Eksamensoppgaver etter tema

Vi finner \( \sin v \) med enhetsformelen og velger fortegnet ut fra kvadranten. Så regner vi ut \( \tan v \) som sinus delt på cosinus.

1. Finn sinus med enhetsformelen Enhetsformelen forteller oss at: \[ \textcolor{red}{\sin^2 v} + \textcolor{blue}{\cos^2 v} = 1 \]

Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{\cos v} = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\sin^2 v} &= 1 - \left(\textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}}\right)^2 = 1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9} \\ \textcolor{red}{\sin v} &= \pm\dfrac{\sqrt{5}}{3} \end{aligned} \]

I 4. kvadrant ligger punktet på enhetssirkelen under førsteaksen, så \( \sin v \) er negativ: \[ \textcolor{red}{\sin v} = \textcolor{red}{-\dfrac{\sqrt{5}}{3}} \]Hvis du er usikker på enhetssirkelen, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

2. Regn ut tangens Tangens er sinus delt på cosinus: \[ \tan v = \dfrac{\textcolor{red}{\sin v}}{\textcolor{blue}{\cos v}} \]

Plugger vi inn, får vi: \[ \tan v = \dfrac{\textcolor{red}{-\dfrac{\sqrt{5}}{3}}}{\textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}}} = -\dfrac{\sqrt{5}}{3} \cdot \dfrac{3}{2} = -\dfrac{\sqrt{5}}{2} \]

Vi får cosinus alene og finner vinklene der cosinus er \( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{.} \) Så legger vi til hele omganger og velger løsningene i intervallet.

1. Få cosinus alene Vi deler begge sider med \( 2\text{:} \) \[ \cos\left(\textcolor{green}{\dfrac{\pi}{3}x}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

2. Finn alle vinklene Cosinus er \( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \) for vinkelen \( \dfrac{\pi}{6}\text{,} \) og siden \( {\cos(-v) = \cos v}\text{,} \) også for \( {-\dfrac{\pi}{6}}\text{.} \)

Legger vi til hele omganger \( {n \cdot 2\pi}\text{,} \) får vi: \[ \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{3}x} = \pm\dfrac{\pi}{6} + n \cdot 2\pi \]Hvis du er usikker på hvorfor det blir to vinkler og hele omganger, kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

3. Finn løsningene i intervallet Vi ganger begge sider med \( \dfrac{3}{\pi}\text{:} \) \[ x = \pm\dfrac{1}{2} + n \cdot 6 \]

Vi setter inn hele tall for \( n \) og beholder løsningene mellom \( 0 \) og \( 10\text{:} \) \[ \begin{aligned} n = 0&: \quad x = \dfrac{1}{2} \\ n = 1&: \quad x = \dfrac{11}{2} \ \text{ og } \ x = \dfrac{13}{2} \end{aligned} \]For \( {n = 0} \) er \( {x = -\dfrac{1}{2}} \) mindre enn \( 0\text{,} \) og for \( {n = 2} \) er begge løsningene større enn \( 10\text{.} \)

Vi ser at likningen har både \( \sin x \) og \( \cos x\text{.} \) Vi deler derfor på \( \cos x \) og får en likning med \( \tan x\text{.} \)

1. Gjør om til en tangenslikning Vi flytter \( \sqrt{3}\,\textcolor{red}{\cos x} \) over og deler på \( \textcolor{red}{\cos x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\sin x} &= \sqrt{3}\,\textcolor{red}{\cos x} \\ \dfrac{\textcolor{blue}{\sin x}}{\textcolor{red}{\cos x}} &= \sqrt{3} \\ \tan x &= \sqrt{3} \end{aligned} \]Vi kan dele på \( \textcolor{red}{\cos x}\text{,} \) fordi \( {\cos x = 0} \) gir \( {\sin x = \pm 1}\text{,} \) og da er venstresiden i likningen ikke \( 0\text{.} \)

2. Finn løsningene Fra de eksakte verdiene vet vi at \( {\tan \dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}}\text{.} \) Tangens har periode \( \pi\text{,} \) så: \[ x = \dfrac{\pi}{3} + n \cdot \textcolor{green}{\pi} \]der \( n \) er et helt tall. Hvis du er usikker på perioden, kan du se videoen Oppgave 1B - Løs likningen.

I \( [0, 2\pi\rangle \) gir \( {n = 0} \) og \( {n = 1} \) løsningene: \[ x = \dfrac{\pi}{3} \qquad x = \dfrac{\pi}{3} + \textcolor{green}{\pi} = \dfrac{4\pi}{3} \]

Et produkt er null når en av faktorene er null. Vi løser \( {\sin x = \dfrac{1}{2}}\text{,} \) og ser hvor mange nye løsninger \( {\sin x = a} \) gir for ulike \( a\text{.} \)

1. Sett den første faktoren lik null Produktet er null når \( {\textcolor{blue}{\sin x = \dfrac{1}{2}}} \) eller \( {\textcolor{red}{\sin x = a}}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/​S1 Eksamen Vår 2026.

Fra de eksakte verdiene vet vi at \( {\sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Sinus har samme verdi i \( {\pi - \dfrac{\pi}{6}}\text{,} \) så den første faktoren gir alltid de to løsningene: \[ \textcolor{blue}{x = \dfrac{\pi}{6}} \qquad \textcolor{blue}{x = \dfrac{5\pi}{6}} \]Hvis du er usikker på den andre vinkelen, kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

2. Tell løsningene av den andre faktoren Antallet løsninger av \( {\textcolor{red}{\sin x = a}} \) i \( [0, 2\pi\rangle \) er: \[ \begin{aligned} |a| > 1&\text{:} \quad 0 \\ a = \pm 1&\text{:} \quad 1 \\ -1 < a < 1&\text{:} \quad 2 \end{aligned} \]

\( {\textcolor{red}{\sin x = a}} \) har ingen løsninger når \( {a > 1} \) eller \( {a < -1}\text{,} \) fordi sinus alltid ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) For \( {a = \dfrac{1}{2}} \) gir den de samme to løsningene som den første faktoren. Da har likningen to løsninger.

For \( {a = 1} \) og \( {a = -1} \) har den én løsning hver, \( {x = \dfrac{\pi}{2}} \) og \( {x = \dfrac{3\pi}{2}}\text{,} \) fordi det er bare ett punkt på enhetssirkelen med \( {y = 1}\text{,} \) og ett med \( {y = -1}\text{.} \) Da har likningen tre løsninger.

For \( {-1 < a < 1} \) med \( {a \neq \dfrac{1}{2}} \) gir den to nye løsninger, fordi linja \( {y = a} \) skjærer enhetssirkelen i to punkter. For \( {a = 0} \) er de \( {x = 0} \) og \( {x = \pi}\text{,} \) siden \( 2\pi \) ikke er med. Da har likningen fire løsninger.

En vinkel i radianer er buelengden delt på radien. Så gjør vi om til grader med at \( \pi \) radianer er \( 180^\circ\text{.} \)

1. Regn ut vinkelen i radianer En vinkel i radianer er: \[ v = \dfrac{\textcolor{blue}{\text{buelengde}}}{\textcolor{red}{\text{radius}}} \]

Her er buelengden \( \textcolor{blue}{4} \) og radien \( \textcolor{red}{3}\text{:} \) \[ v = \dfrac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{3}} \]

2. Gjør om til grader En halv sirkel er \( \pi \) radianer og \( 180^\circ\text{,} \) så vi ganger med \( \dfrac{180^\circ}{\pi}\text{:} \) \[ v = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} = \dfrac{240^\circ}{\pi} \]Med \( {\pi \approx 3{,}14} \) er dette omtrent \( 76^\circ\text{,} \) siden \( {3{,}14 \cdot 76 \approx 239}\text{.} \)

Vi ser at \( u \) er en spiss vinkel. Vi tegner derfor en rettvinklet trekant der \( {\tan u = 2}\text{,} \) finner hypotenusen med Pythagoras og leser av \( \sin u \) og \( \cos u\text{.} \)

1. Lag en trekant I en rettvinklet trekant er \( \tan u \) den motstående kateten delt på den hosliggende, som i videoen Introduksjon til Trigonometri. \( {\tan u = \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{1}}}\text{,} \) så vi kan velge den motstående kateten \( \textcolor{red}{2} \) og den hosliggende \( \textcolor{blue}{1}\text{.} \)

Hypotenusen finner vi med Pythagoras: \[ h = \sqrt{\textcolor{red}{2}^2 + \textcolor{blue}{1}^2} = \sqrt{5} \]

2. Les av sinus og cosinus Sinus er den motstående kateten delt på hypotenusen, og cosinus er den hosliggende delt på hypotenusen: \[ \begin{aligned} \sin u &= \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5} \\ \cos u &= \dfrac{\textcolor{blue}{1}}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5} \end{aligned} \]Begge er positive, fordi \( u \) ligger i første kvadrant.

Kontroll: \( {\sin^2 u + \cos^2 u = \dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{5} = 1}\text{,} \) og \( {\dfrac{\sin u}{\cos u} = 2}\text{.} \)

Vi tegner en sirkel med sentrum i toppunktet til vinkelen. Vinkelen i radianer er buen vinkelen spenner over, delt på radien. Til omgjøringen bruker vi at en halv runde er \( {180^\circ = \pi} \) radianer.

1. Skriv opp definisjonen Vi tegner en sirkel med radius \( \textcolor{blue}{r} \) og sentrum i toppunktet til vinkelen \( v\text{.} \) Buen mellom vinkelbeina har lengden \( \textcolor{red}{b}\text{.} \) Det absolutte vinkelmålet er: \[ v = \dfrac{\textcolor{red}{b}}{\textcolor{blue}{r}} \]

Vinkelen er altså \( 1 \) radian når buen er like lang som radien. En hel runde har buelengden \( 2\pi\textcolor{blue}{r}\text{,} \) så \( {360^\circ = 2\pi} \) radianer.

2. Gjør om 80 grader \( 180^\circ \) er \( \pi \) radianer, så \( 1^\circ \) er \( \dfrac{\pi}{180} \) radianer: \[ 80^\circ = 80 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{4\pi}{9} \]

Vi bruker at \( {\sin^2 v + \cos^2 v = 1}\text{,} \) og velger fortegnet til \( \cos v \) ut fra hvor vinkelen ligger.

1. Finn cosinus Punktet på enhetssirkelen har koordinatene \( (\textcolor{blue}{\cos v}, \textcolor{red}{\sin v})\text{,} \) og avstanden til origo er \( 1\text{.} \) Pythagoras forteller oss at: \[ \textcolor{red}{\sin^2 v} + \textcolor{blue}{\cos^2 v} = 1 \]Hvis du er usikker på enhetssirkelen, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

Plugger vi inn \( {\textcolor{red}{\sin v = -\dfrac{1}{4}}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\cos^2 v} &= 1 - \dfrac{1}{16} = \dfrac{15}{16} \\ \textcolor{blue}{\cos v} &= \pm\dfrac{\sqrt{15}}{4} \end{aligned} \]

\( v \) ligger mellom \( \pi \) og \( \dfrac{3\pi}{2}\text{,} \) altså i tredje kvadrant. Der er \( x \)-koordinaten negativ, så \( {\textcolor{blue}{\cos v = -\dfrac{\sqrt{15}}{4}}}\text{.} \)

2. Finn tangens Tangens er sinus delt på cosinus: \[ \begin{aligned} \tan v &= \dfrac{\textcolor{red}{\sin v}}{\textcolor{blue}{\cos v}} = \textcolor{red}{\left(-\dfrac{1}{4}\right)} \cdot \left(-\dfrac{4}{\textcolor{blue}{\sqrt{15}}}\right) \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{15}} = \dfrac{\sqrt{15}}{15} \end{aligned} \]Delt på en brøk er det samme som ganget med den omvendte brøken, og til slutt ganger vi med \( \sqrt{15} \) over og under brøkstreken.