet av en trekant er halvparten av lengden av vektorproduktet av to av sidene. Vi bruker \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC} \) fra a).

1. Regn ut vektorproduktet Arealet av trekanten er: \[ T = \dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| \]

Vektorproduktet av \( [a_1, a_2, a_3] \) og \( [b_1, b_2, b_3] \) er: \[ \begin{aligned} [&\textcolor{blue}{a_2b_3 - a_3b_2},\ \textcolor{red}{a_3b_1 - a_1b_3}, \\ &\textcolor{green}{a_1b_2 - a_2b_1}] \end{aligned} \]

Med \( {\overrightarrow{AB} = [2, 3, 0]} \) og \( {\overrightarrow{AC} = [1, 4, 1]} \) får vi: \[ \begin{aligned} & \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \\ &= [\textcolor{blue}{3 \cdot 1 - 0 \cdot 4},\ \textcolor{red}{0 \cdot 1 - 2 \cdot 1}, \\ &\qquad \textcolor{green}{2 \cdot 4 - 3 \cdot 1}] \\ &= [\textcolor{blue}{3}, \textcolor{red}{-2}, \textcolor{green}{5}] \end{aligned} \]

2. Regn ut arealet Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2}\sqrt{\textcolor{blue}{3}^2 + (\textcolor{red}{-2})^2 + \textcolor{green}{5}^2} \\ &= \dfrac{1}{2}\sqrt{38} \end{aligned} \]Enheten er desimeter, så arealet er i kvadratdesimeter.

Vi finner planet som bordplaten ligger i. Linja gjennom \( D \) og \( E \) treffer aldri planet hvis den er parallell med planet og ikke ligger i det.

1. Finn planet til bordplaten Vektorproduktet fra b) står vinkelrett på bordplaten, så \( {\vec{n} = [\textcolor{blue}{3}, \textcolor{red}{-2}, \textcolor{green}{5}]} \) er en normalvektor. Et plan gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) med normalvektor \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{green}{c}] \) har likningen: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - x_0) + \textcolor{red}{b}(y - y_0) \\ &+ \textcolor{green}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Tangentplan eksempel!.

Planet går gjennom \( A(0, 0, 0)\text{,} \) så likningen blir: \[ \textcolor{blue}{3}x \textcolor{red}{- 2}y + \textcolor{green}{5}z = 0 \]

2. Undersøk linja Retningsvektoren til linja er: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{DE} &= [2 - 3,\ 3 - 7,\ 2 - 3] \\ &= [-1, -4, -1] \end{aligned} \]

Skalarproduktet med normalvektoren er: \[ \begin{aligned} & \overrightarrow{DE} \cdot \vec{n} \\ &= (-1) \cdot \textcolor{blue}{3} + (-4) \cdot (\textcolor{red}{-2}) + (-1) \cdot \textcolor{green}{5} \\ &= -3 + 8 - 5 = 0 \end{aligned} \]Retningsvektoren står vinkelrett på normalvektoren, så linja er parallell med planet.

Setter vi \( D(3, 7, 3) \) inn i likningen for planet, får vi: \[ \textcolor{blue}{3} \cdot 3 \textcolor{red}{- 2} \cdot 7 + \textcolor{green}{5} \cdot 3 = 10 \neq 0 \]\( D \) ligger altså ikke i planet. En linje som er parallell med et plan og ikke ligger i det, treffer aldri planet, og derfor heller aldri bordplaten.

Bakkenivået er \( xy \)-planet, så høyden over bakken er \( z \)-koordinaten. Vi setter inn \( {t = 5}\text{.} \)

1. Regn ut z-koordinaten \( z \)-koordinaten er \( {\textcolor{green}{z(t) = 5 + \dfrac{1}{3}t}}\text{.} \) Med \( {t = \textcolor{red}{5}} \) får vi: \[ z(\textcolor{red}{5}) = 5 + \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{red}{5} = \dfrac{20}{3} \approx 6{,}67 \]Etter \( 5 \) sekunder er bilen omtrent \( 6{,}67\,\text{m} \) over bakken.

Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, og farten er lengden av fartsvektoren. Vi deriverer hver koordinat, setter inn \( {t = 10} \) og regner ut lengden.

1. Finn fartsvektoren Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, \( {\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)}\text{,} \) som i videoen Regn ut farten og akselerasjonen til partikkelen. Vi deriverer hver koordinat for seg. Kjerneregelen forteller oss at: \[ \begin{aligned} \big(\cos \textcolor{darkorange}{u}\big)' &= -\sin \textcolor{darkorange}{u} \cdot \textcolor{darkorange}{u'} \\ \big(\sin \textcolor{darkorange}{u}\big)' &= \cos \textcolor{darkorange}{u} \cdot \textcolor{darkorange}{u'} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er kjernen \( {\textcolor{darkorange}{u} = \dfrac{\pi}{5}t}\text{,} \) så \( {\textcolor{darkorange}{u'} = \dfrac{\pi}{5}}\text{.} \) Det gir: \[ \begin{aligned} \vec{v}(t) = \Big[&\textcolor{blue}{-\dfrac{4\pi}{5}\sin\left(\dfrac{\pi}{5}t\right)}, \\ &\textcolor{red}{\dfrac{4\pi}{5}\cos\left(\dfrac{\pi}{5}t\right)},\ \textcolor{green}{\dfrac{1}{3}}\Big] \end{aligned} \]

2. Regn ut farten etter ti sekunder Med \( {t = 10} \) er \( {\dfrac{\pi}{5} \cdot 10 = 2\pi}\text{,} \) og \( {\sin 2\pi = 0} \) og \( {\cos 2\pi = 1}\text{.} \) Det gir: \[ \vec{v}(10) = \left[\textcolor{blue}{0},\ \textcolor{red}{\dfrac{4\pi}{5}},\ \textcolor{green}{\dfrac{1}{3}}\right] \]

Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |\vec{v}| = \sqrt{\textcolor{blue}{x'}^2 + \textcolor{red}{y'}^2 + \textcolor{green}{z'}^2} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}(10)| &= \sqrt{\textcolor{blue}{0}^2 + \left(\textcolor{red}{\dfrac{4\pi}{5}}\right)^2 + \left(\textcolor{green}{\dfrac{1}{3}}\right)^2} \\ &\approx 2{,}54 \end{aligned} \]Farten etter \( 10 \) sekunder er omtrent \( 2{,}54\,\text{m/s}\text{.} \)

1. Regn ut farten i CAS Vi definerer posisjonen, deriverer den og setter inn \( {t = 10}\text{.} \) Den siste raden regner vi ut med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (4cos(π/5 t), 4sin(π/5 t) + 2, 5 + 1/3 t) v(t) := Derivert(r(t), t) v(10) Lengde(v(10))

Rad 2 gir fartsvektoren, og rad 4 gir farten \( {|\vec{v}(10)| \approx 2{,}5353\,\text{m/s}}\text{.} \)

Vi antar at bilen kjører én hel runde i spiralen fra en etasje til den neste. Da er avstanden mellom etasjene hvor mye bilen stiger på én runde.

1. Finn tiden for én runde \( x \) og \( y \) beskriver en sirkel med radius \( 4\text{.} \) Bilen har kjørt én hel runde når \( \dfrac{\pi}{5}t \) har økt med \( 2\pi\text{:} \) \[ \dfrac{\pi}{5}T = 2\pi \quad\Rightarrow\quad T = 10 \]Én runde tar altså \( 10 \) sekunder.

2. Finn hvor mye bilen stiger \( z \)-koordinaten øker med \( \textcolor{green}{\dfrac{1}{3}}\,\text{m} \) hvert sekund, fra b). På én runde stiger bilen derfor: \[ \textcolor{green}{\dfrac{1}{3}} \cdot 10 = \dfrac{10}{3} \approx 3{,}33 \]Med denne antakelsen er det omtrent \( 3{,}33\,\text{m} \) mellom etasjene, som er en rimelig høyde for en etasje. På de \( 20 \) sekundene kjører bilen to runder, altså to etasjer opp.

Bunnen er trekanten \( ABC\text{.} \) Arealet er halvparten av lengden til vektorproduktet av to av sidene.

1. Finn vektorproduktet Arealet av trekanten \( ABC \) er: \[ \text{Areal} = \dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| \]

Vektorproduktet av \( [\textcolor{blue}{a_1, a_2, a_3}] \) og \( [\textcolor{red}{b_1, b_2, b_3}] \) har koordinatene: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_2} \\ y&\text{:} \quad \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_3} \\ z&\text{:} \quad \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_1} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på vektorproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

\( A \) er origo, så \( {\overrightarrow{AB} = [\textcolor{blue}{3, 1, 2}]} \) og \( {\overrightarrow{AC} = [\textcolor{red}{-1, 3, 1}]}\text{.} \) Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} - \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{3} = -5 \\ y&\text{:} \quad \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{red}{-1}) - \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{1} = -5 \\ z&\text{:} \quad \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-1}) = 10 \end{aligned} \]Altså er \( {\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = [-5, -5, 10]}\text{.} \)

2. Regn ut arealet Lengden av vektorproduktet finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} \left|[-5, -5, 10]\right| &= \sqrt{25 + 25 + 100} \\ &= \sqrt{150} = 5\sqrt{6} \end{aligned} \]

Arealet er halvparten av dette: \[ \text{Areal} = \dfrac{5\sqrt{6}}{2} \]

\( T \) ligger på \( \ell\text{,} \) så \( {T = (t, t, 4t)}\text{.} \) Vi setter lengden av \( \overrightarrow{CT} \) lik \( \sqrt{17} \) og løser for \( t\text{.} \)

1. Sett opp likningen Med \( {T = (t, t, 4t)} \) og \( {C(-1, 3, 1)} \) er: \[ \overrightarrow{CT} = [\textcolor{blue}{t + 1},\ \textcolor{red}{t - 3},\ \textcolor{green}{4t - 1}] \]

Lengden er \( \sqrt{17}\text{,} \) så kvadratet av lengden er \( 17\text{:} \) \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{t + 1})^2 + (\textcolor{red}{t - 3})^2 + (\textcolor{green}{4t - 1})^2 &= 17 \\ 18t^2 - 12t + 11 &= 17 \\ 3t^2 - 2t - 1 &= 0 \end{aligned} \]

2. Løs andregradslikningen abc-formelen forteller oss at: \[ t = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {a = 3}\text{,} \) \( {b = -2} \) og \( {c = -1}\text{:} \) \[ t = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \dfrac{2 \pm 4}{6} \]Det gir \( {t = 1} \) eller \( {t = -\dfrac{1}{3}}\text{.} \)

3. Velg riktig løsning \( T \) er toppen av teltet, så den ligger over \( A\text{,} \) som har \( {z = 0}\text{.} \) \( {t = -\dfrac{1}{3}} \) gir \( {z = -\dfrac{4}{3}}\text{,} \) lavere enn alle hjørnene i bunnen, så \( {t = 1}\text{,} \) og \( {T = (1, 1, 4)}\text{.} \)

Ballen forlater taket ved \( {t = 0}\text{,} \) og høyden er \( z \)-koordinaten. Vi setter inn \( {t = 0} \) og \( {t = 0{,}5}\text{.} \)

1. Finn høyden til takkanten Ved \( {t = 0} \) er ballen på kanten av taket. Høyden er \( z \)-koordinaten, \( {\textcolor{green}{z(t) = 6 - 0{,}7t - 4{,}9t^2}}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{z(0)} = 6 - 0{,}7 \cdot 0 - 4{,}9 \cdot 0^2 = 6 \]

2. Finn posisjonen etter et halvt sekund Vi setter inn \( {t = 0{,}5} \) i hver koordinat: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x(0{,}5)} &= 2 \cdot 0{,}5 = 1 \\ \textcolor{red}{y(0{,}5)} &= 4 \cdot 0{,}5 = 2 \\ \textcolor{green}{z(0{,}5)} &= 6 - 0{,}35 - 1{,}225 = 4{,}425 \end{aligned} \]

Ballen treffer bakken når \( {z = 0}\text{.} \) Farten er lengden av fartsvektoren, som er den deriverte av posisjonsvektoren.

1. Finn når ballen treffer bakken Vi setter \( z \)-koordinaten lik \( 0 \) og ganger med \( {-1}\text{:} \) \[ 4{,}9t^2 + 0{,}7t - 6 = 0 \]

abc-formelen forteller oss at: \[ t = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {a = 4{,}9}\text{,} \) \( {b = 0{,}7} \) og \( {c = -6}\text{.} \) Tiden er positiv, så vi tar \( {+}\text{:} \) \[ \begin{aligned} t &= \dfrac{-0{,}7 + \sqrt{0{,}49 + 117{,}6}}{9{,}8} \\ &= \dfrac{-0{,}7 + \sqrt{118{,}09}}{9{,}8} \approx 1{,}0374 \end{aligned} \]

2. Finn fartsvektoren Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, \( {\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)}\text{,} \) som i videoen Regn ut farten og akselerasjonen til partikkelen. Vi deriverer hver koordinat for seg: \[ \vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{2},\ \textcolor{red}{4},\ \textcolor{green}{-0{,}7 - 9{,}8t}] \]

3. Regn ut farten Med \( {t \approx 1{,}0374} \) er \( z \)-koordinaten: \[ \textcolor{green}{-0{,}7 - 9{,}8 \cdot 1{,}0374 \approx -10{,}867} \]

Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ |[x, y, z]| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}| &\approx \sqrt{\textcolor{blue}{2}^2 + \textcolor{red}{4}^2 + (\textcolor{green}{-10{,}867})^2} \\ &\approx 11{,}75 \end{aligned} \]Ballen treffer bakken med en fart på omtrent \( 11{,}75\,\text{m/s}\text{.} \)

1. Regn ut farten i CAS Vi definerer posisjonen, deriverer den, finner når \( {z = 0} \) og regner ut lengden av fartsvektoren da. Rad 3 og 4 regner vi ut med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (2t, 4t, 6 - 0.7t - 4.9t^2) v(t) := Derivert(r(t), t) Løs(6 - 0.7t - 4.9t^2 = 0, t) Lengde(v(1.0374))

Rad 3 viser at ballen treffer bakken ved \( {t \approx 1{,}0374}\text{,} \) siden tiden er positiv. Rad 4 gir farten \( {|\vec{v}| \approx 11{,}7508\,\text{m/s}}\text{.} \)

Vi bruker fartsvektoren fra b), \( {\vec{v}(t) = [2,\ 4,\ -0{,}7 - 9{,}8t]}\text{.} \)

Vi setter lengden av fartsvektoren lik \( 10\text{,} \) og løser for \( t\text{.} \) Det er enklest å kvadrere begge sider først.

1. Sett opp likningen Farten er lengden av fartsvektoren, som i videoen Lengden til en Vektor. Den er \( 10 \) når kvadratet av lengden er \( 100\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2}^2 + \textcolor{red}{4}^2 + (\textcolor{green}{-0{,}7 - 9{,}8t})^2 &= 100 \\ (0{,}7 + 9{,}8t)^2 &= 80 \end{aligned} \]

2. Løs for t \( {t \ge 0}\text{,} \) så \( {0{,}7 + 9{,}8t} \) er positiv, og vi tar den positive roten: \[ \begin{aligned} 0{,}7 + 9{,}8t &= \sqrt{80} \\ t &= \dfrac{\sqrt{80} - 0{,}7}{9{,}8} \approx 0{,}8413 \end{aligned} \]Det er før ballen treffer bakken ved \( {t \approx 1{,}04} \) fra b), så svaret gjelder.

1. Løs likningen i CAS Vi fortsetter i CAS fra b), der \( v(t) \) er definert, og løser \( {|\vec{v}(t)| = 10} \) med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Løs(Lengde(v(t)) = 10, t)

Tiden er positiv, så farten er \( 10\,\text{m/s} \) ved \( {t \approx 0{,}8413\,\text{s}}\text{.} \)

Arealet av en trekant er halvparten av lengden til vektorproduktet av to av sidene.

1. Finn vektorproduktet Arealet av trekanten \( ABC \) er: \[ \text{Areal} = \dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| \]

Vi trekker koordinatene fra hverandre: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [\textcolor{blue}{3, 0, 1}] \\ \overrightarrow{AC} &= [\textcolor{red}{1, -1, -1}] \end{aligned} \]

Vektorproduktet av \( [\textcolor{blue}{a_1, a_2, a_3}] \) og \( [\textcolor{red}{b_1, b_2, b_3}] \) har koordinatene: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_2} \\ y&\text{:} \quad \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_3} \\ z&\text{:} \quad \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_1} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på vektorproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad \textcolor{blue}{0} \cdot (\textcolor{red}{-1}) - \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-1}) = 1 \\ y&\text{:} \quad \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} - \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-1}) = 4 \\ z&\text{:} \quad \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-1}) - \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{1} = -3 \end{aligned} \]Altså er \( {\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = [1, 4, -3]}\text{.} \)

2. Regn ut arealet Lengden finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \left|[1, 4, -3]\right| = \sqrt{1 + 16 + 9} = \sqrt{26} \]Arealet er halvparten av dette, \( \dfrac{\sqrt{26}}{2}\text{.} \)

Vi bruker arealet fra a), \( \dfrac{\sqrt{26}}{2}\text{.} \)

Avstanden fra \( C \) til linja er høyden i trekanten når \( AB \) er grunnlinja. Vi bruker arealformelen baklengs.

1. Bruk arealet Arealet av en trekant er grunnlinja ganger høyden, delt på \( 2\text{:} \) \[ \text{Areal} = \dfrac{\textcolor{blue}{|AB|} \cdot \textcolor{red}{h}}{2} \]

Grunnlinja er: \[ \textcolor{blue}{|AB|} = \sqrt{3^2 + 0^2 + 1^2} = \textcolor{blue}{\sqrt{10}} \]

Med arealet fra a) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{\sqrt{10}} \cdot \textcolor{red}{h}}{2} &= \dfrac{\sqrt{26}}{2} \\ \textcolor{red}{h} &= \dfrac{\sqrt{26}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\dfrac{13}{5}} = \dfrac{\sqrt{65}}{5} \end{aligned} \]Det er omtrent \( 1{,}61\text{.} \)

Vi bruker vektorproduktet fra a), \( {[1, 4, -3]}\text{.} \)

En linje som står vinkelrett på et plan, har en normalvektor til planet som retningsvektor. Vektorproduktet fra a) står vinkelrett på både \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) så det er en normalvektor til \( \alpha\text{.} \)

1. Sett opp parameterframstillingen En linje gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) med retningsvektor \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{green}{c}] \) har parameterframstillingen: \[ \ell\text{:} \ \begin{cases} x = x_0 + \textcolor{blue}{a}t \\ y = y_0 + \textcolor{red}{b}t \\ z = z_0 + \textcolor{green}{c}t \end{cases} \]Hvis du er usikker på parameterframstillinger, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Plugger vi inn \( {P(-2, 1, 4)} \) og \( {[\textcolor{blue}{1}, \textcolor{red}{4}, \textcolor{green}{-3}]}\text{,} \) får vi svaret.

Vi bruker normalvektoren \( {\vec{n} = [1, 4, -3]} \) fra c).

\( D \) ligger på \( z \)-aksen, så \( {D = (0, 0, d)}\text{.} \) Linja \( m \) er parallell med planet, så \( \overrightarrow{PD} \) står vinkelrett på normalvektoren. Da er skalarproduktet \( 0\text{.} \)

1. Sett opp vektoren PD Med \( {D = (0, 0, d)} \) og \( {P(-2, 1, 4)} \) er: \[ \overrightarrow{PD} = [\textcolor{blue}{2},\ \textcolor{red}{-1},\ \textcolor{green}{d - 4}] \]

2. Sett skalarproduktet lik 0 To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2} \cdot 1 + (\textcolor{red}{-1}) \cdot 4 & \\ + (\textcolor{green}{d - 4}) \cdot (-3) &= 0 \\ 10 - 3d &= 0 \\ d &= \dfrac{10}{3} \end{aligned} \]