Eksamensoppgaver etter tema

En kontinuerlig funksjon har en omvendt funksjon på et intervall der den hele tiden vokser eller hele tiden avtar. Vi finner derfor ut hvor \( f \) vokser og hvor den avtar.

1. Finn nullpunktene til den deriverte Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ f'(x) = \dfrac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2 \cdot 2x = x^2 - 4x \]

Faktoriserer vi ut \( x\text{,} \) får vi \( {f'(x) = \textcolor{darkorange}{x}(\textcolor{magenta}{x - 4})}\text{.} \) Den er \( 0 \) når \( {x = 0} \) og når \( {x = 4}\text{.} \)

2. Lag en fortegnslinje Vi lager en fortegnslinje for \( f'(x)\text{,} \) som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [0, 4], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x}", "expr": "x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 4}", "expr": "x - 4"}, {"label": "f'(x)", "expr": "x(x - 4)"}]} En strek viser hvor en linje er \( 0\text{.} \) Der \( f'(x) \) er pluss, vokser \( f\text{,} \) og der den er minus, avtar \( f\text{.} \) \( f \) vokser fram til \( {x = 0}\text{,} \) avtar fra \( {x = 0} \) til \( {x = 4} \) og vokser igjen.

3. Velg intervallet rundt 2 For å finne den omvendte funksjonen må vi kunne løse \( {y = f(x)} \) for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Det går bare når hver verdi av \( y \) kommer fra bare én verdi av \( x\text{.} \)

\( 2 \) ligger mellom \( 0 \) og \( 4\text{,} \) der \( f \) hele tiden avtar. Tar vi med noe utenfor \( [0, 4]\text{,} \) snur grafen, og \( f \) får noen av verdiene to ganger. Det største intervallet er derfor \( [0, 4]\text{.} \)

Vi bruker at \( g \) er den omvendte funksjonen til \( f \) på \( {I = [0, 4]} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Punktet \( {(-10, 3)} \) på grafen til \( g \) svarer til punktet \( {(3, -10)} \) på grafen til \( f\text{.} \) Stigningstallet til \( g \) finner vi fra stigningstallet til \( f \) i det punktet.

1. Sjekk punktet Vi setter \( {x = 3} \) inn i \( f(x)\text{:} \) \[ f(3) = \dfrac{1}{3} \cdot 27 - 2 \cdot 9 - 1 = -10 \]Siden \( 3 \) ligger i \( [0, 4]\text{,} \) er \( {g(-10) = 3}\text{.} \)

2. Deriver den omvendte funksjonen Siden \( g \) er den omvendte funksjonen til \( f\text{,} \) er \( {f(g(x)) = x}\text{.} \) Vi deriverer begge sider. Kjerneregelen forteller oss at: \[ \bigl(f(\textcolor{green}{g(x)})\bigr)' = f'(\textcolor{green}{g(x)}) \cdot \textcolor{green}{g'(x)} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Høyre side, \( x\text{,} \) har derivert \( 1\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} f'(\textcolor{green}{g(x)}) \cdot \textcolor{green}{g'(x)} &= 1 \\ g'(x) &= \dfrac{1}{f'(g(x))} \end{aligned} \]

3. Sett inn punktet I a) fant vi \( {f'(x) = x^2 - 4x}\text{,} \) så \( {f'(3) = 9 - 12 = -3}\text{.} \) Med \( {g(-10) = 3} \) får vi: \[ g'(-10) = \dfrac{1}{f'(3)} = \dfrac{1}{-3} = -\dfrac{1}{3} \]

Vi bruker \( {f'(x) = x^2 - 4x} \) fra a) og \( {g'(x) = \dfrac{1}{f'(g(x))}} \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Grafen til \( g \) har stigningstall \( {-\dfrac{1}{3}} \) der grafen til \( f \) har stigningstall \( {-3}\text{.} \) Vi løser derfor \( {f'(x) = -3} \) for \( x \) i \( [0, 4]\text{.} \)

1. Finn punktene med samme stigningstall Fra b) er stigningstallet til grafen til \( g \) i punktet \( (f(x), x) \) lik \( \dfrac{1}{f'(x)}\text{.} \) Det er \( {-\dfrac{1}{3}} \) når \( {f'(x) = -3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x^2 - 4x &= -3 \\ x^2 - 4x + 3 &= 0 \end{aligned} \]

Bokstavene \( a \) og \( b \) er brukt i oppgaven, så vi kaller koeffisientene \( \textcolor{blue}{p}\text{,} \) \( \textcolor{red}{q} \) og \( \textcolor{green}{r}\text{.} \) Med abc-formelen har \( {\textcolor{blue}{p}x^2 + \textcolor{red}{q}x + \textcolor{green}{r} = 0} \) løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{green}{r}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{p}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{-4}} \) og \( {\textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{3}}\text{,} \) får vi: \[ x = \dfrac{4 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-4})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} = \dfrac{4 \pm 2}{2} \]Det gir \( {x = 3} \) eller \( {x = 1}\text{.} \)

2. Finn tangeringspunktet \( {x = 3} \) gir punktet \( {(-10, 3)} \) fra b). Den andre løsningen, \( {x = 1}\text{,} \) ligger i \( [0, 4]\text{:} \) \[ f(1) = \dfrac{1}{3} - 2 - 1 = -\dfrac{8}{3} \]Punktet \( {\left(1, -\dfrac{8}{3}\right)} \) på grafen til \( f \) svarer til punktet \( {\left(-\dfrac{8}{3}, 1\right)} \) på grafen til \( g\text{.} \)

Vi skriver opp tangenten i et punkt \( {x = b} \) på grafen, og krever at den går gjennom \( A(0, 0)\text{.} \) Det gir en likning for \( b\text{.} \)

1. Skriv opp tangenten i et punkt Vi kaller førstekoordinaten til \( B \) for \( \textcolor{blue}{b}\text{.} \) Tangenten i \( {x = \textcolor{blue}{b}} \) har stigningstallet \( f'(\textcolor{blue}{b}) \) og går gjennom punktet \( (\textcolor{blue}{b}, f(\textcolor{blue}{b}))\text{:} \) \[ y = f'(\textcolor{blue}{b}) \cdot (x - \textcolor{blue}{b}) + f(\textcolor{blue}{b}) \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Tangentlinje.

Siden \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, er \( {f'(\textcolor{blue}{b}) = \dfrac{1}{\textcolor{blue}{b}}}\text{.} \) Det gir tangenten: \[ y = \dfrac{1}{\textcolor{blue}{b}} \cdot (x - \textcolor{blue}{b}) + \ln \textcolor{blue}{b} \]

2. Krev at tangenten går gjennom A Tangenten går gjennom \( A(0, 0) \) når \( {y = 0} \) for \( {x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0 &= \dfrac{1}{\textcolor{blue}{b}} \cdot (0 - \textcolor{blue}{b}) + \ln \textcolor{blue}{b} \\ 0 &= -1 + \ln \textcolor{blue}{b} \\ \ln \textcolor{blue}{b} &= 1 \end{aligned} \]

Fra definisjonen er \( {\ln e = 1}\text{,} \) så \( {\textcolor{blue}{b} = e}\text{.} \) Andrekoordinaten er \( {f(e) = \ln e = 1}\text{.} \)

1. Løs likningen i CAS Tangenten i \( {x = b} \) er \[ g(x) = f'(b) \cdot (x - b) + f(b) \]og den går gjennom origo når \( {g(0) = 0}\text{.} \) Vi skriver funksjonen og tangenten inn i CAS og løser likningen med Løs, som gir eksakte svar:

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := ln(x) g(x) := f'(b)*(x - b) + f(b) Løs(g(0) = 0, b) f(e)

CAS gir \( {b = e} \) og \( {f(e) = 1}\text{,} \) så \( {B = (e, 1)}\text{.} \)

Vi bruker \( B(e, 1) \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( C \) ligger på \( {y = x}\text{,} \) så \( {C = (c, c)}\text{.} \) Vinkelen i \( C \) er rett når \( {\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0}\text{,} \) og arealet er halvparten av produktet av katetene.

1. Skriv opp kravet Vinkelen \( \angle ACB \) er \( 90^\circ \) når skalarproduktet av \( \overrightarrow{CA} \) og \( \overrightarrow{CB} \) er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Med koordinater ganger vi sammen førstekoordinatene og andrekoordinatene, og legger sammen: \[ [\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{red}{y_1}] \cdot [\textcolor{blue}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}] = \textcolor{blue}{x_1 \cdot x_2} + \textcolor{red}{y_1 \cdot y_2} \]

Begge vektorene starter i \( C(c, c)\text{:} \) \[ \begin{aligned} \overrightarrow{CA} &= [0 - c,\ 0 - c] = [\textcolor{blue}{-c}, \textcolor{red}{-c}] \\ \overrightarrow{CB} &= [\textcolor{blue}{e - c}, \textcolor{red}{1 - c}] \end{aligned} \]

2. Finn C Plugger vi dette inn og faktoriserer ut \( {-c}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{-c})(\textcolor{blue}{e - c}) + (\textcolor{red}{-c})(\textcolor{red}{1 - c}) &= 0 \\ -c\,(e + 1 - 2c) &= 0 \end{aligned} \]

\( {c = 0} \) gir \( {C = A}\text{,} \) og da er det ingen trekant. Altså er \( {e + 1 - 2c = 0}\text{,} \) så: \[ c = \dfrac{e + 1}{2} \]

3. Regn ut arealet Vinkelen i \( C \) er rett, så \( CA \) og \( CB \) er katetene, og arealet \( T \) er halvparten av produktet av dem. Med \( {c = \dfrac{e + 1}{2}} \) er \( {\overrightarrow{CB} = \left[\dfrac{e - 1}{2},\ \dfrac{1 - e}{2}\right]}\text{,} \) og med Pythagoras, \( {|[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{CA}| &= \sqrt{2c^2} = \dfrac{e + 1}{\sqrt{2}} \\ |\overrightarrow{CB}| &= \sqrt{2 \cdot \left(\dfrac{e - 1}{2}\right)^2} = \dfrac{e - 1}{\sqrt{2}} \end{aligned} \]

Konjugatsetningen, \( {(e + 1)(e - 1) = e^2 - 1}\text{,} \) gir da: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{e + 1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{e - 1}{\sqrt{2}} = \dfrac{e^2 - 1}{4} \]

1. Løs i CAS Vi fortsetter i CAS-vinduet fra a) og skriver \( \overrightarrow{CA} \) og \( \overrightarrow{CB} \) inn som \( u \) og \( w\text{,} \) løser \( {u \cdot w = 0} \) og setter \( {c = \dfrac{e + 1}{2}} \) inn i arealet med ByttUt. Rad 9 er rad 8 med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: u := Vektor((-c, -c)) w := Vektor((e - c, 1 - c)) Løs(u*w = 0, c) ByttUt(1/2*Lengde(u)*Lengde(w), c = (e + 1)/2)

CAS gir \( {c = \dfrac{e + 1}{2}} \) og arealet \( {\dfrac{1}{4}e^2 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{e^2 - 1}{4} \approx 1{,}5973}\text{.} \) Løsningen \( {c = 0} \) gir \( {C = A}\text{,} \) så den forkaster vi.