Eksamensoppgaver etter tema

Gjennomsnittlig vekstfart på \( [0, 4] \) er stigningstallet til linja mellom grafens punkter i \( {x = 0} \) og \( {x = 4}\text{.} \) Vi leser av grafene og ser hvilken funksjon som oppfyller begge kravene.

1. Regn ut den gjennomsnittlige vekstfarten Gjennomsnittlig vekstfart fra \( {x = 0} \) til \( {x = 4} \) er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Med \( {x_1 = 0} \) og \( {x_2 = 4} \) leser vi av \( y_1 \) og \( y_2 \) i figuren: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{f}\text{:} \quad \dfrac{2 - 0}{4 - 0} &= \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{blue}{g}\text{:} \quad \dfrac{4 - 2}{4 - 0} &= \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{red}{h}\text{:} \quad \dfrac{4 - 4}{4 - 0} &= 0 \end{aligned} \]Bare \( \textcolor{green}{f} \) og \( \textcolor{blue}{g} \) har gjennomsnittlig vekstfart \( \dfrac{1}{2}\text{.} \)

2. Sjekk den deriverte Den deriverte er stigningstallet til tangenten, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Grafen til \( \textcolor{blue}{g} \) er en rett linje, så tangenten er linja selv, og stigningstallet er \( \dfrac{1}{2} \) overalt: \[ \textcolor{blue}{g'(1)} = \dfrac{1}{2} \neq 1 \]Da står bare \( \textcolor{green}{f} \) igjen.

3. Kontroller med funksjonsuttrykket Grafen til \( \textcolor{green}{f} \) ser ut som en parabel med nullpunkter i \( {x = 0} \) og \( {x = 6}\text{,} \) altså \( {f(x) = a \cdot x(x - 6)}\text{.} \) Punktet \( (2, 2) \) gir: \[ \begin{aligned} a \cdot 2 \cdot (2 - 6) &= 2 \\ a &= -\dfrac{1}{4} \end{aligned} \]

Det gir \( {f(x) = -\dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{3}{2}x}\text{.} \) Potensregelen \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}} \) gir: \[ \begin{aligned} f'(x) &= -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2} \\ f'(1) &= -\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} = 1 \end{aligned} \]

Vi finner verdimengden og punktet der \( f \) ikke er kontinuerlig. Så tar vi ut så lite som mulig av definisjonsmengden, uten å endre verdimengden.

1. Finn verdimengden På \( [0, 2] \) gir \( \textcolor{blue}{x} \) verdiene \( \textcolor{blue}{[0, 2]}\text{.} \) På \( \langle 2, 5] \) avtar \( {\textcolor{red}{5 - x}} \) fra nesten \( 3 \) ned til \( 0\text{.} \) Den når aldri \( 3\text{,} \) fordi \( {x = 2} \) ikke er med i denne delen, så den gir \( \textcolor{red}{0, 3\rangle}\text{.} \) Klammeparentesen betyr at endepunktet er med, og vinkelparentesen at det ikke er det, som i videoen [Symboler. Til sammen er verdimengden: \[ V_f = \textcolor{blue}{[0, 2]} \cup \textcolor{red}{[0, 3\rangle} = [0, 3\rangle \]

2. Finn hvor f ikke er kontinuerlig Hver del er en rett linje, så \( f \) kan bare være diskontinuerlig der den skifter uttrykk, i \( {x = 2}\text{.} \) Der gir uttrykkene ulike verdier: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x}\text{:} \quad & f(2) = \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{red}{5 - x}\text{:} \quad & 5 - 2 = \textcolor{red}{3} \end{aligned} \]Grafen hopper fra \( 2 \) til \( 3\text{,} \) som i det første eksempelet i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon. Med \( {x = 2} \) i definisjonsmengden er \( f \) ikke kontinuerlig.

3. Ta ut bare x = 2 En funksjon er kontinuerlig når den er kontinuerlig i hvert punkt i definisjonsmengden: \[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \quad \text{for alle } a \in D_f \]

Tar vi ut bare \( {x = 2}\text{,} \) er \( f \) en av de rette linjene i hvert punkt som er igjen, og dermed kontinuerlig: \[ D_f = [0, 2\rangle \cup \langle 2, 5] \]

Verdimengden er fortsatt \( [0, 3\rangle\text{.} \) Verdien \( 2\text{,} \) som forsvant med \( {x = 2}\text{,} \) får vi fortsatt i \( {x = 3}\text{,} \) fordi \( {5 - 3 = 2}\text{.} \)

Vi kan ikke beholde \( {x = 2}\text{.} \) Verdiene nær \( 3 \) får vi bare for \( x \) like til høyre for \( 2\text{,} \) så de punktene må være med, og da hopper grafen i \( {x = 2}\text{.} \) Mindre kan vi derfor ikke ta ut.