Eksamensoppgaver etter tema

Vi bruker to ting: \( a^x \) er \( 1 \) i \( {x = 0}\text{,} \) og graden til et polynom synker med to når vi deriverer to ganger.

1. Finn eksponentialfunksjonen 0:46 Bare A og G vokser stadig brattere, slik eksponentialfunksjoner gjør. Den deriverte av \( a^x \) er \( a^x \) ganget med \( \ln a\text{,} \) så den dobbeltderiverte er også en eksponentialfunksjon: \[ \begin{aligned} (a^x)' &= a^x \cdot \ln a \\ (a^x)'' &= (\ln a)^2 \cdot a^x \end{aligned} \]

\( {a^0 = 1} \) for alle \( a\text{,} \) så grafen til \( a^x \) går gjennom \( (0, 1)\text{.} \) Det gjør G, men ikke A. G går også gjennom \( (1, 2)\text{,} \) så \( {G = 2^x} \) og \( {A = (\ln 2)^2 \cdot 2^x \approx 0{,}48 \cdot 2^x}\text{.} \)

2. Bruk at graden synker med to 4:19 Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Bruker vi den to ganger, får vi: \[ \begin{aligned} (x^b - c)' &= b \cdot x^{b - 1} \\ (x^b - c)'' &= b(b - 1) \cdot x^{b - 2} \end{aligned} \]Graden er den største eksponenten, som i videoen Hva er et Polynom?, så den synker fra \( b \) til \( {b - 2}\text{.} \)

I \( {x = 0} \) er \( {x^b - c = -c}\text{,} \) som er negativ. Det passer med B, E og F. C og D går gjennom origo, og H ligger over \( x \)-aksen, så C, D og H er dobbeltderiverte.

3. Finn de tre parene 4:51 \( \textcolor{blue}{B} \) har et terrassepunkt i \( {(0, -1)}\text{,} \) så \( {c = 1} \) og \( b \) er et oddetall større enn 2. Den dobbeltderiverte har da oddetallsgrad, og bare den rette linja \( \textcolor{blue}{C} \) passer. Da er \( {b - 2 = 1}\text{,} \) så \( {B = x^3 - 1}\text{:} \) \[ (x^3 - 1)'' = 3 \cdot 2 \cdot x = 6x \]

\( \textcolor{red}{E} \) går gjennom \( {(0, -2)}\text{,} \) så \( {c = 2}\text{,} \) og gjennom \( (2, 2)\text{,} \) så \( {2^b - 2 = 2}\text{.} \) Det gir \( {b = 2}\text{,} \) og den dobbeltderiverte er konstant, \( \textcolor{red}{H}\text{:} \) \[ (x^2 - 2)'' = 2 \cdot 1 = 2 \]

\( \textcolor{green}{F} \) har bunnpunkt i \( {(0, -1)}\text{,} \) så \( {c = 1} \) og \( b \) er et partall. Den dobbeltderiverte er \( \textcolor{green}{D}\text{,} \) den eneste som er igjen, og den har grad 2. Da er \( {b - 2 = 2}\text{,} \) så \( {F = x^4 - 1}\text{:} \) \[ (x^4 - 1)'' = 4 \cdot 3 \cdot x^2 = 12x^2 \]Det stemmer med figurene: \( {6 \cdot 0{,}5 = 3} \) og \( {12 \cdot 0{,}5^2 = 3}\text{,} \) og både C og D går gjennom \( (0{,}5;\ 3)\text{.} \)

En funksjon har en omvendt funksjon når hver \( y \)-verdi kommer fra bare én \( x \)-verdi. Da kan ingen vannrett linje skjære grafen mer enn én gang.

1. Skriv opp kravet For å finne den omvendte funksjonen løser vi \( {y = f(x)} \) for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Det går bare når ulike \( x \) gir ulike \( y\text{:} \) \[ x_1 \neq x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1) \neq f(x_2) \]For en kontinuerlig funksjon betyr det at den hele tiden vokser eller hele tiden avtar.

2. Se på hver graf Grafene med omvendt funksjon er blå, de andre røde. \( \textcolor{blue}{A}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{B}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{C} \) og \( \textcolor{blue}{G} \) vokser hele tiden. B flater ut i \( {(0, -1)}\text{,} \) men stiger på begge sider, så også B gir én \( x \) for hver \( y\text{.} \)

\( \textcolor{red}{D}\text{,} \) \( \textcolor{red}{E} \) og \( \textcolor{red}{F} \) er symmetriske om \( y \)-aksen, så for eksempel \( {x = -1} \) og \( {x = 1} \) gir samme \( y \)-verdi. \( \textcolor{red}{H} \) er konstant, så alle \( x \) gir \( {y = 2}\text{.} \) Disse fire har ingen omvendt funksjon.

Påstanden gjelder alle tredjegradsfunksjoner. Ekstremalpunkter kan bare ligge der \( {f'(x) = 0}\text{,} \) så vi ser etter en tredjegradsfunksjon der den deriverte aldri er null.

1. Deriver tredjegradsfunksjonen Oppgaven var også med på S1-eksamen høsten 2023, og du kan se den løst i videoen Oppgave 6A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

En tredjegradsfunksjon kan skrives \( {f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d} \) med \( {a \neq 0}\text{.} \) Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \]Den deriverte er et andregradsuttrykk.

2. Se når den deriverte er null Bokstavene \( a\text{,} \) \( b \) og \( c \) er brukt, så vi kaller koeffisientene i \( f'(x) \) for \( {\textcolor{blue}{p} = 3a}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = 2b} \) og \( {\textcolor{green}{r} = c}\text{.} \) Med abc-formelen har \( {f'(x) = 0} \) løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Er tallet under rottegnet negativt, finnes det ingen løsning, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen. Da er \( f'(x) \) aldri null, og grafen har ingen ekstremalpunkter.

3. Finn et moteksempel Vi velger \( {f(x) = x^3 + x}\text{.} \) Da er: \[ f'(x) = 3x^2 + 1 \]Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{0}} \) og \( {\textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{1}}\text{,} \) så tallet under rottegnet er \( {\textcolor{red}{0}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{green}{1} = -12 < 0}\text{.} \)

Siden \( {x^2 \ge 0}\text{,} \) er \( {f'(x) \ge 1} \) for alle \( x\text{.} \) Grafen stiger hele tiden og har ingen ekstremalpunkter. Det er et moteksempel, så påstanden er usann.

Linja skjærer grafen der \( f(x) \) er lik linja. Samler vi alt på én side, får vi en tredjegradslikning, og en tredjegradsfunksjon har alltid minst ett nullpunkt.

1. Se hvor grafen kommer fra Oppgaven var også med på S1-eksamen høsten 2023, og du kan se den løst i videoen Oppgave 6B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

Vi skriver \( {f(x) = \textcolor{blue}{a}x^3 + bx^2 + cx + d} \) med \( {\textcolor{blue}{a} \neq 0}\text{.} \) Når \( x \) blir stor i tallverdi, bestemmer leddet \( \textcolor{blue}{a}x^3 \) hvor grafen går. Er \( {\textcolor{blue}{a} > 0}\text{,} \) er: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} f(x) &= -\infty \\ \lim_{x \to \infty} f(x) &= \infty \end{aligned} \]Er \( {\textcolor{blue}{a} < 0}\text{,} \) er det omvendt.

Grafen henger sammen, så på veien fra \( {-\infty} \) til \( \infty \) må den krysse \( x \)-aksen minst én gang. En tredjegradsfunksjon har altså alltid minst ett nullpunkt.

2. Sett funksjonen lik linja Bokstavene \( a \) og \( b \) er brukt i \( f\text{,} \) så vi skriver linja \( {y = kx + m}\text{.} \) Den skjærer grafen der \( {f(x) = kx + m}\text{,} \) altså der \( {g(x) = 0} \) med: \[ \begin{aligned} g(x) &= f(x) - kx - m \\ &= \textcolor{blue}{a}x^3 + bx^2 \\ &\quad + (c - k)x + (d - m) \end{aligned} \]

\( g \) er en tredjegradsfunksjon, fordi \( {\textcolor{blue}{a} \neq 0}\text{.} \) Den har minst ett nullpunkt, så linja skjærer grafen minst én gang, uansett hva \( k \) og \( m \) er. Påstanden er derfor sann.

Et vendepunkt ligger der \( {f''(x) = 0}\text{.} \) Vi deriverer \( f \) to ganger, bruker at \( {f''(3) = 0}\text{,} \) og regner ut \( f'(1) \) og \( f'(5)\text{.} \)

1. Deriver to ganger Oppgaven var også med på S1-eksamen høsten 2023, og du kan se den løst i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

Med \( {f(x) = \textcolor{blue}{a}x^3 + \textcolor{red}{b}x^2 + cx + d} \) og potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ \begin{aligned} f'(x) &= 3\textcolor{blue}{a}x^2 + 2\textcolor{red}{b}x + c \\ f''(x) &= 6\textcolor{blue}{a}x + 2\textcolor{red}{b} \end{aligned} \]

2. Bruk vendepunktet Vendepunktet i \( {x = 3} \) gir \( {f''(3) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 6\textcolor{blue}{a} \cdot 3 + 2\textcolor{red}{b} &= 0 \\ \textcolor{red}{b} &= -9\textcolor{blue}{a} \end{aligned} \]

3. Regn ut de to deriverte Vi setter inn \( {x = 1} \) og \( {\textcolor{red}{b} = -9\textcolor{blue}{a}} \) i \( f'(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f'(1) &= 3\textcolor{blue}{a} + 2\textcolor{red}{b} + c \\ f'(1) &= 3\textcolor{blue}{a} - 18\textcolor{blue}{a} + c = c - 15\textcolor{blue}{a} \end{aligned} \]

Og så \( {x = 5}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f'(5) &= 75\textcolor{blue}{a} + 10\textcolor{red}{b} + c \\ f'(5) &= 75\textcolor{blue}{a} - 90\textcolor{blue}{a} + c = c - 15\textcolor{blue}{a} \end{aligned} \]

Begge er \( {c - 15\textcolor{blue}{a}}\text{,} \) så \( {f'(1) = f'(5)}\text{,} \) og påstanden er sann. Det passer med at grafen til \( f' \) er en parabel med toppunkt eller bunnpunkt i \( {x = 3}\text{,} \) og 1 og 5 ligger like langt fra 3.