Universitetseksamen etter tema

Vi bruker forholdstesten for å finne hvor rekken konvergerer, og sjekker så endepunktene hver for seg, siden testen ikke sier noe om dem.

1. Bruk forholdstesten Forholdstesten forteller oss at rekken konvergerer når \( {k < 1} \) og divergerer når \( {k > 1}\text{,} \) der: \[ k = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{\textcolor{red}{a_{n+1}}}{\textcolor{blue}{a_n}} \right| \]Når \( {k = 1}\text{,} \) gir testen ikke noe svar. Slik bruker vi den på en nesten lik rekke i videoen Finn Konvergeringsradiusen / Konvergensradiusen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_n} &= \textcolor{blue}{n^3(2x - 3)^n} \\ \textcolor{red}{a_{n+1}} &= \textcolor{red}{(n + 1)^3(2x - 3)^{n+1}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} k &= \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{\textcolor{red}{(n + 1)^3(2x - 3)^{n+1}}}{\textcolor{blue}{n^3(2x - 3)^n}} \right| \\ &= \lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^3 |2x - 3| \\ &= |2x - 3| \end{aligned} \]Her går \( \dfrac{1}{n} \) mot \( 0 \) når \( n \) vokser.

2. Løs ulikheten Rekken konvergerer når \( {k < 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} |2x - 3| &< 1 \\ -1 < 2x - 3 &< 1 \\ 2 < 2x &< 4 \\ 1 < x &< 2 \end{aligned} \]

3. Sjekk endepunktene I endepunktene er \( {k = 1}\text{,} \) så der må vi sjekke hver for seg, som i videoen Oppgave 2b - Konvergeringsområdet - Prøveeksamen 2020 (BYPE 2000). Vi setter inn: \[ \begin{aligned} x = 1: \quad & \sum_{n=1}^{\infty} n^3(-1)^n \\ x = 2: \quad & \sum_{n=1}^{\infty} n^3 \end{aligned} \]

I begge rekkene er leddene like store som \( n^3\text{:} \) \[ |a_n| = n^3 \to \infty \]Når leddene ikke går mot \( 0\text{,} \) divergerer rekken, som i videoen Konvergens & divergens intro. Ingen av endepunktene er altså med.

Leddene \( c_n \) er mindre enn leddene \( 4^n c_n \) i rekken vi vet konvergerer. Vi bruker derfor sammenligningstesten.

1. Sammenlign de to rekkene Sammenligningstesten forteller oss at: \[ \begin{aligned} &0 \le \textcolor{blue}{a_n} \le \textcolor{red}{b_n} \text{ for alle } n \\ &\text{og } \sum \textcolor{red}{b_n} \text{ konvergerer} \\ &\Rightarrow \ \sum \textcolor{blue}{a_n} \text{ konvergerer} \end{aligned} \]Du ser en slik sammenligning i videoen Sammenligning & P-rekker Oppgave.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_n} &= \textcolor{blue}{c_n} \\ \textcolor{red}{b_n} &= \textcolor{red}{4^n c_n} \end{aligned} \]

Siden \( {c_n > 0} \) og \( {4^n \ge 1} \) for alle \( {n \ge 1}\text{,} \) har vi: \[ 0 < \textcolor{blue}{c_n} \le \textcolor{red}{4^n c_n} \]

Rekken \( \sum \textcolor{red}{4^n c_n} \) konvergerer etter oppgaven, så sammenligningstesten gir oss: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \textcolor{blue}{c_n} \quad \text{konvergerer} \]

Vi bruker forholdstesten for å finne hvor rekken konvergerer, og sjekker så endepunktene hver for seg, siden testen ikke sier noe om dem.

1. Bruk forholdstesten Forholdstesten forteller oss at rekken konvergerer når \( {k < 1} \) og divergerer når \( {k > 1}\text{,} \) der: \[ k = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{\textcolor{red}{a_{n+1}}}{\textcolor{blue}{a_n}} \right| \]Når \( {k = 1}\text{,} \) gir testen ikke noe svar. Slik bruker vi den på en potensrekke i videoen Finn Konvergeringsradiusen / Konvergensradiusen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_n} &= \textcolor{blue}{\dfrac{n(x + 2)^n}{5^{n-1}}} \\ \textcolor{red}{a_{n+1}} &= \textcolor{red}{\dfrac{(n + 1)(x + 2)^{n+1}}{5^n}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{a_{n+1}}}{\textcolor{blue}{a_n}} &= \textcolor{red}{\dfrac{(n + 1)(x + 2)^{n+1}}{5^n}} \\ &\quad \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{5^{n-1}}{n(x + 2)^n}} \end{aligned} \]

Potensene av \( {x + 2} \) og \( 5 \) kan vi forkorte. Det gir oss: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{a_{n+1}}}{\textcolor{blue}{a_n}} &= \dfrac{n + 1}{n} \cdot \dfrac{x + 2}{5} \\ k &= \lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right) \cdot \dfrac{|x + 2|}{5} \\ &= \dfrac{|x + 2|}{5} \end{aligned} \]Her går \( \dfrac{1}{n} \) mot \( 0 \) når \( n \) vokser.

2. Løs ulikheten Rekken konvergerer når \( {k < 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{|x + 2|}{5} &< 1 \\ -5 < x + 2 &< 5 \\ -7 < x &< 3 \end{aligned} \]

3. Sjekk endepunktene I endepunktene er \( {k = 1}\text{,} \) så der må vi sjekke hver for seg, som i videoen Oppgave 2b - Konvergeringsområdet - Prøveeksamen 2020 (BYPE 2000). Vi setter inn: \[ \begin{aligned} x = 3: \quad & \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n \cdot 5^n}{5^{n-1}} = \sum_{n=1}^{\infty} 5n \\ x = -7: \quad & \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n(-5)^n}{5^{n-1}} \\ & = \sum_{n=1}^{\infty} 5n(-1)^n \end{aligned} \]

I begge rekkene er leddene like store som \( 5n\text{:} \) \[ |a_n| = 5n \to \infty \]Når leddene ikke går mot \( 0\text{,} \) divergerer rekken, som i videoen Konvergens & divergens intro: \[ |a_n| \not\to 0 \quad \Rightarrow \quad \text{rekken divergerer} \]Ingen av endepunktene er altså med.

Forholdstesten gir konvergens når \( {|x| < 1}\text{,} \) og endepunktene sjekker vi hver for seg. Rekken er taylorrekken til \( \ln \) med \( x^2 \) som variabel, så vi kjenner summen.

1. Bruk forholdstesten For \( {x = 0} \) er alle leddene \( 0\text{,} \) så der konvergerer rekken. For \( x \ne 0 \) forteller forholdstesten oss at rekken konvergerer når \( {k < 1}\text{,} \) der: \[ k = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{\textcolor{red}{a_{n+1}}}{\textcolor{blue}{a_n}} \right| \]Slik bruker vi den i videoen Finn Konvergeringsradiusen / Konvergensradiusen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_n} &= \textcolor{blue}{\dfrac{(-1)^{n-1}}{n} x^{2n}} \\ \textcolor{red}{a_{n+1}} &= \textcolor{red}{\dfrac{(-1)^{n}}{n + 1} x^{2n + 2}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} k &= \lim_{n \to \infty} \left| \textcolor{red}{\dfrac{(-1)^{n} x^{2n+2}}{n+1}} \textcolor{blue}{\dfrac{n}{(-1)^{n-1} x^{2n}}} \right| \\ &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{n + 1}\,x^2 = x^2 \end{aligned} \]

Rekken konvergerer altså når: \[ x^2 < 1 \quad \Leftrightarrow \quad -1 < x < 1 \]

2. Sjekk endepunktene I \( {x = \pm 1} \) er \( {k = 1}\text{,} \) så der må vi sjekke hver for seg, som i videoen Oppgave 2b - Konvergeringsområdet - Prøveeksamen 2020 (BYPE 2000). Siden \( {(\pm 1)^{2n} = 1}\text{,} \) gir begge endepunktene samme rekke: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{1}{n}} \]

Testen for alternerende rekker forteller oss at rekken konvergerer når leddene \( \textcolor{green}{b_n} \) går mot \( 0 \) og hele tiden blir mindre, som i videoen Alternerende rekker med eksempler!. Her er \( {\textcolor{green}{b_n} = \textcolor{green}{\dfrac{1}{n}}}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \textcolor{green}{\dfrac{1}{n}} &= 0 \\ \textcolor{green}{\dfrac{1}{n + 1}} &< \textcolor{green}{\dfrac{1}{n}} \end{aligned} \]

Begge kravene holder, så rekken konvergerer i \( {x = \pm 1}\text{.} \) Dermed konvergerer den for alle \( {x \in [-1, 1]}\text{.} \)

3. Kjenn igjen rekken Maclaurinrekken til \( {\ln(1 + u)} \) er, for \( {|u| < 1}\text{:} \) \[ \ln(1 + u) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{n}\,\textcolor{magenta}{u}^{n} \]Den får vi ved å derivere og sette inn \( {u = 0}\text{,} \) som i videoen Taylor & Mclauren polynomer DEL 2.

Rekken vår er akkurat denne, med: \[ \textcolor{magenta}{u} = \textcolor{magenta}{x^2} \]

4. Regn ut summen For \( {x = \dfrac{1}{2}} \) er \( {\textcolor{magenta}{u} = \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}}}\text{,} \) som er mindre enn \( 1\text{.} \) Det gir oss: \[ s = \ln\left(1 + \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}}\right) = \ln \dfrac{5}{4} \]

\( \ln \) er logaritmen med grunntall \( e\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer, så de to opphever hverandre: \[ e^s = e^{\ln(5/4)} = \dfrac{5}{4} \]

Vi tar rekkene én og én, med den testen leddene peker mot: grensen til leddene i (i), forholdstesten i (ii), og alternerende rekker og sammenligning i (iii).

1. Undersøk rekke i Når leddene ikke går mot \( 0\text{,} \) divergerer rekken, som i videoen Konvergens & divergens intro: \[ \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \ \Rightarrow \ \sum a_n \text{ divergerer} \]

Vi lar \( n \) vokse og deler over og under brøkstreken med \( n\text{:} \) \[ \lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{n + 11} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{1 + \dfrac{11}{n}} = 1 \neq 0 \]Rekke (i) divergerer.

2. Undersøk rekke ii Forholdstesten forteller oss at rekken konvergerer absolutt når \( {k < 1}\text{,} \) der: \[ k = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{\textcolor{red}{a_{n+1}}}{\textcolor{blue}{a_n}} \right| \]Se videoen Forholdstest, med eksempel.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_n} &= \textcolor{blue}{(-1)^n \dfrac{n}{e^n}} \\ \textcolor{red}{a_{n+1}} &= \textcolor{red}{(-1)^{n+1} \dfrac{n + 1}{e^{n+1}}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, forsvinner fortegnet i absoluttverdien, og vi får: \[ \begin{aligned} k &= \lim_{n \to \infty} \left| \textcolor{red}{\dfrac{(-1)^{n+1}(n + 1)}{e^{n+1}}} \, \textcolor{blue}{\dfrac{e^n}{(-1)^n n}} \right| \\ &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{n + 1}{n} \cdot \dfrac{1}{e} \\ &= \dfrac{1}{e} < 1 \end{aligned} \]Rekke (ii) konvergerer absolutt.

3. Undersøk rekke iii Rekken er alternerende, og den konvergerer når leddene \( a_n \) uten fortegn synker og går mot \( 0\text{,} \) som i videoen Alternerende rekker med eksempler. Her vokser nevneren: \[ \begin{aligned} a_{n+1} &= \dfrac{1}{n + 1 + 2\sqrt{n + 1}} \\ &< \dfrac{1}{n + 2\sqrt{n}} = a_n \\ \lim_{n \to \infty} a_n &= 0 \end{aligned} \]Rekke (iii) konvergerer altså.

Så ser vi på absoluttverdiene. Sammenligningstesten forteller oss at: \[ \begin{aligned} &0 \le \textcolor{green}{b_n} \le \textcolor{darkorange}{a_n}, \quad \sum \textcolor{green}{b_n} \text{ divergerer} \\ &\Rightarrow \sum \textcolor{darkorange}{a_n} \text{ divergerer} \end{aligned} \]Sammenligningen setter vi opp som i videoen Sammenligning & P-rekker Oppgave.

Siden \( {\sqrt{n} \le n} \) er \( {n + 2\sqrt{n} \le 3n}\text{,} \) så: \[ \textcolor{darkorange}{a_n} = \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{n + 2\sqrt{n}}} \ge \textcolor{green}{\dfrac{1}{3n}} = \textcolor{green}{b_n} \]

Her er \( \textcolor{green}{b_n} \) en tredel av leddene i en p-rekke med \( {p = 1}\text{:} \) \[ \sum_{n=1}^{\infty} \textcolor{green}{\dfrac{1}{3n}} = \dfrac{1}{3} \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n} \]Den divergerer, se videoen P-rekker Oppgave. Da divergerer også den større rekken. Rekke (iii) konvergerer, men ikke absolutt, så den konvergerer betinget.

Vi finner rekken til \( {\ln(1 + t)} \) fra en geometrisk rekke, deler på \( t \) og integrerer ledd for ledd. Så bruker vi forholdstesten og sjekker endepunktene.

1. Finn rekken til integranden Summen av en geometrisk rekke forteller oss at når \( {|q| < 1}\text{:} \) \[ \dfrac{1}{1 - \textcolor{green}{q}} = 1 + \textcolor{green}{q} + \textcolor{green}{q}^2 + \textcolor{green}{q}^3 + \cdots \]Kravet \( {|q| < 1} \) forklarer videoen Geometrisk rekke test.

Her er \( {\textcolor{green}{q} = \textcolor{green}{-t}}\text{,} \) så for \( {|t| < 1} \) er: \[ \dfrac{1}{1 + t} = 1 - t + t^2 - t^3 + \cdots \]

Vi integrerer begge sider fra \( 0 \) til \( t\text{,} \) med \( s \) som integrasjonsvariabel, og deler på \( t\text{:} \) \[ \begin{aligned} \ln(1 + t) &= \int_0^t \dfrac{1}{1 + s}\,ds \\ &= t - \dfrac{t^2}{2} + \dfrac{t^3}{3} - \dfrac{t^4}{4} + \cdots \\ \dfrac{\ln(1 + t)}{t} &= 1 - \dfrac{t}{2} + \dfrac{t^2}{3} - \dfrac{t^3}{4} + \cdots \end{aligned} \]

2. Integrer ledd for ledd Vi integrerer fra \( 0 \) til \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 2c - Integral ved hjelp av potensrekke: \[ \begin{aligned} F(x) &= x - \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{x^3}{9} - \dfrac{x^4}{16} + \cdots \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \dfrac{x^n}{n^2} \end{aligned} \]

3. Bruk forholdstesten Forholdstesten forteller oss at rekken konvergerer når \( {k < 1} \) og divergerer når \( {k > 1}\text{,} \) der: \[ k = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{\textcolor{red}{a_{n+1}}}{\textcolor{blue}{a_n}} \right| \]Se videoen Finn Konvergeringsradiusen / Konvergensradiusen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_n} &= \textcolor{blue}{(-1)^{n+1} \dfrac{x^n}{n^2}} \\ \textcolor{red}{a_{n+1}} &= \textcolor{red}{(-1)^{n+2} \dfrac{x^{n+1}}{(n + 1)^2}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} k &= \lim_{n \to \infty} \left| \textcolor{red}{\dfrac{(-1)^{n+2} x^{n+1}}{(n + 1)^2}} \, \textcolor{blue}{\dfrac{n^2}{(-1)^{n+1} x^n}} \right| \\ &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2}{(n + 1)^2} \cdot |x| \\ &= |x| \end{aligned} \]Rekken konvergerer altså for \( {|x| < 1} \) og divergerer for \( {|x| > 1}\text{.} \)

4. Sjekk endepunktene I endepunktene er \( {k = 1}\text{,} \) så der må vi sjekke hver for seg, som i videoen Oppgave 2b - Konvergeringsområdet - Prøveeksamen 2020 (BYPE 2000): \[ \begin{aligned} x = 1: \quad & \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2} \\ x = -1: \quad & -\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2} \end{aligned} \]

Absoluttverdien av leddene er i begge tilfeller \( \dfrac{1}{n^2}\text{.} \) Dette er en p-rekke med \( {p = 2 > 1}\text{,} \) som konvergerer, se videoen P-rekker Oppgave. Begge endepunktene er altså med.

Vi regner ut grensen i forholdstesten og ser hva den gir. Så ser vi bort fra de første leddene og sammenligner resten med en p-rekke.

1. Skriv opp forholdstesten Forholdstesten forteller oss at vi ser på grensen: \[ \rho = \lim_{n \to \infty} \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| \]Rekken konvergerer absolutt når \( {\rho < 1}\text{,} \) divergerer når \( {\rho > 1}\text{,} \) og testen sier ingenting når \( {\rho = 1}\text{.} \) Dette ser du i videoen Forholdstest, med eksempel!!.

Her er: \[ a_n = \dfrac{\ln\left(\tfrac{n}{100}\right)}{n^{2023}} \]

2. Regn ut grensen For \( {n > 100} \) er leddene positive, så absoluttverdien faller bort. Å dele på \( a_n \) er det samme som å gange med den omvendte brøken: \[ \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{\ln\left(\tfrac{n+1}{100}\right)}{(n+1)^{2023}} \cdot \dfrac{n^{2023}}{\ln\left(\tfrac{n}{100}\right)} \]

Vi samler det som hører sammen: \[ \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \textcolor{red}{\dfrac{\ln\left(\tfrac{n+1}{100}\right)}{\ln\left(\tfrac{n}{100}\right)}} \cdot \textcolor{blue}{\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{2023}} \]

Den blå faktoren går mot \( 1^{2023}\text{:} \) \[ \lim_{n \to \infty} \textcolor{blue}{\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{2023}} = \textcolor{blue}{1} \]

Den røde gir \( \dfrac{\infty}{\infty}\text{,} \) så vi bruker L'Hôpitals regel. Den forteller oss at: \[ \lim_{n \to \infty} \dfrac{f(n)}{g(n)} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{f'(n)}{g'(n)} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen L'Hopitals regel.

Vi deriverer med \( n \) som en variabel: \[ \left(\ln\tfrac{n}{100}\right)' = (\ln n - \ln 100)' = \dfrac{1}{n} \]

Telleren får på samme måte \( {\dfrac{1}{n+1}}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} &\lim_{n \to \infty} \textcolor{red}{\dfrac{\ln\left(\tfrac{n+1}{100}\right)}{\ln\left(\tfrac{n}{100}\right)}} \\ &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{\tfrac{1}{n+1}}{\tfrac{1}{n}} \\ &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{n+1} = \textcolor{red}{1} \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \rho = \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{1} = 1 \]

Forholdstesten kan derfor ikke avgjøre om rekken konvergerer absolutt.

3. Forklar de negative leddene Vi deler rekken i to: \[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \textcolor{darkorange}{\sum_{n=1}^{100} a_n} + \sum_{n=101}^{\infty} a_n \]

Den første summen er endelig mange tall lagt sammen, altså et vanlig tall: \[ \textcolor{darkorange}{\sum_{n=1}^{100} a_n} = \text{et endelig tall} \]

Om rekken konvergerer, avgjøres derfor bare av halen, og der er alle leddene positive.

4. Sammenlign med en p-rekke Grensesammenligningstesten forteller oss at hvis \( {a_n, \textcolor{green}{b_n} > 0}\text{,} \) gjelder: \[ \begin{aligned} &\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{\textcolor{green}{b_n}} = 0 \text{ og } \sum \textcolor{green}{b_n} \text{ konvergerer} \\ &\Rightarrow \ \sum a_n \text{ konvergerer} \end{aligned} \]

P-rekkeregelen, som i videoen Integraltest & P-rekker, forteller oss at: \[ \sum \dfrac{1}{n^p} \text{ konvergerer når } p > 1 \]

Vi velger \( {\textcolor{green}{b_n} = \textcolor{green}{\dfrac{1}{n^2}}}\text{.} \) Her er \( {p = 2 > 1}\text{,} \) så den konvergerer.

Plugger vi dette inn og bruker grensen fra oppgaven med \( {q = 2021}\text{,} \) får vi: \[ \lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{\textcolor{green}{1/n^2}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\ln\left(\tfrac{n}{100}\right)}{n^{2021}} = 0 \]

Halen konvergerer altså, og et endelig tall pluss en konvergent hale er konvergent: \[ \begin{aligned} &\sum_{n=101}^{\infty} a_n \text{ konvergerer} \\ &\Rightarrow \ \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ konvergerer} \end{aligned} \]

I (i) tar vi absoluttverdien av leddene og sammenligner med en p-rekke. I (ii) ser vi hva leddene går mot.

1. Undersøk den første rekken En rekke er absolutt konvergent når rekken av absoluttverdiene konvergerer. Absoluttverdien fjerner \( {(-1)^n}\text{,} \) og \( {\cos^2(n) \le 1}\text{,} \) så: \[ \left| (-1)^n \dfrac{\cos^2(n)}{n^{2022}} \right| = \textcolor{red}{\dfrac{\cos^2(n)}{n^{2022}}} \le \textcolor{blue}{\dfrac{1}{n^{2022}}} \]

P-rekker forteller oss at: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^p} \text{ konvergerer for } p > 1 \]

Her er \( {p = 2022 > 1}\text{,} \) så den \( \textcolor{blue}{\text{større rekken}} \) konvergerer. Sammenligningstesten forteller oss at: \[ \begin{aligned} &0 \le \textcolor{red}{a_n} \le \textcolor{blue}{b_n} \text{ og } \sum \textcolor{blue}{b_n} \text{ konvergerer} \\ &\Rightarrow \sum \textcolor{red}{a_n} \text{ konvergerer} \end{aligned} \]Dette gjør vi også i videoen Sammenligning & P-rekker Oppgave.

Det gir oss: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \textcolor{red}{\dfrac{\cos^2(n)}{n^{2022}}} \text{ konvergerer} \]Rekke (i) er altså absolutt konvergent.

2. Undersøk den andre rekken Vi lar \( n \) gå mot uendelig i telleren og nevneren hver for seg. Telleren går mot minus uendelig og nevneren mot uendelig. Vi deler derfor på høyeste potens, \( n^3\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \dfrac{5n^2 - 3n^3}{4n^3 + 1} &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{5}{n} - 3}{4 + \dfrac{1}{n^3}} \\ &= \textcolor{green}{-\dfrac{3}{4}} \end{aligned} \]

Divergenstesten fra videoen Oppgave 2ai forteller oss at: \[ \lim_{n \to \infty} a_n \ne 0 \Rightarrow \sum a_n \text{ divergerer} \]

Her går leddene mot \( {\textcolor{green}{-\dfrac{3}{4}} \ne 0}\text{,} \) så rekke (ii) divergerer.

Vi setter rekken inn i brøken og integrerer ledd for ledd. Rekken vi får er alternerende, og da er feilen høyst så stor som det første leddet vi tar bort.

1. Skriv om brøken Vi setter inn rekken og deler på \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 - e^{-x} &= x - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} - \ldots \\ \dfrac{1 - e^{-x}}{x} &= 1 - \dfrac{x}{2!} + \dfrac{x^2}{3!} - \ldots \end{aligned} \]

Med summetegn er dette: \[ \dfrac{1 - e^{-x}}{x} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \dfrac{x^{n-1}}{n!} \]

2. Integrer ledd for ledd Vi integrerer ledd for ledd, som i videoen Oppgave 2c - Integral ved hjelp av potensrekke. For hvert ledd er: \[ \int_0^1 x^{n-1}\,dx = \dfrac{1}{n} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} I &= \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n \cdot n!} \\ &= 1 - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{18} - \dfrac{1}{96} + \dfrac{1}{600} - \ldots \end{aligned} \]

3. Bruk feilen i en alternerende rekke Vi kaller leddene uten fortegn \( {\textcolor{red}{a_n} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{n \cdot n!}}}\text{.} \) De blir mindre og mindre og går mot \( 0\text{,} \) som kriteriene i videoen Alternerende rekker med eksempler! krever.

Da forteller feilen i en alternerende rekke oss at når vi tar med \( N \) ledd og får summen \( S_N\text{,} \) er: \[ |I - S_N| \le \textcolor{red}{a_{N+1}} \]

Vi skriver kravet som en brøk, \( {0{,}002 = \dfrac{1}{500}}\text{.} \) Med fire ledd er det første leddet vi tar bort: \[ \textcolor{red}{a_5} = \dfrac{1}{600} < \dfrac{1}{500} \]Fire ledd er altså nok.

4. Sjekk at tre ledd ikke holder Feilen med tre ledd er resten av rekken. Etter \( {\textcolor{red}{a_4} - \textcolor{red}{a_5}} \) kommer leddene i par som er positive, så: \[ \begin{aligned} |I - S_3| &= \textcolor{red}{a_4} - \textcolor{red}{a_5} + \textcolor{red}{a_6} - \ldots \\ &\ge \textcolor{red}{a_4} - \textcolor{red}{a_5} \\ &= \dfrac{1}{96} - \dfrac{1}{600} = \dfrac{7}{800} > \dfrac{1}{500} \end{aligned} \]

5. Regn ut tilnærmingen Vi legger sammen de fire leddene: \[ L = 1 - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{18} - \dfrac{1}{96} = \dfrac{229}{288} \]