Universitetseksamen etter tema

Nevneren er en kjerne opphøyd i andre. Vi bruker derfor substitusjon med \( {u = 3 - 2x}\text{,} \) og skriver om telleren med \( u\text{.} \)

1. Velg substitusjon Vi setter kjernen lik \( u \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{3 - 2x} \\ \textcolor{blue}{du} &= \textcolor{blue}{-2\,dx} \end{aligned} \]

Det betyr at \( {\textcolor{blue}{dx} = \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{2}\,du}}\text{.} \) Grensene blir også nye: \[ \begin{aligned} x = 2 &\Rightarrow u = -1 \\ x = 4 &\Rightarrow u = -5 \end{aligned} \]

2. Skriv om telleren Telleren må også skrives med \( u\text{.} \) Vi ser at \( {-4x} \) er to ganger \( {-2x}\text{,} \) så: \[ 2 - 4x = 2(\textcolor{red}{3 - 2x}) - 4 = 2\textcolor{red}{u} - 4 \]

3. Regn ut integralet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\int_{-1}^{-5} \dfrac{2\textcolor{red}{u} - 4}{\textcolor{red}{u}^2} \cdot \left(\textcolor{blue}{-\dfrac{1}{2}}\right) du \\ &= \int_{-1}^{-5} \dfrac{2 - u}{u^2}\,du \\ &= \int_{-1}^{-5} \left(\dfrac{2}{u^2} - \dfrac{1}{u}\right) du \end{aligned} \]

Vi integrerer ledd for ledd. Her er \( u \) negativ, så absoluttverdien i \( \ln|u| \) er viktig: \[ \begin{aligned} &\left[-\dfrac{2}{u} - \ln|u|\right]_{-1}^{-5} \\ &= \left(\dfrac{2}{5} - \ln 5\right) - (2 - \ln 1) \end{aligned} \]

Siden \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) står vi igjen med: \[ \dfrac{2}{5} - \ln 5 - 2 = -\dfrac{8}{5} - \ln 5 \]

Vi skriver opp formelen for arealet av en rotasjonsflate og setter inn \( f(x)\text{.} \) Integralet løser vi med substitusjon.

1. Sett opp integralet Formelen for arealet av en rotasjonsflate om \( {x\text{-aksen}} \) forteller oss at: \[ S = \int_a^b 2\pi\, \textcolor{red}{f(x)} \sqrt{1 + (\textcolor{blue}{f'(x)})^2}\,dx \]Hver bitte liten bit av grafen lager en ring med radius \( \textcolor{red}{f(x)}\text{.} \) Rotuttrykket er den samme lille lengden som i videoen Buelengde formel.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f(x)} &= \textcolor{red}{x^3} \\ \textcolor{blue}{f'(x)} &= \textcolor{blue}{3x^2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S &= \int_0^{2/3} 2\pi\, \textcolor{red}{x^3} \sqrt{1 + (\textcolor{blue}{3x^2})^2}\,dx \\ &= 2\pi \int_0^{2/3} x^3 \sqrt{1 + 9x^4}\,dx \end{aligned} \]

2. Bruk substitusjon Vi setter uttrykket under roten lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{1 + 9x^4} \\ du &= 36x^3\,dx \\ x^3\,dx &= \dfrac{1}{36}\,du \end{aligned} \]

Grensene blir også nye: \[ \begin{aligned} x = 0 &\Rightarrow u = 1 \\ x = \dfrac{2}{3} &\Rightarrow u = 1 + 9 \cdot \dfrac{16}{81} = \dfrac{25}{9} \end{aligned} \]

3. Regn ut integralet Det gir oss: \[ \begin{aligned} S &= \dfrac{2\pi}{36} \int_1^{25/9} \sqrt{\textcolor{green}{u}}\,du \\ &= \dfrac{\pi}{18} \left[ \dfrac{2}{3} u^{3/2} \right]_1^{25/9} \\ &= \dfrac{\pi}{27} \left( \left(\dfrac{25}{9}\right)^{3/2} - 1 \right) \\ &= \dfrac{\pi}{27} \left( \dfrac{125}{27} - 1 \right) \\ &= \dfrac{\pi}{27} \cdot \dfrac{98}{27} = \dfrac{98\pi}{729} \end{aligned} \]

Vi ser \( \ln(x) \) inni integralet og den deriverte \( \dfrac{1}{x} \) ved siden av. Vi bruker derfor substitusjon, og tar det som er igjen med delvis integrasjon.

1. Bruk substitusjon Vi setter kjernen lik \( \textcolor{green}{t} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{t} &= \textcolor{green}{\ln(x)} \\ dt &= \dfrac{1}{x}\,dx \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \int \dfrac{\ln(\ln(x))}{x}\,dx = \int \ln(\textcolor{green}{t})\,dt \]

2. Bruk delvis integrasjon Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dt = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v}\,dt \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Delvis integrasjon.

Vi skriver \( {\ln(t) = 1 \cdot \ln(t)}\text{,} \) som i vinket. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln(t)} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{t}} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{t} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int \ln(t)\,dt &= \textcolor{red}{\ln(t)} \cdot \textcolor{blue}{t} - \int \textcolor{red}{\dfrac{1}{t}} \cdot \textcolor{blue}{t}\,dt \\ &= t\ln(t) - \int 1\,dt \\ &= t\ln(t) - t + C \end{aligned} \]

3. Bytt tilbake til x Vi setter inn \( {\textcolor{green}{t} = \textcolor{green}{\ln(x)}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\int \dfrac{\ln(\ln(x))}{x}\,dx \\ &= \textcolor{green}{\ln(x)}\ln(\textcolor{green}{\ln(x)}) - \textcolor{green}{\ln(x)} + C \end{aligned} \]

Vi følger vinket: først \( f'(x)\text{,} \) så setter vi inn i formelen for buelengde. Integralet løser vi med substitusjon.

1. Vis formelen for den deriverte Logaritmeregelen for en brøk forteller oss at: \[ \ln\left(\dfrac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{b}}\right) = \ln(\textcolor{red}{a}) - \ln(\textcolor{blue}{b}) \]Se videoen Naturlige Logaritmer. Her er \( {\textcolor{red}{e^x - 1}} \) og \( {\textcolor{blue}{e^x + 1}} \) positive på \( [1, 2]\text{,} \) så: \[ f(x) = \ln(\textcolor{red}{e^x - 1}) - \ln(\textcolor{blue}{e^x + 1}) \]

Kjerneregelen for \( \ln(u) \) forteller oss at: \[ (\ln(u))' = \dfrac{1}{u} \cdot u' \]Se videoen Derivasjonsregler/​Formler. Her er \( {u' = e^x} \) i begge leddene, så: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{e^x}{\textcolor{red}{e^x - 1}} - \dfrac{e^x}{\textcolor{blue}{e^x + 1}} \\ &= \dfrac{e^x(e^x + 1) - e^x(e^x - 1)}{e^{2x} - 1} \\ &= \dfrac{2e^x}{e^{2x} - 1} \end{aligned} \]

Vi deler over og under brøkstreken med \( e^x\text{,} \) og bruker at \( {\sinh(x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}}\text{:} \) \[ f'(x) = \dfrac{2}{e^x - e^{-x}} = \dfrac{1}{\sinh(x)} \]

2. Sett inn i formelen for buelengde Formelen for buelengde forteller oss at: \[ L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Buelengde formel.

Vi bruker at: \[ \cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1 \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} 1 + (f'(x))^2 &= 1 + \dfrac{1}{\sinh^2(x)} \\ &= \dfrac{\sinh^2(x) + 1}{\sinh^2(x)} \\ &= \dfrac{\cosh^2(x)}{\sinh^2(x)} \end{aligned} \]

På \( [1, 2] \) er både \( \cosh(x) \) og \( \sinh(x) \) positive, så roten blir brøken uten kvadrat: \[ L = \int_1^2 \dfrac{\cosh(x)}{\sinh(x)}\,dx \]

3. Regn ut integralet Vi setter nevneren lik \( \textcolor{green}{s}\text{,} \) som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{s} &= \textcolor{green}{\sinh(x)} \\ ds &= \cosh(x)\,dx \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} L &= \int_{\sinh(1)}^{\sinh(2)} \dfrac{1}{\textcolor{green}{s}}\,ds \\ &= \Big[\ln(\textcolor{green}{s})\Big]_{\sinh(1)}^{\sinh(2)} \\ &= \ln\left(\dfrac{\sinh(2)}{\sinh(1)}\right) \end{aligned} \]

Vi ganger ut nevneren først. Da ser vi at telleren nesten er den deriverte av nevneren, så vi bruker substitusjon.

1. Gang ut nevneren Vi ganger ut parentesene ledd for ledd: \[ \begin{aligned} &(x - 1)(x^2 + x + 1) \\ &= x^3 + x^2 + x - x^2 - x - 1 \\ &= x^3 - 1 \end{aligned} \]

2. Velg substitusjon Vi bytter ut \( x \) med \( u \) slik at integralet blir enklere. Vi setter nevneren lik \( u \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x^3 - 1} \\ \textcolor{blue}{du} &= \textcolor{blue}{3x^2\,dx} \end{aligned} \]

Det betyr at: \[ \textcolor{blue}{x^2\,dx} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}\,du} \]

3. Regn ut integralet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\int \dfrac{\textcolor{blue}{x^2\,dx}}{\textcolor{red}{x^3 - 1}} \\ &= \int \dfrac{1}{\textcolor{red}{u}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}\,du} \\ &= \dfrac{1}{3}\int \dfrac{1}{\textcolor{red}{u}}\,du \end{aligned} \]

Integrasjonsregelen for \( \dfrac{1}{u}\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at: \[ \int \dfrac{1}{\textcolor{red}{u}}\,du = \ln|\textcolor{red}{u}| + C \]

Vi setter inn og bytter tilbake til \( x\text{:} \) \[ \dfrac{1}{3}\ln|\textcolor{red}{u}| + C = \dfrac{1}{3}\ln|\textcolor{red}{x^3 - 1}| + C \]

Alternativ metode: Delbrøksoppspalting Nevneren står allerede faktorisert, så vi kan også spalte brøken, som i eksempel 2 i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \begin{aligned} &\dfrac{x^2}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} \\ &= \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + x + 1} \end{aligned} \]

Vi ganger opp: \[ \begin{aligned} x^2 &= A(x^2 + x + 1) \\ &\quad + (Bx + C)(x - 1) \end{aligned} \]

Med \( {x = 1} \) får vi \( {A = \dfrac{1}{3}}\text{,} \) og sammenligner vi ledd for ledd, får vi \( {C = \dfrac{1}{3}} \) og \( {B = \dfrac{2}{3}}\text{.} \) Her er den andre telleren nøyaktig den deriverte av sin nevner: \[ \begin{aligned} &\dfrac{1}{3}\int \dfrac{dx}{x - 1} \\ &\quad + \dfrac{1}{3}\int \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1}\,dx \\ &= \dfrac{1}{3}\ln|x - 1| \\ &\quad + \dfrac{1}{3}\ln(x^2 + x + 1) + D \end{aligned} \]

Med \( {\ln a + \ln b = \ln(ab)} \) er dette det samme svaret. Metoden lønner seg når telleren ikke er den deriverte av nevneren.

Det første integralet er en substitusjon. Det uegentlige integralet regner vi ut til \( R \) og lar så \( R \) vokse, og vinket viser hvilken \( a \) som fjerner \( \ln R\text{.} \)

1. Bruk substitusjon Vi setter nevneren lik \( \textcolor{red}{u} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x^2 + 1} \\ du &= 2x\,dx \\ x\,dx &= \dfrac{1}{2}\,du \end{aligned} \]

Grensene blir \( 2 \) og \( {R^2 + 1}\text{,} \) så vi får: \[ \begin{aligned} &\int_1^R \dfrac{x}{x^2 + 1}\,dx \\ &= \dfrac{1}{2} \int_2^{R^2 + 1} \dfrac{1}{\textcolor{red}{u}}\,du \\ &= \dfrac{1}{2}\ln(R^2 + 1) - \dfrac{1}{2}\ln 2 \end{aligned} \]

2. Regn ut integralet til R Et uegentlig integral er grensen av integralet opp til \( R\text{,} \) som i videoen Uegentlig integral Oppgave 1. Vi bruker resultatet over på første ledd: \[ \begin{aligned} &I(R) = \int_1^R \left( \dfrac{ax}{x^2 + 1} - \dfrac{1}{2x} \right) dx \\ &= \dfrac{a}{2}\ln(R^2 + 1) - \dfrac{a}{2}\ln 2 - \dfrac{1}{2}\ln R \end{aligned} \]

3. Skriv om med vinket Vinket har \( {\sqrt{R^2 + 1}} \) delt på \( R\text{,} \) så vi skriver om slik at akkurat det uttrykket står der. Logaritmereglene fra videoen Naturlige Logaritmer forteller oss at: \[ \begin{aligned} \ln\left(w^k\right) &= k\ln w \\ \ln\left(\dfrac{p}{q}\right) &= \ln p - \ln q \end{aligned} \]

Her er: \[ \begin{aligned} w &= R^2 + 1 & k &= \dfrac{1}{2} \\ p &= \sqrt{R^2 + 1} & q &= R \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{1}{2}\ln(R^2 + 1) = \ln\sqrt{R^2 + 1} \\ &= \textcolor{blue}{\ln\left(\dfrac{\sqrt{R^2 + 1}}{R}\right)} + \textcolor{green}{\ln R} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og samler \( \textcolor{green}{\ln R}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} I(R) = \;& a\textcolor{blue}{\ln\left(\dfrac{\sqrt{R^2 + 1}}{R}\right)} \\ &+ \left(a - \dfrac{1}{2}\right)\textcolor{green}{\ln R} - \dfrac{a}{2}\ln 2 \end{aligned} \]

4. Bestem a og integralet Når \( R \) vokser, går \( \textcolor{blue}{\text{første ledd}} \) mot \( 0 \) etter vinket, mens \( \textcolor{green}{\ln R} \) vokser uten grense. Integralet konvergerer derfor bare når faktoren foran \( \textcolor{green}{\ln R} \) er null: \[ a - \dfrac{1}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad a = \dfrac{1}{2} \]

Med \( {a = \dfrac{1}{2}} \) står bare konstanten igjen: \[ \begin{aligned} \lim_{R \to \infty} I(R) &= \dfrac{1}{2} \cdot 0 + 0 - \dfrac{1}{4}\ln 2 \\ &= -\dfrac{1}{4}\ln 2 \end{aligned} \]