TMA4100 ordinær eksamen 2022 – løsningsforslag

Nevneren er allerede faktorisert, og telleren har lavere grad enn nevneren. Vi bruker derfor delbrøksoppspalting.

1. Sett opp delbrøkene Nevneren har tre ulike lineære faktorer, så hver får sin delbrøk med en konstant i telleren, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \begin{aligned} &\dfrac{x^2}{(x + 1)(x - 1)(x - 2)} \\ &= \dfrac{\textcolor{red}{A}}{x + 1} + \dfrac{\textcolor{blue}{B}}{x - 1} + \dfrac{\textcolor{green}{D}}{x - 2} \end{aligned} \]

Ganger vi med hele nevneren, får vi: \[ \begin{aligned} x^2 = \;& \textcolor{red}{A}(x - 1)(x - 2) \\ &+ \textcolor{blue}{B}(x + 1)(x - 2) \\ &+ \textcolor{green}{D}(x + 1)(x - 1) \end{aligned} \]

2. Finn konstantene Likningen gjelder for alle \( x\text{.} \) Setter vi inn nullpunktene til nevneren, faller to av leddene bort.

\( {x = -1} \) gir: \[ \begin{aligned} 1 &= \textcolor{red}{A} \cdot (-2) \cdot (-3) = 6\textcolor{red}{A} \\ \textcolor{red}{A} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} \end{aligned} \]

\( {x = 1} \) gir: \[ \begin{aligned} 1 &= \textcolor{blue}{B} \cdot 2 \cdot (-1) = -2\textcolor{blue}{B} \\ \textcolor{blue}{B} &= \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

\( {x = 2} \) gir: \[ \begin{aligned} 4 &= \textcolor{green}{D} \cdot 3 \cdot 1 = 3\textcolor{green}{D} \\ \textcolor{green}{D} &= \textcolor{green}{\dfrac{4}{3}} \end{aligned} \]

3. Integrer ledd for ledd Hvert ledd integrerer vi med regelen fra videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Absoluttverdien tar med at \( {x + n} \) kan være negativ: \[ \int \dfrac{a}{x + n}\,dx = a\ln|x + n| + C \]

Plugger vi inn konstantene, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{\textcolor{red}{1/6}}{x + 1}\,dx &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}}\ln|x + 1| \\ \int \dfrac{\textcolor{blue}{-1/2}}{x - 1}\,dx &= \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{2}}\ln|x - 1| \\ \int \dfrac{\textcolor{green}{4/3}}{x - 2}\,dx &= \textcolor{green}{\dfrac{4}{3}}\ln|x - 2| \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, med én felles konstant \( C\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{\dfrac{1}{6}}\ln|x + 1| \textcolor{blue}{- \dfrac{1}{2}}\ln|x - 1| \\ &+ \textcolor{green}{\dfrac{4}{3}}\ln|x - 2| + C \end{aligned} \]

Den vertikale avstanden er forskjellen mellom de to y-verdiene for samme \( x\text{.} \) Vi skriver den som en funksjon av \( x \) og finner bunnpunktet.

1. Sett opp avstanden På figuren ligger \( y_1 \) over \( y_2\text{,} \) så vi trekker \( y_2 \) fra \( y_1\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{d(x)} &= (x^2 + 1) - (x - x^2) \\ &= \textcolor{red}{2x^2 - x + 1} \end{aligned} \]

2. Finn bunnpunktet Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer \( \textcolor{red}{d(x)} \) ledd for ledd, og konstanten \( 1 \) blir \( 0\text{:} \) \[ d'(x) = 2 \cdot 2x - 1 + 0 = 4x - 1 \]

I et bunnpunkt er den deriverte null, som i videoen Hva er et kritisk punkt: \[ \begin{aligned} 4x - 1 &= 0 \\ \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{4}} \end{aligned} \]

Den andrederiverte er positiv, så grafen til \( d \) åpner oppover og dette er bunnpunktet: \[ d''(x) = 4 > 0 \]

3. Regn ut avstanden Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{x = \dfrac{1}{4}}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} d\left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{4}}\right) &= 2 \cdot \left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{4}}\right)^2 - \textcolor{blue}{\dfrac{1}{4}} + 1 \\ &= \dfrac{1}{8} - \dfrac{2}{8} + \dfrac{8}{8} = \dfrac{7}{8} \end{aligned} \]

Minste verdi er positiv, så \( y_1 \) ligger over \( y_2 \) for alle \( x\text{,} \) ikke bare på figuren.

Newtons metode finner nullpunkter. Vi flytter derfor alt over på én side, deriverer og itererer til de to første desimalene ligger fast.

1. Lag en funksjon Vi trekker høyresiden fra venstresiden. Løsningen er nullpunktet til: \[ f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1} - \sqrt{1 - x} \]

2. Deriver brøken Vi deriverer de to leddene hver for seg: \[ f'(x) = \left(\dfrac{x}{x^2 + 1}\right)' - \left(\sqrt{1 - x}\right)' \]

Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2 + 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \left(\dfrac{x}{x^2 + 1}\right)' &= \dfrac{\textcolor{red}{1} \cdot (\textcolor{blue}{x^2 + 1}) - \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{2x}}{(\textcolor{blue}{x^2 + 1})^2} \\ &= \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} \end{aligned} \]

3. Deriver roten Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\sqrt{\textcolor{green}{w}}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{\textcolor{green}{w}}} \cdot \textcolor{green}{w'} \]Dette er regelen fra videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{w} &= \textcolor{green}{1 - x} & \textcolor{green}{w'} &= \textcolor{green}{-1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \left(\sqrt{\textcolor{green}{1 - x}}\right)' = \dfrac{\textcolor{green}{-1}}{2\sqrt{\textcolor{green}{1 - x}}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} - \left(\dfrac{-1}{2\sqrt{1 - x}}\right) \\ &= \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} + \dfrac{1}{2\sqrt{1 - x}} \end{aligned} \]

4. Bruk Newtons metode Newtons metode forteller oss at: \[ x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]Hvis du er usikker på metoden, kan du se videoen Newtons metode.

Med \( {x_0 = 0{,}8} \) gir kalkulatoren: \[ \begin{aligned} f(0{,}8) &\approx 0{,}04059 \\ f'(0{,}8) &\approx 1{,}25188 \\ x_1 &\approx 0{,}8 - \dfrac{0{,}04059}{1{,}25188} \\ &\approx 0{,}76758 \end{aligned} \]

Med \( x_1 \) i stedet for \( x_0 \) får vi: \[ \begin{aligned} f(x_1) &\approx 0{,}00090 \\ f'(x_1) &\approx 1{,}19979 \\ x_2 &\approx 0{,}76758 - \dfrac{0{,}00090}{1{,}19979} \\ &\approx 0{,}76683 \end{aligned} \]

5. Sjekk de to desimalene Både \( x_1 \) og \( x_2 \) blir \( 0{,}77 \) avrundet. For å være sikre sjekker vi fortegnet rett på hver side av avrundingsintervallet: \[ \begin{aligned} f(0{,}765) &\approx -0{,}0022 < 0 \\ f(0{,}775) &\approx 0{,}0098 > 0 \end{aligned} \]

\( f \) er kontinuerlig og skifter fortegn, så nullpunktet ligger mellom \( 0{,}765 \) og \( 0{,}775\text{.} \)

Vi finner skjæringspunktene, skisserer området og bruker skallmetoden, der radius er avstanden til linjen \( {x = 1}\text{.} \)

1. Finn skjæringspunktene Vi setter funksjonene lik hverandre og samler alt på én side: \[ \begin{aligned} x^2 + x + 1 &= 2 - x^2 \\ 2x^2 + x - 1 &= 0 \end{aligned} \]

abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{green}{-1})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ &= \dfrac{-1 \pm 3}{4} \\ x &= -1 \quad \vee \quad x = \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

2. Skisser området Funksjonsverdiene i skjæringspunktene er: \[ \begin{aligned} f(-1) &= g(-1) = 1 \\ f\left(\dfrac{1}{2}\right) &= g\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{7}{4} \end{aligned} \]

Mellom skjæringspunktene ligger \( g \) øverst. Det ser vi i \( {x = 0}\text{:} \) \[ g(0) = 2 > 1 = f(0) \]

3. Sett opp volumet Skallmetoden forteller oss at: \[ V = 2\pi \int_a^b \textcolor{red}{r(x)} \cdot \textcolor{blue}{h(x)}\,dx \]Om \( {y\text{-aksen}} \) er radius \( x\text{,} \) som i videoen Omdreiningslegeme y-akse. Om en annen loddrett linje er radius avstanden til linjen, som i videoen Omdreining om x = 3.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{r(x)} &= \textcolor{red}{1 - x} \\ \textcolor{blue}{h(x)} &= g(x) - f(x) = \textcolor{blue}{1 - x - 2x^2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, med grensene fra skjæringspunktene, får vi: \[ \begin{aligned} V = 2\pi \int_{-1}^{1/2} &(\textcolor{red}{1 - x}) \\ &\cdot (\textcolor{blue}{1 - x - 2x^2})\,dx \end{aligned} \]

4. Regn ut integralet Vi ganger ut parentesene og integrerer ledd for ledd: \[ \begin{aligned} V &= 2\pi \int_{-1}^{1/2} (1 - 2x - x^2 + 2x^3)\,dx \\ &= 2\pi \left[ x - x^2 - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^4}{2} \right]_{-1}^{1/2} \end{aligned} \]

Øvre grense gir: \[ \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{24} + \dfrac{1}{32} = \dfrac{23}{96} \]

Nedre grense gir: \[ -1 - 1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{7}{6} \]

Trekker vi nedre fra øvre, får vi: \[ \begin{aligned} V &= 2\pi \left( \dfrac{23}{96} - \left(-\dfrac{7}{6}\right) \right) \\ &= 2\pi \cdot \dfrac{135}{96} = \dfrac{45\pi}{16} \end{aligned} \]

Det første integralet er en substitusjon. Det uegentlige integralet regner vi ut til \( R \) og lar så \( R \) vokse, og vinket viser hvilken \( a \) som fjerner \( \ln R\text{.} \)

1. Bruk substitusjon Vi setter nevneren lik \( \textcolor{red}{u} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x^2 + 1} \\ du &= 2x\,dx \\ x\,dx &= \dfrac{1}{2}\,du \end{aligned} \]

Grensene blir \( 2 \) og \( {R^2 + 1}\text{,} \) så vi får: \[ \begin{aligned} &\int_1^R \dfrac{x}{x^2 + 1}\,dx \\ &= \dfrac{1}{2} \int_2^{R^2 + 1} \dfrac{1}{\textcolor{red}{u}}\,du \\ &= \dfrac{1}{2}\ln(R^2 + 1) - \dfrac{1}{2}\ln 2 \end{aligned} \]

2. Regn ut integralet til R Et uegentlig integral er grensen av integralet opp til \( R\text{,} \) som i videoen Uegentlig integral Oppgave 1. Vi bruker resultatet over på første ledd: \[ \begin{aligned} &I(R) = \int_1^R \left( \dfrac{ax}{x^2 + 1} - \dfrac{1}{2x} \right) dx \\ &= \dfrac{a}{2}\ln(R^2 + 1) - \dfrac{a}{2}\ln 2 - \dfrac{1}{2}\ln R \end{aligned} \]

3. Skriv om med vinket Vinket har \( {\sqrt{R^2 + 1}} \) delt på \( R\text{,} \) så vi skriver om slik at akkurat det uttrykket står der. Logaritmereglene fra videoen Naturlige Logaritmer forteller oss at: \[ \begin{aligned} \ln\left(w^k\right) &= k\ln w \\ \ln\left(\dfrac{p}{q}\right) &= \ln p - \ln q \end{aligned} \]

Her er: \[ \begin{aligned} w &= R^2 + 1 & k &= \dfrac{1}{2} \\ p &= \sqrt{R^2 + 1} & q &= R \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{1}{2}\ln(R^2 + 1) = \ln\sqrt{R^2 + 1} \\ &= \textcolor{blue}{\ln\left(\dfrac{\sqrt{R^2 + 1}}{R}\right)} + \textcolor{green}{\ln R} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og samler \( \textcolor{green}{\ln R}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} I(R) = \;& a\textcolor{blue}{\ln\left(\dfrac{\sqrt{R^2 + 1}}{R}\right)} \\ &+ \left(a - \dfrac{1}{2}\right)\textcolor{green}{\ln R} - \dfrac{a}{2}\ln 2 \end{aligned} \]

4. Bestem a og integralet Når \( R \) vokser, går \( \textcolor{blue}{\text{første ledd}} \) mot \( 0 \) etter vinket, mens \( \textcolor{green}{\ln R} \) vokser uten grense. Integralet konvergerer derfor bare når faktoren foran \( \textcolor{green}{\ln R} \) er null: \[ a - \dfrac{1}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad a = \dfrac{1}{2} \]

Med \( {a = \dfrac{1}{2}} \) står bare konstanten igjen: \[ \begin{aligned} \lim_{R \to \infty} I(R) &= \dfrac{1}{2} \cdot 0 + 0 - \dfrac{1}{4}\ln 2 \\ &= -\dfrac{1}{4}\ln 2 \end{aligned} \]

Likningen er separabel. Vi skiller \( S \) og \( t\text{,} \) integrerer med delbrøker, bestemmer konstantene og setter inn \( {S = 4000}\text{.} \)

1. Forklar likningen Endringsraten er \( \dfrac{dS}{dt}\text{.} \) Av 5000 innbyggere er \( \textcolor{red}{S} \) smittet, så \( {\textcolor{blue}{5000 - S}} \) er ikke smittet. Proporsjonal med produktet betyr at vi ganger produktet med konstanten \( a\text{:} \) \[ \dfrac{dS}{dt} = a \cdot \textcolor{red}{S} \cdot (\textcolor{blue}{5000 - S}) \]

2. Separer og del opp brøken Vi samler \( S \) på én side og \( t \) på den andre, som i videoen Seperable diff-ligninger: \[ \dfrac{1}{S(5000 - S)}\,dS = a\,dt \]

Vi deler brøken opp, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{S(5000 - S)} &= \dfrac{A}{S} + \dfrac{B}{5000 - S} \\ 1 &= A(5000 - S) + BS \end{aligned} \]

\( {S = 0} \) og \( {S = 5000} \) gir: \[ A = B = \dfrac{1}{5000} \]

3. Integrer begge sider Plugger vi delbrøkene inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{1}{5000} \int \left( \dfrac{1}{S} + \dfrac{1}{5000 - S} \right) dS \\ &= \int a\,dt \end{aligned} \]

Siden \( {0 < S < 5000} \) trenger vi ikke absoluttverdi. Kjernen \( {5000 - S} \) har derivert \( {-1}\text{,} \) så: \[ \int \dfrac{1}{5000 - S}\,dS = -\ln(5000 - S) \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\dfrac{1}{5000} \bigl( \ln S - \ln(5000 - S) \bigr) \\ &= at + C \end{aligned} \]

Logaritmeregelen fra videoen Naturlige Logaritmer forteller oss at: \[ \ln p - \ln q = \ln\left(\dfrac{p}{q}\right) \]

Her er \( {p = S} \) og \( {q = 5000 - S}\text{.} \) Vi ganger med 5000, med \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{5000a}} \) og \( {K = 5000C}\text{:} \) \[ \ln\left(\dfrac{S}{5000 - S}\right) = \textcolor{green}{k}t + K \]

4. Bestem konstantene \( {S(0) = 250} \) gir: \[ K = \ln\left(\dfrac{250}{4750}\right) = -\ln 19 \]

\( {S(7) = 1250} \) gir: \[ \begin{aligned} \ln\left(\dfrac{1250}{3750}\right) &= 7\textcolor{green}{k} - \ln 19 \\ -\ln 3 &= 7\textcolor{green}{k} - \ln 19 \\ \textcolor{green}{k} &= \textcolor{green}{\dfrac{1}{7}\ln\dfrac{19}{3}} \end{aligned} \]

5. Finn tiden 80 % av 5000 er 4000. Plugger vi inn \( {S = 4000}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \ln\left(\dfrac{4000}{1000}\right) &= \textcolor{green}{k}t - \ln 19 \\ \ln 4 + \ln 19 &= \textcolor{green}{k}t \\ t &= \dfrac{\ln 76}{\textcolor{green}{k}} = \dfrac{7\ln 76}{\ln\dfrac{19}{3}} \\ &\approx 16{,}4 \end{aligned} \]

I (i) tar vi absoluttverdien av leddene og sammenligner med en p-rekke. I (ii) ser vi hva leddene går mot.

1. Undersøk den første rekken En rekke er absolutt konvergent når rekken av absoluttverdiene konvergerer. Absoluttverdien fjerner \( {(-1)^n}\text{,} \) og \( {\cos^2(n) \le 1}\text{,} \) så: \[ \left| (-1)^n \dfrac{\cos^2(n)}{n^{2022}} \right| = \textcolor{red}{\dfrac{\cos^2(n)}{n^{2022}}} \le \textcolor{blue}{\dfrac{1}{n^{2022}}} \]

P-rekker forteller oss at: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^p} \text{ konvergerer for } p > 1 \]

Her er \( {p = 2022 > 1}\text{,} \) så den \( \textcolor{blue}{\text{større rekken}} \) konvergerer. Sammenligningstesten forteller oss at: \[ \begin{aligned} &0 \le \textcolor{red}{a_n} \le \textcolor{blue}{b_n} \text{ og } \sum \textcolor{blue}{b_n} \text{ konvergerer} \\ &\Rightarrow \sum \textcolor{red}{a_n} \text{ konvergerer} \end{aligned} \]Dette gjør vi også i videoen Sammenligning & P-rekker Oppgave.

Det gir oss: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \textcolor{red}{\dfrac{\cos^2(n)}{n^{2022}}} \text{ konvergerer} \]Rekke (i) er altså absolutt konvergent.

2. Undersøk den andre rekken Vi lar \( n \) gå mot uendelig i telleren og nevneren hver for seg. Telleren går mot minus uendelig og nevneren mot uendelig. Vi deler derfor på høyeste potens, \( n^3\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \dfrac{5n^2 - 3n^3}{4n^3 + 1} &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{5}{n} - 3}{4 + \dfrac{1}{n^3}} \\ &= \textcolor{green}{-\dfrac{3}{4}} \end{aligned} \]

Divergenstesten fra videoen Oppgave 2ai forteller oss at: \[ \lim_{n \to \infty} a_n \ne 0 \Rightarrow \sum a_n \text{ divergerer} \]

Her går leddene mot \( {\textcolor{green}{-\dfrac{3}{4}} \ne 0}\text{,} \) så rekke (ii) divergerer.

Vi finner \( f(0) \) og \( f'(0) \) og setter dem inn i formelen for taylorpolynomet. Ulikheten følger av fortegnet til restleddet.

1. Deriver funksjonen Vi skriver \( {f(x) = (1 + x)^{-r}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{green}{w}^{-r}\right)' = -r\textcolor{green}{w}^{-r-1} \cdot \textcolor{green}{w'} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{w} &= \textcolor{green}{1 + x} & \textcolor{green}{w'} &= \textcolor{green}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= -r(\textcolor{green}{1 + x})^{-r-1} \cdot \textcolor{green}{1} \\ &= -r(1 + x)^{-r-1} \end{aligned} \]

2. Finn taylorpolynomet Taylorpolynomet av grad 1 om \( {x = 0} \) forteller oss at: \[ P_1(x) = \textcolor{red}{f(0)} + \textcolor{blue}{f'(0)} \cdot x \]Dette er formelen fra videoen Taylor & Mclauren polynomer DEL 2, med \( {a = 0}\text{.} \)

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f(0)} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{f'(0)} &= \textcolor{blue}{-r} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ P_1(x) = \textcolor{red}{1} \textcolor{blue}{- r}x \]

3. Bruk restleddet Taylors teorem forteller oss at det for hver \( {x > 0} \) finnes en \( c \) mellom \( 0 \) og \( x \) slik at: \[ f(x) = P_1(x) + \dfrac{f''(c)}{2}x^2 \]Vi kjenner ikke \( c\text{,} \) men vi vet at den ligger mellom \( 0 \) og \( x\text{.} \)

Vi deriverer \( f'(x) \) på samme måte en gang til: \[ \begin{aligned} f''(x) &= -r(-r - 1)(1 + x)^{-r-2} \cdot 1 \\ &= r(r + 1)(1 + x)^{-r-2} \end{aligned} \]

Siden \( {r > 0} \) og \( {c > 0}\text{,} \) er alle faktorene positive: \[ f''(c) = r(r + 1)(1 + c)^{-r-2} > 0 \]

Også \( {x^2 > 0}\text{,} \) så restleddet er positivt: \[ \dfrac{f''(c)}{2}x^2 > 0 \]

Dermed vet vi at \( {f(x) > P_1(x)}\text{,} \) altså: \[ \dfrac{1}{(1 + x)^r} > 1 - rx \]

Vi vet ikke at \( g \) er deriverbar, så vi kan ikke bruke produktregelen. Vi går derfor tilbake til definisjonen av den deriverte.

1. Skriv opp definisjonen Definisjonen av den deriverte forteller oss at: \[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\textcolor{red}{f(0 + h)} - \textcolor{blue}{f(0)}}{h} \]\( f \) er deriverbar i \( {x = 0} \) hvis denne grensen finnes. Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Definisjonen til den deriverte.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f(0 + h)} &= \textcolor{red}{h\,g(h)} \\ \textcolor{blue}{f(0)} &= 0 \cdot g(0) = \textcolor{blue}{0} \end{aligned} \]

2. Regn ut grensen Plugger vi dette inn, og stryker \( h \) mot \( h \) siden \( h \ne 0\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f'(0) &= \lim_{h \to 0} \dfrac{\textcolor{red}{h\,g(h)} - \textcolor{blue}{0}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} g(h) \end{aligned} \]

At \( g \) er kontinuerlig i \( {x = 0} \) betyr at grensen er lik funksjonsverdien, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon: \[ \lim_{h \to 0} g(h) = g(0) = 2\pi \]

Grensen finnes, så \( f \) er deriverbar i \( {x = 0}\text{.} \)

\( g(4) \) er integralet fra \( 0 \) til \( 4\text{,} \) og det er arealet mellom grafen og \( {x\text{-aksen}} \) med fortegn. \( g'(4) \) får vi fra sammenhengen mellom integralet og den deriverte.

1. Regn ut g i fire Integralet er arealet over \( {x\text{-aksen}} \) minus arealet under, som i videoen Hva er integrasjon. Vi leser av grafen del for del: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\int_0^1 f(t)\,dt} &= -\dfrac{1 \cdot 2}{2} = \textcolor{red}{-1} \\ \textcolor{blue}{\int_1^2 f(t)\,dt} &= \dfrac{1 \cdot 2}{2} = \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{green}{\int_2^3 f(t)\,dt} &= 1 \cdot 2 = \textcolor{green}{2} \\ \textcolor{darkorange}{\int_3^4 f(t)\,dt} &= \dfrac{1 \cdot 2}{2} = \textcolor{darkorange}{1} \end{aligned} \]Den første biten er en trekant under aksen, så den teller negativt.

Slår vi dette sammen, får vi: \[ g(4) = \textcolor{red}{-1} + \textcolor{blue}{1} + \textcolor{green}{2} + \textcolor{darkorange}{1} = 3 \]

2. Regn ut den deriverte Analysens fundamentalteorem forteller oss at for en kontinuerlig \( f \) er: \[ \dfrac{d}{dx} \int_a^x f(t)\,dt = f(x) \]Videoen Løs integralligningen viser dette underveis.

Grafen henger sammen, så \( f \) er kontinuerlig. Her er \( {a = 0}\text{,} \) så \( {g'(x) = f(x)}\text{.} \) Grafen krysser \( {x\text{-aksen}} \) i \( {x = 4}\text{,} \) så: \[ g'(4) = f(4) = 0 \]