Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

andregradsfunksjoner

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

2 oppgaver i 1P om andregradsfunksjoner

Oppgavene

1P vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

6 poeng

Tabellen nedenfor viser hvor mange bagetter en kantine har solgt hver av de siste sju ukene, og hvor stort overskudd salget har gitt.
Solgte bagetterOverskudd(kroner)1001450130230016030501753365190372022041402354175 \begin{array}{r|r} \text{Solgte bagetter} & \text{Overskudd} \\ & \text{(kroner)} \\ \hline 100 & 1450 \\ 130 & 2300 \\ 160 & 3050 \\ 175 & 3365 \\ 190 & 3720 \\ 220 & 4140 \\ 235 & 4175 \end{array}

Oppgave 1a)

Bruk opplysningene ovenfor til å vise at funksjonen O O gitt ved
O(x)=−0,09x2+51,04x−2776,98 \begin{aligned} O(x) &= -0{,}09x^2 + 51{,}04x \\ &\quad - 2776{,}98 \end{aligned}
er en god modell for hvor stort overskuddet en uke blir når kantinen produserer og selger x x bagetter i løpet av uken.
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Modellverdiene ligger høyst 72 kr fra tabellen, og andregradsregresjon gir O(x) O(x) når vi runder av til to desimaler:
O er en god modell‾‾ \underline{\underline{O \text{ er en god modell}}}
Vi sammenligner modellen med tallene i tabellen. Med kalkulator regner vi ut \( O(x) \) for antallene i tabellen, og med GeoGebra bruker vi andregradsregresjon på punktene.
Metode: Med kalkulator
1. Regn ut modellverdiene For \( \textcolor{blue}{100} \) bagetter er \( {-0{,}09 \cdot \textcolor{blue}{100}^2 = -900} \) og \( {51{,}04 \cdot \textcolor{blue}{100} = 5104}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} O(\textcolor{blue}{100}) &= -900 + 5104 - 2776{,}98 \\ &= \textcolor{red}{1427{,}02} \end{aligned} \]
Slik regner vi ut \( \textcolor{red}{O(x)} \) for alle sju antallene, avrundet til hele kroner, og setter dem ved siden av overskuddet i tabellen: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \text{Overskudd} & \textcolor{red}{O(x)} \\ \hline 100 & 1450 & \textcolor{red}{1427} \\ 130 & 2300 & \textcolor{red}{2337} \\ 160 & 3050 & \textcolor{red}{3085} \\ 175 & 3365 & \textcolor{red}{3399} \\ 190 & 3720 & \textcolor{red}{3672} \\ 220 & 4140 & \textcolor{red}{4096} \\ 235 & 4175 & \textcolor{red}{4247} \end{array} \]
2. Vurder modellen Modellverdiene bommer med høyst \( 72 \) kroner, ved \( 235 \) bagetter, og det er under \( 2\,\% \) av overskuddet. Modellen følger tabellen godt for alle de sju ukene, så \( O \) er en god modell.
Metode: Med GeoGebra
1. Bruk andregradsregresjon Andregradsregresjon finner den andregradsfunksjonen som går så nær punktene som mulig. Vi legger punktene i en liste og bruker RegPoly med grad \( 2\text{,} \) som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(100, 1450), (130, 2300), (160, 3050), (175, 3365), (190, 3720), (220, 4140), (235, 4175)} f(x) = RegPoly(l1, 2)
GeoGebra gir: \[ \begin{aligned} f(x) &\approx \textcolor{blue}{-0{,}0903}x^2 + \textcolor{red}{51{,}0367}x \\ &\quad \textcolor{green}{{}- 2776{,}9766} \end{aligned} \]Avrundet til to desimaler blir \( {\textcolor{blue}{-0{,}0903}} \) til \( {\textcolor{blue}{-0{,}09}}\text{,} \) \( \textcolor{red}{51{,}0367} \) til \( \textcolor{red}{51{,}04} \) og \( {\textcolor{green}{-2776{,}9766}} \) til \( {\textcolor{green}{-2776{,}98}}\text{.} \) Det er akkurat \( O(x)\text{,} \) og grafen går nær alle punktene. Derfor er \( O \) en god modell.

Oppgave 1b)

Hvor mange bagetter må kantinen produsere og selge i løpet av en uke, ifølge modellen O, O\text{,} for at overskuddet skal bli størst mulig? Hvor stort blir dette overskuddet?
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Avrundet til hele bagetter og hele kroner:
284 bagetter‾‾Overskudd omtrent 4459 kr‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{284 \text{ bagetter}}} \\ &\underline{\underline{\text{Overskudd omtrent } 4459 \text{ kr}}} \end{aligned}
Vi leter etter antallet bagetter der \( O(x) \) er størst. Med kalkulator lager vi en verditabell, og med GeoGebra finner vi toppunktet på grafen.
Metode: Med kalkulator
1. Lag en grov verditabell Tabellen i oppgaven viser at overskuddet fortsatt øker ved \( 235 \) bagetter. Vi regner derfor ut \( O(x) \) med kalkulatoren for hver tiende bagett fra \( 250\text{.} \) For eksempel er \( {-0{,}09 \cdot \textcolor{blue}{280}^2 = -7056} \) og \( {51{,}04 \cdot \textcolor{blue}{280} = 14\,291{,}2}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} O(\textcolor{blue}{280}) &= -7056 + 14\,291{,}2 \\ &\quad - 2776{,}98 \\ &= 4458{,}22 \end{aligned} \]
Det gir tabellen: \[ \begin{array}{r|r} x & O(x) \\ \hline 250 & 4358{,}02 \\ 260 & 4409{,}42 \\ 270 & 4442{,}82 \\ \textcolor{red}{280} & \textcolor{red}{4458{,}22} \\ 290 & 4455{,}62 \\ 300 & 4435{,}02 \\ 310 & 4396{,}42 \end{array} \]Overskuddet øker fram til \( \textcolor{red}{280} \) bagetter og synker etterpå. \( O(290) \) er nesten like stor som \( O(280)\text{,} \) mens \( O(270) \) er tydelig mindre, så toppen ligger mellom \( 280 \) og \( 290\text{.} \)
2. Lag en finere tabell Vi regner ut \( O(x) \) for hver bagett mellom \( 280 \) og \( 290\text{,} \) med to desimaler: \[ \begin{array}{r|r} x & O(x) \\ \hline 281 & 4458{,}77 \\ 282 & 4459{,}14 \\ 283 & 4459{,}33 \\ \textcolor{red}{284} & \textcolor{red}{4459{,}34} \\ 285 & 4459{,}17 \\ 286 & 4458{,}82 \\ 287 & 4458{,}29 \\ 288 & 4457{,}58 \\ 289 & 4456{,}69 \end{array} \]Det største overskuddet er ved \( \textcolor{red}{284} \) bagetter, og da er det omtrent \( \textcolor{red}{4459} \) kroner.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn toppunktet på grafen Vi skriver inn \( O \) og finner toppunktet med Maks, som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: O(x) = -0.09x^2 + 51.04x - 2776.98 T = Maks(O, 0, 500)
Toppunktet er \( {T \approx (283{,}56,\ 4459{,}36)}\text{.} \) Kantinen selger hele bagetter, og nærmest \( 283{,}56 \) er \( 284 \) bagetter. Overskuddet er da omtrent \( 4459 \) kroner.

Oppgave 1c)

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene (100,O(100)) (100, O(100)) og (200,O(200)). (200, O(200))\text{.} Gi en praktisk tolkning av svaret du får.
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Fra 100 til 200 bagetter i uka øker overskuddet i gjennomsnitt med 24,04 24{,}04 kr per bagett:
Stigningstallet er 24,04‾‾ \underline{\underline{\text{Stigningstallet er } 24{,}04}}
Stigningstallet er endringen i \( O \) delt på endringen i \( x\text{.} \) Vi regner ut \( O(100) \) og \( O(200)\text{,} \) og deler forskjellen på de 100 bagettene mellom dem.
Metode: For hånd
1. Regn ut de to verdiene For \( {x = 100} \) er \( {-0{,}09 \cdot 100^2 = -900} \) og \( {51{,}04 \cdot 100 = 5104}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{O(100)} &= -900 + 5104 - 2776{,}98 \\ &= \textcolor{blue}{1427{,}02} \end{aligned} \]
For \( {x = 200} \) er \( {-0{,}09 \cdot 200^2 = -3600} \) og \( {51{,}04 \cdot 200 = 10\,208}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{O(200)} &= -3600 + 10\,208 \\ &\quad - 2776{,}98 \\ &= \textcolor{red}{3831{,}02} \end{aligned} \]
2. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \]
Det gir oss: \[ \begin{aligned} a &= \dfrac{\textcolor{red}{3831{,}02} - \textcolor{blue}{1427{,}02}}{200 - 100} \\ &= \dfrac{2404}{100} = 24{,}04 \end{aligned} \]
3. Tolk svaret \( O(x) \) er overskuddet i kroner og \( x \) antall bagetter, så stigningstallet er kroner per bagett. Når salget øker fra 100 til 200 bagetter i uka, øker overskuddet i gjennomsnitt med \( 24{,}04 \) kroner for hver ekstra bagett.

1P høst 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 5

Klassen til Maria og Marta arbeider med oppgaven nedenfor.
Et rektangel er innskrevet i en likebeint, rettvinklet trekant. Trekanten har hjørner i punktene A(−6,0), {A(-6, 0)}\text{,} B(6,0) B(6, 0) og C(0,6). C(0, 6)\text{.}
Punktet P P er et hjørne i rektangelet og ligger på linjestykket BC. BC\text{.}
Bestem koordinatene til punktet P P slik at arealet av rektangelet blir størst mulig.
Martin og Maria diskuterer hvordan de skal komme i gang, og vurderer ulike strategier.
«Skal vi begynne med å prøve oss litt fram? Vi lager en oversikt som viser arealet av ulike rektangler.»
«Ja, det kan vi gjøre. Vi kan starte med å velge x=1. {x = 1}\text{.} Da blir y=5 {y = 5} fordi y=6−x {y = 6 - x} »
«Hvordan kan du se det? Og hvordan kan vi finne arealet dersom vi vet at x=1 {x = 1} og y=5? {y = 5}\text{?} »
«Jeg kan vise deg det! Husk hva vi har lært om rette linjer.»
«Jeg tror også vi bør sette opp et funksjonsuttrykk som viser arealet, og tegne en graf. Da kan vi bruke funksjonen til å vise at det vi kommer fram til når vi prøver oss fram, er riktig.»
Ta utgangspunkt i samtalen mellom Martin og Maria, og løs oppgaven klassen har fått.
Vis løsning på oppgave 5

Svar

Arealet av rektangelet blir størst, 18, 18\text{,} når:
P=(3,3)‾‾ \underline{\underline{P = (3, 3)}}
Vi følger samtalen: først linja gjennom \( B \) og \( C\text{,} \) så arealet når vi kjenner \( x\text{.} \) Etter prøvingen setter vi opp en funksjon for arealet og finner toppunktet.
Metode: Med kalkulator
1. Finn likningen for linja BC Punktet \( {P = (x, y)} \) ligger på linja gjennom \( B(6, 0) \) og \( C(0, 6)\text{.} \) En rett linje har formen: \[ y = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]Her er \( \textcolor{red}{a} \) stigningstallet og \( \textcolor{blue}{b} \) der linja skjærer andreaksen, som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.
Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x \) fra \( B \) til \( C\text{:} \) \[ \textcolor{red}{a} = \dfrac{6 - 0}{0 - 6} = \textcolor{red}{-1} \]Linja skjærer andreaksen i \( C(0, 6)\text{,} \) så \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{6}}\text{:} \) \[ y = \textcolor{red}{-1} \cdot x + \textcolor{blue}{6} = 6 - x \]Det er dette Maria mener med \( {y = 6 - x}\text{.} \)
2. Finn arealet av rektangelet Trekanten er symmetrisk om andreaksen, så det øvre venstre hjørnet ligger like langt til venstre som \( P \) ligger til høyre. Rektangelet er derfor \( \textcolor{green}{2x} \) bredt og \( y \) høyt. Arealet er bredde ganger høyde, som i videoen Areal og Omkrets: \[ A = \textcolor{green}{2x} \cdot y \]
Med \( {x = 1} \) og \( {y = 5}\text{,} \) som Maria foreslår, er arealet: \[ A = \textcolor{green}{2 \cdot 1} \cdot 5 = 10 \]
3. Prøv deg fram Vi lager en oversikt, som Martin foreslår, med \( {y = 6 - x}\text{:} \) \[ \begin{array}{c|c|c} x & y & A = 2x \cdot y \\ \hline 1 & 5 & 10 \\ 2 & 4 & 16 \\ \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{18} \\ 4 & 2 & 16 \\ 5 & 1 & 10 \end{array} \]Arealet er størst for \( {\textcolor{red}{x = 3}}\text{,} \) og verdiene er like på hver side av \( {x = 3}\text{.} \)
4. Sett opp arealfunksjonen Vi setter \( {y = 6 - x} \) inn i \( {A = 2x \cdot y}\text{.} \) Punktet \( P \) ligger mellom \( C \) og \( B\text{,} \) så arealet som funksjon av \( x \) er: \[ A(x) = 2x(6 - x), \quad 0 < x < 6 \]
Vi tegner grafen gjennom punktene i oversikten, som Martin foreslår:
Grafen er symmetrisk om \( {x = 3}\text{,} \) så toppunktet ligger der. Kalkulatoren viser at arealet blir mindre like ved: \[ \begin{aligned} A(2{,}9) &= 2 \cdot 2{,}9 \cdot 3{,}1 = 17{,}98 \\ A(3{,}1) &= 2 \cdot 3{,}1 \cdot 2{,}9 = 17{,}98 \end{aligned} \]
5. Finn punktet P Arealet er størst, \( {A(3) = 18}\text{,} \) når \( {x = 3}\text{.} \) Da er \( {y = 6 - 3 = 3}\text{,} \) så \( {P = (3, 3)}\text{.} \)
Metode: Med GeoGebra
1. Finn toppunktet på grafen Vi skriver inn arealfunksjonen fra kalkulatorruten og finner toppunktet med Maks, som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: A(x) = 2x(6 - x), 0 < x < 6 T = Maks(A, 0, 6)
Toppunktet er \( {T = (3, 18)}\text{.} \) Arealet er størst, \( 18\text{,} \) når \( {x = 3}\text{,} \) og da er \( {P = (3, 6 - 3) = (3, 3)}\text{.} \)