Eksamensoppgaver etter tema

For å finne nullpunktene setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) Funksjonsuttrykket er et produkt, og et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \)

1. Sett funksjonsuttrykket lik null 0:21 Vi setter \( {f(x) = 0}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{6 - e^x}) = 0 \]Da må \( \textcolor{red}{e^x} \) eller \( {\textcolor{blue}{6 - e^x}} \) være \( 0\text{.} \)

\( \textcolor{red}{e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) er positiv for alle \( x\text{.} \)

2. Løs likningen med ln 1:12 Setter vi \( {\textcolor{blue}{6 - e^x} = 0}\text{,} \) får vi: \[ e^x = 6 \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider og får: \[ \ln\left(e^{\textcolor{green}{x}}\right) = \ln 6 \]

Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{green}{b}}\right) = \textcolor{green}{b} \cdot \ln a \quad \text{for } a > 0 \]Den flytter \( \textcolor{green}{x} \) ned fra eksponenten, som i videoen Naturlige Logaritmer.

Fra definisjonen vet vi at \( {\ln e = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{x} \cdot \ln e &= \ln 6 \\ x &= \ln 6 \end{aligned} \]Likningen har bare denne løsningen, så funksjonen har ett nullpunkt.

Funksjonen er et produkt av to faktorer, så vi deriverer med produktregelen. Deretter faktoriserer vi til vi står igjen med uttrykket i oppgaven.

1. Deriver med produktregelen 0:28 Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Siden \( {(e^x)' = e^x} \) og konstanten \( 6 \) har derivert \( 0\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{6 - e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{6 - e^x}) + \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{-e^x}) \]

2. Faktoriser 2:05 Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) og trekker sammen det som står i parentesen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{darkorange}{e^x}(6 - e^x - e^x) \\ f'(x) &= \textcolor{darkorange}{e^x}(6 - 2e^x) \end{aligned} \]

Vi kan faktorisere ut \( 2 \) også, siden \( {6 = 2 \cdot 3}\text{.} \) Det gir oss: \[ f'(x) = 2\textcolor{darkorange}{e^x}(3 - e^x) \]Det er uttrykket i oppgaven.

Vi bruker nullpunktet fra a), og uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten til b), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til b).

Funksjonen er deriverbar for alle \( x\text{,} \) så topp- og bunnpunkter kan bare ligge der \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Om det er et toppunkt eller et bunnpunkt, ser vi av funksjonsverdiene på hver side.

1. Sett den deriverte lik null 0:16 I oppgaveteksten til b) står det at: \[ f'(x) = \textcolor{darkorange}{2e^x}(\textcolor{magenta}{3 - e^x}) \]Den er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \) Faktoren \( \textcolor{darkorange}{2e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) alltid er positiv. Derfor må \( {\textcolor{magenta}{3 - e^x} = 0}\text{.} \)

2. Løs likningen med ln 2:07 Vi flytter \( e^x \) over til høyre side: \[ e^x = 3 \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen for potenser og \( {\ln e = 1} \) gir \( {\ln\left(e^x\right) = x \cdot \ln e = x}\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ \begin{aligned} \ln\left(e^x\right) &= \ln 3 \\ x &= \ln 3 \end{aligned} \]

3. Finn y-koordinaten 2:52 For å finne koordinatene plugger vi \( {x = \ln 3} \) inn i \( f(x)\text{.} \) Siden \( {\textcolor{green}{e^{\ln 3}} = \textcolor{green}{3}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f(\ln 3) &= \textcolor{green}{e^{\ln 3}}(6 - \textcolor{green}{e^{\ln 3}}) \\ f(\ln 3) &= \textcolor{green}{3} \cdot (6 - \textcolor{green}{3}) = 9 \end{aligned} \]

4. Avgjør hva slags punkt det er 4:15 Den deriverte er \( 0 \) bare i \( {x = \ln 3}\text{,} \) så grafen kan bare snu der. Vi sammenligner med ett punkt på hver side, \( {x = 0} \) og nullpunktet \( {x = \ln 6} \) fra a): \[ f(0) = e^0(6 - e^0) = 1 \cdot 5 = 5 \]

Siden \( \ln \) er voksende, er \( {0 = \ln 1 < \ln 3 < \ln 6}\text{,} \) og \( {f(\ln 6) = 0}\text{:} \) \[ \begin{array}{c|ccc} x & 0 & \ln 3 & \ln 6 \\ \hline f(x) & 5 & 9 & 0 \end{array} \]

Grafen går opp fra \( 5 \) til \( 9 \) og ned igjen til \( 0\text{.} \) Punktet \( (\ln 3,\ 9) \) er derfor et toppunkt, og siden grafen bare snur der, har den ingen bunnpunkter.

Alternativ metode: Fortegnslinje Siden \( {\textcolor{darkorange}{2e^x} > 0}\text{,} \) har \( f'(x) \) samme fortegn som \( {\textcolor{magenta}{3 - e^x}}\text{:} \) positiv når \( {x < \ln 3} \) og negativ når \( {x > \ln 3}\text{.} \) :::fortegnsskjema {"points": [1.0986122886681098], "labels": ["\\ln 3"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2e^x}", "expr": "2e^x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{3 - e^x}", "expr": "3 - e^x"}, {"label": "f'(x)", "expr": "2e^x(3 - e^x)"}]} En strek viser hvor en linje er \( 0\text{.} \) I \( {x = \ln 3} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så \( (\ln 3,\ 9) \) er et toppunkt. Fortegnslinja virker også når vi ikke kjenner funksjonsverdier på hver side av punktet.

Vi tar for oss uttrykkene hver for seg, og finner verdien, eller to tall den ligger mellom. Så sorterer vi dem.

1. Regn ut de to første uttrykkene 0:25 Fra definisjonen av logaritmer vet vi at \( \log_a b \) er tallet vi må opphøye grunntallet \( a \) i for å få \( b\text{:} \) \[ \log_a b = c \quad \text{betyr at} \quad a^c = b \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.

\( \textcolor{blue}{\log_2 8}\text{:} \) Her holder det med hoderegning, siden \( {2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{\underline{\log_2 8 = 3}} \]

\( \textcolor{red}{e^{3\ln 1}}\text{:} \) Fra definisjonen vet vi at \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) siden \( {e^0 = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ \textcolor{red}{e^{3\ln 1}} = e^{3 \cdot 0} = e^0 = \textcolor{red}{\underline{1}} \]

2. Avgrens de to siste uttrykkene 1:49 \( \textcolor{green}{\lg 7}\text{:} \) Når det ikke står noe grunntall, er grunntallet \( 10\text{.} \) Her bruker vi litt logikk: logaritmen er voksende, og \( {1 < 7 < 10}\text{.} \) Det gir oss: \[ \textcolor{green}{\underline{0 = \lg 1 < \lg 7 < \lg 10 = 1}} \]

\( \textcolor{darkorange}{\sqrt[4]{3^3}}\text{:} \) Vi regner ut potensen under roten, \( {3^3 = 27}\text{.} \) Fjerderoten av \( 27 \) er tallet \( c \) der \( {c \cdot c \cdot c \cdot c = 27}\text{.} \) Siden \( {2^4 = 16} \) og \( {3^4 = 81}\text{,} \) og \( {16 < 27 < 81}\text{,} \) er: \[ \textcolor{darkorange}{\underline{2 = \sqrt[4]{16} < \sqrt[4]{3^3} < \sqrt[4]{81} = 3}} \]

3. Sorter verdiene 4:27 Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\lg 7} &< 1 = \textcolor{red}{e^{3\ln 1}} \\ \textcolor{red}{e^{3\ln 1}} &< 2 < \textcolor{darkorange}{\sqrt[4]{3^3}} \\ \textcolor{darkorange}{\sqrt[4]{3^3}} &< 3 = \textcolor{blue}{\log_2 8} \end{aligned} \]

Vi skriver om hvert ledd så enkelt som mulig med logaritmereglene, og trekker sammen.

1. Skriv opp logaritmereglene 0:14 Uttrykket i oppgaven er bare definert når \( {a > 0} \) og \( {b > 0}\text{.} \) Da forteller logaritmereglene oss at: \[ \begin{aligned} \lg(a \cdot b) &= \lg a + \lg b \\ \lg\dfrac{a}{b} &= \lg a - \lg b \\ \lg(a^n) &= n \cdot \lg a \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

2. Skriv om ledd for ledd 0:49 \( \textcolor{blue}{\lg(ab)} \) kan vi skrive om som \( {\textcolor{blue}{\underline{\lg a + \lg b}}}\text{.} \)

\( \textcolor{red}{\lg\dfrac{a}{b}} \) kan vi skrive om som \( {\textcolor{red}{\underline{\lg a - \lg b}}}\text{.} \)

\( \textcolor{green}{\lg(100b^3)} \) kan vi skrive om som \( {\lg 100 + \lg(b^3)}\text{.} \) Fra definisjonen vet vi at \( {\lg 100 = 2}\text{,} \) siden \( {10^2 = 100}\text{,} \) og med den siste regelen er \( {\lg(b^3) = 3\lg b}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{\lg(100b^3)} = \textcolor{green}{\underline{2 + 3\lg b}} \]

3. Trekk sammen 3:00 Vi trekker sammen de to første leddene. Minus foran \( \textcolor{red}{\lg\dfrac{a}{b}} \) gjelder begge leddene den blir til: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\lg(ab)} - \textcolor{red}{\lg\dfrac{a}{b}} \\ &= \textcolor{blue}{\lg a + \lg b} - (\textcolor{red}{\lg a - \lg b}) \\ &= \lg a + \lg b - \lg a + \lg b \\ &= 2\lg b \end{aligned} \]

Legger vi til det siste leddet, får vi: \[ 2\lg b + \textcolor{green}{2 + 3\lg b} = 2 + 5\lg b \]

Vi kan stoppe her, eller samle alt i én logaritme. Går vi baklengs med reglene, er \( {2 = \lg 100} \) og \( {5\lg b = \lg(b^5)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2 + 5\lg b &= \lg 100 + \lg(b^5) \\ 2 + 5\lg b &= \lg(100b^5) \end{aligned} \]

Vi ser at \( \lg x \) står både i andre potens og alene. Vi gir den et nytt navn, \( k\text{,} \) og får en andregradslikning.

1. Skriv om med en ny variabel 0:39 Det står \( (\lg x)^2\text{,} \) ikke \( \lg(x^2)\text{,} \) så det er hele \( \lg x \) som er opphøyd i andre. Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{k} = \textcolor{darkorange}{\lg x}} \) og flytter \( 8 \) over: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{k}^2 - 2\textcolor{darkorange}{k} &= 8 \\ \textcolor{darkorange}{k}^2 - 2\textcolor{darkorange}{k} - 8 &= 0 \end{aligned} \]

2. Løs med abc-formelen 1:09 Med abc-formelen har \( {\textcolor{blue}{a}k^2 + \textcolor{red}{b}k + \textcolor{green}{c} = 0} \) løsningene: \[ k = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{green}{c}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-8}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og bruker at \( {-(\textcolor{red}{-2}) = 2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} k &= \dfrac{2 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-8})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ k &= \dfrac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{2 \pm 6}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {k = 4} \) eller \( {k = -2}\text{.} \)

3. Finn x 3:19 Vi setter tilbake \( {\textcolor{darkorange}{k} = \textcolor{darkorange}{\lg x}} \) og opphøyer \( 10 \) i begge sider. Fra definisjonen av logaritmen er \( \lg x \) tallet vi må opphøye \( 10 \) i for å få \( x\text{,} \) så: \[ 10^{\lg x} = x \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.

Det gir oss to løsninger: \[ \begin{aligned} 10^{\textcolor{darkorange}{\lg x}} = 10^4 \quad &\Rightarrow \quad x = 10^4 \\ 10^{\textcolor{darkorange}{\lg x}} = 10^{-2} \quad &\Rightarrow \quad x = 10^{-2} \end{aligned} \]Begge er positive, så begge er løsninger.

Her er det grunntallet \( a \) som er ukjent. Vi skriver om likningen med definisjonen av logaritmen og finner \( a\text{.} \)

1. Bruk definisjonen av logaritmen 0:13 Fra definisjonen av logaritmen vet vi at: \[ \log_{\textcolor{blue}{a}} \textcolor{red}{b} = \textcolor{green}{c} \quad \text{betyr at} \quad \textcolor{blue}{a}^{\textcolor{green}{c}} = \textcolor{red}{b} \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.

Her er \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{64}}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3}}\text{,} \) så: \[ \textcolor{blue}{a}^{\textcolor{green}{-3}} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{64}} \]

2. Skriv om den negative eksponenten 1:00 En negativ eksponent betyr én delt på potensen: \[ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{a^3} &= \dfrac{1}{64} \\ a^3 &= 64 \end{aligned} \]

3. Prøv deg fram 1:20 Uten kalkulator prøver vi med hele tall. \( {3^3 = 27} \) er for lite, men: \[ 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 \]Altså er \( {a = 4}\text{,} \) som er et gyldig grunntall, siden \( {a > 0} \) og \( {a \neq 1}\text{.} \)

Vi setter de to luktverdiene inn i formelen for \( I \) og ser hvor i tabellen svarene havner.

1. Sett inn de to luktverdiene 0:49 \( C \) er luktverdien i \( \text{OU}/\text{m}^3\text{,} \) så vi setter \( {C = 500} \) og \( {C = 1400} \) inn i formelen, med \( \lg \) på kalkulatoren: \[ \begin{aligned} I(\textcolor{blue}{500}) &= 1{,}4 \cdot \lg(\textcolor{blue}{500}) - 0{,}3 \\ &\approx \textcolor{blue}{3{,}48} \\ I(\textcolor{red}{1400}) &= 1{,}4 \cdot \lg(\textcolor{red}{1400}) - 0{,}3 \\ &\approx \textcolor{red}{4{,}10} \end{aligned} \]

2. Sammenlign med tabellen 2:30 Jo større \( C \) er, jo større er \( \lg(C)\text{,} \) så alle prøvene har en luktintensitet mellom \( \textcolor{blue}{3{,}48} \) og \( \textcolor{red}{4{,}10}\text{.} \) Det er «plagsom lukt, bør begrenses», og for de høyeste luktverdiene «plagsomt, tiltak kreves». Beboerne har derfor grunnlag for å klage.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( I(C) \) i CAS og regner ut verdiene med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: I(C) := 1.4*lg(C) - 0.3 I(500) I(1400)

CAS gir \( {I(500) \approx 3{,}4786} \) og \( {I(1400) \approx 4{,}1046}\text{.} \) Begge er over 3 i tabellen, så beboerne har grunnlag for å klage.

I tabellen er luktintensiteten akseptabel opp til 2. Vi løser ulikheten \( {I \le 2} \) for \( C\text{,} \) og fjerner \( \lg \) til slutt.

Merk – Tolkning: Under 1 er lukten uproblematisk, som er enda bedre enn akseptabel, så vi krever bare \( {I \le 2}\text{.} \) Leser vi «akseptabel» som akkurat 1 til 2, må også \( {C \ge 10^{\tfrac{13}{14}} \approx 8{,}5}\text{.} \) Eksamensveiledningen sier at sensorene skal være åpne for rimelige tolkninger.

1. Sett opp ulikheten 0:11 Luktintensiteten må være høyst \( 2\text{:} \) \[ 1{,}4 \cdot \textcolor{green}{\lg(C)} - 0{,}3 \le 2 \]

2. Løs ulikheten 0:57 Vi legger til \( 0{,}3 \) og deler på \( 1{,}4\text{.} \) Det er et positivt tall, så tegnet snur ikke: \[ \begin{aligned} 1{,}4 \cdot \textcolor{green}{\lg(C)} &\le 2{,}3 \\ \textcolor{green}{\lg(C)} &\le \dfrac{2{,}3}{1{,}4} = \dfrac{23}{14} \end{aligned} \]

For å få \( C \) alene opphøyer vi \( 10 \) i begge sider. \( 10^x \) er voksende, så tegnet snur ikke, og siden \( {10^{\textcolor{green}{\lg C}} = C}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, får vi: \[ C \le 10^{\tfrac{23}{14}} \approx 43{,}94 \]Luktverdien må altså være høyst omtrent \( 43{,}9\,\text{OU}/\text{m}^3\text{.} \)

1. Løs ulikheten i CAS Vi løser ulikheten \( {I(C) \le 2} \) i CAS med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: I(C) := 1.4*lg(C) - 0.3 Løs(I(C) <= 2, C)

CAS gir \( {0 < C \le 43{,}9397}\text{.} \) Luktverdien må være høyst omtrent \( 43{,}9\,\text{OU}/\text{m}^3\text{.} \)

Vi får potensen alene og skriver \( 81 \) som en potens av \( 3\text{.} \) Når grunntallene er like, må eksponentene være like.

1. Få potensen alene 0:07 Vi flytter \( {-5} \) over til høyre side: \[ \begin{aligned} 3^{3x + 2} - 5 &= 76 \\ 3^{3x + 2} &= 81 \end{aligned} \]

2. Skriv 81 som en potens 0:19 Her må vi se at \( {81 = 9 \cdot 9 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}\text{.} \) Fire like faktorer kan vi skrive som en potens, som i videoen Hva er en Potens: \[ 81 = 3^4 \]

Det gir oss: \[ 3^{\textcolor{green}{3x + 2}} = 3^{\textcolor{green}{4}} \]

3. Sett eksponentene like 1:00 Grunntallet er \( 3 \) på begge sider, så eksponentene må være like: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{3x + 2} &= \textcolor{green}{4} \\ 3x &= 2 \\ x &= \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

Vi skriver om hvert ledd med logaritmereglene, så alle blir et tall ganget med \( \lg x\text{.} \) Så trekker vi sammen og løser for \( x\text{.} \)

1. Skriv opp logaritmereglene 0:03 Likningen gir bare mening når \( {x > 0}\text{.} \) Da forteller logaritmereglene oss at: \[ \begin{aligned} \lg(a^n) &= n \cdot \lg a \\ \lg\dfrac{a}{b} &= \lg a - \lg b \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

2. Skriv om ledd for ledd 0:30 \( 3\lg x \) er allerede et tall ganget med \( \lg x\text{.} \)

\( \textcolor{blue}{2\lg x^2}\text{:} \) Med den første regelen er \( {\lg x^2 = 2\lg x}\text{,} \) så: \[ \textcolor{blue}{2\lg x^2} = 2 \cdot 2\lg x = \textcolor{blue}{\underline{4\lg x}} \]

\( \textcolor{red}{\lg\dfrac{1}{x^9}}\text{:} \) Fra definisjonen er \( {\lg 1 = 0}\text{,} \) siden \( {10^0 = 1}\text{,} \) som i videoen Hva er en Logaritme?. Med de to reglene får vi: \[ \textcolor{red}{\lg\dfrac{1}{x^9}} = \lg 1 - \lg x^9 = \textcolor{red}{\underline{-9\lg x}} \]

3. Trekk sammen og løs 1:30 Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} 3\lg x + \textcolor{blue}{4\lg x} \textcolor{red}{{}- 9\lg x} &= 2 \\ -2\lg x &= 2 \\ \lg x &= -1 \end{aligned} \]

For å få \( x \) alene opphøyer vi \( 10 \) i begge sider. Fra definisjonen er \( {10^{\lg x} = x}\text{,} \) så: \[ x = 10^{-1} = \dfrac{1}{10} \]Den er positiv, så den er en løsning.

Vi skriver om eksponenten med logaritmeregelen for potenser, og bruker så definisjonen av \( \ln\text{.} \)

1. Skriv om eksponenten Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{green}{b}}\right) = \textcolor{green}{b} \cdot \ln a \quad \text{for } a > 0 \]De samme regnereglene gjelder for \( \ln \) som for \( \lg\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer.

Vi bruker den baklengs, med \( {a = x > 0} \) og \( {\textcolor{green}{b} = \textcolor{green}{k}}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{k} \cdot \ln(x) = \ln\left(x^{\textcolor{green}{k}}\right) \]

2. Bruk definisjonen av ln Fra definisjonen av logaritmen er \( \ln u \) tallet vi må opphøye \( e \) i for å få \( u\text{,} \) så \( {e^{\ln u} = u} \) for \( {u > 0}\text{,} \) som i videoen Hva er en Logaritme?. Med \( {u = x^{\textcolor{green}{k}}}\text{,} \) som er positiv når \( {x > 0}\text{,} \) får vi: \[ e^{\textcolor{green}{k} \cdot \ln(x)} = e^{\ln\left(x^{\textcolor{green}{k}}\right)} = x^{\textcolor{green}{k}} \]Det er det påstanden sier, og det gjelder for alle \( {x > 0}\text{.} \)

En funksjon som er deriverbar i et punkt, må også være kontinuerlig der. Vi sjekker derfor først om uttrykkene gir samme verdi i \( {x = 2}\text{.} \)

1. Sjekk om funksjonen er kontinuerlig Fra venstre gjelder \( {\textcolor{blue}{x^3 - 2}}\text{.} \) Fra høyre, og i \( {x = 2}\text{,} \) gjelder \( {\textcolor{red}{3x^2 - 4}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 2^-} f(x) &= \textcolor{blue}{2^3 - 2} = \textcolor{blue}{6} \\ f(2) &= \textcolor{red}{3 \cdot 2^2 - 4} = \textcolor{red}{8} \end{aligned} \]Uttrykkene gir \( \textcolor{blue}{6} \) og \( \textcolor{red}{8}\text{,} \) så grafen hopper i \( {x = 2}\text{,} \) som i det første eksempelet i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon. \( f \) er altså ikke kontinuerlig i \( {x = 2}\text{.} \)

2. Avgjør om funksjonen er deriverbar Der funksjonen skifter uttrykk, er den deriverbar bare når uttrykkene gir samme verdi og har samme derivert, som i videoen Oppgave 2B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Her har uttrykkene samme derivert i \( {x = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{x^3 - 2})' &= 3x^2\text{, som gir } 12 \\ (\textcolor{red}{3x^2 - 4})' &= 6x\text{, som gir } 12 \end{aligned} \]Men det holder ikke. Verdiene er ulike, så grafen har et sprang og ingen tangent i \( {x = 2}\text{.} \) Påstanden er derfor usann.

Påstanden sier at en slik funksjon kan ha en omvendt funksjon. Da holder det med ett eksempel.

1. Skriv opp kravet For å finne den omvendte funksjonen løser vi \( {y = f(x)} \) for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Det går bare når ulike verdier av \( x \) gir ulike verdier av \( y\text{:} \) \[ x_1 \neq x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1) \neq f(x_2) \]

En kontinuerlig funksjon som både minker og vokser på ett og samme intervall, snur et sted og får noen verdier to ganger. Men definisjonsmengden kan bestå av to deler.

2. Finn et eksempel Vi velger \( {f(x) = x^2} \) med \( {D_f = \textcolor{blue}{[-2, -1]} \cup \textcolor{red}{[3, 4]}}\text{.} \) På \( {\textcolor{blue}{[-2, -1]}} \) minker \( f \) fra 4 til 1, og på \( \textcolor{red}{[3, 4]} \) vokser den fra 9 til 16: \[ V_f = \textcolor{blue}{[1, 4]} \cup \textcolor{red}{[9, 16]} \]

De to delene av verdimengden har ingen felles verdier, så hver verdi av \( y \) kommer fra bare én \( x\text{.} \) Funksjonen har derfor en omvendt funksjon, selv om den både minker og vokser. Påstanden er sann.

Vi løser likningen for \( E\text{:} \) først får vi \( \lg(E) \) alene, så opphøyer vi \( 10 \) i begge sider. Til slutt setter vi inn \( {M = 4{,}7}\text{.} \)

1. Få lg(E) alene Vi legger til \( 3{,}2 \) på begge sider og ganger med \( \dfrac{3}{2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} M + 3{,}2 &= \dfrac{2}{3}\textcolor{green}{\lg(E)} \\ \textcolor{green}{\lg(E)} &= \dfrac{3}{2}(M + 3{,}2) \\ \textcolor{green}{\lg(E)} &= 1{,}5M + 4{,}8 \end{aligned} \]

2. Opphøy 10 i begge sider Fra definisjonen av logaritmen er \( {10^{\lg E} = E}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025. Opphøyer vi \( 10 \) i begge sider, får vi: \[ E = 10^{1{,}5M + 4{,}8} \]

3. Sett inn M = 4,7 Med \( {M = 4{,}7} \) er \( {1{,}5 \cdot 4{,}7 + 4{,}8 = 11{,}85}\text{,} \) og kalkulatoren gir: \[ E = 10^{11{,}85} \approx 7{,}08 \cdot 10^{11} \]Jordskjelvet løser ut omtrent \( {7{,}08 \cdot 10^{11}} \) J.

1. Løs likningen i CAS Vi løser likningen for \( E \) i CAS. Så skriver vi svaret inn som en funksjon av \( M\text{,} \) som vi kaller Energi, siden \( E \) er den ukjente i rad 1. Rad 3 regner vi ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(M = 2/3 lg(E) - 3.2, E) Energi(M) := 10^(3/2 M + 24/5) Energi(4.7)

CAS gir \( {E = 10^{\tfrac{3}{2}M + \tfrac{24}{5}} = 10^{1{,}5M + 4{,}8}} \) og \( {E \approx 707\,945\,784\,384} \) J, altså omtrent \( {7{,}08 \cdot 10^{11}} \) J, når \( {M = 4{,}7}\text{.} \)

Vi bruker uttrykket for \( E \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi deler energien for \( {M + 1} \) på energien for \( M\text{.} \) Med potensreglene blir det et tall som ikke avhenger av \( M\text{.} \)

1. Del energiene på hverandre I a) fant vi: \[ E = 10^{1{,}5M + 4{,}8} \]

Potensregelen for brøk forteller oss at: \[ \dfrac{a^{\textcolor{blue}{m}}}{a^{\textcolor{red}{n}}} = a^{\textcolor{blue}{m} - \textcolor{red}{n}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.

Når \( M \) øker med 1, blir eksponenten: \[ \textcolor{blue}{1{,}5(M + 1) + 4{,}8} = \textcolor{blue}{1{,}5M + 6{,}3} \]

Det gir: \[ \begin{aligned} \dfrac{E(M + 1)}{E(M)} &= \dfrac{10^{\textcolor{blue}{1{,}5M + 6{,}3}}}{10^{\textcolor{red}{1{,}5M + 4{,}8}}} = 10^{1{,}5} \\ \dfrac{E(M + 1)}{E(M)} &= 10\sqrt{10} \approx 31{,}6 \end{aligned} \]Energien blir omtrent \( 31{,}6 \) ganger så stor, uansett hva \( M \) er.

1. Regn ut i CAS Vi fortsetter i CAS-vinduet fra a), der energien er funksjonen Energi. Rad 5 er rad 4 uten Forenkle, med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Forenkle(Energi(M + 1) / Energi(M)) Energi(M + 1) / Energi(M)

CAS gir \( {10\sqrt{10} \approx 31{,}6228}\text{.} \) Energien blir omtrent \( 31{,}6 \) ganger så stor.