Eksamensoppgaver etter tema

Vi ser at integralet består av to ledd. Vi finner derfor en antiderivert ledd for ledd og setter inn grensene til slutt.

1. Finn en antiderivert ledd for ledd Når eksponenten er \( kx\text{,} \) forteller integrasjonsreglene oss at: \[ \int e^{\textcolor{green}{k}x}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{k}}e^{\textcolor{green}{k}x} + C \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

\( \textcolor{blue}{e^{2x}} \) har \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{2}}\text{,} \) så integrert blir den \( \underline{\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{2x}}}\text{.} \)

\( \textcolor{red}{x} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x^2}}\text{,} \) fordi \( {\left(\dfrac{1}{2}x^2\right)' = x}\text{.} \)

2. Sett inn grensene Et bestemt integral regner vi ut med en antiderivert \( F\text{:} \) \[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]

Plugger vi inn antiderivertene og grensene, får vi: \[ \begin{aligned} & \int_0^2 \left(e^{2x} + x\right) dx \\ &= \left[\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{2x}} + \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x^2}\right]_0^2 \\ &= \left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{4}} + \textcolor{red}{2}\right) - \left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} + \textcolor{red}{0}\right) \\ &= \dfrac{e^4 + 3}{2} \end{aligned} \]Da vi satte inn \( {x = 0}\text{,} \) brukte vi at \( {e^0 = 1}\text{.} \)

Vi ser at \( \dfrac{1}{x} \) er den deriverte av \( \ln x\text{,} \) som står inni sinus. Vi bruker derfor variabelskifte med \( {u = \ln x}\text{.} \)

1. Bytt variabel Vi setter det som står inni sinus, lik \( \textcolor{green}{u}\text{,} \) og deriverer: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\ln x} \qquad \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} = \dfrac{1}{x} \]Løser vi for \( dx\text{,} \) får vi \( {dx = x\,d\textcolor{green}{u}}\text{.} \) Hvis du er usikker på variabelskifte, kan du se videoen Substitusjon.

2. Integrer med den nye variabelen Plugger vi dette inn i integralet, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{\sin(\textcolor{green}{\ln x})}{x}\,dx &= \int \dfrac{\sin \textcolor{green}{u}}{x} \cdot x\,d\textcolor{green}{u} \\ &= \int \sin \textcolor{green}{u}\,d\textcolor{green}{u} \\ &= -\cos \textcolor{green}{u} + C \end{aligned} \]\( x \) forkortes bort, og \( {-\cos u} \) er en antiderivert til \( \sin u\text{,} \) fordi \( {(\cos u)' = -\sin u}\text{.} \)

3. Bytt tilbake til den gamle variabelen Til slutt setter vi \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\ln x}} \) tilbake: \[ \int \dfrac{\sin(\ln x)}{x}\,dx = -\cos(\textcolor{green}{\ln x}) + C \]

Kontroll: Deriverer vi svaret med kjerneregelen, får vi \( {\sin(\ln x) \cdot \dfrac{1}{x}}\text{,} \) som er det vi integrerte.

Vi ser at integralet består av to ledd. Vi finner derfor en antiderivert ledd for ledd og setter inn grensene til slutt.

1. Finn en antiderivert ledd for ledd \( e^x \) er sin egen deriverte, så \( \textcolor{blue}{2e^x} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{blue}{2e^x}}\text{.} \) Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

For potenser forteller integrasjonsreglene oss at: \[ \int x^{\textcolor{green}{n}}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n} + 1}x^{\textcolor{green}{n} + 1} + C \]Regelen står også i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

\( \textcolor{red}{2x^2} \) har \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{2}}\text{,} \) så integrert blir den \( \underline{\textcolor{red}{\dfrac{2}{3}x^3}}\text{.} \)

2. Sett inn grensene Et bestemt integral regner vi ut med en antiderivert \( F\text{:} \) \[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]

Plugger vi inn antiderivertene og grensene, får vi: \[ \begin{aligned} & \int_0^1 \left(2e^x + 2x^2\right) dx \\ &= \left[\textcolor{blue}{2e^x} + \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}x^3}\right]_0^1 \\ &= \left(\textcolor{blue}{2e} + \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}}\right) - \left(\textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{0}\right) \\ &= 2e - \dfrac{4}{3} \end{aligned} \]Da vi satte inn \( {x = 0}\text{,} \) brukte vi at \( {e^0 = 1}\text{.} \)

Vi ser at telleren \( {2x - 1} \) er den deriverte av nevneren \( {x^2 - x - 6}\text{.} \) Vi bruker derfor variabelskifte med \( u \) lik nevneren.

1. Bytt variabel Vi setter nevneren lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x^2 - x - 6} \qquad \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} = 2x - 1 \]Løser vi for \( dx\text{,} \) får vi \( {dx = \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{2x - 1}}\text{.} \) Hvis du er usikker på variabelskifte, kan du se videoen Substitusjon.

2. Integrer med den nye variabelen Plugger vi dette inn i integralet, får vi: \[ \begin{aligned} & \int \dfrac{2x - 1}{\textcolor{green}{x^2 - x - 6}}\,dx \\ &= \int \dfrac{2x - 1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{2x - 1} \\ &= \int \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}}\,d\textcolor{green}{u} \\ &= \ln|\textcolor{green}{u}| + C \end{aligned} \]\( {2x - 1} \) forkortes bort, og \( \ln|u| \) er en antiderivert til \( \dfrac{1}{u}\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

3. Bytt tilbake til den gamle variabelen Til slutt setter vi \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x^2 - x - 6}} \) tilbake: \[ \begin{aligned} & \int \dfrac{2x - 1}{x^2 - x - 6}\,dx \\ &= \ln|\textcolor{green}{x^2 - x - 6}| + C \end{aligned} \]

Kontroll: Deriverer vi svaret med kjerneregelen, får vi \( {\dfrac{1}{x^2 - x - 6} \cdot (2x - 1)}\text{,} \) som er det vi integrerte.

Vi skriver \( {\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}} \) og deriverer brøken med kvotientregelen.

1. Skriv opp kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{blue}{u}}{\textcolor{red}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{blue}{u}' \cdot \textcolor{red}{v} - \textcolor{blue}{u} \cdot \textcolor{red}{v}'}{\textcolor{red}{v}^2} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{u} &= \textcolor{blue}{\sin x}, & \textcolor{blue}{u}' &= \cos x \\ \textcolor{red}{v} &= \textcolor{red}{\cos x}, & \textcolor{red}{v}' &= -\sin x \end{aligned} \]

2. Sett inn og forenkle Plugger vi dette inn, blir telleren: \[ \begin{aligned} &\cos x \cdot \textcolor{red}{\cos x} - \textcolor{blue}{\sin x} \cdot (-\sin x) \\ &= \cos^2 x + \sin^2 x \end{aligned} \]

Nevneren er \( {\textcolor{red}{v}^2 = \textcolor{red}{\cos^2 x}}\text{,} \) så: \[ f'(x) = \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\textcolor{red}{\cos^2 x}} \]

Vi deler brøken i to: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\cos^2 x}{\cos^2 x} + \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= 1 + \tan^2 x \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: den deriverte av \( \tan x \) står i oppgaveteksten i a), \( {(\tan x)' = 1 + \tan^2 x}\text{.} \)

Telleren er den deriverte av nevneren, så vi bruker substitusjon med \( {u = \tan x}\text{.} \)

1. Velg u Vi setter \( {\textcolor{blue}{u = \tan x}}\text{.} \) Fra a) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{du}{dx} &= 1 + \tan^2 x \\ \textcolor{red}{du} &= \textcolor{red}{(1 + \tan^2 x)\,dx} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på substitusjon, kan du se videoen Substitusjon.

2. Integrer med hensyn på u Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{\textcolor{red}{(1 + \tan^2 x)\,dx}}{\textcolor{blue}{\tan x}} &= \int \dfrac{1}{\textcolor{blue}{u}}\,\textcolor{red}{du} \\ &= \ln|\textcolor{blue}{u}| + C \end{aligned} \]Integralet av \( \dfrac{1}{u} \) står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Til slutt bytter vi tilbake til \( x\text{.} \)

Volumet er \( \pi \) ganger integralet av \( f(x)^2\text{.} \) Vi skriver om \( f(x)^2 \) med \( {\cos^2 x = 1 - \sin^2 x} \) til ledd vi kan integrere.

1. Sett opp volumet Volumet av et omdreiningslegeme om \( x \)-aksen er: \[ V = \pi \int_a^b f(x)^2\,dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Omdreiningslegeme x-akse.

2. Skriv om f(x)² Vi kvadrerer telleren og bytter \( \cos^2 x \) med \( {1 - \sin^2 x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(x)^2 &= \dfrac{4 - 4\cos x + \cos^2 x}{\sin^2 x} \\ &= \dfrac{5 - 4\cos x - \sin^2 x}{\sin^2 x} \\ &= \dfrac{\textcolor{blue}{5}}{\sin^2 x} - \dfrac{\textcolor{red}{4\cos x}}{\sin^2 x} - 1 \end{aligned} \]

3. Integrer ledd for ledd Siden \( {\left(\dfrac{\cos x}{\sin x}\right)' = -\dfrac{1}{\sin^2 x}} \) med kvotientregelen, er \( {\displaystyle\int \dfrac{\textcolor{blue}{5}}{\sin^2 x}\,dx = -\textcolor{blue}{5}\dfrac{\cos x}{\sin x}}\text{.} \)

I det midterste leddet setter vi \( {u = \sin x}\text{,} \) så \( {du = \cos x\,dx}\text{,} \) som i videoen Substitusjon: \[ \int \dfrac{\textcolor{red}{4\cos x}}{\sin^2 x}\,dx = \int \dfrac{4}{u^2}\,du = -\dfrac{4}{\sin x} \]

Til sammen: \[ V = \pi\left[-\dfrac{\textcolor{blue}{5}\cos x}{\sin x} + \dfrac{\textcolor{red}{4}}{\sin x} - x\right]_{\pi/4}^{3\pi/4} \]

4. Sett inn grensene Med \( {\sin\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{,} \) \( {\cos\dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \) og \( {\dfrac{4}{\sqrt{2}/2} = 4\sqrt{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \text{øvre: } & 5 + 4\sqrt{2} - \dfrac{3\pi}{4} \\ \text{nedre: } & -5 + 4\sqrt{2} - \dfrac{\pi}{4} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} V &= \pi\left(10 - \dfrac{\pi}{2}\right) \\ &= 10\pi - \dfrac{\pi^2}{2} \approx 26{,}48 \end{aligned} \]

1. Regn ut volumet i CAS Vi skriver \( f \) og integralet, først eksakt og så med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := (2 - cos(x))/sin(x) π*Integral(f(x)^2, π/4, 3π/4) ≈ π*Integral(f(x)^2, π/4, 3π/4)

Rad 2 gir det samme eksakte svaret som for hånd.

Fra a) er volumet av legemet omtrent \( 26{,}48\text{,} \) og legemet er \( {\dfrac{3\pi}{4} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}571} \) langt.

Volumet \( {26{,}48 < 45} \) er ikke nok: legemet må også passe i formen. Kjeglen blir smalere oppover, så vi ser om kjeglen er bred nok også der legemet slutter.

1. Finn høyden i kjeglen Volumet av en kjegle er \( \dfrac{1}{3}\pi r^2 h\text{,} \) som i videoen Koblede hastigheter. Med \( {r = 4} \) og volum \( 45\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{3}\pi \cdot 4^2 \cdot h &= 45 \\ h &= \dfrac{135}{16\pi} \approx 2{,}686 \end{aligned} \]

2. Plasser den brede enden nederst Radiene i endene er \( {f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)} \) og \( {f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}\text{.} \) Vi ganger teller og nevner med \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)} &= \dfrac{4 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ &= \textcolor{red}{2\sqrt{2} + 1} \approx \textcolor{red}{3{,}83} \\ \textcolor{blue}{f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)} &= \dfrac{4 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ &= \textcolor{blue}{2\sqrt{2} - 1} \approx \textcolor{blue}{1{,}83} \end{aligned} \]

Det er best å la den brede enden stå på grunnflaten, der kjeglen er bredest. Da står den smale enden \( 1{,}571 \) over grunnflaten.

3. Sjekk den smale enden Radien i kjeglen avtar jevnt fra \( 4 \) ved grunnflaten til \( 0 \) i toppen. I høyden \( 1{,}571 \) er den: \[ 4\left(1 - \dfrac{1{,}571}{2{,}686}\right) \approx 1{,}66 \]

Den smale enden har radius \( \textcolor{blue}{1{,}83}\text{,} \) som er større enn \( 1{,}66\text{.} \) Legemet går altså ut gjennom kjegleveggen øverst. Snur vi legemet, står den brede enden der, og det blir enda verre.