TMA4100 konteeksamen 2023 – løsningsforslag

Vi ganger ut nevneren først. Da ser vi at telleren nesten er den deriverte av nevneren, så vi bruker substitusjon.

1. Gang ut nevneren Vi ganger ut parentesene ledd for ledd: \[ \begin{aligned} &(x - 1)(x^2 + x + 1) \\ &= x^3 + x^2 + x - x^2 - x - 1 \\ &= x^3 - 1 \end{aligned} \]

2. Velg substitusjon Vi bytter ut \( x \) med \( u \) slik at integralet blir enklere. Vi setter nevneren lik \( u \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x^3 - 1} \\ \textcolor{blue}{du} &= \textcolor{blue}{3x^2\,dx} \end{aligned} \]

Det betyr at: \[ \textcolor{blue}{x^2\,dx} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}\,du} \]

3. Regn ut integralet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\int \dfrac{\textcolor{blue}{x^2\,dx}}{\textcolor{red}{x^3 - 1}} \\ &= \int \dfrac{1}{\textcolor{red}{u}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}\,du} \\ &= \dfrac{1}{3}\int \dfrac{1}{\textcolor{red}{u}}\,du \end{aligned} \]

Integrasjonsregelen for \( \dfrac{1}{u}\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at: \[ \int \dfrac{1}{\textcolor{red}{u}}\,du = \ln|\textcolor{red}{u}| + C \]

Vi setter inn og bytter tilbake til \( x\text{:} \) \[ \dfrac{1}{3}\ln|\textcolor{red}{u}| + C = \dfrac{1}{3}\ln|\textcolor{red}{x^3 - 1}| + C \]

Alternativ metode: Delbrøksoppspalting Nevneren står allerede faktorisert, så vi kan også spalte brøken, som i eksempel 2 i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \begin{aligned} &\dfrac{x^2}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} \\ &= \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + x + 1} \end{aligned} \]

Vi ganger opp: \[ \begin{aligned} x^2 &= A(x^2 + x + 1) \\ &\quad + (Bx + C)(x - 1) \end{aligned} \]

Med \( {x = 1} \) får vi \( {A = \dfrac{1}{3}}\text{,} \) og sammenligner vi ledd for ledd, får vi \( {C = \dfrac{1}{3}} \) og \( {B = \dfrac{2}{3}}\text{.} \) Her er den andre telleren nøyaktig den deriverte av sin nevner: \[ \begin{aligned} &\dfrac{1}{3}\int \dfrac{dx}{x - 1} \\ &\quad + \dfrac{1}{3}\int \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1}\,dx \\ &= \dfrac{1}{3}\ln|x - 1| \\ &\quad + \dfrac{1}{3}\ln(x^2 + x + 1) + D \end{aligned} \]

Med \( {\ln a + \ln b = \ln(ab)} \) er dette det samme svaret. Metoden lønner seg når telleren ikke er den deriverte av nevneren.

Vi deler \( [0, 2] \) i fire like brede delintervaller, leser av funksjonsverdiene i tabellen og legger sammen arealet av fire trapeser.

1. Finn bredden på delintervallene Bredden er lengden av intervallet delt på antall delintervaller: \[ \textcolor{green}{\Delta x} = \dfrac{2 - 0}{4} = \textcolor{green}{0{,}5} \]

Vi trenger altså bare hver andre kolonne i tabellen: \[ \begin{aligned} f(0) &= 1{,}00 \\ f(0{,}5) &= 0{,}78 \\ f(1) &= 0{,}37 \\ f(1{,}5) &= 0{,}11 \\ f(2) &= 0{,}02 \end{aligned} \]

2. Regn ut trapesene Arealet av et trapes forteller oss at: \[ A = \dfrac{(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}) \cdot \textcolor{green}{h}}{2} \]Hvis du er usikker på metoden, kan du se videoen Trapesmetoden.

Her er \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) funksjonsverdiene i hver ende av delintervallet, og \( {\textcolor{green}{h} = \textcolor{green}{\Delta x}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A_1 &= \dfrac{(\textcolor{blue}{1{,}00} + \textcolor{red}{0{,}78}) \cdot \textcolor{green}{0{,}5}}{2} = 0{,}445 \\ A_2 &= \dfrac{(\textcolor{blue}{0{,}78} + \textcolor{red}{0{,}37}) \cdot \textcolor{green}{0{,}5}}{2} = 0{,}2875 \\ A_3 &= \dfrac{(\textcolor{blue}{0{,}37} + \textcolor{red}{0{,}11}) \cdot \textcolor{green}{0{,}5}}{2} = 0{,}12 \\ A_4 &= \dfrac{(\textcolor{blue}{0{,}11} + \textcolor{red}{0{,}02}) \cdot \textcolor{green}{0{,}5}}{2} = 0{,}0325 \end{aligned} \]

3. Legg sammen Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} T_4 &= A_1 + A_2 + A_3 + A_4 \\ &= 0{,}445 + 0{,}2875 \\ &\quad + 0{,}12 + 0{,}0325 \\ &= 0{,}885 \end{aligned} \]

Vi begynner med å la \( x \) gå mot \( 0 \) i telleren og nevneren hver for seg. Det gir \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) så vi bruker L'Hôpitals regel.

1. Sett inn i telleren og nevneren Vi setter inn i telleren og nevneren: \[ \begin{aligned} 1 - \cos 0 &= 1 - 1 = 0 \\ \ln(1 + 0^2) &= \ln 1 = 0 \end{aligned} \]

2. Bruk L'Hôpitals regel L'Hôpitals regel forteller oss at når innsetting gir \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) gjelder: \[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\textcolor{red}{f(x)}}{\textcolor{blue}{g(x)}} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\textcolor{red}{f'(x)}}{\textcolor{blue}{g'(x)}} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen L'Hopitals regel.

Nevneren deriverer vi med kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen. Den forteller oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{u})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]

Med kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{1 + x^2}} \) og \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{2x}} \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f(x)} &= \textcolor{red}{1 - \cos x} \\ \textcolor{red}{f'(x)} &= \textcolor{red}{\sin x} \\ \textcolor{blue}{g(x)} &= \textcolor{blue}{\ln(1 + x^2)} \\ \textcolor{blue}{g'(x)} &= \textcolor{blue}{\dfrac{2x}{1 + x^2}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i regelen, får vi: \[ \begin{aligned} &\lim_{x \to 0} \dfrac{\textcolor{red}{\sin x}}{\textcolor{blue}{\dfrac{2x}{1 + x^2}}} \\ &= \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{2x} \cdot (1 + x^2) \\ &= \lim_{x \to 0} \textcolor{darkorange}{\dfrac{1 + x^2}{2}} \cdot \textcolor{magenta}{\dfrac{\sin x}{x}} \end{aligned} \]

3. Regn ut faktorene hver for seg Den første faktoren kan vi sette rett inn i: \[ \lim_{x \to 0} \textcolor{darkorange}{\dfrac{1 + x^2}{2}} = \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}} \]

Den andre gir \( \dfrac{0}{0} \) igjen, så vi bruker L'Hôpitals regel en gang til: \[ \lim_{x \to 0} \textcolor{magenta}{\dfrac{\sin x}{x}} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{1} = \textcolor{magenta}{1} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}} \cdot \textcolor{magenta}{1} = \dfrac{1}{2} \]

Buelengden er gitt av en formel med \( f'(x)\text{.} \) Vi finner \( f'(x) \) fra integralet, setter inn i formelen, og bruker så vinket til å bli kvitt roten.

1. Finn den deriverte Når \( g \) er kontinuerlig og vi deriverer et integral med \( x \) som øvre grense, bytter vi bare \( t \) med \( x\text{:} \) \[ \left(\int_a^x g(t)\,dt\right)' = g(x) \]Dette ser du i videoen Løs integralligningen.

Her er \( {g(t) = \sqrt{\cos t}}\text{,} \) som er kontinuerlig på intervallet, så: \[ \textcolor{red}{f'(x)} = \textcolor{red}{\sqrt{\cos x}} \]

2. Sett inn i buelengdeformelen Buelengdeformelen forteller oss at når \( f' \) er kontinuerlig, er: \[ L = \int_a^b \sqrt{1 + \textcolor{red}{f'(x)}^2}\,dx \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Buelengde formel.

Her er \( {a = 0} \) og \( {b = \dfrac{\pi}{2}}\text{.} \) På dette intervallet er \( {\cos x \ge 0}\text{,} \) så: \[ \textcolor{red}{f'(x)}^2 = \left(\textcolor{red}{\sqrt{\cos x}}\right)^2 = \cos x \]

Plugger vi dette inn, får vi integralet i oppgaven: \[ L = \int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \sqrt{1 + \cos x}\,dx \]

3. Skriv om roten Vinket med \( {\textcolor{blue}{y} = \textcolor{blue}{\dfrac{x}{2}}} \) gir: \[ 1 + \cos x = 2\cos^2\left(\textcolor{blue}{\dfrac{x}{2}}\right) \]

Når \( {x \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]}\text{,} \) er \( {\textcolor{blue}{\dfrac{x}{2}} \in \left[0, \dfrac{\pi}{4}\right]}\text{.} \) Der er cosinus positiv, så vi slipper absoluttverdien: \[ \sqrt{1 + \cos x} = \sqrt{2}\,\cos\left(\textcolor{blue}{\dfrac{x}{2}}\right) \]

4. Regn ut integralet Integrasjonsregelen for cosinus forteller oss at: \[ \int \cos(\textcolor{green}{n}x)\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n}}\sin(\textcolor{green}{n}x) + C \]Den står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{\dfrac{1}{2}}}\text{,} \) så \( {\dfrac{1}{\textcolor{green}{n}} = 2}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} L &= \sqrt{2}\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) dx \\ &= \sqrt{2}\left[2\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right]_0^{\tfrac{\pi}{2}} \\ &= 2\sqrt{2}\left(\sin\dfrac{\pi}{4} - \sin 0\right) \\ &= 2\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 2 \end{aligned} \]

Vi regner ut grensen i forholdstesten og ser hva den gir. Så ser vi bort fra de første leddene og sammenligner resten med en p-rekke.

1. Skriv opp forholdstesten Forholdstesten forteller oss at vi ser på grensen: \[ \rho = \lim_{n \to \infty} \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| \]Rekken konvergerer absolutt når \( {\rho < 1}\text{,} \) divergerer når \( {\rho > 1}\text{,} \) og testen sier ingenting når \( {\rho = 1}\text{.} \) Dette ser du i videoen Forholdstest, med eksempel!!.

Her er: \[ a_n = \dfrac{\ln\left(\tfrac{n}{100}\right)}{n^{2023}} \]

2. Regn ut grensen For \( {n > 100} \) er leddene positive, så absoluttverdien faller bort. Å dele på \( a_n \) er det samme som å gange med den omvendte brøken: \[ \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{\ln\left(\tfrac{n+1}{100}\right)}{(n+1)^{2023}} \cdot \dfrac{n^{2023}}{\ln\left(\tfrac{n}{100}\right)} \]

Vi samler det som hører sammen: \[ \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \textcolor{red}{\dfrac{\ln\left(\tfrac{n+1}{100}\right)}{\ln\left(\tfrac{n}{100}\right)}} \cdot \textcolor{blue}{\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{2023}} \]

Den blå faktoren går mot \( 1^{2023}\text{:} \) \[ \lim_{n \to \infty} \textcolor{blue}{\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{2023}} = \textcolor{blue}{1} \]

Den røde gir \( \dfrac{\infty}{\infty}\text{,} \) så vi bruker L'Hôpitals regel. Den forteller oss at: \[ \lim_{n \to \infty} \dfrac{f(n)}{g(n)} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{f'(n)}{g'(n)} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen L'Hopitals regel.

Vi deriverer med \( n \) som en variabel: \[ \left(\ln\tfrac{n}{100}\right)' = (\ln n - \ln 100)' = \dfrac{1}{n} \]

Telleren får på samme måte \( {\dfrac{1}{n+1}}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} &\lim_{n \to \infty} \textcolor{red}{\dfrac{\ln\left(\tfrac{n+1}{100}\right)}{\ln\left(\tfrac{n}{100}\right)}} \\ &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{\tfrac{1}{n+1}}{\tfrac{1}{n}} \\ &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{n+1} = \textcolor{red}{1} \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \rho = \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{1} = 1 \]

Forholdstesten kan derfor ikke avgjøre om rekken konvergerer absolutt.

3. Forklar de negative leddene Vi deler rekken i to: \[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \textcolor{darkorange}{\sum_{n=1}^{100} a_n} + \sum_{n=101}^{\infty} a_n \]

Den første summen er endelig mange tall lagt sammen, altså et vanlig tall: \[ \textcolor{darkorange}{\sum_{n=1}^{100} a_n} = \text{et endelig tall} \]

Om rekken konvergerer, avgjøres derfor bare av halen, og der er alle leddene positive.

4. Sammenlign med en p-rekke Grensesammenligningstesten forteller oss at hvis \( {a_n, \textcolor{green}{b_n} > 0}\text{,} \) gjelder: \[ \begin{aligned} &\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{\textcolor{green}{b_n}} = 0 \text{ og } \sum \textcolor{green}{b_n} \text{ konvergerer} \\ &\Rightarrow \ \sum a_n \text{ konvergerer} \end{aligned} \]

P-rekkeregelen, som i videoen Integraltest & P-rekker, forteller oss at: \[ \sum \dfrac{1}{n^p} \text{ konvergerer når } p > 1 \]

Vi velger \( {\textcolor{green}{b_n} = \textcolor{green}{\dfrac{1}{n^2}}}\text{.} \) Her er \( {p = 2 > 1}\text{,} \) så den konvergerer.

Plugger vi dette inn og bruker grensen fra oppgaven med \( {q = 2021}\text{,} \) får vi: \[ \lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{\textcolor{green}{1/n^2}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\ln\left(\tfrac{n}{100}\right)}{n^{2021}} = 0 \]

Halen konvergerer altså, og et endelig tall pluss en konvergent hale er konvergent: \[ \begin{aligned} &\sum_{n=101}^{\infty} a_n \text{ konvergerer} \\ &\Rightarrow \ \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ konvergerer} \end{aligned} \]

Integralet er en funksjon av \( b\text{.} \) Vi regner det ut, deriverer med hensyn på \( b\text{,} \) og finner toppunktet med et fortegnsskjema.

1. Regn ut integralet Potensregelen for integrasjon forteller oss at: \[ \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \]Den står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Vi integrerer ledd for ledd og kaller integralet \( F(b)\text{:} \) \[ \begin{aligned} F(b) &= \left[\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^b \\ &= \dfrac{b^2}{2} - \dfrac{b^3}{3} \end{aligned} \]

2. Finn nullpunktene til den deriverte Vi deriverer og faktoriserer ut \( \textcolor{darkorange}{b}\text{:} \) \[ F'(b) = b - b^2 = \textcolor{darkorange}{b}(\textcolor{magenta}{1 - b}) \]

Setter vi \( {F'(b) = 0}\text{,} \) får vi: \[ \textcolor{darkorange}{b} = 0 \quad \text{eller} \quad \textcolor{magenta}{1 - b} = 0 \]Siden \( {b > 0}\text{,} \) står vi igjen med \( {b = 1}\text{.} \)

3. Sett opp fortegnsskjema Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema. I skjemaet skriver vi \( x \) for \( b\text{:} \) :::fortegnsskjema {"points": [1], "start": 0, "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x}", "expr": "x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{1 - x}", "expr": "1 - x"}, {"label": "F'(x)", "expr": "x(1 - x)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

I \( {b = 1} \) går \( F'(b) \) fra pluss til minus. \( F \) stiger fram til \( {b = 1} \) og synker etter det, så integralet er størst for \( {b = 1}\text{.} \) Verdien er: \[ F(1) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} \]

Dette er en lineær førsteordens differensiallikning, så vi bruker en integrerende faktor. Til slutt finner vi konstanten fra \( {y(0) = 5}\text{.} \)

1. Finn den integrerende faktoren Likningen har formen \( {y' + \textcolor{magenta}{P(x)}y = Q(x)}\text{.} \) Den integrerende faktoren er: \[ \textcolor{darkorange}{I(x)} = e^{\int \textcolor{magenta}{P(x)}\,dx} \]Hvis du er usikker på metoden, kan du se videoen Integrerende faktor.

Her er \( {\textcolor{magenta}{P(x)} = \textcolor{magenta}{-2x}}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \int \textcolor{magenta}{(-2x)}\,dx &= -x^2 \\ \textcolor{darkorange}{I(x)} &= \textcolor{darkorange}{e^{-x^2}} \end{aligned} \]

2. Gang inn faktoren Vi ganger begge sider med \( {\textcolor{darkorange}{e^{-x^2}}}\text{.} \) Høyre side forenkles, siden \( {e^{-x^2} \cdot e^{x^2} = 1}\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{e^{-x^2}}y' - 2x\textcolor{darkorange}{e^{-x^2}}y = \dfrac{1}{(x + 1)^2} \]

Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'}\textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v'} \]Den finner du i videoen Produktregelen.

Her er \( \textcolor{red}{u} \) den integrerende faktoren. Den deriverer vi med kjerneregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \left(e^{\textcolor{green}{k}}\right)' = \textcolor{green}{k'}e^{\textcolor{green}{k}} \]

Med kjernen \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{-x^2}} \) og \( {\textcolor{green}{k'} = \textcolor{green}{-2x}} \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^{-x^2}} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{-2xe^{-x^2}} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{y} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{y'} \end{aligned} \]

Venstre side er altså den deriverte av et produkt: \[ \left(\textcolor{red}{e^{-x^2}}\textcolor{blue}{y}\right)' = \dfrac{1}{(x + 1)^2} \]

3. Integrer begge sider Vi skriver \( {\dfrac{1}{(x + 1)^2} = (x + 1)^{-2}} \) og bruker potensregelen fra videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \]

Kjernen \( {x + 1} \) har derivert \( 1\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \int (x + 1)^{-2}\,dx &= \dfrac{(x + 1)^{-1}}{-1} + C \\ &= -\dfrac{1}{x + 1} + C \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ e^{-x^2}y = C - \dfrac{1}{x + 1} \]

Ganger vi begge sider med \( e^{x^2}\text{,} \) får vi: \[ y = e^{x^2}\left(C - \dfrac{1}{x + 1}\right) \]

4. Bruk initialbetingelsen Vi setter inn \( {x = 0} \) og \( {y = 5}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 5 &= e^0\left(C - \dfrac{1}{0 + 1}\right) \\ 5 &= C - 1 \\ C &= 6 \end{aligned} \]

Hvert ledd avhenger av det forrige, så vi viser at følgen er avtagende med induksjon. Da konvergerer den, og grensen finner vi ved å la \( n \) gå mot uendelig i formelen.

1. Vis at følgen er avtagende Vi viser med induksjon at dette gjelder for alle \( n\text{:} \) \[ a_{n+1} < a_n \le 1 \]

Vi starter med \( {n = 1}\text{:} \) \[ a_2 = \dfrac{1}{3 - 1} = \dfrac{1}{2} < 1 = a_1 \]

Så antar vi at det gjelder for en \( k\text{:} \) \[ \textcolor{red}{a_{k+1}} < \textcolor{blue}{a_k} \le 1 \]

Da blir \( {\textcolor{red}{a_{k+1}} \le 1}\text{,} \) slik at del to av påstanden holder for \( {k + 1}\text{.} \) Trekker vi leddene fra \( 3\text{,} \) snur ulikheten, og begge nevnerne er positive: \[ 3 - \textcolor{red}{a_{k+1}} > 3 - \textcolor{blue}{a_k} \ge 2 \]

Når vi tar den omvendte brøken av to positive tall, snur ulikheten igjen: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{3 - \textcolor{red}{a_{k+1}}} &< \dfrac{1}{3 - \textcolor{blue}{a_k}} \\ a_{k+2} &< \textcolor{red}{a_{k+1}} \end{aligned} \]

Påstanden gjelder altså for \( {k + 1} \) også, og dermed for alle \( n\text{.} \)

2. Forklar at følgen konvergerer Følgen er avtagende og kan ikke gå under \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} &a_{n+1} < a_n \ \text{ og } \ a_n \ge 0 \\ &\Rightarrow \ \lim_{n \to \infty} a_n = L \text{ finnes} \end{aligned} \]

En avtagende følge som er nedad begrenset, må konvergere. Den kan ikke fortsette nedover forbi \( 0\text{,} \) så den flater ut mot et tall \( L\text{.} \) Hva det betyr at en følge konvergerer, ser du i videoen Konvergens og divergens følger.

3. Sett opp en likning for grensen Når \( n \) går mot uendelig, går både \( a_n \) og \( {a_{n+1}} \) mot \( L\text{:} \) \[ L = \dfrac{1}{3 - L} \]

Ganger vi med \( {3 - L} \) og samler alt på én side, får vi: \[ \begin{aligned} L(3 - L) &= 1 \\ 3L - L^2 &= 1 \\ L^2 - 3L + 1 &= 0 \end{aligned} \]

4. Løs andregradslikningen abc-formelen, her med bokstavene \( p, q, r\text{,} \) forteller oss at: \[ L = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Du ser den i bruk i videoen Grenseverdier.

Her er: \[ \textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{-3}, \quad \textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ L = \dfrac{\textcolor{red}{3} \pm \sqrt{\textcolor{red}{9} - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{1}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} = \dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \]

Alle leddene er høyst \( 1\text{,} \) så den ene løsningen er for stor: \[ L \le 1 < \dfrac{3}{2} < \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} \]

Da står vi igjen med: \[ L = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} \]

Grafen er \( \sqrt{x} \) speilet om \( {y\text{-aksen.}} \) Vi setter uttrykket inn i Newtons formel på hver side av \( 0 \) og ser hvor neste punkt havner.

1. Skisser grafen For \( {x \ge 0} \) er grafen vanlig \( \sqrt{x}\text{.} \) Siden \( {|-x| = |x|}\text{,} \) er \( {f(-x) = f(x)}\text{,} \) så venstre side er den samme grafen speilet om \( {y\text{-aksen.}} \) Noen punkter: \[ \begin{aligned} f(0) &= 0 \\ f(\pm 1) &= 1 \\ f(\pm 4) &= 2 \end{aligned} \]

2. Skriv opp Newtons metode Newtons metode forteller oss at: \[ x_{n+1} = \textcolor{blue}{x_n} - \dfrac{\textcolor{red}{f(x_n)}}{\textcolor{green}{f'(x_n)}} \]Hvis du er usikker på metoden, kan du se videoen Newtons metode.

3. Regn ut steget for positive tall Vi skriver \( {\sqrt{x} = x^{\tfrac{1}{2}}} \) og deriverer, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \left(x^{\tfrac{1}{2}}\right)' = \dfrac{1}{2}x^{-\tfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \]

For \( {x > 0} \) er: \[ \textcolor{red}{f(x)} = \textcolor{red}{\sqrt{x}}, \quad \textcolor{green}{f'(x)} = \textcolor{green}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}} \]

Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{x} - \dfrac{\textcolor{red}{\sqrt{x}}}{\textcolor{green}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}} \\ &= \textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{\sqrt{x}} \cdot \textcolor{green}{2\sqrt{x}} \\ &= \textcolor{blue}{x} - 2x = -x \end{aligned} \]

4. Regn ut steget for negative tall For \( {x < 0} \) bruker vi kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen: \[ \left(\sqrt{\textcolor{magenta}{k}}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{\textcolor{magenta}{k}}} \cdot \textcolor{magenta}{k'} \]

Med kjernen \( {\textcolor{magenta}{k} = \textcolor{magenta}{-x}} \) og \( {\textcolor{magenta}{k'} = \textcolor{magenta}{-1}} \) er: \[ \textcolor{red}{f(x)} = \textcolor{red}{\sqrt{-x}}, \quad \textcolor{green}{f'(x)} = \textcolor{green}{-\dfrac{1}{2\sqrt{-x}}} \]

Plugger vi dette inn, får vi samme resultat: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{x} - \dfrac{\textcolor{red}{\sqrt{-x}}}{\textcolor{green}{-\dfrac{1}{2\sqrt{-x}}}} \\ &= \textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{\sqrt{-x}} \cdot \textcolor{green}{2\sqrt{-x}} \\ &= \textcolor{blue}{x} + 2(-x) = -x \end{aligned} \]

5. Konkluder Hvert steg bytter altså bare fortegn: \[ \begin{aligned} x_{n+1} &= -x_n \\ x_0, x_1, x_2, \ldots &= x_0,\ -x_0,\ x_0,\ \ldots \end{aligned} \]

Tangenten i \( x_0 \) skjærer \( {x\text{-aksen}} \) i \( {-x_0}\text{,} \) og tangenten der skjærer den i \( x_0 \) igjen:

Avstanden til nullpunktet er hele tiden \( |x_0|\text{,} \) så følgen nærmer seg aldri \( 0\text{.} \) Starter vi i \( {x_0 = 0}\text{,} \) går det heller ikke, siden \( f'(0) \) ikke finnes: grafen står loddrett der.

Vi samler alt i én funksjon. Skjærsetningen gir at den har et nullpunkt, og den deriverte viser at det bare er ett. Så bytter vi \( {e^{-x^2}} \) med polynomet og løser likningen.

1. Vis at det finnes en løsning Vi kaller differansen \( h(x)\text{:} \) \[ h(x) = e^{-x^2} - x^2 \]

Skjærsetningen forteller oss at hvis \( h \) er kontinuerlig på \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}]\text{,} \) gjelder: \[ \begin{aligned} &h(\textcolor{blue}{a}) \cdot h(\textcolor{red}{b}) < 0 \\ &\Rightarrow \ h(c) = 0 \text{ for en } c \in (\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}) \end{aligned} \]Hvis du er usikker på skjærsetningen, kan du se videoen Skjærsetningen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{0}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}}\text{.} \) \( h \) er kontinuerlig, siden \( {e^{-x^2}} \) og \( x^2 \) er det. Vi setter inn endepunktene: \[ \begin{aligned} h(\textcolor{blue}{0}) &= e^0 - 0 = 1 > 0 \\ h(\textcolor{red}{1}) &= \dfrac{1}{e} - 1 < 0 \end{aligned} \]

Fortegnet skifter, så det finnes en løsning: \[ \begin{aligned} &h(\textcolor{blue}{0}) \cdot h(\textcolor{red}{1}) < 0 \\ &\Rightarrow \ h(r) = 0 \text{ for en } r \in (0, 1) \end{aligned} \]

2. Vis at det bare er én Vi deriverer med kjerneregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = \textcolor{green}{u'}e^{\textcolor{green}{u}} \]

Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{-x^2}} \) og \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{-2x}}\text{,} \) og med \( {-2x} \) satt utenfor, får vi: \[ \begin{aligned} h'(x) &= -2xe^{-x^2} - 2x \\ &= -2x\left(e^{-x^2} + 1\right) \end{aligned} \]

Parentesen er positiv, så for \( x \in (0, 1] \) er: \[ h'(x) < 0 \]

\( h \) er altså strengt synkende på \( [0, 1] \) og kan bare krysse \( 0 \) én gang: \[ h(x) = 0 \text{ for nøyaktig én } x = r \]

3. Finn taylorpolynomet Maclaurinrekken til \( e^{\textcolor{green}{u}} \) er, siden alle de deriverte er \( 1 \) i \( {\textcolor{green}{u} = 0}\text{:} \) \[ e^{\textcolor{green}{u}} = 1 + \textcolor{green}{u} + \dfrac{\textcolor{green}{u}^2}{2!} + \dfrac{\textcolor{green}{u}^3}{3!} + \ldots \]Formelen står i videoen Taylor & Mclauren polynomer DEL 2, og innsettingen vises i Oppgave 2c - Integral ved hjelp av potensrekke.

Vi setter inn \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{-x^2}} \) og tar med leddene opp til grad 4: \[ P_4(x) = 1 - x^2 + \dfrac{x^4}{2} \]

4. Løs likningen med polynomet Vi bytter \( {e^{-x^2}} \) med \( P_4 \) og kaller løsningen \( t\text{:} \) \[ 1 - t^2 + \dfrac{t^4}{2} = t^2 \]

Ganger vi med \( 2 \) og samler alt på én side, får vi: \[ t^4 - 4t^2 + 2 = 0 \]

Dette er en andregradslikning i \( {s = t^2}\text{:} \) \[ s^2 - 4s + 2 = 0 \]

abc-formelen, her med bokstavene \( p, q, r\text{,} \) forteller oss at: \[ s = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Du ser den i bruk i videoen Grenseverdier.

Her er: \[ \textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{-4}, \quad \textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ s = \dfrac{\textcolor{red}{4} \pm \sqrt{\textcolor{red}{16} - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{2}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} = 2 \pm \sqrt{2} \]

Vi leter etter \( t \in [0, 1]\text{,} \) så \( {s = t^2 \le 1}\text{.} \) Da faller \( {2 + \sqrt{2}} \) bort, og vi tar den positive roten av den andre: \[ t = \sqrt{2 - \sqrt{2}} \approx 0{,}765 \]