TMA4400 konteeksamen 2026 – løsningsforslag

Vi ser at telleren kan skrives med nevneren som faktor. Da blir likningen \( {z^4 = i}\text{,} \) og den løser vi på polarform.

1. Vis at brøken er lik i Vi setter \( i \) utenfor i telleren, og bruker at \( {i^2 = -1}\text{.} \) Regner vi baklengs, får vi: \[ i(\textcolor{blue}{3i + 2}) = 3i^2 + 2i = 2i - 3 \]

Telleren er altså \( i \) ganget med nevneren. Dette gir oss: \[ \dfrac{2i - 3}{3i + 2} = \dfrac{i(\textcolor{blue}{3i + 2})}{\textcolor{blue}{3i + 2}} = i \]

2. Skriv likningen på polarform Vi deler begge sider av likningen på \( {3i + 2}\text{,} \) og får med resultatet over: \[ z^4 = \dfrac{2i - 3}{3i + 2} = i \]

Tallet \( i \) har lengde \( 1 \) og vinkel \( \dfrac{\pi}{2}\text{.} \) En hel runde gir samme punkt, så vi legger til \( 2\pi k\text{,} \) som i videoen Polar Form / Eulers Formel: \[ z^4 = e^{\left(\tfrac{\pi}{2} + 2\pi k\right)i} \]

3. Finn de fire røttene Vi opphøyer begge sider i \( \dfrac{1}{4}\text{:} \) \[ z = e^{\left(\tfrac{\pi}{8} + \tfrac{\pi k}{2}\right)i} \]

Siden vi har \( z^4\text{,} \) velger vi fire verdier for \( k\text{,} \) som i videoen Oppgave 1 komplekse tall: \[ \begin{aligned} k = 0: \quad z_0 &= e^{\tfrac{\pi}{8}i} \\ k = 1: \quad z_1 &= e^{\tfrac{5\pi}{8}i} \\ k = 2: \quad z_2 &= e^{\tfrac{9\pi}{8}i} \\ k = 3: \quad z_3 &= e^{\tfrac{13\pi}{8}i} \end{aligned} \]

4. Skisser løsningene Alle røttene har lengde \( 1\text{,} \) så de ligger på enhetssirkelen. Vinklene ligger \( \dfrac{\pi}{2} \) fra hverandre, så de danner hjørnene i et kvadrat.

Vi finner egenverdiene ved å sette \( {\det(M - \lambda I) = 0}\text{,} \) og egenvektorene ved å løse \( {(M - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}} \) for hver egenverdi.

1. Finn egenverdiene Vi tar determinanten og utvikler langs første rad, siden den har to nuller, som i videoen Eksempel 3x3 egenverdier egenvektorer: \[ M - \lambda I = \begin{bmatrix} 2 - \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 4 - \lambda & -16 \\ 0 & -3 & 6 - \lambda \end{bmatrix} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\det(M - \lambda I) \\ &= (2 - \lambda)\big((4 - \lambda)(6 - \lambda) - 48\big) \\ &= (2 - \lambda)(\lambda^2 - 10\lambda - 24) \\ &= (2 - \lambda)(\lambda - 12)(\lambda + 2) \end{aligned} \]

Setter vi dette lik \( 0\text{,} \) får vi egenverdiene: \[ \textcolor{blue}{\lambda_1 = 2}, \quad \textcolor{red}{\lambda_2 = 12}, \quad \textcolor{green}{\lambda_3 = -2} \]

2. Finn egenvektorene Vi setter inn hver egenverdi og Gauss-eliminerer, som i videoen Eksempel 3x3 egenverdier egenvektorer.

For \( {\textcolor{blue}{\lambda_1 = 2}} \) får vi: \[ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -16 \\ 0 & -3 & 4 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]Da er \( {v_2 = v_3 = 0}\text{,} \) mens \( v_1 \) er fri: \[ \textcolor{blue}{\mathbf{v}_1} = t\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad t \neq 0 \]

For \( {\textcolor{red}{\lambda_2 = 12}} \) får vi: \[ \begin{bmatrix} -10 & 0 & 0 \\ 0 & -8 & -16 \\ 0 & -3 & -6 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]Da er \( {v_1 = 0} \) og \( {v_2 = -2v_3}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{\mathbf{v}_2} = t\begin{bmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad t \neq 0 \]

For \( {\textcolor{green}{\lambda_3 = -2}} \) får vi: \[ \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & -16 \\ 0 & -3 & 8 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -8 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]Da er \( {v_1 = 0} \) og \( {3v_2 = 8v_3}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{\mathbf{v}_3} = t\begin{bmatrix} 0 \\ 8 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad t \neq 0 \]

3. Forklar diagonaliserbarheten En \( 3 \times 3 \)-matrise er diagonaliserbar når den har tre lineært uavhengige egenvektorer. Da kan vi skrive \( {M = PDP^{-1}}\text{,} \) som i videoen Intro diagonalisering.

Egenvektorer til ulike egenverdier er alltid lineært uavhengige. \( M \) har tre ulike egenverdier, så \( M \) er diagonaliserbar.

Vi kan ikke løse likningen for \( y\text{.} \) Vi deriverer den derfor implisitt, og setter inn punktet for å finne stigningstallet.

1. Sett inn punktet Vi setter \( {x = 0} \) og \( {y = 0} \) inn på hver side: \[ \begin{aligned} \text{Venstre side:} \quad 0 \cdot e^{\sin(0)} &= 0 \\ \text{Høyre side:} \quad 0 \cdot \cos(0) &= 0 \end{aligned} \]Sidene er like, så \( (0, 0) \) ligger på kurven.

2. Deriver implisitt Vi deriverer begge sider med hensyn på \( x\text{,} \) og husker at \( y \) er en funksjon av \( x\text{,} \) som i videoen Hva er Implisitt Derivasjon?

Begge sider er produkter, så vi trenger produktregelen: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]

På venstre side er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{y} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{y'} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^{\sin(x)}} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^{\sin(x)}\cos(x)} \end{aligned} \]

På høyre side er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\cos(y)} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-\sin(y)\,y'} \end{aligned} \]Her har vi brukt kjerneregelen på \( \textcolor{blue}{v'} \) begge steder: den ytre funksjonen derivert, ganget med kjernen derivert, som i videoen Kjerneregelen.

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{y'}\textcolor{blue}{e^{\sin(x)}} + \textcolor{red}{y}\textcolor{blue}{e^{\sin(x)}\cos(x)} \\ &= \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\cos(y)} - \textcolor{red}{x}\textcolor{blue}{\sin(y)\,y'} \end{aligned} \]

3. Finn stigningstallet Setter vi inn \( {x = 0} \) og \( {y = 0}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} y' \cdot 1 + 0 &= 1 \cdot 1 - 0 \\ y' &= 1 \end{aligned} \]

4. Sett opp tangenten Formelen for tangenten gjennom \( (x_0, y_0) \) forteller oss at: \[ y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0) \]Som i videoen Tangentlinje setter vi inn punktet \( (0, 0) \) og stigningstallet \( 1\text{:} \) \[ y - 0 = 1 \cdot (x - 0) \]

Nevneren er en kjerne opphøyd i andre. Vi bruker derfor substitusjon med \( {u = 3 - 2x}\text{,} \) og skriver om telleren med \( u\text{.} \)

1. Velg substitusjon Vi setter kjernen lik \( u \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{3 - 2x} \\ \textcolor{blue}{du} &= \textcolor{blue}{-2\,dx} \end{aligned} \]

Det betyr at \( {\textcolor{blue}{dx} = \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{2}\,du}}\text{.} \) Grensene blir også nye: \[ \begin{aligned} x = 2 &\Rightarrow u = -1 \\ x = 4 &\Rightarrow u = -5 \end{aligned} \]

2. Skriv om telleren Telleren må også skrives med \( u\text{.} \) Vi ser at \( {-4x} \) er to ganger \( {-2x}\text{,} \) så: \[ 2 - 4x = 2(\textcolor{red}{3 - 2x}) - 4 = 2\textcolor{red}{u} - 4 \]

3. Regn ut integralet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\int_{-1}^{-5} \dfrac{2\textcolor{red}{u} - 4}{\textcolor{red}{u}^2} \cdot \left(\textcolor{blue}{-\dfrac{1}{2}}\right) du \\ &= \int_{-1}^{-5} \dfrac{2 - u}{u^2}\,du \\ &= \int_{-1}^{-5} \left(\dfrac{2}{u^2} - \dfrac{1}{u}\right) du \end{aligned} \]

Vi integrerer ledd for ledd. Her er \( u \) negativ, så absoluttverdien i \( \ln|u| \) er viktig: \[ \begin{aligned} &\left[-\dfrac{2}{u} - \ln|u|\right]_{-1}^{-5} \\ &= \left(\dfrac{2}{5} - \ln 5\right) - (2 - \ln 1) \end{aligned} \]

Siden \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) står vi igjen med: \[ \dfrac{2}{5} - \ln 5 - 2 = -\dfrac{8}{5} - \ln 5 \]

Dette er en lineær førsteordens differensiallikning. Vi samler \( y \)-leddene på venstre side, og bruker integrerende faktor.

1. Finn den integrerende faktoren Vi flytter \( xy \) over, så likningen får formen \( {y' + \textcolor{blue}{P(x)}y = Q(x)}\text{:} \) \[ y' + \textcolor{blue}{x}y = 2xe^{-\tfrac{1}{2}x^2} \]

Den integrerende faktoren er gitt ved formelen fra videoen Integrerende faktor: \[ \textcolor{red}{f(x)} = e^{\int \textcolor{blue}{P(x)}\,dx} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{P(x)} = \textcolor{blue}{x}}\text{,} \) så \( {\int x\,dx = \dfrac{1}{2}x^2} \) gir: \[ \textcolor{red}{f(x)} = \textcolor{red}{e^{\tfrac{1}{2}x^2}} \]

2. Gang med faktoren og integrer Vi ganger begge sider med \( \textcolor{red}{f(x)}\text{.} \) På høyre side er \( {e^{\tfrac{1}{2}x^2} \cdot e^{-\tfrac{1}{2}x^2} = 1}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{e^{\tfrac{1}{2}x^2}}y' + x\textcolor{red}{e^{\tfrac{1}{2}x^2}}y = 2x \]

Venstre side er nå produktregelen brukt på \( {\textcolor{red}{f(x)} \cdot y}\text{,} \) siden \( {\textcolor{red}{f'(x)} = x\textcolor{red}{e^{\tfrac{1}{2}x^2}}}\text{:} \) \[ \left(\textcolor{red}{e^{\tfrac{1}{2}x^2}}\,y\right)' = 2x \]

Integrerer vi begge sider, får vi: \[ \textcolor{red}{e^{\tfrac{1}{2}x^2}}\,y = x^2 + C \]

Dette gir den generelle løsningen: \[ y = (x^2 + C)e^{-\tfrac{1}{2}x^2} \]

3. Bruk startverdien Vi setter inn \( {y(1) = \dfrac{1}{\sqrt{e}} = e^{-\tfrac{1}{2}}}\text{:} \) \[ e^{-\tfrac{1}{2}} = (1 + C)e^{-\tfrac{1}{2}} \]

Det betyr at \( {C = 0}\text{.} \)

Overflaten avhenger av både \( r \) og \( h\text{.} \) Vi bruker volumet til å skrive den med bare \( r\text{,} \) og setter den deriverte lik \( 0\text{.} \)

1. Skriv overflaten med én variabel Grunnflaten er en sirkel, og siden er et rektangel med bredde lik omkretsen: \[ S = \pi r^2 + 2\pi r \textcolor{red}{h} \]

Volumet er \( 1000\text{,} \) og det gir oss \( \textcolor{red}{h}\text{:} \) \[ \pi r^2 \textcolor{red}{h} = 1000 \quad \Rightarrow \quad \textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{\dfrac{1000}{\pi r^2}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S(r) &= \pi r^2 + 2\pi r \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1000}{\pi r^2}} \\ &= \pi r^2 + \dfrac{2000}{r} \end{aligned} \]

2. Finn minimum Vi deriverer ledd for ledd, med reglene fra videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \begin{aligned} S'(r) &= 2\pi r - \dfrac{2000}{r^2} \\ &= \dfrac{2\pi r^3 - 2000}{r^2} \end{aligned} \]

Vi setter \( {S'(r) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\pi r^3 &= 2000 \\ r^3 &= \dfrac{1000}{\pi} \\ r &= \dfrac{10}{\sqrt[3]{\pi}} \end{aligned} \]

For å se at dette er et minimum, deriverer vi en gang til: \[ S''(r) = 2\pi + \dfrac{4000}{r^3} > 0 \]Dette er positivt for alle \( {r > 0}\text{,} \) så grafen vender hul side opp, og punktet er et minimum.

3. Finn høyden Vi skriver \( {\pi r^3 = 1000} \) om til \( {\dfrac{1000}{\pi r^2} = r}\text{.} \) Dermed vet vi at: \[ \textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{\dfrac{1000}{\pi r^2}} = r = \dfrac{10}{\sqrt[3]{\pi}} \]

Boksen blir altså like høy som radien.

Vi viser først at det finnes et nullpunkt, og at det bare er ett. Så viser vi at \( g \) trekker punktene nærmere hverandre med faktoren \( K\text{,} \) og det gir hvor mange iterasjoner vi trenger.

1. Vis at det er ett nullpunkt \( f \) er kontinuerlig, og fortegnet skifter mellom endepunktene: \[ \begin{aligned} f(1) &= 1 + 4 - 10 = -5 \\ f(2) &= 8 + 16 - 10 = 14 \end{aligned} \]Da sier skjærsetningen at det finnes et nullpunkt, som i videoen Skjærsetningen.

Den deriverte er positiv på \( [1, 2]\text{:} \) \[ f'(x) = 3x^2 + 8x > 0 \]\( f \) er voksende, så det er nøyaktig ett nullpunkt.

2. Skriv om likningen Vi setter \( x^2 \) utenfor på venstre side av \( {x^3 + 4x^2 = 10}\text{:} \) \[ x^2(x + 4) = 10 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \dfrac{10}{4 + x} \]På \( [1, 2] \) er \( {x > 0}\text{,} \) så vi kan ta kvadratroten: \[ x = \sqrt{\dfrac{10}{4 + x}} = g(x) \]

3. Vis at g ligger mellom grensene Når \( x \) vokser, blir nevneren større, så \( g \) er synkende. Da ligger verdiene mellom endepunktene: \[ \begin{aligned} g(2) &\le g(x) \le g(1) \\ \sqrt{\dfrac{5}{3}} &\le g(x) \le \sqrt{2} \end{aligned} \]Siden \( {\sqrt{\dfrac{5}{3}} \ge 1} \) og \( {\sqrt{2} \le 2}\text{,} \) er \( {1 \le g(x) \le 2}\text{.} \)

4. Finn K Vi skriver \( {g(x) = \sqrt{10}\,(4 + x)^{-\tfrac{1}{2}}} \) og deriverer med kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen: \[ g'(x) = -\dfrac{\sqrt{10}}{2}(4 + x)^{-\tfrac{3}{2}} \]

\( |g'(x)| \) er størst når nevneren er minst, altså i \( {x = 1}\text{:} \) \[ |g'(x)| \le \dfrac{\sqrt{10}}{2 \cdot 5\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{2}}{10} < \dfrac{1}{5} \]Vi kan altså bruke \( {\textcolor{red}{K} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{5}}}\text{.} \)

5. Finn antall iterasjoner Middelverdisetningen forteller oss at det finnes en \( c \) mellom \( a \) og \( b \) slik at: \[ g(a) - g(b) = g'(c)(a - b) \]

Siden \( {|g'(c)| \le \textcolor{red}{K}}\text{,} \) \( {x_{n+1} = g(x_n)} \) og \( {r = g(r)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} |x_{n+1} - r| &= |g(x_n) - g(r)| \\ &\le \textcolor{red}{K}|x_n - r| \end{aligned} \]

Gjør vi dette \( n \) ganger, får vi \( {|x_n - r| \le K^n|x_0 - r|}\text{.} \) Både \( x_0 \) og \( r \) ligger i \( [1, 2]\text{,} \) så \( {|x_0 - r| \le 1}\text{:} \) \[ |x_n - r| \le \left(\textcolor{red}{\dfrac{1}{5}}\right)^n \]

Vi må ha: \[ \left(\textcolor{red}{\dfrac{1}{5}}\right)^n < 10^{-3} \quad \Rightarrow \quad 5^n > 1000 \]Her holder det med hoderegning: \( {5^4 = 625} \) og \( {5^5 = 3125}\text{.} \)

Vinket sier at summen er en Riemannsum. Vi skriver derfor leddene om, så vi ser \( \Delta x \) og \( f(x_i)\text{,} \) og regner ut integralet i stedet.

1. Skriv summen som en Riemannsum Vi setter \( n \) utenfor i nevneren, så vi får \( \dfrac{2i}{n} \) der: \[ \begin{aligned} \dfrac{2n}{(n + 2i)^2} &= \dfrac{2n}{n^2\left(1 + \dfrac{2i}{n}\right)^2} \\ &= \textcolor{red}{\dfrac{2}{n}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{2i}{n}\right)^2}} \end{aligned} \]

Sammenligner vi med en Riemannsum, som i videoen Riemann sum, er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\Delta x} &= \textcolor{red}{\dfrac{2}{n}} \\ x_i &= \dfrac{2i}{n} \\ \textcolor{blue}{f(x)} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{(1 + x)^2}} \end{aligned} \]

Punktene starter i \( {x_0 = 0}\text{.} \) Bredden \( \dfrac{2}{n} \) ganger \( n \) gir et intervall med lengde \( 2\text{,} \) så det går fra \( 0 \) til \( 2\text{.} \) Dette er venstre Riemannsum.

2. Regn ut integralet Når \( n \) vokser, går summen mot integralet: \[ \begin{aligned} &\lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \dfrac{2n}{(n + 2i)^2} \\ &= \int_0^2 \textcolor{blue}{\dfrac{1}{(1 + x)^2}}\,dx \\ &= \left[-\dfrac{1}{1 + x}\right]_0^2 \\ &= -\dfrac{1}{3} + 1 = \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]