Eksamensoppgaver etter tema

Dette er en tredjegradsfunksjon. Vi prøver oss fram til ett nullpunkt, deler med polynomdivisjon og løser andregradslikningen som blir igjen.

1. Prøv små heltall 0:00 Nullpunktene er der \( {f(x) = 0}\text{.} \) Dette er del 1, så ett av nullpunktene er nok et lite heltall. Vi prøver \( {x = 1}\text{:} \) \[ f(1) = 1 - 5 - 8 + 12 = 0 \]

Nullpunktssetningen forteller oss at: \[ f(r) = 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{f(x)}{x - r} \text{ går opp} \]Med \( {r = 1} \) går divisjonen \( {f(x) : (x - 1)} \) opp, som i videoen Nullpunktssetningen.

2. Del med polynomdivisjon 1:38 Vi deler \( f(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} - 5x^2 - 8x + 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 1) &= x^3 - x^2 \\ -(x^3 - x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 5x^2 - 8x + 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 5x^2 & {}- 8x & {}+ 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & -4x^2 & {}- 8x & {}+ 12 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {-5x^2 + x^2 = -4x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-8x} \) og \( 12\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-4x^2}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-4x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{-4x} \\ \textcolor{magenta}{-4x} \cdot (x - 1) &= -4x^2 + 4x \\ -(-4x^2 + 4x) &= \textcolor{magenta}{4x^2 - 4x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 5x^2 - 8x + 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 4x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 5x^2 & {}- 8x & {}+ 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x^2}} & {}- 8x & {}+ 12 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{4x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 4x} & \\ \hline & & -12x & {}+ 12 \end{array} \end{array} \]\( {-4x^2} \) strykes mot \( 4x^2\text{,} \) \( {-8x - 4x = -12x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 12\text{.} \) Linja \( {-12x + 12} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-12x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-12x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-12} \\ \textcolor{blue}{-12} \cdot (x - 1) &= -12x + 12 \\ -(-12x + 12) &= \textcolor{blue}{12x - 12} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 5x^2 - 8x + 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 4x} \textcolor{blue}{{}- 12} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 5x^2 & {}- 8x & {}+ 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x^2}} & {}- 8x & {}+ 12 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{4x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 4x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-12x}} & {}+ 12 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{12x}} & \textcolor{blue}{{}- 12} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-12x} \) strykes mot \( 12x\text{,} \) og \( {12 - 12 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &x^3 - 5x^2 - 8x + 12 \\ &= (x - 1)(x^2 - 4x - 12) \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen 5:04 Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{.} \) Faktoren \( {x - 1} \) gir \( {x = 1}\text{,} \) og \( {x^2 - 4x - 12 = 0} \) løser vi med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-4}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-12}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og bruker at \( {-(\textcolor{red}{-4}) = 4}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{4 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-4})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-12})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{4 \pm \sqrt{64}}{2} = \dfrac{4 \pm 8}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x = \dfrac{12}{2} = 6} \) eller \( {x = \dfrac{-4}{2} = -2}\text{.} \)

Vi tar påstandene én for én. Alle handler om telleren \( {\textcolor{blue}{2x + 6}} \) eller nevneren \( {\textcolor{red}{x^2 + 4}}\text{,} \) så vi ser hva som skjer med dem.

1. Avgjør påstand 1 0:09 Nullpunktene finner vi ved å sette \( {f(x) = 0}\text{.} \) En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0 \) og nevneren ikke er det: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{2x + 6}}{\textcolor{red}{x^2 + 4}} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \textcolor{blue}{2x + 6} = 0 \]

Løser vi for \( x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 2x &= -6 \\ x &= -3 \end{aligned} \]Der er nevneren \( {(-3)^2 + 4 = 13}\text{,} \) så \( {x = -3} \) er det eneste nullpunktet. Påstand 1 er riktig.

2. Avgjør påstand 2 2:00 En vertikal asymptote kan vi bare få der nevneren er \( 0\text{.} \) Et tall i annen er aldri negativt, så: \[ \textcolor{red}{x^2 + 4} \ge 0 + 4 = 4 \]Nevneren blir altså aldri \( 0\text{,} \) og grafen har ingen vertikale asymptoter. Påstand 2 er riktig.

3. Avgjør påstand 3 3:18 Grafen skjærer \( y \)-aksen der \( {x = 0}\text{.} \) Vi setter inn \( {x = 0}\text{:} \) \[ f(0) = \dfrac{2 \cdot 0 + 6}{0^2 + 4} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} \]Grafen skjærer \( y \)-aksen i \( {\left(0, \dfrac{3}{2}\right)}\text{,} \) så påstand 3 er feil.

4. Avgjør påstand 4 4:34 Når telleren har lavere grad enn nevneren, er den horisontale asymptoten \( {y = 0}\text{.} \) Her har telleren \( {\textcolor{blue}{2x + 6}} \) grad 1, og nevneren \( {\textcolor{red}{x^2 + 4}} \) har grad 2: \[ \text{grad } \textcolor{blue}{1} < \text{grad } \textcolor{red}{2} \quad \Rightarrow \quad y = 0 \]Når \( x \) blir stor, positiv eller negativ, vokser nevneren mye raskere enn telleren, så brøken går mot \( 0\text{.} \) Asymptoten er \( {y = 0}\text{,} \) ikke \( {y = 2}\text{,} \) så påstand 4 er feil.

Ett nullpunkt betyr at grafen så vidt berører \( x \)-aksen. Vi prøver derfor et kvadrat, \( {f(x) = (x - \textcolor{red}{r})^2}\text{,} \) som bare er \( 0 \) når \( {x = \textcolor{red}{r}}\text{.} \)

1. Velg tallet i kvadratet Grafen går gjennom \( (0, 9)\text{,} \) så \( {f(0) = 9}\text{:} \) \[ \begin{aligned} (0 - \textcolor{red}{r})^2 &= 9 \\ \textcolor{red}{r}^2 &= 9 \end{aligned} \]Vi velger \( {\textcolor{red}{r} = \textcolor{red}{3}}\text{.} \)

Andre kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 - 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Med \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}} \) får vi: \[ f(x) = (\textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{3})^2 = x^2 - 6x + 9 \]

2. Kontroller antall nullpunkter Abc-formelen gir bare én løsning når tallet under rottegnet er \( 0\text{,} \) som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ b^2 - 4ac = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{én løsning} \]

I likningen \( {x^2 - 6x + 9 = 0} \) er \( {a = 1}\text{,} \) \( {b = -6} \) og \( {c = 9}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0 \]Funksjonen har altså ett nullpunkt, \( {x = 3}\text{,} \) og \( {f(0) = 9}\text{.} \)

Andre svar er også riktige, for eksempel \( {f(x) = (x + 3)^2} \) eller \( {f(x) = 9(x - 1)^2}\text{.} \)

Grafene har ingen tall på aksene, så vi kan velge tallene selv, så lenge alt ligger på riktig side av aksene. Nevneren bestemmer de vertikale asymptotene, og telleren bestemmer nullpunktet.

1. Les av grafene Grafen til \( f \) har én vertikal asymptote på hver side av \( y \)-aksen, omtrent like langt ute. Nullpunktet ligger mellom \( y \)-aksen og den høyre asymptoten, og grafen skjærer \( y \)-aksen over \( x \)-aksen.

Grafen til \( g \) har ingen vertikale asymptoter. Nullpunktet ligger like til venstre for \( y \)-aksen, og grafen skjærer \( y \)-aksen over \( x \)-aksen. Begge grafene nærmer seg \( x \)-aksen langt ute til begge sider, så begge har den horisontale asymptoten \( {y = 0}\text{.} \)

2. Velg funksjonsuttrykket til f Vi får en vertikal asymptote der nevneren er \( 0 \) og telleren ikke er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Vi velger asymptotene \( {x = -2} \) og \( {x = 2}\text{,} \) og nullpunktet \( {x = 1}\text{:} \) \[ f(x) = \dfrac{\textcolor{red}{x - 1}}{\textcolor{blue}{(x - 2)(x + 2)}} = \dfrac{x - 1}{x^2 - 4} \]

Nevneren \( {\textcolor{blue}{(x - 2)(x + 2)}} \) er \( 0 \) for \( {x = \pm 2}\text{,} \) og der er telleren \( 1 \) og \( {-3}\text{.} \) Telleren \( {\textcolor{red}{x - 1}} \) er \( 0 \) bare for \( {x = 1}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025.

Grafen skjærer \( y \)-aksen der \( {x = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ f(0) = \dfrac{0 - 1}{0 - 4} = \dfrac{1}{4} \]Det er over \( x \)-aksen, som på grafen.

3. Velg funksjonsuttrykket til g En nevner som aldri blir \( 0\text{,} \) gir ingen vertikale asymptoter. \( x^2 \) er aldri negativ, så \( {\textcolor{blue}{x^2 + 4}} \) er alltid minst \( 4\text{.} \) Vi velger nullpunktet \( {x = -1}\text{:} \) \[ g(x) = \dfrac{\textcolor{red}{x + 1}}{\textcolor{blue}{x^2 + 4}} \]

Telleren \( {\textcolor{red}{x + 1}} \) er \( 0 \) bare for \( {x = -1}\text{,} \) og grafen skjærer \( y \)-aksen i: \[ g(0) = \dfrac{0 + 1}{0 + 4} = \dfrac{1}{4} \]Det er over \( x \)-aksen, og nullpunktet \( {x = -1} \) ligger til venstre for \( y \)-aksen, som på grafen.

4. Sjekk den horisontale asymptoten Når telleren har lavere grad enn nevneren, går brøken mot \( 0 \) når \( x \) blir stor, både positiv og negativ, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Både \( f \) og \( g \) har grad 1 i telleren og grad 2 i nevneren, så begge har den horisontale asymptoten \( {y = 0}\text{,} \) som på grafene.

Andre svar er også riktige, for eksempel \( {f(x) = \dfrac{x - 2}{x^2 - 9}} \) og \( {g(x) = \dfrac{x + 2}{x^2 + 1}}\text{.} \)

En brøk med \( {x - 2} \) i nevneren gir den vertikale asymptoten, og et tall \( 4 \) lagt til gir den horisontale. Så bestemmer vi telleren fra nullpunktet.

1. Lag de to asymptotene Vi starter med \[ f(x) = \textcolor{blue}{4} + \dfrac{\textcolor{red}{c}}{x - 2} \]der \( \textcolor{red}{c} \) er et tall vi bestemmer etterpå.

En brøk har en vertikal asymptote der nevneren er \( 0 \) og telleren ikke er det, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Nevneren \( {x - 2} \) er \( 0 \) når \( {x = 2}\text{.} \)

Når \( x \) blir veldig stor, positiv eller negativ, går \( {\dfrac{\textcolor{red}{c}}{x - 2}} \) mot \( 0\text{.} \) Da nærmer \( f(x) \) seg \( \textcolor{blue}{4}\text{,} \) så \( {y = \textcolor{blue}{4}} \) er en horisontal asymptote.

2. Bestem c fra nullpunktet En brøk er \( 0 \) bare når telleren er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Nullpunktet \( {x = -3} \) betyr at \( {f(-3) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{4} + \dfrac{\textcolor{red}{c}}{-3 - 2} &= 0 \\ \dfrac{\textcolor{red}{c}}{5} &= 4 \\ \textcolor{red}{c} &= \textcolor{red}{20} \end{aligned} \]

3. Skriv funksjonen som én brøk Det gir oss: \[ \begin{aligned} f(x) &= \textcolor{blue}{4} + \dfrac{\textcolor{red}{20}}{x - 2} \\ f(x) &= \dfrac{4(x - 2) + 20}{x - 2} = \dfrac{4x + 12}{x - 2} \end{aligned} \]Telleren \( {4x + 12} \) er \( 0 \) bare når \( {x = -3}\text{,} \) og i \( {x = 2} \) er telleren \( 20\text{,} \) ikke \( 0\text{.} \)

Andre svar er også riktige, for eksempel \( {f(x) = \dfrac{4(x + 3)^2}{(x - 2)^2}}\text{.} \)