Eksamensoppgaver etter tema

Vi går fra \( A \) til \( B \) og fra \( P \) til \( R \) via \( O\text{,} \) der vi kjenner vektorene.

1. Finn vektoren fra A til B 1:05 Vi går fra \( A \) til \( O \) og videre fra \( O \) til \( B\text{.} \) Å gå fra \( A \) til \( O \) er det motsatte av \( {\overrightarrow{OA} = \textcolor{blue}{\vec{a}}}\text{,} \) altså \( {-\textcolor{blue}{\vec{a}}}\text{:} \) \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = -\textcolor{blue}{\vec{a}} + \textcolor{red}{\vec{b}} = \textcolor{red}{\vec{b}} - \textcolor{blue}{\vec{a}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer.

2. Finn vektoren fra P til R 2:53 \( P \) ligger \( \dfrac{2}{3} \) av veien fra \( O \) til \( A\text{,} \) og \( R \) ligger \( \dfrac{2}{3} \) av veien fra \( O \) til \( B\text{.} \) Når vi ganger en vektor med et positivt tall, beholder den retningen, og lengden blir ganget med tallet, som i videoen Hva er en Skalar?: \[ \overrightarrow{OP} = \dfrac{2}{3}\textcolor{blue}{\vec{a}} \qquad \overrightarrow{OR} = \dfrac{2}{3}\textcolor{red}{\vec{b}} \]

Vi går fra \( P \) til \( O \) og videre til \( R\text{,} \) på samme måte som for \( \overrightarrow{AB}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \overrightarrow{PR} &= \overrightarrow{PO} + \overrightarrow{OR} = -\dfrac{2}{3}\textcolor{blue}{\vec{a}} + \dfrac{2}{3}\textcolor{red}{\vec{b}} \\ \overrightarrow{PR} &= \dfrac{2}{3}(\textcolor{red}{\vec{b}} - \textcolor{blue}{\vec{a}}) \end{aligned} \]

Vi bruker uttrykkene for \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{PR} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

I uttrykkene fra a) ser vi etter et tall \( k \) slik at \( {\overrightarrow{PR} = k \cdot \overrightarrow{AB}}\text{.} \)

1. Skriv opp når vektorer er parallelle 0:08 To vektorer \( \vec{u} \) og \( \vec{v} \) som ikke er nullvektorer, er parallelle når det finnes et tall \( k \) slik at: \[ \vec{u} = k \cdot \vec{v} \]Et tall ganget med en vektor gir en vektor langs samme linje, som i videoen Hva er en Skalar?.

2. Bruk uttrykkene fra a) 1:00 I a) fant vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= \textcolor{green}{\vec{b} - \vec{a}} \\ \overrightarrow{PR} &= \dfrac{2}{3}(\textcolor{green}{\vec{b} - \vec{a}}) \end{aligned} \]

Parentesen er \( \textcolor{green}{\overrightarrow{AB}}\text{,} \) så: \[ \overrightarrow{PR} = \dfrac{2}{3} \cdot \textcolor{green}{\overrightarrow{AB}} \]Det er formen \( {\vec{u} = k \cdot \vec{v}} \) med \( {k = \dfrac{2}{3}}\text{,} \) så vektorene er parallelle.

Vi bruker at \( {\overrightarrow{PR} = \dfrac{2}{3} \cdot \overrightarrow{AB}}\text{,} \) som vi viste i b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Når en vektor ganges med \( \dfrac{2}{3}\text{,} \) blir lengden også ganget med \( \dfrac{2}{3}\text{.} \) Vi viser det med koordinater, og løser for lengden av \( \overrightarrow{AB}\text{.} \)

1. Skriv lengdene med koordinater 0:48 I b) viste vi at: \[ \overrightarrow{PR} = \dfrac{2}{3} \cdot \overrightarrow{AB} \]

Vi kaller koordinatene til \( \overrightarrow{AB} \) for \( \textcolor{blue}{x} \) og \( \textcolor{red}{y}\text{.} \) Da blir begge koordinatene til \( \overrightarrow{PR} \) ganget med \( \dfrac{2}{3}\text{:} \) \[ \overrightarrow{AB} = [\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}] \qquad \overrightarrow{PR} = \left[\dfrac{2}{3}\textcolor{blue}{x}, \dfrac{2}{3}\textcolor{red}{y}\right] \]

Lengden finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \\ |\overrightarrow{PR}| &= \sqrt{\left(\dfrac{2}{3}\textcolor{blue}{x}\right)^2 + \left(\dfrac{2}{3}\textcolor{red}{y}\right)^2} \end{aligned} \]

2. Forenkle kvadratroten 3:16 Vi kvadrerer parentesene, setter \( \dfrac{4}{9} \) utenfor og bruker at \( {\sqrt{m \cdot n} = \sqrt{m} \cdot \sqrt{n}} \) for \( {m, n \ge 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{PR}| &= \sqrt{\dfrac{4}{9}\textcolor{blue}{x}^2 + \dfrac{4}{9}\textcolor{red}{y}^2} \\ |\overrightarrow{PR}| &= \sqrt{\dfrac{4}{9}} \cdot \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \\ |\overrightarrow{PR}| &= \dfrac{2}{3}|\overrightarrow{AB}| \end{aligned} \]

3. Sett inn lengden og løs 4:19 Vi setter inn \( {|\overrightarrow{PR}| = \dfrac{\sqrt{2}}{3}}\text{:} \) \[ \dfrac{2}{3}|\overrightarrow{AB}| = \dfrac{\sqrt{2}}{3} \]

Ganger vi begge sider med \( \dfrac{3}{2}\text{,} \) får vi: \[ |\overrightarrow{AB}| = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{3} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]Linjestykket \( AB \) er like langt som vektoren \( \overrightarrow{AB}\text{.} \)

Alternativ metode: Lengden av et tall ganget med en vektor For et tall \( k \) og en vektor \( \vec{v} \) er \( {|k \cdot \vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}|}\text{.} \) Da gir \( {\overrightarrow{PR} = \dfrac{2}{3} \cdot \overrightarrow{AB}} \) med en gang: \[ |\overrightarrow{AB}| = \dfrac{3}{2} \cdot |\overrightarrow{PR}| = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{3} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]Regelen sparer utregningen med koordinater.

Avstanden mellom Nils og Ahmad er lengden av vektoren \( \overrightarrow{NA}\text{.} \) Vi finner vektoren og bruker Pythagoras.

1. Finn vektoren fra N til A En vektor mellom to punkter finner vi ved å trekke koordinatene til startpunktet fra koordinatene til sluttpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{NA} &= [x_A - x_N,\ y_A - y_N] \\ \overrightarrow{NA} &= [1 - (-1),\ 1 - 2] = [\textcolor{blue}{2}, \textcolor{red}{-1}] \end{aligned} \]

2. Bruk Pythagoras Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{NA}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{2}^2 + (\textcolor{red}{-1})^2} \\ |\overrightarrow{NA}| &= \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \end{aligned} \]

Vi bruker \( {\overrightarrow{NA} = [2, -1]} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

To vektorer er parallelle når den ene er et tall ganget med den andre. Vi setter opp den sammenhengen og finner tallet og \( a\text{.} \)

1. Skriv opp kravet for parallelle vektorer To vektorer \( \vec{u} \) og \( \vec{v} \) er parallelle når det finnes et tall \( k \) slik at: \[ \vec{u} = k \cdot \vec{v} \]Tallet \( k \) kan også være negativt, og da peker vektorene motsatt vei. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 8B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026.

2. Finn tallet og a Vi kaller punktet til ballen \( {B(-1, a)}\text{.} \) Vektoren fra Jelena til ballen er: \[ \overrightarrow{JB} = [-1 - 0,\ a - 0] = [\textcolor{blue}{-1}, \textcolor{red}{a}] \]

I a) fant vi \( {\overrightarrow{NA} = [\textcolor{blue}{2}, \textcolor{red}{-1}]}\text{,} \) så kravet er: \[ [\textcolor{blue}{-1}, \textcolor{red}{a}] = k \cdot [\textcolor{blue}{2}, \textcolor{red}{-1}] \]

Førstekoordinatene gir \( {\textcolor{blue}{-1} = k \cdot \textcolor{blue}{2}}\text{,} \) altså \( {k = -\dfrac{1}{2}}\text{.} \) Andrekoordinatene gir da: \[ \textcolor{red}{a} = k \cdot (\textcolor{red}{-1}) = -\dfrac{1}{2} \cdot (-1) = \dfrac{1}{2} \]

\( M \) skal ligge \( \sqrt{10} \) meter fra Jelena, og vinkelen i \( A \) mellom \( \overrightarrow{AM} \) og \( \overrightarrow{AJ} \) skal være \( 90^\circ\text{.} \) Det gir to likninger for koordinatene til \( M\text{.} \)

1. Skriv opp de to kravene Vi kaller koordinatene til \( M \) for \( x \) og \( y\text{.} \) Med Pythagoras er avstanden fra \( J(0, 0) \) lik \( {\sqrt{x^2 + y^2}}\text{,} \) så: \[ x^2 + y^2 = 10 \]

Vinkelen \( \angle MAJ \) ligger i \( A\text{.} \) Den er \( 90^\circ \) når skalarproduktet av \( \overrightarrow{AM} \) og \( \overrightarrow{AJ} \) er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Med koordinater ganger vi sammen førstekoordinatene og andrekoordinatene, og legger sammen: \[ [\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{red}{y_1}] \cdot [\textcolor{blue}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}] = \textcolor{blue}{x_1 \cdot x_2} + \textcolor{red}{y_1 \cdot y_2} \]

Her er \( {\overrightarrow{AM} = [\textcolor{blue}{x - 1}, \textcolor{red}{y - 1}]} \) og \( {\overrightarrow{AJ} = [\textcolor{blue}{-1}, \textcolor{red}{-1}]}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{x - 1})(\textcolor{blue}{-1}) + (\textcolor{red}{y - 1})(\textcolor{red}{-1}) &= 0 \\ -x + 1 - y + 1 &= 0 \\ y &= 2 - x \end{aligned} \]

2. Løs likningssettet Vi setter \( {y = 2 - x} \) inn i \( {x^2 + y^2 = 10}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x^2 + (2 - x)^2 &= 10 \\ 2x^2 - 4x + 4 &= 10 \\ x^2 - 2x - 3 &= 0 \end{aligned} \]

Bokstaven \( a \) er brukt i b), så vi kaller koeffisientene \( \textcolor{blue}{p}\text{,} \) \( \textcolor{red}{q} \) og \( \textcolor{green}{r}\text{.} \) Med abc-formelen har \( {\textcolor{blue}{p}x^2 + \textcolor{red}{q}x + \textcolor{green}{r} = 0} \) løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{green}{r}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{p}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{-2}} \) og \( {\textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{-3}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og bruker at \( {-(\textcolor{red}{-2}) = 2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{2 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \dfrac{2 \pm 4}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x = 3} \) eller \( {x = -1}\text{,} \) og med \( {y = 2 - x} \) punktene \( {(3, -1)} \) og \( {(-1, 3)}\text{.} \)

3. Velg punktet nærmest Nils Nils står i \( {N(-1, 2)}\text{.} \) Punktet \( {(-1, 3)} \) ligger \( 1 \) meter rett over ham. Punktet \( {(3, -1)} \) ligger \( 4 \) meter bortover og \( 3 \) meter nedover, altså \( {\sqrt{4^2 + 3^2} = 5} \) meter unna. Det nærmeste punktet er derfor \( {(-1, 3)}\text{.} \)

Punktene ligger på en rett linje når \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC} \) er parallelle. Da er den ene vektoren et tall ganget med den andre.

1. Finn vektorene fra A En vektor mellom to punkter finner vi ved å trekke koordinatene til startpunktet fra koordinatene til sluttpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?. Begge vektorene starter i \( A(3, 4)\text{:} \) \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [-1 - 3,\ -2 - 4] \\ \overrightarrow{AB} &= [\textcolor{blue}{-4}, \textcolor{red}{-6}] \\ \overrightarrow{AC} &= [3 + t - 3,\ 2t - 4] \\ \overrightarrow{AC} &= [\textcolor{blue}{t}, \textcolor{red}{2t - 4}] \end{aligned} \]

2. Skriv opp kravet for parallelle vektorer To vektorer er parallelle når det finnes et tall \( k \) slik at den ene er \( k \) ganget med den andre, som i videoen Oppgave 8B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \overrightarrow{AC} = k \cdot \overrightarrow{AB} \]

Med koordinatene får vi: \[ [\textcolor{blue}{t}, \textcolor{red}{2t - 4}] = k \cdot [\textcolor{blue}{-4}, \textcolor{red}{-6}] \]

3. Løs for k og t Førstekoordinatene gir \( {\textcolor{blue}{t} = k \cdot (\textcolor{blue}{-4})}\text{,} \) altså \( {k = -\dfrac{t}{4}}\text{.} \) Setter vi det inn i andrekoordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{2t - 4} &= -\dfrac{t}{4} \cdot (\textcolor{red}{-6}) \\ 2t - 4 &= \dfrac{3}{2}t \\ \dfrac{1}{2}t &= 4 \\ t &= 8 \end{aligned} \]Da er \( {k = -2}\text{,} \) og \( {\overrightarrow{AC} = [8, 12]}\text{,} \) som er \( {-2 \cdot [-4, -6]}\text{.} \)

Vinkelen i \( C \) ligger mellom vektorene \( \overrightarrow{CA} \) og \( \overrightarrow{CB}\text{.} \) Den er \( 90^\circ \) når skalarproduktet av dem er \( 0\text{.} \)

1. Skriv opp kravet To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0 \]

Med koordinater ganger vi sammen førstekoordinatene og andrekoordinatene, og legger sammen: \[ [\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{red}{y_1}] \cdot [\textcolor{blue}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}] = \textcolor{blue}{x_1 \cdot x_2} + \textcolor{red}{y_1 \cdot y_2} \]

2. Finn vektorene fra C Begge vektorene starter i \( {C(3 + t, 2t)}\text{,} \) så vi trekker koordinatene til \( C \) fra koordinatene til \( A \) og \( B\text{:} \) \[ \begin{aligned} \overrightarrow{CA} &= [3 - (3 + t),\ 4 - 2t] \\ \overrightarrow{CA} &= [\textcolor{blue}{-t}, \textcolor{red}{4 - 2t}] \\ \overrightarrow{CB} &= [-1 - (3 + t),\ -2 - 2t] \\ \overrightarrow{CB} &= [\textcolor{blue}{-4 - t}, \textcolor{red}{-2 - 2t}] \end{aligned} \]

3. Sett skalarproduktet lik null Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &(\textcolor{blue}{-t})(\textcolor{blue}{-4 - t}) \\ &+ (\textcolor{red}{4 - 2t})(\textcolor{red}{-2 - 2t}) = 0 \end{aligned} \]

Vi ganger ut parentesene og trekker sammen: \[ \begin{aligned} 4t + t^2 - 8 - 8t + 4t + 4t^2 &= 0 \\ 5t^2 - 8 &= 0 \\ t^2 &= \dfrac{8}{5} \end{aligned} \]

Det gir to løsninger: \[ t = \pm\sqrt{\dfrac{8}{5}} = \pm\dfrac{\sqrt{40}}{5} = \pm\dfrac{2\sqrt{10}}{5} \]For begge er \( \overrightarrow{CA} \) og \( \overrightarrow{CB} \) ulik nullvektoren, så punktene danner en trekant med rett vinkel i \( C\text{.} \)