TMA4100 ordinær eksamen 2025 – løsningsforslag

Grafene skjærer hverandre der \( {f(x) = g(x)}\text{.} \) Vi samler alt i én funksjon og bruker skjærsetningen. Vi skal altså ikke løse likningen, bare vise at det finnes en løsning.

1. Sett opp en ny funksjon Der grafene skjærer hverandre, er differansen \( 0\text{.} \) Vi kaller differansen \( h(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} h(x) &= f(x) - g(x) \\ &= \ln(x) - x^2 + 2 \end{aligned} \]

2. Bruk skjærsetningen Skjærsetningen forteller oss at hvis \( h \) er kontinuerlig på \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}]\text{,} \) gjelder: \[ \begin{aligned} &h(\textcolor{blue}{a}) \cdot h(\textcolor{red}{b}) < 0 \\ &\Rightarrow \ h(c) = 0 \text{ for en } c \in (\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}) \end{aligned} \]Hvis du er usikker på skjærsetningen, kan du se videoen Skjærsetningen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}}\text{.} \) Først sjekker vi at \( h \) er kontinuerlig: \[ \begin{aligned} \ln(x) &: \text{ kontinuerlig for } x > 0 \\ x^2 - 2 &: \text{ kontinuerlig for alle } x \\ h(x) &: \text{ kontinuerlig på } [1, 2] \end{aligned} \]

Så setter vi inn endepunktene: \[ \begin{aligned} h(\textcolor{blue}{1}) &= \ln 1 - 1 + 2 = 1 > 0 \\ h(\textcolor{red}{2}) &= \ln 2 - 4 + 2 = \ln 2 - 2 \end{aligned} \]

Den siste er negativ, siden \( {2 < e}\text{:} \) \[ \ln 2 < \ln e = 1 \quad \Rightarrow \quad \ln 2 - 2 < 0 \]

Fortegnet skifter, så skjærsetningen gir en \( c \in (1, 2) \) der: \[ \begin{aligned} h(\textcolor{blue}{1}) \cdot h(\textcolor{red}{2}) &< 0 \\ h(c) = 0 \quad \Rightarrow \quad f(c) &= g(c) \end{aligned} \]

Feilen i trapesmetoden har en øvre grense som bruker den andrederiverte. Uttrykket i oppgaven er nettopp \( |f''(x)|\text{,} \) så vi setter inn og løser for \( n\text{.} \)

1. Skriv opp feilformelen Selve metoden ser du i videoen Trapesmetoden. Feilformelen forteller oss at hvis \( {|f''(x)| \le \textcolor{red}{K}} \) på \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{blue}{b}]\text{,} \) så er: \[ |I - T_n| \le \dfrac{\textcolor{red}{K}(\textcolor{blue}{b} - \textcolor{blue}{a})^3}{12n^2} \]

Her er \( {f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}}\text{,} \) og deriverer vi to ganger, får vi: \[ f''(x) = \dfrac{6x^2 - 2}{(1 + x^2)^3} \]Det er uttrykket i oppgaven, så: \[ \textcolor{red}{K} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{0}, \quad \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ |I - T_n| \le \dfrac{\textcolor{red}{2} \cdot (\textcolor{blue}{2} - \textcolor{blue}{0})^3}{12n^2} = \dfrac{4}{3n^2} \]

2. Løs for n Feilen er garantert mindre enn \( {10^{-6}} \) når grensen er det: \[ \begin{aligned} \dfrac{4}{3n^2} &< 10^{-6} \\ n^2 &> \dfrac{4}{3} \cdot 10^6 \\ n &> \dfrac{2}{\sqrt{3}} \cdot 10^3 \approx 1154{,}7 \end{aligned} \]

\( n \) er et helt tall, så det minste som holder, er: \[ n = 1155 \]

Vi skriver opp formelen for arealet av en rotasjonsflate og setter inn \( f(x)\text{.} \) Integralet løser vi med substitusjon.

1. Sett opp integralet Formelen for arealet av en rotasjonsflate om \( {x\text{-aksen}} \) forteller oss at: \[ S = \int_a^b 2\pi\, \textcolor{red}{f(x)} \sqrt{1 + (\textcolor{blue}{f'(x)})^2}\,dx \]Hver bitte liten bit av grafen lager en ring med radius \( \textcolor{red}{f(x)}\text{.} \) Rotuttrykket er den samme lille lengden som i videoen Buelengde formel.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f(x)} &= \textcolor{red}{x^3} \\ \textcolor{blue}{f'(x)} &= \textcolor{blue}{3x^2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S &= \int_0^{2/3} 2\pi\, \textcolor{red}{x^3} \sqrt{1 + (\textcolor{blue}{3x^2})^2}\,dx \\ &= 2\pi \int_0^{2/3} x^3 \sqrt{1 + 9x^4}\,dx \end{aligned} \]

2. Bruk substitusjon Vi setter uttrykket under roten lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{1 + 9x^4} \\ du &= 36x^3\,dx \\ x^3\,dx &= \dfrac{1}{36}\,du \end{aligned} \]

Grensene blir også nye: \[ \begin{aligned} x = 0 &\Rightarrow u = 1 \\ x = \dfrac{2}{3} &\Rightarrow u = 1 + 9 \cdot \dfrac{16}{81} = \dfrac{25}{9} \end{aligned} \]

3. Regn ut integralet Det gir oss: \[ \begin{aligned} S &= \dfrac{2\pi}{36} \int_1^{25/9} \sqrt{\textcolor{green}{u}}\,du \\ &= \dfrac{\pi}{18} \left[ \dfrac{2}{3} u^{3/2} \right]_1^{25/9} \\ &= \dfrac{\pi}{27} \left( \left(\dfrac{25}{9}\right)^{3/2} - 1 \right) \\ &= \dfrac{\pi}{27} \left( \dfrac{125}{27} - 1 \right) \\ &= \dfrac{\pi}{27} \cdot \dfrac{98}{27} = \dfrac{98\pi}{729} \end{aligned} \]

Vi setter punktet inn i likningen for å vise at det ligger på kurven. Stigningstallet finner vi med implisitt derivasjon, siden vi ikke får \( y \) alene.

1. Vis at punktet ligger på kurven Med \( {x = e} \) og \( {y = e^{-1}} \) er: \[ \begin{aligned} xy &= e \cdot e^{-1} = 1 \\ \dfrac{x}{y} &= \dfrac{e}{e^{-1}} = e^2 \end{aligned} \]

Vi setter inn på hver side: \[ \begin{aligned} \text{venstre} &= e^1 \ln(e^2) = 2e \\ \text{høyre} &= e + \dfrac{1}{e^{-1}} = e + e = 2e \end{aligned} \]Sidene er like, så punktet ligger på kurven.

2. Skriv om logaritmen Logaritmeregelen for en brøk gjør derivasjonen enklere, som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ \ln\left(\dfrac{x}{y}\right) = \ln x - \ln y \]

Kurven er altså: \[ e^{xy}(\ln x - \ln y) = x + \dfrac{1}{y} \]

3. Deriver begge sider Vi deriverer med hensyn på \( x\text{.} \) Siden \( y \) er en funksjon av \( x\text{,} \) får hvert ledd med \( y \) en ekstra faktor \( y'\text{,} \) som i videoen Finn stigningstallet ved hjelp av Implisitt Derivasjon.

Venstre side er et produkt. Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'}\textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v'} \]Se videoen Produktregelen hvis du er usikker.

Faktoren \( {\textcolor{red}{u} = \textcolor{red}{e^{xy}}} \) har kjernen \( {\textcolor{green}{g} = \textcolor{green}{xy}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ (e^{\textcolor{green}{g}})' = e^{\textcolor{green}{g}} \cdot \textcolor{green}{g'} \]Det er regelen i videoen Kjerneregelen.

Kjernen er selv et produkt, så produktregelen gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{g} &= \textcolor{green}{xy} \\ \textcolor{green}{g'} &= \textcolor{green}{1 \cdot y + x \cdot y'} = \textcolor{green}{y + xy'} \end{aligned} \]

Faktorene i venstre side er da: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^{xy}} \\ \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^{xy}}(\textcolor{green}{y + xy'}) \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\ln x - \ln y} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x} - \dfrac{y'}{y}} \end{aligned} \]

Høyre side deriverer vi ledd for ledd: \[ \left(x + \dfrac{1}{y}\right)' = 1 - \dfrac{y'}{y^2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{e^{xy}(y + xy')}\textcolor{blue}{(\ln x - \ln y)} \\ &+ \textcolor{red}{e^{xy}}\textcolor{blue}{\left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{y'}{y}\right)} \\ &= 1 - \dfrac{y'}{y^2} \end{aligned} \]

4. Sett inn punktet I punktet er \( {xy = 1}\text{,} \) \( {x = e} \) og \( {y = e^{-1}}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} e^{xy} &= e \\ \ln x - \ln y &= 1 - (-1) = 2 \\ \dfrac{y'}{y} &= e\,y' \\ \dfrac{y'}{y^2} &= e^2 y' \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &e(e^{-1} + e\,y') \cdot 2 + e(e^{-1} - e\,y') \\ &= 1 - e^2 y' \end{aligned} \]

Vi ganger ut og samler \( y' \) på én side: \[ \begin{aligned} 2 + 2e^2 y' + 1 - e^2 y' &= 1 - e^2 y' \\ 3 + e^2 y' &= 1 - e^2 y' \\ 2e^2 y' &= -2 \\ y' &= -\dfrac{1}{e^2} \end{aligned} \]

Vi begynner med å sette inn \( {x = 0}\text{.} \) Det gir \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) så vi bruker L'Hôpitals regel, og velger \( a \) slik at vi ikke ender med et tall delt på \( 0\text{.} \)

1. Sett inn x lik null Vi må ha \( {a \neq 0}\text{,} \) ellers er nevneren alltid \( 0\text{.} \) Vi setter inn \( {x = 0} \) i telleren og nevneren hver for seg: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{teller}} &\to \textcolor{red}{1 - 1 - 0 = 0} \\ \textcolor{blue}{\text{nevner}} &\to \textcolor{blue}{(1 - 1) \cdot 0 = 0} \end{aligned} \]

2. Deriver teller og nevner L'Hôpitals regel forteller oss at ved \( \dfrac{0}{0} \) er: \[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\textcolor{red}{f(x)}}{\textcolor{blue}{g(x)}} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\textcolor{red}{f'(x)}}{\textcolor{blue}{g'(x)}} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen L'Hopitals regel.

Kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen, gir disse to: \[ \begin{aligned} (e^{x/2})' &= \dfrac{1}{2}e^{x/2} \\ (\sin(ax))' &= a\cos(ax) \end{aligned} \]

Telleren blir: \[ \textcolor{red}{f'(x)} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^{x/2} - a\cos(ax)} \]

Nevneren er et produkt. Rødt og blått er teller og nevner her, så vi bruker oransje og magenta i produktregelen, som i videoen Produktregelen. Den forteller oss at: \[ (\textcolor{darkorange}{u}\textcolor{magenta}{v})' = \textcolor{darkorange}{u'}\textcolor{magenta}{v} + \textcolor{darkorange}{u}\textcolor{magenta}{v'} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{u} &= \textcolor{darkorange}{e^{x/2} - 1} & \textcolor{darkorange}{u'} &= \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}e^{x/2}} \\ \textcolor{magenta}{v} &= \textcolor{magenta}{\sin(ax)} & \textcolor{magenta}{v'} &= \textcolor{magenta}{a\cos(ax)} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{g'(x)} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{x/2}\sin(ax)} \\ &\quad \textcolor{blue}{+ (e^{x/2} - 1)a\cos(ax)} \end{aligned} \]

3. Velg a Vi setter inn \( {x = 0} \) igjen: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f'(0)} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2} - a} \\ \textcolor{blue}{g'(0)} &= \textcolor{blue}{0} \end{aligned} \]

Er telleren ulik \( 0\text{,} \) får vi et tall delt på \( 0\text{,} \) og da eksisterer ikke grenseverdien. Vi må derfor ha: \[ \dfrac{1}{2} - a = 0 \quad \Rightarrow \quad a = \dfrac{1}{2} \]

4. Bruk regelen en gang til Med \( {a = \dfrac{1}{2}} \) har vi fortsatt \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) så vi deriverer en gang til: \[ \textcolor{red}{f''(x)} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}e^{x/2} + \dfrac{1}{4}\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)} \]

Nevneren deriverer vi ledd for ledd med produktregelen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{g''(x)} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{4}e^{x/2}\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)} \\ &\quad \textcolor{blue}{+ \dfrac{1}{4}e^{x/2}\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)} \\ &\quad \textcolor{blue}{+ \dfrac{1}{4}e^{x/2}\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)} \\ &\quad \textcolor{blue}{- \dfrac{1}{4}(e^{x/2} - 1)\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)} \end{aligned} \]

Setter vi inn \( {x = 0}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f''(0)} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}} \\ \textcolor{blue}{g''(0)} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

Grenseverdien er derfor: \[ \dfrac{\textcolor{red}{f''(0)}}{\textcolor{blue}{g''(0)}} = \dfrac{\textcolor{red}{1/4}}{\textcolor{blue}{1/2}} = \dfrac{1}{2} \]

Vi bruker forholdstesten for å finne hvor rekken konvergerer, og sjekker så endepunktene hver for seg, siden testen ikke sier noe om dem.

1. Bruk forholdstesten Forholdstesten forteller oss at rekken konvergerer når \( {k < 1} \) og divergerer når \( {k > 1}\text{,} \) der: \[ k = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{\textcolor{red}{a_{n+1}}}{\textcolor{blue}{a_n}} \right| \]Når \( {k = 1}\text{,} \) gir testen ikke noe svar. Slik bruker vi den på en nesten lik rekke i videoen Finn Konvergeringsradiusen / Konvergensradiusen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_n} &= \textcolor{blue}{n^3(2x - 3)^n} \\ \textcolor{red}{a_{n+1}} &= \textcolor{red}{(n + 1)^3(2x - 3)^{n+1}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} k &= \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{\textcolor{red}{(n + 1)^3(2x - 3)^{n+1}}}{\textcolor{blue}{n^3(2x - 3)^n}} \right| \\ &= \lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^3 |2x - 3| \\ &= |2x - 3| \end{aligned} \]Her går \( \dfrac{1}{n} \) mot \( 0 \) når \( n \) vokser.

2. Løs ulikheten Rekken konvergerer når \( {k < 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} |2x - 3| &< 1 \\ -1 < 2x - 3 &< 1 \\ 2 < 2x &< 4 \\ 1 < x &< 2 \end{aligned} \]

3. Sjekk endepunktene I endepunktene er \( {k = 1}\text{,} \) så der må vi sjekke hver for seg, som i videoen Oppgave 2b - Konvergeringsområdet - Prøveeksamen 2020 (BYPE 2000). Vi setter inn: \[ \begin{aligned} x = 1: \quad & \sum_{n=1}^{\infty} n^3(-1)^n \\ x = 2: \quad & \sum_{n=1}^{\infty} n^3 \end{aligned} \]

I begge rekkene er leddene like store som \( n^3\text{:} \) \[ |a_n| = n^3 \to \infty \]Når leddene ikke går mot \( 0\text{,} \) divergerer rekken, som i videoen Konvergens & divergens intro. Ingen av endepunktene er altså med.

En funksjon som bare synker, tar aldri samme verdi to ganger, og da har den en invers. Vi viser det med den deriverte, og løser så for \( x\text{.} \)

1. Forklar hvorfor inversen finnes Vi deriverer med kjerneregelen. For \( e \) opphøyd i en kjerne forteller den oss at: \[ (e^{\textcolor{green}{u}})' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Det er regelen i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^{-2}} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{-2x^{-3}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ f'(x) = e^{\textcolor{green}{x^{-2}}} \cdot (\textcolor{green}{-2x^{-3}}) = -\dfrac{2e^{x^{-2}}}{x^3} \]

For \( {x > 0} \) er både \( {e^{x^{-2}}} \) og \( x^3 \) positive, så: \[ f'(x) < 0 \quad \text{for } x > 0 \]\( f \) er altså strengt synkende. Da gir to ulike \( x \) alltid to ulike funksjonsverdier, og derfor har \( f \) en invers.

2. Løs for x Vi skriver \( {y = f(x)} \) og løser for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} y &= e^{x^{-2}} - 1 \\ y + 1 &= e^{x^{-2}} \end{aligned} \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider og får: \[ \begin{aligned} \ln(y + 1) &= x^{-2} = \dfrac{1}{x^2} \\ x^2 &= \dfrac{1}{\ln(y + 1)} \end{aligned} \]

Siden \( {x > 0}\text{,} \) velger vi den positive roten: \[ x = \dfrac{1}{\sqrt{\ln(y + 1)}} \]

3. Sjekk hvor inversen gjelder For \( {x > 0} \) er \( {x^{-2} > 0}\text{,} \) og da er: \[ e^{x^{-2}} > 1 \quad \Rightarrow \quad f(x) > 0 \]Verdiene til \( f \) er altså positive. Og alle positive tall blir nådd: for \( {y > 0} \) er \( {\ln(y + 1) > 0}\text{,} \) så \( x \) over er et positivt tall, og setter vi det inn, får vi: \[ f(x) = e^{\ln(y + 1)} - 1 = y \]Inversen er derfor definert for alle \( {x > 0}\text{.} \)

Bytter vi navn på variablene, får vi: \[ f^{-1}(x) = \dfrac{1}{\sqrt{\ln(x + 1)}} \]

Vi kjenner rekken til \( e^u\text{.} \) Vi setter inn \( {u = -t^2} \) og integrerer rekken ledd for ledd.

1. Skriv opp rekken til eksponentialfunksjonen Rekken til \( e^u \) om \( 0 \) forteller oss at, for alle \( u\text{:} \) \[ e^{\textcolor{green}{u}} = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{\textcolor{green}{u}^n}{n!} \]Det er samme start som i videoen Oppgave 2c - Integral ved hjelp av potensrekke.

Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{-t^2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ e^{-t^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(\textcolor{green}{-t^2})^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n t^{2n}}{n!} \]

2. Integrer ledd for ledd En potensrekke kan integreres ledd for ledd, som i videoen Oppgave 2c - Integral ved hjelp av potensrekke. For hvert ledd er: \[ \int_0^x t^{2n}\,dt = \dfrac{x^{2n+1}}{2n + 1} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} f(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{n!} \int_0^x t^{2n}\,dt \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{n!\,(2n + 1)} \end{aligned} \]

Skriver vi ut de første leddene, får vi: \[ f(x) = x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{10} - \dfrac{x^7}{42} + \cdots \]

Leddene \( c_n \) er mindre enn leddene \( 4^n c_n \) i rekken vi vet konvergerer. Vi bruker derfor sammenligningstesten.

1. Sammenlign de to rekkene Sammenligningstesten forteller oss at: \[ \begin{aligned} &0 \le \textcolor{blue}{a_n} \le \textcolor{red}{b_n} \text{ for alle } n \\ &\text{og } \sum \textcolor{red}{b_n} \text{ konvergerer} \\ &\Rightarrow \ \sum \textcolor{blue}{a_n} \text{ konvergerer} \end{aligned} \]Du ser en slik sammenligning i videoen Sammenligning & P-rekker Oppgave.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_n} &= \textcolor{blue}{c_n} \\ \textcolor{red}{b_n} &= \textcolor{red}{4^n c_n} \end{aligned} \]

Siden \( {c_n > 0} \) og \( {4^n \ge 1} \) for alle \( {n \ge 1}\text{,} \) har vi: \[ 0 < \textcolor{blue}{c_n} \le \textcolor{red}{4^n c_n} \]

Rekken \( \sum \textcolor{red}{4^n c_n} \) konvergerer etter oppgaven, så sammenligningstesten gir oss: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \textcolor{blue}{c_n} \quad \text{konvergerer} \]

Vi går fra \( {x = -1} \) til \( {x = 0} \) med to Euler-steg. Skissen starter i \( {(-1, 0)} \) og følger linjestykkene begge veier.

1. Skriv opp Eulers metode Eulers metode forteller oss at: \[ \textcolor{red}{y_{n+1}} = \textcolor{blue}{y_n} + h \cdot \textcolor{green}{y'(x_n, y_n)} \]Hvis du er usikker på metoden, kan du se videoen Eulers metode.

Her er: \[ \begin{aligned} x_0 &= -1, \quad \textcolor{blue}{y_0} = \textcolor{blue}{0}, \quad h = 0{,}5 \\ \textcolor{green}{y'} &= \textcolor{green}{x^2 - 0{,}3y^2} \end{aligned} \]

2. Ta to steg Første steg går fra punktet \( {(-1, 0)} \) til \( {x_1 = -0{,}5}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{y'} &= \textcolor{green}{(-1)^2 - 0{,}3 \cdot 0^2 = 1} \\ \textcolor{red}{y_1} &= \textcolor{blue}{0} + 0{,}5 \cdot \textcolor{green}{1} = \textcolor{red}{0{,}5} \end{aligned} \]

Andre steg går fra punktet \( {(-0{,}5;\ 0{,}5)} \) til \( {x_2 = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{y'} &= \textcolor{green}{(-0{,}5)^2 - 0{,}3 \cdot 0{,}5^2} \\ &= \textcolor{green}{0{,}25 - 0{,}075 = 0{,}175} \\ \textcolor{red}{y_2} &= \textcolor{blue}{0{,}5} + 0{,}5 \cdot \textcolor{green}{0{,}175} = \textcolor{red}{0{,}5875} \end{aligned} \]

3. Skisser løsningen Vi starter i \( {(-1, 0)} \) og tegner en kurve som hele veien følger linjestykkene i feltet, både til høyre og til venstre:

Fra startpunktet stiger kurven mot \( {y\text{-aksen.}} \) Der flater den ut, siden \( y' \) er nær \( 0 \) rundt \( {x = 0}\text{,} \) og så stiger den bratt igjen. Avlest fra feltet passerer kurven \( {x = 0} \) nær \( {y = 0{,}3}\text{,} \) altså under \( y_2\text{.} \) To så lange Euler-steg bommer her, fordi stigningen endrer seg raskt mellom \( {x = -1} \) og \( {x = 0}\text{.} \)