Eksamensoppgaver etter tema

Avstanden i luftlinje er lengden av vektoren mellom de to posisjonene etter 1 minutt.

1. Finn posisjonene etter 1 minutt Vi setter inn \( {t = 1} \) i begge posisjonsvektorene: \[ \begin{aligned} \vec{r}_A(1) &= \left[\dfrac{1}{2}(1 - 4),\ 1\right] = \left[-\dfrac{3}{2},\ 1\right] \\ \vec{r}_B(1) &= \left[\dfrac{1}{2},\ \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{5}\right] = \left[\dfrac{1}{2},\ \dfrac{6}{5}\right] \end{aligned} \]

2. Regn ut avstanden Vektoren fra bil \( A \) til bil \( B \) finner vi ved å trekke koordinatene til \( A \) fra koordinatene til \( B\text{,} \) som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \vec{r}_B(1) - \vec{r}_A(1) &= \left[\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2},\ \dfrac{6}{5} - 1\right] \\ \vec{r}_B(1) - \vec{r}_A(1) &= \left[\textcolor{blue}{2},\ \textcolor{red}{\dfrac{1}{5}}\right] \end{aligned} \]

Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi avstanden \( d\text{:} \) \[ \begin{aligned} d &= \sqrt{\textcolor{blue}{2}^2 + \left(\textcolor{red}{\dfrac{1}{5}}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{101}{25}} \\ d &= \dfrac{\sqrt{101}}{5} \approx 2{,}01 \end{aligned} \]Avstanden er omtrent \( 2{,}01 \) km.

Bilen på motorveien kjører fortest. Farten er lengden av fartsvektoren, og fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren.

1. Finn fartsvektorene Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, \( {\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)}\text{,} \) som i videoen Posisjon, fart & akselerasjon. Vi deriverer hver koordinat for seg. Siden \( {\dfrac{1}{2}(t - 4) = \dfrac{1}{2}t - 2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \vec{v}_A(t) &= \left[\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}},\ \textcolor{red}{1}\right] \\ \vec{v}_B(t) &= \left[\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}},\ \textcolor{red}{\dfrac{3}{2}}\right] \end{aligned} \]Fartsvektorene er de samme hele tiden, så begge bilene kjører med konstant fart.

2. Regn ut farten Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi farten i kilometer per minutt: \[ \begin{aligned} |\vec{v}_A| &= \sqrt{\left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}\right)^2 + \textcolor{red}{1}^2} = \dfrac{\sqrt{5}}{2} \\ |\vec{v}_B| &= \sqrt{\left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}\right)^2 + \left(\textcolor{red}{\dfrac{3}{2}}\right)^2} = \dfrac{\sqrt{10}}{2} \end{aligned} \]

3. Gjør om til km/h En time er \( 60 \) minutter, så vi ganger med \( 60\text{:} \) \[ \begin{aligned} |\vec{v}_A| &= \dfrac{\sqrt{5}}{2} \cdot 60 \approx 67{,}1\,\text{km/h} \\ |\vec{v}_B| &= \dfrac{\sqrt{10}}{2} \cdot 60 \approx 94{,}9\,\text{km/h} \end{aligned} \]Bil \( B \) kjører omtrent \( 95 \) km/h, som passer på en motorvei. Bil \( A \) kjører omtrent \( 67 \) km/h, som passer på en vei med lavere fartsgrense.

Bilene er i veikrysset på hver sin tid. Vi gir dem hver sin tid, \( u \) og \( w\text{,} \) og setter posisjonene like.

1. Sett posisjonene like I veikrysset er bilene på samme sted, men ikke nødvendigvis til samme tid. Vi kaller tiden til bil \( A \) for \( \textcolor{blue}{u} \) og tiden til bil \( B \) for \( \textcolor{red}{w}\text{,} \) slik Ina får sin egen tid i videoen Oppgave 4D - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Begge koordinatene må være like: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2}(\textcolor{blue}{u} - 4) &= \dfrac{1}{2}\textcolor{red}{w} \\ \textcolor{blue}{u} &= \dfrac{3}{2}\left(\textcolor{red}{w} - \dfrac{1}{5}\right) \end{aligned} \]

2. Løs likningssettet Den første likningen gir \( {\textcolor{red}{w} = \textcolor{blue}{u} - 4}\text{.} \) Setter vi det inn i den andre, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{u} &= \dfrac{3}{2}\left(\textcolor{blue}{u} - 4 - \dfrac{1}{5}\right) \\ \textcolor{blue}{u} &= \dfrac{3}{2}\textcolor{blue}{u} - \dfrac{63}{10} \\ \dfrac{1}{2}\textcolor{blue}{u} &= \dfrac{63}{10} \\ \textcolor{blue}{u} &= \dfrac{63}{5} = 12{,}6 \end{aligned} \]Da er \( {\textcolor{red}{w} = 12{,}6 - 4 = 8{,}6}\text{.} \)

3. Sammenlign tidene Bil \( A \) er i veikrysset etter \( \textcolor{blue}{12{,}6} \) minutter, og bil \( B \) etter \( \textcolor{red}{8{,}6} \) minutter. Veikrysset er i punktet: \[ \begin{aligned} \vec{r}_A(12{,}6) &= \left[\dfrac{1}{2}(12{,}6 - 4),\ 12{,}6\right] \\ \vec{r}_A(12{,}6) &= [4{,}3,\ 12{,}6] \end{aligned} \]Bil \( B \) kommer altså først, \( 4 \) minutter før bil \( A\text{.} \)

1. Løs likningssettet i CAS Vi skriver posisjonene inn i CAS og løser likningssettet med Løs, som i videoen Oppgave 2B (GEOGEBRA / CAS) - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I rad 4 og 5 setter vi tidene inn i posisjonene:

Skriv inn i GeoGebra: r_A(t) := (1/2 (t - 4), t) r_B(t) := (1/2 t, 3/2 (t - 1/5)) Løs({1/2 (u - 4) = 1/2 w, u = 3/2 (w - 1/5)}, {u, w}) r_A(63/5) r_B(43/5)

CAS gir \( {u = \dfrac{63}{5} = 12{,}6} \) og \( {w = \dfrac{43}{5} = 8{,}6}\text{,} \) og begge bilene er i punktet \( {\left(\dfrac{43}{10}, \dfrac{63}{5}\right)}\text{.} \) Bil \( B \) kommer først.

Hver side er like lang som vektoren mellom de to hjørnene. Vi finner de tre vektorene og regner ut lengdene med Pythagoras.

1. Finn vektorene langs sidene En vektor mellom to punkter finner vi ved å trekke koordinatene til startpunktet fra koordinatene til sluttpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [2 - (-3),\ -2 - (-1)] \\ &= [\textcolor{blue}{5}, \textcolor{red}{-1}] \\ \overrightarrow{BC} &= [5 - 2,\ 2 - (-2)] \\ &= [\textcolor{blue}{3}, \textcolor{red}{4}] \\ \overrightarrow{AC} &= [5 - (-3),\ 2 - (-1)] \\ &= [\textcolor{blue}{8}, \textcolor{red}{3}] \end{aligned} \]

2. Regn ut lengdene Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{5}^2 + (\textcolor{red}{-1})^2} = \sqrt{26} \\ |\overrightarrow{BC}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{3}^2 + \textcolor{red}{4}^2} = \sqrt{25} = 5 \\ |\overrightarrow{AC}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{8}^2 + \textcolor{red}{3}^2} = \sqrt{73} \end{aligned} \]

Siden \( {25 < 26 < 73}\text{,} \) er \( {\sqrt{25} < \sqrt{26} < \sqrt{73}}\text{.} \) Siden \( BC \) er altså kortest.

Vi bruker vektorene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vinkelen i et hjørne er \( 90^\circ \) når skalarproduktet av de to vektorene som går ut fra hjørnet, er \( 0\text{.} \) Vi sjekker alle tre hjørnene.

1. Skriv opp kravet To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026.

Med koordinater ganger vi sammen førstekoordinatene og andrekoordinatene, og legger sammen: \[ [\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{red}{y_1}] \cdot [\textcolor{blue}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}] = \textcolor{blue}{x_1 \cdot x_2} + \textcolor{red}{y_1 \cdot y_2} \]

2. Regn ut skalarproduktet i hvert hjørne I a) fant vi \( {\overrightarrow{AB} = [5, -1]}\text{,} \) \( {\overrightarrow{BC} = [3, 4]} \) og \( {\overrightarrow{AC} = [8, 3]}\text{.} \) En vektor den andre veien har motsatt fortegn, for eksempel \( {\overrightarrow{BA} = [-5, 1]}\text{.} \)

Vinkelen i \( A \) ligger mellom \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{:} \) \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \textcolor{blue}{5 \cdot 8} + \textcolor{red}{(-1) \cdot 3} = \underline{37} \]

Vinkelen i \( B \) ligger mellom \( {\overrightarrow{BA} = [-5, 1]} \) og \( \overrightarrow{BC}\text{:} \) \[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = \textcolor{blue}{(-5) \cdot 3} + \textcolor{red}{1 \cdot 4} = \underline{-11} \]

Vinkelen i \( C \) ligger mellom \( {\overrightarrow{CA} = [-8, -3]} \) og \( {\overrightarrow{CB} = [-3, -4]}\text{.} \) Her er \( {\textcolor{blue}{(-8) \cdot (-3) = 24}} \) og \( {\textcolor{red}{(-3) \cdot (-4) = 12}}\text{:} \) \[ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = \textcolor{blue}{24} + \textcolor{red}{12} = \underline{36} \]

Ingen av skalarproduktene er \( 0\text{,} \) så ingen av vinklene er \( 90^\circ\text{.} \)

Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, og farten er lengden av fartsvektoren. Pucken ble sendt av gårde ved \( {t = 0}\text{.} \)

1. Finn fartsvektoren Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, \( {\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)}\text{,} \) som i videoen Posisjon, fart & akselerasjon. Vi deriverer hver koordinat for seg. Kjerneregelen gir \( {(e^{-t})' = -e^{-t}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{8(-e^{-t} - 1)},\ \textcolor{red}{5(-e^{-t} - 1)}] \]

Pucken ble sendt av gårde ved \( {t = 0}\text{,} \) og \( {e^0 = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \vec{v}(0) &= [\textcolor{blue}{8 \cdot (-2)},\ \textcolor{red}{5 \cdot (-2)}] \\ \vec{v}(0) &= [\textcolor{blue}{-16}, \textcolor{red}{-10}] \end{aligned} \]

2. Regn ut farten Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}(0)| &= \sqrt{(\textcolor{blue}{-16})^2 + (\textcolor{red}{-10})^2} \\ |\vec{v}(0)| &= \sqrt{356} \approx 18{,}87 \end{aligned} \]Posisjonen er i meter og tiden i sekunder, så farten er omtrent \( 18{,}87\,\text{m/s}\text{.} \)

Begge koordinatene er et tall ganget med \( {e^{-t} - t}\text{,} \) så pucken går langs en rett linje. Vi finner hvilket vant den treffer først, og løser likningen for det.

1. Finn banen til pucken Vi kaller \( {\textcolor{green}{s} = \textcolor{green}{e^{-t} - t}}\text{.} \) Da er: \[ \vec{r}(t) = [8\textcolor{green}{s},\ 5\textcolor{green}{s}] = \textcolor{green}{s} \cdot [8, 5] \]Pucken går altså langs linja gjennom origo med retningen \( [8, 5]\text{.} \) Ved \( {t = 0} \) er \( {\textcolor{green}{s} = 1}\text{,} \) så pucken starter i \( (8, 5)\text{.} \)

Den deriverte av \( \textcolor{green}{s} \) er \( {-e^{-t} - 1 < 0}\text{,} \) så \( \textcolor{green}{s} \) avtar hele tiden. Pucken går derfor mot origo og videre ned mot venstre.

2. Finn vantet den treffer Banen er \( 60\,\text{m} \) lang og \( 30\,\text{m} \) bred, så vantet nede til venstre ligger på \( {x = -30} \) og \( {y = -15}\text{.} \) Vi finner \( \textcolor{green}{s} \) for hver av dem: \[ \begin{aligned} 8\textcolor{green}{s} = -30 \quad &\Rightarrow \quad \textcolor{green}{s} = -3{,}75 \\ 5\textcolor{green}{s} = -15 \quad &\Rightarrow \quad \textcolor{green}{s} = -3 \end{aligned} \]Siden \( \textcolor{green}{s} \) avtar fra \( 1\text{,} \) kommer \( {\textcolor{green}{s} = -3} \) først. Pucken treffer langveggen \( {y = -15} \) i \( {x = 8 \cdot (-3) = -24}\text{,} \) \( 6\,\text{m} \) fra kortveggen, der vantet på figuren er rett.

3. Prøv deg fram med kalkulatoren Vi skal løse \( {e^{-t} - t = -3}\text{,} \) altså finne når \( {e^{-t} - t + 3 = 0}\text{.} \) Den likningen kan vi ikke løse for hånd, så vi prøver oss fram og ser hvor fortegnet skifter, som i videoen Halveringsmetoden/​Midtpunktsmetoden: \[ \begin{array}{r|r} t & e^{-t} - t + 3 \\ \hline 3 & 0{,}0498 \\ 3{,}1 & -0{,}0550 \\ 3{,}05 & -0{,}0026 \\ 3{,}04 & 0{,}0078 \\ 3{,}045 & 0{,}0026 \end{array} \]Fortegnet skifter mellom \( {t = 3{,}045} \) og \( {t = 3{,}05}\text{,} \) så \( {t \approx 3{,}05}\text{.} \)

1. Løs likningene i CAS Pucken når enten \( {y = -15} \) eller \( {x = -30} \) først. Vi løser begge likningene med NLøs og startverdien \( {t = 3}\text{,} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(5(e^(-t) - t) = -15, t = 3) NLøs(8(e^(-t) - t) = -30, t = 3)

Pucken når \( {y = -15} \) etter omtrent \( 3{,}0475 \) sekunder, før den ville nådd \( {x = -30}\text{.} \) Den treffer altså vantet etter omtrent \( 3{,}05 \) sekunder.

Vi bruker at pucken går langs en rett linje, som vi viste i b).

Spilleren blir truffet bare hvis pucken og spilleren er på samme sted til samme tid. Vi finner når spilleren er på linja pucken går langs, og hvor pucken er da.

1. Skriv opp posisjonene Spilleren har den samme farten hele tiden, så hvert sekund flytter spilleren seg \( 3\,\text{m} \) bortover og \( 7\,\text{m} \) nedover, som \( \dfrac{\Delta x}{\Delta t} \) i videoen Parametrisering, eksempel oppgave 1. Spilleren starter i \( {P(-18, 11)}\text{,} \) så etter \( t \) sekunder er spilleren i: \[ \vec{p}(t) = [\textcolor{blue}{-18 + 3t},\ \textcolor{red}{11 - 7t}] \]

I b) så vi at pucken er i \( [8s,\ 5s] \) med \( {s = e^{-t} - t}\text{.} \) Der er \( {5x = 40s = 8y}\text{,} \) så pucken er hele tiden på linja \( {5x = 8y}\text{.} \)

2. Finn når spilleren er på linja Spilleren er på linja når \( {5x = 8y}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 5(\textcolor{blue}{-18 + 3t}) &= 8(\textcolor{red}{11 - 7t}) \\ -90 + 15t &= 88 - 56t \\ 71t &= 178 \\ t &= \dfrac{178}{71} \approx 2{,}51 \end{aligned} \]Det er det eneste tidspunktet spilleren er på linja til pucken, og det er før pucken treffer vantet etter omtrent \( 3{,}05 \) sekunder.

3. Sammenlign posisjonene Da er spilleren i: \[ \vec{p}\left(\dfrac{178}{71}\right) \approx [-10{,}48,\ -6{,}55] \]

Pucken er samtidig i, regnet ut med kalkulatoren: \[ \vec{r}\left(\dfrac{178}{71}\right) \approx [-19{,}40,\ -12{,}13] \]De er ikke på samme sted. Pucken har allerede passert stedet der spilleren krysser linja, så spilleren blir ikke truffet.

1. Løs likningen i CAS Vi skriver posisjonene inn i CAS og løser \( {\vec{r}(t) = \vec{p}(t)}\text{.} \) For å se hvor nær de kommer, lar vi Avstand gi avstanden \( d(t) \) og finner bunnpunktet med NLøs, der \( {d'(t) = 0}\text{.} \) De to siste radene er med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (8(e^(-t) - t), 5(e^(-t) - t)) p(t) := (-18 + 3t, 11 - 7t) Løs(r(t) = p(t), t) d(t) := Avstand(r(t), p(t)) NLøs(d'(t) = 0, t = 2) d(1.8124)

Likningen er uten løsning, så de er aldri på samme sted til samme tid. De kommer aldri nærmere hverandre enn omtrent \( 6{,}59\,\text{m}\text{,} \) etter omtrent \( 1{,}81 \) sekunder.