Eksamensoppgaver etter tema

\( AB \) er vannrett, så lengden er forskjellen mellom førstekoordinatene. \( AD \) er loddrett, så lengden er forskjellen mellom andrekoordinatene.

1. Finn lengdene \( A \) har førstekoordinat \( a\text{,} \) og \( B \) har førstekoordinat \( 5\text{.} \) Siden \( {a < 5}\text{,} \) er: \[ AB = \textcolor{red}{5 - a} \]

\( A \) har andrekoordinat \( {f(a) = 100 \cdot 0{,}8^a}\text{,} \) og \( D \) har andrekoordinat \( 200\text{.} \) Siden \( {0{,}8^a \le 1} \) når \( {a \ge 0}\text{,} \) er \( {f(a) \le 100}\text{,} \) så \( D \) ligger over \( A\text{:} \) \[ AD = \textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a} \]

Vi bruker lengdene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Arealet er \( {AB \cdot AD}\text{,} \) en funksjon av \( a\text{.} \) Vi finner der den deriverte er \( 0\text{,} \) viser at det er et toppunkt, og sammenligner med endepunktet \( {a = 0}\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen der den deriverte er \( 0\text{,} \) kan ikke løses for hånd. Øv heller på å sette opp arealet og den deriverte for hånd, med produktregelen og \( {(0{,}8^a)' = 0{,}8^a \cdot \ln 0{,}8}\text{,} \) og på å avgjøre fortegnet til den deriverte.

1. Sett opp arealet som en funksjon I a) fant vi \( {AB = \textcolor{red}{5 - a}} \) og \( {AD = \textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}}\text{.} \) Navnet \( A \) er brukt på et punkt, så vi kaller arealet \( T(a)\text{:} \) \[ T(a) = (\textcolor{red}{5 - a})(\textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}) \]der \( a \in [0, 5\rangle\text{.} \)

2. Deriver og løs med CAS Oppgaven krever derivasjon, fordi en annen metode, som å lese av en graf, bare gir noe uttelling. Arealet er et produkt, og produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Her er \( {\textcolor{red}{u} = \textcolor{red}{5 - a}} \) og \( {\textcolor{blue}{v} = \textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}}\text{.} \) Siden \( {0{,}8^a = e^{a \cdot \ln 0{,}8}}\text{,} \) gir kjerneregelen for \( e \) opphøyd i en kjerne, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, at \( {(0{,}8^a)' = 0{,}8^a \cdot \ln 0{,}8}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{-1} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-100 \cdot 0{,}8^a \cdot \ln 0{,}8} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} T'(a) &= \textcolor{red}{-1} \cdot (\textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}) \\ &{}+ (\textcolor{red}{5 - a})(\textcolor{blue}{-100 \cdot 0{,}8^a \ln 0{,}8}) \end{aligned} \]

Vi lar CAS kontrollere den deriverte og løse \( {T'(a) = 0}\text{.} \) Likningen kan ikke løses eksakt, så vi bruker NLøs med startverdien \( {a = 0{,}2}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := 100*0.8^x T(a) := (5 - a)*(200 - f(a)) T'(a) NLøs(T'(a) = 0, a = 0.2)

CAS gir \( {T'(a) = 0} \) når \( {a \approx 0{,}1707}\text{.} \)

3. Vis at det er et toppunkt Faktoriserer vi ut \( {100 \cdot 0{,}8^a} \) fra leddene som har den, får vi: \[ \begin{aligned} T'(a) &= 100 \cdot 0{,}8^a \cdot g(a) - 200 \\ g(a) &= 1 - (5 - a) \cdot \ln 0{,}8 \end{aligned} \]Siden \( {\ln 0{,}8 < 0}\text{,} \) er \( g(a) \) positiv og blir mindre når \( a \) øker, og \( 0{,}8^a \) blir også mindre. Derfor avtar \( T'(a)\text{,} \) og den er \( 0 \) bare én gang.

Vi sjekker fortegnet på hver side og regner ut arealet i CAS, radene 5 til 7 med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: T'(0) T'(1) T(0.1707) T(0)

CAS gir i rad 5 og 6: \[ \begin{aligned} T'(0) &\approx 11{,}57 > 0 \\ T'(1) &\approx -48{,}59 < 0 \end{aligned} \]Arealet vokser før \( {a \approx 0{,}1707} \) og avtar etter, så der har \( T \) et toppunkt.

Vi sammenligner med endepunktet \( {a = 0} \) i rad 7 og 8: \[ \begin{aligned} T(0{,}1707) &\approx 500{,}98 \\ T(0) &= 500 \end{aligned} \]Når \( a \) nærmer seg \( 5\text{,} \) går arealet mot \( 0\text{.} \) Det største arealet er derfor omtrent \( 501\text{.} \)

Vi bruker to ting: \( a^x \) er \( 1 \) i \( {x = 0}\text{,} \) og graden til et polynom synker med to når vi deriverer to ganger.

1. Finn eksponentialfunksjonen 0:46 Bare A og G vokser stadig brattere, slik eksponentialfunksjoner gjør. Den deriverte av \( a^x \) er \( a^x \) ganget med \( \ln a\text{,} \) så den dobbeltderiverte er også en eksponentialfunksjon: \[ \begin{aligned} (a^x)' &= a^x \cdot \ln a \\ (a^x)'' &= (\ln a)^2 \cdot a^x \end{aligned} \]

\( {a^0 = 1} \) for alle \( a\text{,} \) så grafen til \( a^x \) går gjennom \( (0, 1)\text{.} \) Det gjør G, men ikke A. G går også gjennom \( (1, 2)\text{,} \) så \( {G = 2^x} \) og \( {A = (\ln 2)^2 \cdot 2^x \approx 0{,}48 \cdot 2^x}\text{.} \)

2. Bruk at graden synker med to 4:19 Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Bruker vi den to ganger, får vi: \[ \begin{aligned} (x^b - c)' &= b \cdot x^{b - 1} \\ (x^b - c)'' &= b(b - 1) \cdot x^{b - 2} \end{aligned} \]Graden er den største eksponenten, som i videoen Hva er et Polynom?, så den synker fra \( b \) til \( {b - 2}\text{.} \)

I \( {x = 0} \) er \( {x^b - c = -c}\text{,} \) som er negativ. Det passer med B, E og F. C og D går gjennom origo, og H ligger over \( x \)-aksen, så C, D og H er dobbeltderiverte.

3. Finn de tre parene 4:51 \( \textcolor{blue}{B} \) har et terrassepunkt i \( {(0, -1)}\text{,} \) så \( {c = 1} \) og \( b \) er et oddetall større enn 2. Den dobbeltderiverte har da oddetallsgrad, og bare den rette linja \( \textcolor{blue}{C} \) passer. Da er \( {b - 2 = 1}\text{,} \) så \( {B = x^3 - 1}\text{:} \) \[ (x^3 - 1)'' = 3 \cdot 2 \cdot x = 6x \]

\( \textcolor{red}{E} \) går gjennom \( {(0, -2)}\text{,} \) så \( {c = 2}\text{,} \) og gjennom \( (2, 2)\text{,} \) så \( {2^b - 2 = 2}\text{.} \) Det gir \( {b = 2}\text{,} \) og den dobbeltderiverte er konstant, \( \textcolor{red}{H}\text{:} \) \[ (x^2 - 2)'' = 2 \cdot 1 = 2 \]

\( \textcolor{green}{F} \) har bunnpunkt i \( {(0, -1)}\text{,} \) så \( {c = 1} \) og \( b \) er et partall. Den dobbeltderiverte er \( \textcolor{green}{D}\text{,} \) den eneste som er igjen, og den har grad 2. Da er \( {b - 2 = 2}\text{,} \) så \( {F = x^4 - 1}\text{:} \) \[ (x^4 - 1)'' = 4 \cdot 3 \cdot x^2 = 12x^2 \]Det stemmer med figurene: \( {6 \cdot 0{,}5 = 3} \) og \( {12 \cdot 0{,}5^2 = 3}\text{,} \) og både C og D går gjennom \( (0{,}5;\ 3)\text{.} \)

En funksjon har en omvendt funksjon når hver \( y \)-verdi kommer fra bare én \( x \)-verdi. Da kan ingen vannrett linje skjære grafen mer enn én gang.

1. Skriv opp kravet For å finne den omvendte funksjonen løser vi \( {y = f(x)} \) for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Det går bare når ulike \( x \) gir ulike \( y\text{:} \) \[ x_1 \neq x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1) \neq f(x_2) \]For en kontinuerlig funksjon betyr det at den hele tiden vokser eller hele tiden avtar.

2. Se på hver graf Grafene med omvendt funksjon er blå, de andre røde. \( \textcolor{blue}{A}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{B}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{C} \) og \( \textcolor{blue}{G} \) vokser hele tiden. B flater ut i \( {(0, -1)}\text{,} \) men stiger på begge sider, så også B gir én \( x \) for hver \( y\text{.} \)

\( \textcolor{red}{D}\text{,} \) \( \textcolor{red}{E} \) og \( \textcolor{red}{F} \) er symmetriske om \( y \)-aksen, så for eksempel \( {x = -1} \) og \( {x = 1} \) gir samme \( y \)-verdi. \( \textcolor{red}{H} \) er konstant, så alle \( x \) gir \( {y = 2}\text{.} \) Disse fire har ingen omvendt funksjon.

Vannmengden ved start er \( V(0)\text{.} \) Vi finner når \( V(t) \) er halvparten av den, og får \( t \) ned fra eksponenten med \( \ln\text{.} \)

1. Finn vannmengden ved start Ved start er \( {t = 0}\text{,} \) og \( {e^0 = 1}\text{:} \) \[ V(0) = 10000 \cdot e^{0} + 500 = 10\,500 \]Halvparten er \( 5250 \) liter.

2. Løs likningen med ln Vi setter \( {V(t) = 5250}\text{,} \) trekker fra \( 500 \) og deler på \( 10000\text{:} \) \[ \begin{aligned} 10000 \cdot e^{\textcolor{green}{-0{,}07t}} + 500 &= 5250 \\ e^{\textcolor{green}{-0{,}07t}} &= 0{,}475 \end{aligned} \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider. Siden \( {\ln\left(e^{\textcolor{green}{u}}\right) = \textcolor{green}{u}}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{-0{,}07t} &= \ln 0{,}475 \\ t &= \dfrac{\ln 0{,}475}{-0{,}07} \approx 10{,}63 \end{aligned} \]Det tar omtrent \( 10{,}6 \) timer, altså omtrent \( 10 \) timer og \( 38 \) minutter.

1. Løs likningen i CAS Vi definerer \( V(t) \) i CAS og løser \( {V(t) = \dfrac{1}{2} \cdot V(0)} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: V(t) := 10000*e^(-0.07t) + 500 V(0) Løs(V(t) = V(0)/2, t)

CAS gir \( {V(0) = 10\,500} \) og \( {t \approx 10{,}6349}\text{.} \) Det tar omtrent \( 10{,}6 \) timer.

\( V'(12) \) er hvor fort vannmengden endrer seg etter 12 timer, og \( V''(12) \) er hvor fort selve endringen endrer seg. Med kalkulator deriverer vi for hånd først.

1. Deriver med kjerneregelen Kjerneregelen for \( e \) opphøyd i en kjerne forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{-0{,}07t}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{-0{,}07}}\text{.} \) Konstanten \( 500 \) har derivert \( 0\text{.} \) Det gir: \[ \begin{aligned} V'(t) &= 10000 \cdot e^{\textcolor{green}{-0{,}07t}} \cdot (\textcolor{green}{-0{,}07}) \\ V'(t) &= -700 \cdot e^{-0{,}07t} \end{aligned} \]

Vi deriverer én gang til på samme måte: \[ \begin{aligned} V''(t) &= -700 \cdot e^{\textcolor{green}{-0{,}07t}} \cdot (\textcolor{green}{-0{,}07}) \\ V''(t) &= 49 \cdot e^{-0{,}07t} \end{aligned} \]

2. Regn ut verdiene Med \( {t = 12} \) er \( {e^{-0{,}07 \cdot 12} = e^{-0{,}84}}\text{.} \) Med alle desimalene fra kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} V'(12) &= -700 \cdot e^{-0{,}84} \approx -302{,}2 \\ V''(12) &= 49 \cdot e^{-0{,}84} \approx 21{,}2 \end{aligned} \]

3. Tolk svarene \( V'(12) \) er endringen i vannmengden per time etter 12 timer. Den er negativ, så vannmengden minker med omtrent \( 302 \) liter per time.

\( V'' \) forteller hvor fort \( V' \) endrer seg, slik akselerasjonen er den dobbeltderiverte av posisjonen i videoen Posisjon, fart & akselerasjon. \( {V''(12) > 0}\text{,} \) så \( V' \) øker: lekkasjen avtar, og vannmengden minker omtrent \( 21 \) liter per time saktere for hver time som går.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( V(t) \) i CAS og regner ut de deriverte i \( {t = 12} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: V(t) := 10000*e^(-0.07t) + 500 V'(12) V''(12)

CAS gir \( {V'(12) \approx -302{,}1974} \) og \( {V''(12) \approx 21{,}1538}\text{.} \) Etter 12 timer minker vannmengden altså med omtrent \( 302 \) liter per time, og lekkasjen avtar med omtrent \( 21 \) liter per time, per time.

Vi ser hva \( V(t) \) går mot når \( t \) vokser, og om \( V \) kan gå mot uendelig for en bestemt \( t\text{.} \)

1. La tiden gå mot uendelig Når \( t \to \infty\text{,} \) går \( {\textcolor{blue}{e^{-0{,}07t}} = \dfrac{1}{e^{0{,}07t}} \to 0}\text{,} \) fordi nevneren vokser uten grense. Det gir: \[ \lim_{t \to \infty} V(t) = 10000 \cdot \textcolor{blue}{0} + 500 = 500 \]

Grafen nærmer seg linja \( {V = 500}\text{,} \) så \( {V = 500} \) er en vannrett asymptote, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Leddet \( {10000 \cdot e^{-0{,}07t}} \) er alltid positivt, så \( {V(t) > 500} \) for alle \( t\text{.} \)

2. Se etter loddrette asymptoter En loddrett asymptote krever at funksjonen går mot uendelig når \( t \) nærmer seg et bestemt tall. \( V \) har ingen brøk med \( t \) i nevneren og ingen logaritme, så den er definert og kontinuerlig for alle \( t\text{.} \) Den har derfor ingen loddrette asymptoter.

3. Tolk asymptoten Vannmengden nærmer seg \( 500 \) liter, men blir aldri mindre. Etter lang tid er det altså omtrent \( 500 \) liter igjen i reservoaret, for eksempel fordi lekkasjen sitter et stykke opp fra bunnen.

Formen \( {A_0 \cdot k^t} \) er en eksponentiell modell, så vi bruker eksponentiell regresjon i GeoGebra på alle punktene i tabellen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre regresjon. Øv heller på å tolke \( A_0 \) og \( k\text{,} \) og på c) og d) med modellene i svarene, med kalkulator.

1. Legg punktene inn i GeoGebra Vi skriver månedene i kolonne A og antall tusen fisk i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{A_0} \) og \( \textcolor{blue}{k} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Kommandoen heter RegEksp, og GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: A(x) = RegEksp(l1)

Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ A(t) = \textcolor{red}{A_0} \cdot \textcolor{blue}{k}^t \]Det gir \( {\textcolor{red}{A_0} \approx \textcolor{red}{1{,}6012}} \) og \( {\textcolor{blue}{k} \approx \textcolor{blue}{1{,}6341}}\text{.} \)

3. Tolk tallene \( \textcolor{red}{A_0} \) er antall tusen fisk ved \( {t = 0}\text{,} \) da arten først ble registrert. Ifølge modellen var det omtrent \( 1600 \) fisk. Tabellen sier \( 1000\text{:} \) regresjonen går nær alle punktene, men ikke nødvendigvis gjennom det første.

\( \textcolor{blue}{k} \) er vekstfaktoren per måned. Siden \( {\textcolor{blue}{k} \approx 1{,}634 = 1 + 0{,}634}\text{,} \) øker antall fisk med omtrent \( 63\,\% \) hver måned.

Formen er en logistisk modell, så vi bruker logistisk regresjon i GeoGebra. \( N_0 \) er verdien modellen gir ved \( {t = 0}\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre logistisk regresjon. Øv heller på c) og d) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Kjør logistisk regresjon Lista med punkt fra a) heter \( l_1\text{.} \) Logistisk regresjon finner de tallene som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Til slutt regner vi ut \( N(0)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: N(x) = RegLogist(l1) N_0 = N(0)

2. Les av de tre tallene GeoGebra gir modellen på formen \( {\dfrac{\textcolor{red}{B}}{1 + \textcolor{green}{b} \cdot e^{-\textcolor{blue}{r}x}}}\text{.} \) Sammenligner vi med formen i oppgaven, er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{B} &\approx \textcolor{red}{111{,}3734} \\ \textcolor{blue}{r} &\approx \textcolor{blue}{0{,}5244} \\ \textcolor{green}{\dfrac{B - N_0}{N_0}} &\approx \textcolor{green}{57{,}2048} \end{aligned} \]

\( N_0 \) er antall tusen fisk ved \( {t = 0} \) i modellen, altså \( {N(0) \approx 1{,}9135}\text{,} \) som GeoGebra regnet ut. Tabellen sier \( 1\text{:} \) RegLogist tilpasser kurven til alle punktene, så modellens verdi ved \( {t = 0} \) er ikke den første verdien i tabellen, som i a).

Kontroll: \( {\dfrac{111{,}3734 - 1{,}9135}{1{,}9135} \approx 57{,}20}\text{,} \) som er tallet foran \( e \) i modellen.

Vi bruker modellene fra a) og b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vekstfarten er den deriverte. Vi deriverer begge modellene og ser om vekstfarten øker hele tiden, eller om den har et toppunkt.

1. Deriver den eksponentielle modellen I a) fant vi modellen: \[ A(t) \approx 1{,}60 \cdot \textcolor{blue}{1{,}634}^t \]Den deriverte av \( \textcolor{blue}{k}^t \) er: \[ \left(\textcolor{blue}{k}^t\right)' = \textcolor{blue}{k}^t \cdot \ln \textcolor{blue}{k} \]Den følger av kjerneregelen, siden \( {\textcolor{blue}{k}^t = e^{t \cdot \ln \textcolor{blue}{k}}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Det gir: \[ \begin{aligned} A'(t) &= 1{,}60 \cdot \textcolor{blue}{1{,}634}^t \cdot \ln \textcolor{blue}{1{,}634} \\ A'(t) &\approx 0{,}786 \cdot 1{,}634^t \end{aligned} \]Dette er \( A(t) \) ganget med \( \ln 1{,}634\text{,} \) så vekstfarten øker med samme prosent som antall fisk, \( 63\,\% \) per måned. Den øker hele tiden, og fortere og fortere.

2. Deriver den logistiske modellen I b) fant vi modellen, som vi skriver med \( {\textcolor{darkorange}{w} = \textcolor{darkorange}{57{,}20 \cdot e^{-0{,}524t}}}\text{:} \) \[ N(t) \approx \dfrac{111{,}4}{1 + \textcolor{darkorange}{w}} = 111{,}4 \cdot (1 + \textcolor{darkorange}{w})^{-1} \]

Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(u^{-1}\right)' = -u^{-2} \cdot u' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er kjernen \( {u = 1 + \textcolor{darkorange}{w}}\text{.} \) Siden \( {(e^{-0{,}524t})' = -0{,}524 \cdot e^{-0{,}524t}}\text{,} \) er \( {u' = \textcolor{darkorange}{w'} = -0{,}524 \cdot \textcolor{darkorange}{w}}\text{.} \) De to minustegnene gir pluss: \[ N'(t) = \dfrac{111{,}4 \cdot 0{,}524 \cdot \textcolor{darkorange}{w}}{(1 + \textcolor{darkorange}{w})^2} \]

Setter vi inn \( \textcolor{darkorange}{w}\text{,} \) og bruker at \( {111{,}4 \cdot 0{,}524 \cdot 57{,}20 \approx 3340}\text{,} \) avrundet til tre gjeldende sifre, får vi: \[ N'(t) \approx \dfrac{3340 \cdot e^{-0{,}524t}}{(1 + 57{,}20 \cdot e^{-0{,}524t})^2} \]

3. Finn ut når vekstfarten er størst Siden \( {N = \dfrac{111{,}4}{1 + w}} \) og \( {1 - \dfrac{N}{111{,}4} = \dfrac{w}{1 + w}}\text{,} \) kan den deriverte skrives: \[ N'(t) = 0{,}524 \cdot N \cdot \left(1 - \dfrac{N}{111{,}4}\right) \]

Dette er et andregradsuttrykk i \( N \) med nullpunkter \( {N = 0} \) og \( {N = 111{,}4}\text{.} \) Det er størst midt mellom dem, når \( {N = 55{,}7}\text{.} \) Antallet \( N \) vokser hele tiden mot \( 111{,}4\text{,} \) så vekstfarten øker til \( {N = 55{,}7} \) og avtar etterpå. Det skjer når \( {\textcolor{darkorange}{w} = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{57{,}20 \cdot e^{-0{,}524t}} &= 1 \\ t &= \dfrac{\ln 57{,}20}{0{,}524} \approx 7{,}7 \end{aligned} \]Da er vekstfarten: \[ N'(t) = 0{,}524 \cdot 55{,}7 \cdot \dfrac{1}{2} \approx 14{,}6 \]Vekstfarten øker altså til omtrent \( 14{,}6 \) tusen fisk per måned etter omtrent \( 7{,}7 \) måneder, og avtar så mot \( 0 \) når antallet nærmer seg bæreevnen.

1. Deriver i CAS I a) og b) lagret vi modellene som \( A \) og \( N \) i GeoGebra, med alle desimalene. Vi deriverer dem i CAS med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: A'(x) N'(x)

Nevneren i \( N'(x) \) er \( {(1 + 57{,}2048 \cdot e^{-0{,}5244x})^2} \) ganget ut, og \( {e^{0{,}4911} \approx 1{,}6341}\text{.} \) CAS gir altså: \[ \begin{aligned} A'(t) &\approx 0{,}7863 \cdot 1{,}6341^t \\ N'(t) &\approx \dfrac{3340{,}95 \cdot e^{-0{,}5244t}}{(1 + 57{,}2048 \cdot e^{-0{,}5244t})^2} \end{aligned} \]

2. Finn toppunktet til den deriverte Vi tegner grafene til \( A' \) og \( N'\text{,} \) og finner toppunktet til \( N' \) med Ekstremalpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: Derivert(A) Derivert(N) T = Ekstremalpunkt(N', 0, 14)

Grafen til \( A' \) stiger stadig brattere, og grafen til \( N' \) har toppunktet \( {T \approx (7{,}7168,\ 14{,}6008)}\text{.} \) Med den eksponentielle modellen øker vekstfarten hele tiden. Med den logistiske er den størst etter omtrent \( 7{,}7 \) måneder, omtrent \( 14{,}6 \) tusen fisk per måned, og avtar så mot \( 0\text{.} \)

Vi bruker modellene fra a) og b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

En innsjø har bare plass og mat til et begrenset antall fisk. Den logistiske modellen har en bæreevne, så vi velger den og regner ut \( N(12)\text{.} \)

1. Velg modell Vi sammenligner modellene med tabellen og ser hvordan de oppfører seg etter det siste punktet, som når vi vurderer gyldighetsområdet i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den eksponentielle modellen gir for mye allerede ved \( {t = 8}\text{,} \) og den vokser uten grense: \[ A(8) \approx 1{,}60 \cdot 1{,}634^8 \approx 81 \]mens tabellen sier \( 60 \) tusen fisk.

Den logistiske modellen går nær alle punktene i tabellen og flater ut mot bæreevnen, omtrent \( 111\,400 \) fisk. Den beskriver situasjonen best.

2. Regn ut antallet etter 12 måneder I b) fant vi modellen: \[ N(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{111{,}4}}{1 + \textcolor{green}{57{,}20} \cdot e^{-\textcolor{blue}{0{,}524}t}} \]

Vi setter inn \( {t = 12}\text{:} \) \[ \begin{aligned} N(12) &\approx \dfrac{\textcolor{red}{111{,}4}}{1 + \textcolor{green}{57{,}20} \cdot e^{-\textcolor{blue}{0{,}524} \cdot 12}} \\ &\approx 100{,}7 \end{aligned} \]Det er omtrent \( 100\,700 \) fisk.

1. Regn ut antallet i GeoGebra I a) og b) lagret vi modellene som \( A \) og \( N \) i GeoGebra, med alle desimalene. Vi tegner begge sammen med punktene og regner ut \( N(12)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: n = N(12)

Grafen til \( A \) stiger forbi det siste punktet, mens \( N \) følger punktene og flater ut. GeoGebra gir \( {N(12) \approx 100{,}7163}\text{,} \) altså omtrent \( 100\,700 \) fisk.

Den nederste raden viser hvor langt konsentrasjonen er fra \( 2{,}5\text{.} \) Vi bytter fortegn, bruker eksponentiell regresjon og sammenligner med \( f\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre regresjon. Øv heller på b) og c) med modellen \( f \) fra oppgaven, med kalkulator.

1. Legg punktene inn i GeoGebra Vi kaller konsentrasjonen \( K\text{.} \) Tallene i den nederste raden er \( {K - 2{,}5}\text{,} \) og de er negative. Eksponentiell regresjon trenger positive tall, så vi bytter fortegn og bruker \( {\textcolor{blue}{2{,}5 - K}}\text{:} \) \( 2{,}5\text{,} \) \( 2{,}22\text{,} \) \( 1{,}97 \) og så videre.

Vi skriver tiden i kolonne A og \( {\textcolor{blue}{2{,}5 - K}} \) i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{green}{b} \) i \( {\textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{green}{b}^t} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Kommandoen heter RegEksp, og GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: g(x) = RegEksp(l1)

Regresjonen gir \( {\textcolor{red}{a} \approx \textcolor{red}{2{,}5006}} \) og \( {\textcolor{green}{b} \approx \textcolor{green}{0{,}9881}}\text{.} \) Med to desimaler er det: \[ \textcolor{blue}{2{,}5 - K} \approx \textcolor{red}{2{,}50} \cdot \textcolor{green}{0{,}99}^t \]

3. Sammenlign med modellen Vi løser for \( K \) og får modellen fra oppgaven: \[ K \approx 2{,}5 - 2{,}5 \cdot 0{,}99^t = f(t) \]

Modellen stemmer også med teksten. Siden \( {0{,}99^0 = 1}\text{,} \) er \( {f(0) = 2{,}5 - 2{,}5 = 0}\text{,} \) som i tabellen. Når \( t \) vokser, går \( 0{,}99^t \) mot \( 0\text{,} \) fordi \( {0{,}99 < 1}\text{.} \) Da går \( f(t) \) mot \( 2{,}5\text{,} \) der konsentrasjonen stabiliserer seg.

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: modellen \( f \) står i oppgaveteksten.

Vi setter \( {f(t) = 2{,}0}\text{,} \) får potensen \( 0{,}99^t \) alene og tar \( \ln \) på begge sider.

1. Få potensen alene Modellen fra oppgaveteksten er: \[ f(t) = 2{,}5 - 2{,}5 \cdot 0{,}99^t \]

Vi setter \( {f(t) = 2{,}0}\text{:} \) \[ 2{,}5 - 2{,}5 \cdot 0{,}99^t = 2{,}0 \]

Vi trekker fra \( 2{,}5 \) på begge sider og deler på \( {-2{,}5}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -2{,}5 \cdot 0{,}99^t &= -0{,}5 \\ 0{,}99^t &= 0{,}2 \end{aligned} \]

2. Ta ln på begge sider Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{green}{b}}\right) = \textcolor{green}{b} \cdot \ln a \quad \text{for } a > 0 \]Den flytter \( \textcolor{green}{t} \) ned fra eksponenten, som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{t} \cdot \ln 0{,}99 &= \ln 0{,}2 \\ t &= \dfrac{\ln 0{,}2}{\ln 0{,}99} \approx 160{,}14 \end{aligned} \]Konsentrasjonen er \( 2{,}0\,\text{mmol/L} \) etter omtrent \( 160 \) sekunder.

1. Løs likningen i CAS Vi skriver modellen inn i CAS og løser \( {f(t) = 2} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: f(t) := 2.5 - 2.5*0.99^t Løs(f(t) = 2, t)

CAS gir \( {t \approx 160{,}1377}\text{.} \) Konsentrasjonen er \( 2{,}0\,\text{mmol/L} \) etter omtrent \( 160 \) sekunder.

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: modellen \( f \) står i oppgaveteksten.

Hvor fort konsentrasjonen øker, er den deriverte \( f'(t)\text{.} \) Vi finner når \( {f'(t) = 0{,}001}\text{,} \) og ser at \( f'(t) \) avtar.

1. Deriver modellen Modellen fra oppgaveteksten er: \[ f(t) = 2{,}5 - 2{,}5 \cdot \textcolor{green}{0{,}99^t} \]

Vi skriver \( {\textcolor{green}{0{,}99^t} = e^{t \cdot \ln 0{,}99}}\text{.} \) Da gir kjerneregelen for \( e \) opphøyd i en kjerne, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \left(\textcolor{green}{0{,}99^t}\right)' = \textcolor{green}{0{,}99^t} \cdot \ln 0{,}99 \]

Konstanten \( 2{,}5 \) har derivert \( 0\text{,} \) så: \[ f'(t) = -2{,}5 \cdot \ln 0{,}99 \cdot \textcolor{green}{0{,}99^t} \]Siden \( {\ln 0{,}99 < 0}\text{,} \) er \( {f'(t) > 0}\text{,} \) og den avtar når \( t \) øker, fordi \( \textcolor{green}{0{,}99^t} \) avtar.

2. Finn når økningen blir så liten Vi setter \( {f'(t) = 0{,}001} \) og deler på \( {-2{,}5 \cdot \ln 0{,}99}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{0{,}99^t} = \dfrac{0{,}001}{-2{,}5 \cdot \ln 0{,}99} \approx 0{,}0398 \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider, som i b), og regner med alle desimalene på kalkulatoren: \[ t = \dfrac{\ln 0{,}0398\ldots}{\ln 0{,}99} \approx 320{,}8 \]Etter det er \( {f'(t) < 0{,}001}\text{,} \) fordi \( f'(t) \) avtar. Det tar altså omtrent \( 321 \) sekunder.

1. Løs likningen i CAS Vi lar CAS derivere modellen og løser \( {f'(t) = 0{,}001} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: f(t) := 2.5 - 2.5*0.99^t f'(t) Løs(f'(t) = 0.001, t)

CAS gir \( {t \approx 320{,}775}\text{.} \) Siden \( f'(t) \) avtar, øker konsentrasjonen med mindre enn \( 0{,}001\,\text{mmol/L} \) per sekund etter omtrent \( 321 \) sekunder.