Eksamensoppgaver etter tema

Vi tar for oss uttrykkene hver for seg og finner verdien, eller to tall den ligger mellom. Så sorterer vi dem.

1. Regn ut det første uttrykket Oppgaven var også med på S1-eksamen høsten 2023, og du kan se den løst i videoen Oppgave 2 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023.

\( \ln \) er logaritmen med grunntall \( e\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer. Derfor opphever \( \ln \) og \( e \) hverandre: \[ \ln\left(e^x\right) = x \qquad e^{\ln x} = x \]

\( \textcolor{blue}{2\ln e^3}\text{:} \) Med regelen er \( {\ln\left(e^3\right) = 3}\text{,} \) så: \[ \textcolor{blue}{\underline{2\ln e^3 = 2 \cdot 3 = 6}} \]

2. Avgrens det andre uttrykket \( \lg x \) er tallet vi må opphøye 10 i for å få \( x\text{:} \) \[ 10^{\lg x} = x \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.

\( \textcolor{red}{3\lg 70}\text{:} \) Vi kan ikke regne ut \( \lg 70 \) uten kalkulator, så vi bruker litt logikk. \( \lg \) er voksende, og \( {10 < 70 < 100}\text{,} \) så: \[ 1 = \lg 10 < \lg 70 < \lg 100 = 2 \]

Ganger vi med 3, får vi: \[ \textcolor{red}{\underline{3 < 3\lg 70 < 6}} \]

3. Regn ut det tredje uttrykket Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(x^n\right) = n \cdot \ln x \quad \text{for } x > 0 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Naturlige Logaritmer.

\( \textcolor{green}{e^{3\ln 2}}\text{:} \) Baklengs gir regelen \( {3\ln 2 = \ln\left(2^3\right) = \ln 8}\text{,} \) og siden \( e \) og \( \ln \) opphever hverandre, er \( {e^{\ln 8} = 8}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{\underline{e^{3\ln 2} = e^{\ln 8} = 8}} \]

4. Sorter verdiene Slår vi dette sammen, får vi: \[ \textcolor{red}{3\lg 70} < 6 = \textcolor{blue}{2\ln e^3} < 8 = \textcolor{green}{e^{3\ln 2}} \]