Eksamensoppgaver etter tema

Vi finner nullpunktene med abc-formelen og faktoriserer. Så ser vi i et fortegnsskjema hvor uttrykket er negativt eller \( 0\text{.} \)

1. Finn nullpunktene med abc-formelen Vi setter uttrykket lik \( 0\text{:} \) \[ x^2 + 7x + 6 = 0 \]

Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) har løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{7}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{6}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{7} \pm \sqrt{\textcolor{red}{7}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{6}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{-7 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-7 \pm 5}{2} \end{aligned} \]

Det gir nullpunktene: \[ \begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-7 + 5}{2} = \textcolor{darkorange}{-1} \\ x_2 &= \dfrac{-7 - 5}{2} = \textcolor{magenta}{-6} \end{aligned} \]

2. Faktoriser uttrykket Med nullpunktene kan vi faktorisere uttrykket, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ ax^2 + bx + c = a(x - \textcolor{darkorange}{x_1})(x - \textcolor{magenta}{x_2}) \]

Her er \( {a = 1}\text{,} \) \( {\textcolor{darkorange}{x_1} = \textcolor{darkorange}{-1}} \) og \( {\textcolor{magenta}{x_2} = \textcolor{magenta}{-6}}\text{.} \) Vi kaller venstre side \( P(x)\text{,} \) så ulikheten blir: \[ P(x) = (\textcolor{darkorange}{x + 1})(\textcolor{magenta}{x + 6}) \le 0 \]

3. Sett opp et fortegnsskjema Faktoren \( {\textcolor{darkorange}{x + 1}} \) skifter fortegn i \( {x = -1}\text{,} \) og \( {\textcolor{magenta}{x + 6}} \) i \( {x = -6}\text{.} \) Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Oppgave 1 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: :::fortegnsskjema {"points": [-6, -1], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x + 6}", "expr": "x + 6"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 1}", "expr": "x + 1"}, {"label": "P(x)", "expr": "(x + 1)(x + 6)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

Produktet er negativt mellom nullpunktene og \( 0 \) i dem. Ulikheten har \( {\le}\text{,} \) så nullpunktene er med: \[ -6 \le x \le -1 \]

Vi finner nullpunktene med abc-formelen og faktoriserer. Så ser vi i et fortegnsskjema hvor uttrykket er negativt.

1. Finn nullpunktene med abc-formelen 0:19 Vi setter uttrykket lik \( 0\text{:} \) \[ x^2 + 4x - 5 = 0 \]

Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) har løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{4}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-5}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{4} \pm \sqrt{\textcolor{red}{4}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-5})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{-4 \pm 6}{2} \end{aligned} \]

Det gir nullpunktene: \[ \begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-4 + 6}{2} = \textcolor{darkorange}{1} \\ x_2 &= \dfrac{-4 - 6}{2} = \textcolor{magenta}{-5} \end{aligned} \]

2. Lag et fortegnsskjema 2:40 Med nullpunktene kan vi faktorisere uttrykket, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ ax^2 + bx + c = a(x - \textcolor{darkorange}{x_1})(x - \textcolor{magenta}{x_2}) \]

Her er \( {a = 1}\text{,} \) \( {\textcolor{darkorange}{x_1} = \textcolor{darkorange}{1}} \) og \( {\textcolor{magenta}{x_2} = \textcolor{magenta}{-5}}\text{.} \) Vi kaller venstre side \( P(x)\text{,} \) så ulikheten blir: \[ P(x) = (\textcolor{darkorange}{x - 1})(\textcolor{magenta}{x + 5}) < 0 \]

Faktoren \( {\textcolor{darkorange}{x - 1}} \) skifter fortegn i \( {x = 1}\text{,} \) og \( {\textcolor{magenta}{x + 5}} \) i \( {x = -5}\text{.} \) Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-5, 1], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x + 5}", "expr": "x + 5"}, {"label": "P(x)", "expr": "(x - 1)(x + 5)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

Produktet er negativt mellom nullpunktene. Ulikheten har \( {<}\text{,} \) så nullpunktene er ikke med: \[ -5 < x < 1 \]

Vi finner nullpunktene med abc-formelen og faktoriserer. Så ser vi i et fortegnsskjema hvor uttrykket er negativt.

1. Finn nullpunktene med abc-formelen Vi setter uttrykket lik \( 0\text{:} \) \[ x^2 - 4x - 12 = 0 \]

Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) har løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-4}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-12}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og bruker at \( {-(\textcolor{red}{-4}) = 4}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{4 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-4})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-12})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{4 \pm \sqrt{64}}{2} = \dfrac{4 \pm 8}{2} \end{aligned} \]

Det gir nullpunktene: \[ \begin{aligned} x_1 &= \dfrac{4 + 8}{2} = \textcolor{darkorange}{6} \\ x_2 &= \dfrac{4 - 8}{2} = \textcolor{magenta}{-2} \end{aligned} \]

2. Faktoriser uttrykket Med nullpunktene kan vi faktorisere uttrykket, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ ax^2 + bx + c = a(x - \textcolor{darkorange}{x_1})(x - \textcolor{magenta}{x_2}) \]

Her er \( {a = 1}\text{,} \) \( {\textcolor{darkorange}{x_1} = \textcolor{darkorange}{6}} \) og \( {\textcolor{magenta}{x_2} = \textcolor{magenta}{-2}}\text{.} \) Vi kaller venstre side \( P(x)\text{,} \) så ulikheten blir: \[ P(x) = (\textcolor{darkorange}{x - 6})(\textcolor{magenta}{x + 2}) < 0 \]

3. Sett opp et fortegnsskjema Faktoren \( {\textcolor{magenta}{x + 2}} \) skifter fortegn i \( {x = -2}\text{,} \) og \( {\textcolor{darkorange}{x - 6}} \) i \( {x = 6}\text{.} \) Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Oppgave 1 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: :::fortegnsskjema {"points": [-2, 6], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x + 2}", "expr": "x + 2"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 6}", "expr": "x - 6"}, {"label": "P(x)", "expr": "(x - 6)(x + 2)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

Produktet er negativt mellom nullpunktene. Ulikheten har \( {<}\text{,} \) så nullpunktene er ikke med: \[ -2 < x < 6 \]

Vi faktoriserer \( f(x) \) med polynomdivisjon og abc-formelen. Så ser vi i et fortegnsskjema og en skisse hvor \( f(x) \) er negativ.

1. Prøv små heltall Dette er et tredjegradspolynom, så vi finner først ett nullpunkt ved å prøve små heltall, som i videoen Oppgave 2 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ f(1) = 1 + 7 + 4 - 12 = 0 \]

Nullpunktssetningen forteller oss at: \[ f(r) = 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{f(x)}{x - r} \text{ går opp} \]Med \( {r = 1} \) går divisjonen \( {f(x) : (x - 1)} \) opp, som i videoen Nullpunktssetningen.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( f(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} + 7x^2 + 4x - 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 1) &= x^3 - x^2 \\ -(x^3 - x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 7x^2 + 4x - 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 7x^2 & {}+ 4x & {}- 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & 8x^2 & {}+ 4x & {}- 12 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {7x^2 + x^2 = 8x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( 4x \) og \( {-12}\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{8x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{8x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{8x} \\ \textcolor{magenta}{8x} \cdot (x - 1) &= 8x^2 - 8x \\ -(8x^2 - 8x) &= \textcolor{magenta}{-8x^2 + 8x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 7x^2 + 4x - 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 8x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 7x^2 & {}+ 4x & {}- 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{8x^2}} & {}+ 4x & {}- 12 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-8x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 8x} & \\ \hline & & 12x & {}- 12 \end{array} \end{array} \]\( 8x^2 \) strykes mot \( {-8x^2}\text{,} \) \( {4x + 8x = 12x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-12}\text{.} \) Linja \( {12x - 12} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{12x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{12x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{12} \\ \textcolor{blue}{12} \cdot (x - 1) &= 12x - 12 \\ -(12x - 12) &= \textcolor{blue}{-12x + 12} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 7x^2 + 4x - 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 8x} \textcolor{blue}{{}+ 12} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 7x^2 & {}+ 4x & {}- 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{8x^2}} & {}+ 4x & {}- 12 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-8x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 8x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{12x}} & {}- 12 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{-12x}} & \textcolor{blue}{{}+ 12} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( 12x \) strykes mot \( {-12x}\text{,} \) og \( {-12 + 12 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &x^3 + 7x^2 + 4x - 12 \\ &= (x - 1)(x^2 + 8x + 12) \end{aligned} \]

3. Faktoriser andregradsuttrykket Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) har løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

For \( {x^2 + 8x + 12 = 0} \) er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{8}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{12}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{8} \pm \sqrt{\textcolor{red}{8}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{12}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{-8 \pm \sqrt{16}}{2} = \dfrac{-8 \pm 4}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x = -2} \) eller \( {x = -6}\text{.} \) Hvert nullpunkt \( r \) gir en faktor \( {x - r}\text{,} \) som i videoen Faktorisering med abc-formelen, så faktorene er \( {x + 2} \) og \( {x + 6}\text{:} \) \[ f(x) = (x - 1)(x + 2)(x + 6) \]

4. Sett opp et fortegnsskjema Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Oppgave 1 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: :::fortegnsskjema {"points": [-6, -2, 1], "rows": [{"label": "x + 6", "expr": "x + 6"}, {"label": "x + 2", "expr": "x + 2"}, {"label": "x - 1", "expr": "x - 1"}, {"label": "f(x)", "expr": "(x - 1)(x + 2)(x + 6)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

\( f(x) \) er negativ til venstre for \( {-6} \) og mellom \( {-2} \) og \( 1\text{.} \) Ulikheten har \( {<}\text{,} \) så nullpunktene er ikke med: \[ x < -6 \quad \text{eller} \quad -2 < x < 1 \]

5. Lag en skisse Grafen skjærer \( x \)-aksen i nullpunktene og \( y \)-aksen i \( {f(0) = -12}\text{,} \) som i videoen Oppgave 4B - Del 1 - 1T Eksamen Vår 2025. Leddet \( x^3 \) gjør at grafen kommer nedenfra til venstre og går opp til høyre. Løsningen er der grafen ligger under \( x \)-aksen, markert med rødt: