Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

kvotientregelen

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

3 oppgaver i R1 om kvotientregelen

Oppgavene

R1 vår 2026 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

2 poeng

Deriver funksjonen h h gitt ved
h(x)=3x2−5+3x−2 h(x) = 3x^2 - 5 + \dfrac{3}{x - 2}
Vis løsning på oppgave 1

Svar

For x≠2 {x \neq 2} er
h′(x)=6x−3(x−2)2‾‾ \underline{\underline{h'(x) = 6x - \dfrac{3}{(x - 2)^2}}}
Oppgave 1 - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026, video, 02:52
Vi ser at funksjonen består av tre ledd. Vi deriverer dem derfor ledd for ledd, og brøken med kvotientregelen.
1. Deriver de to første leddene 0:15 Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
\( \textcolor{green}{3x^2} \) derivert blir derfor \( {3 \cdot 2x = \textcolor{green}{\underline{6x}}}\text{.} \)
\( {-5} \) derivert blir \( \underline{0}\text{,} \) siden det er en konstant.
2. Deriver brøken med kvotientregelen 0:45 For å derivere \( {\dfrac{3}{x - 2}} \) bruker vi kvotientregelen. Den forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.
For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Telleren \( 3 \) er en konstant, så den har derivert \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x - 2} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} \left(\dfrac{3}{x - 2}\right)' &= \dfrac{\textcolor{red}{0} \cdot (\textcolor{blue}{x - 2}) - \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{blue}{1}}{(\textcolor{blue}{x - 2})^2} \\ \left(\dfrac{3}{x - 2}\right)' &= \textcolor{darkorange}{\underline{-\dfrac{3}{(x - 2)^2}}} \end{aligned} \]
3. Slå sammen leddene 2:18 Slår vi dette sammen, får vi: \[ h'(x) = \textcolor{green}{6x} + 0 \textcolor{darkorange}{{}- \dfrac{3}{(x - 2)^2}} \]

R1 høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

5 poeng

Oppgave 1a)

Deriver funksjonen f f gitt ved
f(x)=13x3+x+2 f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 + \sqrt{x} + 2
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
For x>0 {x > 0} er
f′(x)=x2+12x‾‾ \underline{\underline{f'(x) = x^2 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}}}}
Oppgave 1A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, video, 02:51
Vi ser at funksjonen består av tre ledd, og at roten er vanskelig å derivere slik den står. Vi skriver den derfor som en potens og deriverer ledd for ledd.
1. Skriv roten som en potens 0:15 En rot kan skrives som en potens: \[ \sqrt[n]{x} = x^{\tfrac{1}{n}} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Potenser og røtter.
Kvadratroten er andreroten, så \( {n = 2}\text{:} \) \[ f(x) = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}x^3} + \textcolor{red}{x^{\tfrac{1}{2}}} + 2 \]
2. Deriver ledd for ledd 1:04 Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
\( \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}x^3} \) derivert blir \( {\dfrac{1}{3} \cdot 3x^2 = \textcolor{blue}{\underline{x^2}}}\text{.} \)
\( \textcolor{red}{x^{\tfrac{1}{2}}} \) derivert blir \( {\dfrac{1}{2} \cdot x^{\tfrac{1}{2} - 1} = \textcolor{red}{\underline{\dfrac{1}{2}x^{-\tfrac{1}{2}}}}}\text{.} \)
\( 2 \) derivert blir \( \underline{0}\text{,} \) siden det er en konstant.
3. Skriv svaret med rot 1:42 Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{blue}{x^2} + \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x^{-\tfrac{1}{2}}} \]
En negativ eksponent betyr én delt på potensen: \[ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.
Det gir \( {x^{-\tfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{x^{\tfrac{1}{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}}\text{.} \) Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) så for \( {x > 0} \) er: \[ f'(x) = x^2 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \]
Funksjon g g gitt ved
g(x)=2x−3ex g(x) = \dfrac{2x - 3}{e^x}
er kontinuerlig og deriverbar for alle x∈R. x \in \mathbb{R}\text{.}

Oppgave 1b)

Bestem g′(2) g'(2) og g′(3). g'(3)\text{.}
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
g′(2)=1e2‾‾g′(3)=−1e3‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{g'(2) = \dfrac{1}{e^2}}} \\ &\underline{\underline{g'(3) = -\dfrac{1}{e^3}}} \end{aligned}
Oppgave 1B + C - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, video, 04:30
Funksjonen er en brøk, så vi deriverer den med kvotientregelen. Så setter vi inn \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{.} \)
1. Skriv opp kvotientregelen 0:19 Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.
For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Siden \( {(e^x)' = e^x}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x - 3} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]
2. Sett inn og forenkle 1:13 Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ g'(x) = \dfrac{\textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{e^x} - (\textcolor{red}{2x - 3}) \cdot \textcolor{blue}{e^x}}{(\textcolor{blue}{e^x})^2} \]
Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) i telleren og skriver \( {(e^x)^2 = \textcolor{darkorange}{e^x} \cdot e^x}\text{,} \) får vi: \[ g'(x) = \dfrac{\textcolor{darkorange}{e^x}\bigl(2 - (2x - 3)\bigr)}{\textcolor{darkorange}{e^x} \cdot e^x} \]
Vi forkorter \( \textcolor{darkorange}{e^x}\text{.} \) Minus foran parentesen gjelder begge leddene, så \( {-(2x - 3) = -2x + 3}\text{:} \) \[ g'(x) = \dfrac{2 - 2x + 3}{e^x} = \dfrac{5 - 2x}{e^x} \]
3. Regn ut de to verdiene 2:46 Vi setter inn \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g'(2) &= \dfrac{5 - 2 \cdot 2}{e^2} = \dfrac{1}{e^2} \\ g'(3) &= \dfrac{5 - 2 \cdot 3}{e^3} = -\dfrac{1}{e^3} \end{aligned} \]

Oppgave 1c)

Hva forteller svarene i oppgave b om grafen til g g når x∈[2,3]? x \in [2, 3]\text{?}
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Grafen stiger i x=2 {x = 2} og synker i x=3: {x = 3}\text{:}
Et toppunkt der 2<x<3‾‾ \underline{\underline{\text{Et toppunkt der } 2 < x < 3}}
Oppgave 1B + C - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, video, 04:30
Vi bruker \( g'(2) \) og \( g'(3) \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Den deriverte er stigningstallet til grafen. Fortegnet til \( g'(2) \) og \( g'(3) \) forteller derfor om grafen stiger eller synker der.
1. Tolk fortegnene 3:37 I b) fant vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{g'(2)} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{e^2}} > 0 \\ \textcolor{red}{g'(3)} &= \textcolor{red}{-\dfrac{1}{e^3}} < 0 \end{aligned} \]
Den deriverte er stigningstallet til tangenten, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Grafen stiger altså i \( {\textcolor{blue}{x = 2}} \) og synker i \( {\textcolor{red}{x = 3}}\text{.} \)
Siden \( g \) er kontinuerlig og deriverbar, må grafen snu et sted mellom \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{.} \) Der er \( {g'(x) = 0}\text{,} \) og grafen har et toppunkt.

R1 høst 2024 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

2 poeng

Deriver funksjonen
f(x)=e2xx f(x) = \dfrac{e^{2x}}{x}
Vis løsning på oppgave 1

Svar

For x≠0 {x \neq 0} er
f′(x)=e2x(2x−1)x2‾‾ \underline{\underline{f'(x) = \dfrac{e^{2x}(2x - 1)}{x^2}}}
Funksjonen er en brøk, så vi deriverer den med kvotientregelen. Telleren \( e^{2x} \) deriverer vi med kjerneregelen.
1. Skriv opp kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.
For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Kjerneregelen gir \( {\left(e^{\textcolor{green}{2x}}\right)' = e^{2x} \cdot \textcolor{green}{2}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^{2x}} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2e^{2x}} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]
2. Sett inn og forenkle Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ f'(x) = \dfrac{\textcolor{red}{2e^{2x}} \cdot \textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{e^{2x}} \cdot \textcolor{blue}{1}}{\textcolor{blue}{x}^2} \]
Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^{2x}} \) i telleren, får vi: \[ f'(x) = \dfrac{\textcolor{darkorange}{e^{2x}}(2x - 1)}{x^2} \]