TMA4100 konteeksamen 2022 – løsningsforslag

Eulers metode går fra ett punkt til det neste langs stigningstallet som differensiallikningen gir. Vi tar to skritt, fra \( {x = 0} \) til \( {x = 0{,}2}\text{.} \)

1. Skriv opp Eulers metode Eulers metode forteller oss at: \[ y_{n+1} = \textcolor{blue}{y_n} + \textcolor{green}{h} \cdot \textcolor{red}{f(x_n, y_n)} \]Du kan se metoden i videoen Eulers metode.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f(x, y)} &= \textcolor{red}{1 + 2xy^2} \\ \textcolor{green}{h} &= \textcolor{green}{0{,}1} \\ x_0 &= 0 \\ \textcolor{blue}{y_0} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

2. Ta det første skrittet Stigningstallet i punktet \( (0, 1) \) er: \[ \textcolor{red}{f(0, 1)} = 1 + 2 \cdot 0 \cdot 1^2 = \textcolor{red}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ y_1 = \textcolor{blue}{1} + \textcolor{green}{0{,}1} \cdot \textcolor{red}{1} = \underline{1{,}1} \]

3. Ta det andre skrittet Nå står vi i \( {x_1 = 0{,}1} \) med \( {\textcolor{blue}{y_1} = \textcolor{blue}{1{,}1}}\text{.} \) Stigningstallet der er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f(0{,}1;\ 1{,}1)} &= 1 + 2 \cdot 0{,}1 \cdot 1{,}1^2 \\ &= 1 + 0{,}2 \cdot 1{,}21 \\ &= \textcolor{red}{1{,}242} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ y_2 = \textcolor{blue}{1{,}1} + \textcolor{green}{0{,}1} \cdot \textcolor{red}{1{,}242} = \underline{1{,}2242} \]

Nevneren kan faktoriseres, så vi bruker delbrøksoppspalting. Det uegentlige integralet skriver vi deretter som en grense.

1. Faktoriser nevneren Vi trenger to tall som har produkt \( {-6} \) og sum \( 1\text{.} \) Det er \( {-2} \) og \( 3\text{,} \) så: \[ x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3) \]

2. Del opp brøken Telleren har lavere grad enn nevneren, og faktorene er ulike. Vi skriver derfor brøken som en sum av to brøker, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{3x - 1}{(x - 2)(x + 3)} = \dfrac{\textcolor{red}{A}}{x - 2} + \dfrac{\textcolor{blue}{B}}{x + 3} \]

Ganger vi med nevneren på begge sider, får vi: \[ \begin{aligned} 3x - 1 &= \textcolor{red}{A}(x + 3) + \textcolor{blue}{B}(x - 2) \\ 3x - 1 &= (\textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B})x + 3\textcolor{red}{A} - 2\textcolor{blue}{B} \end{aligned} \]

Leddene med \( x \) og konstantene må være like på hver side. Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B} &= 3 \\ 3\textcolor{red}{A} - 2\textcolor{blue}{B} &= -1 \end{aligned} \]

Setter vi \( {\textcolor{red}{A} = 3 - \textcolor{blue}{B}} \) inn i den andre likningen, får vi: \[ \begin{aligned} 3(3 - \textcolor{blue}{B}) - 2\textcolor{blue}{B} &= -1 \\ 9 - 5\textcolor{blue}{B} &= -1 \\ \textcolor{blue}{B} &= \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{red}{A} &= 3 - 2 = \textcolor{red}{1} \end{aligned} \]

3. Regn ut det ubestemte integralet Regelen for en brøk med \( x \) pluss et tall i nevneren forteller oss at: \[ \int \dfrac{k}{x + n}\,dx = k\ln|x + n| + C \]Den står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Plugger vi inn \( \textcolor{red}{A} \) og \( \textcolor{blue}{B}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} &\int \left(\dfrac{\textcolor{red}{1}}{x - 2} + \dfrac{\textcolor{blue}{2}}{x + 3}\right) dx \\ &= \textcolor{red}{\ln|x - 2|} + \textcolor{blue}{2\ln|x + 3|} + C \end{aligned} \]

4. Avgjør det uegentlige integralet Nevneren er ikke \( 0 \) for \( {x \ge 4}\text{,} \) så det eneste problemet er den øvre grensen. Vi skriver integralet som en grense: \[ \begin{aligned} &\int_4^{\infty} \dfrac{3x - 1}{x^2 + x - 6}\,dx \\ &= \lim_{b \to \infty} \int_4^b \dfrac{3x - 1}{x^2 + x - 6}\,dx \end{aligned} \]

For \( {x \ge 4} \) er begge parentesene positive. Setter vi inn grensene, får vi: \[ \begin{aligned} &\int_4^b \dfrac{3x - 1}{x^2 + x - 6}\,dx \\ &= \Big[\textcolor{red}{\ln(x - 2)} + \textcolor{blue}{2\ln(x + 3)}\Big]_4^b \\ &= \textcolor{red}{\ln(b - 2)} + \textcolor{blue}{2\ln(b + 3)} \\ &\quad - \ln 2 - 2\ln 7 \end{aligned} \]

Vi lar \( b \) vokse. Da vokser begge logaritmene uten grense, mens \( {-\ln 2 - 2\ln 7} \) er et fast tall: \[ \lim_{b \to \infty} \int_4^b \dfrac{3x - 1}{x^2 + x - 6}\,dx = \infty \]

Grensen finnes ikke som et tall, så det uegentlige integralet divergerer. Hvis du er usikker på uegentlige integraler, kan du se videoen Uegentlig integral Oppgave 1.

Vi setter rekken inn i brøken og integrerer ledd for ledd. Rekken vi får er alternerende, og da er feilen høyst så stor som det første leddet vi tar bort.

1. Skriv om brøken Vi setter inn rekken og deler på \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 - e^{-x} &= x - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} - \ldots \\ \dfrac{1 - e^{-x}}{x} &= 1 - \dfrac{x}{2!} + \dfrac{x^2}{3!} - \ldots \end{aligned} \]

Med summetegn er dette: \[ \dfrac{1 - e^{-x}}{x} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \dfrac{x^{n-1}}{n!} \]

2. Integrer ledd for ledd Vi integrerer ledd for ledd, som i videoen Oppgave 2c - Integral ved hjelp av potensrekke. For hvert ledd er: \[ \int_0^1 x^{n-1}\,dx = \dfrac{1}{n} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} I &= \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n \cdot n!} \\ &= 1 - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{18} - \dfrac{1}{96} + \dfrac{1}{600} - \ldots \end{aligned} \]

3. Bruk feilen i en alternerende rekke Vi kaller leddene uten fortegn \( {\textcolor{red}{a_n} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{n \cdot n!}}}\text{.} \) De blir mindre og mindre og går mot \( 0\text{,} \) som kriteriene i videoen Alternerende rekker med eksempler! krever.

Da forteller feilen i en alternerende rekke oss at når vi tar med \( N \) ledd og får summen \( S_N\text{,} \) er: \[ |I - S_N| \le \textcolor{red}{a_{N+1}} \]

Vi skriver kravet som en brøk, \( {0{,}002 = \dfrac{1}{500}}\text{.} \) Med fire ledd er det første leddet vi tar bort: \[ \textcolor{red}{a_5} = \dfrac{1}{600} < \dfrac{1}{500} \]Fire ledd er altså nok.

4. Sjekk at tre ledd ikke holder Feilen med tre ledd er resten av rekken. Etter \( {\textcolor{red}{a_4} - \textcolor{red}{a_5}} \) kommer leddene i par som er positive, så: \[ \begin{aligned} |I - S_3| &= \textcolor{red}{a_4} - \textcolor{red}{a_5} + \textcolor{red}{a_6} - \ldots \\ &\ge \textcolor{red}{a_4} - \textcolor{red}{a_5} \\ &= \dfrac{1}{96} - \dfrac{1}{600} = \dfrac{7}{800} > \dfrac{1}{500} \end{aligned} \]

5. Regn ut tilnærmingen Vi legger sammen de fire leddene: \[ L = 1 - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{18} - \dfrac{1}{96} = \dfrac{229}{288} \]

Absoluttverdien gjør at \( f \) skifter uttrykk i \( {x = 0}\text{.} \) Vi sjekker kontinuitet med grensene fra hver side, og deriverbarhet med definisjonen av den deriverte.

1. Vis kontinuiteten For \( {x > 0} \) er \( {|x| = x}\text{,} \) og for \( {x < 0} \) er \( {|x| = -x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x > 0{:}\ \dfrac{x}{\sqrt{x}} &= \sqrt{x} \\ x < 0{:}\ \dfrac{x}{\sqrt{-x}} &= \dfrac{-(-x)}{\sqrt{-x}} = -\sqrt{-x} \end{aligned} \]

Vi skriver altså \( f \) slik, på hver side av \( 0\text{:} \) \[ f(x) = \begin{cases} \textcolor{red}{\sqrt{x}} & \text{for } x > 0 \\ \textcolor{blue}{-\sqrt{-x}} & \text{for } x < 0 \end{cases} \]

For å være kontinuerlig i \( {x = 0} \) må funksjonen nærme seg funksjonsverdien fra begge sider, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) \]

Grensene fra hver side er: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} \textcolor{red}{\sqrt{x}} &= 0 \\ \lim_{x \to 0^-} \left(\textcolor{blue}{-\sqrt{-x}}\right) &= 0 \end{aligned} \]

Begge er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0) \]Altså er \( f \) kontinuerlig i \( {x = 0}\text{.} \)

2. Vis at funksjonen ikke er deriverbar Definisjonen av den deriverte forteller oss at: \[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(0 + h) - f(0)}{h} \]Den står i videoen Definisjonen til den deriverte.

Her er: \[ \begin{aligned} f(0) &= 0 \\ f(0 + h) &= \dfrac{h}{\sqrt{|h|}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{f(0 + h) - f(0)}{h} &= \dfrac{h}{\sqrt{|h|}} \cdot \dfrac{1}{h} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{|h|}} \end{aligned} \]

Når \( h \) går mot \( 0\text{,} \) går nevneren mot \( 0 \) gjennom positive tall, så brøken vokser uten grense: \[ \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{|h|}} = \infty \]Grensen finnes ikke som et tall, så \( f \) er ikke deriverbar i \( {x = 0}\text{.} \)

Vi deriverer logaritmen med kjerneregelen og brøken med kvotientregelen. Buelengden gir så akkurat integralet av \( \dfrac{1}{\cos x}\text{,} \) og det har vi nettopp funnet.

1. Deriver med kjerneregelen Kjerneregelen for \( \ln \) forteller oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{g})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{g}} \cdot \textcolor{green}{g'} \]Den står i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er kjernen \( {\textcolor{green}{g} = \textcolor{green}{\dfrac{1 + \sin x}{\cos x}}}\text{,} \) som er positiv på intervallet.

2. Deriver kjernen med kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{1 + \sin x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\cos x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\cos x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-\sin x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{g'} \\ &= \dfrac{\textcolor{red}{\cos x}\textcolor{blue}{\cos x} - (\textcolor{red}{1 + \sin x})(\textcolor{blue}{-\sin x})}{\textcolor{blue}{\cos^2 x}} \\ &= \dfrac{\cos^2 x + \sin x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= \dfrac{1 + \sin x}{\cos^2 x} \end{aligned} \]Her brukte vi \( {\sin^2 x + \cos^2 x = 1}\text{.} \)

3. Sett sammen Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{d}{dx}\left(\ln\left(\dfrac{1 + \sin x}{\cos x}\right)\right) \\ &= \textcolor{green}{\dfrac{\cos x}{1 + \sin x}} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{1 + \sin x}{\cos^2 x}} \\ &= \dfrac{1}{\cos x} \end{aligned} \]

4. Sett opp buelengden Buelengdeformelen forteller oss at: \[ L = \int_a^b \sqrt{1 + (\textcolor{darkorange}{f'(x)})^2}\,dx \]Den kommer vi frem til i videoen Buelengde formel.

Kjerneregelen gir oss den deriverte av \( {f(x) = \ln(\cos x)}\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{f'(x)} = \dfrac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = \textcolor{darkorange}{-\tan x} \]

Under roten får vi: \[ \begin{aligned} 1 + \tan^2 x &= \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= \dfrac{1}{\cos^2 x} \end{aligned} \]

På intervallet er \( {\cos x > 0}\text{,} \) så: \[ \sqrt{1 + \tan^2 x} = \dfrac{1}{\cos x} \]

5. Regn ut integralet Det vi viste først, gir oss den antideriverte: \[ \begin{aligned} L &= \int_0^{\pi/4} \dfrac{1}{\cos x}\,dx \\ &= \left[\ln \textcolor{green}{g(x)}\right]_0^{\pi/4} \end{aligned} \]

Her er \( {\textcolor{green}{g(x)} = \textcolor{green}{\dfrac{1 + \sin x}{\cos x}}}\text{.} \) Vi setter inn grensene, med \( {\sin \dfrac{\pi}{4} = \cos \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{g\left(\dfrac{\pi}{4}\right)} &= \dfrac{1 + \sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = \sqrt{2} + 1 \\ \textcolor{green}{g(0)} &= \dfrac{1 + 0}{1} = 1 \end{aligned} \]

Siden \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) står vi igjen med: \[ L = \ln(1 + \sqrt{2}) \]

Vi kaller avstanden langs stranda for \( x \) og skriver tiden som en funksjon av \( x\text{.} \) Så deriverer vi og sammenligner bunnen med endepunktene.

1. Sett opp tiden Vi lar \( x \) være avstanden fra punktet nærmest holmen til stedet båten treffer stranda, med \( {0 \le x \le 3}\text{.} \)

Pytagoras gir oss strekningen \( \textcolor{red}{s} \) vi ror, og resten, \( \textcolor{blue}{g}\text{,} \) går vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{s}^2 &= 2^2 + x^2 \\ \textcolor{red}{s} &= \textcolor{red}{\sqrt{4 + x^2}} \\ \textcolor{blue}{g} &= \textcolor{blue}{3 - x} \end{aligned} \]

Tiden er strekning delt på fart, så tiden i timer er: \[ T(x) = \dfrac{\textcolor{red}{\sqrt{4 + x^2}}}{3} + \dfrac{\textcolor{blue}{3 - x}}{5} \]

2. Deriver tiden Kjerneregelen forteller oss at: \[ (\sqrt{\textcolor{green}{u}})' = \dfrac{1}{2\sqrt{\textcolor{green}{u}}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Du kan se regelen i videoen Kjerneregelen.

Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{4 + x^2}} \) og \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{2x}}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} T'(x) &= \dfrac{\textcolor{green}{2x}}{3 \cdot 2\sqrt{\textcolor{green}{4 + x^2}}} - \dfrac{1}{5} \\ &= \dfrac{x}{3\sqrt{4 + x^2}} - \dfrac{1}{5} \end{aligned} \]

3. Sett den deriverte lik null Vi setter \( {T'(x) = 0} \) og ganger opp nevnerne: \[ 5x = 3\sqrt{4 + x^2} \]

Opphøyer vi begge sider i andre, får vi: \[ \begin{aligned} 25x^2 &= 9(4 + x^2) \\ 16x^2 &= 36 \\ x^2 &= \dfrac{9}{4} \end{aligned} \]

Siden \( {x \ge 0}\text{,} \) får vi \( {x = \dfrac{3}{2}}\text{.} \) Den passer i likningen over, for begge sider blir \( \dfrac{15}{2}\text{.} \)

4. Sammenlign med endepunktene \( T \) er kontinuerlig på \( [0, 3]\text{,} \) så det globale minimumet ligger der \( {T' = 0} \) eller i et endepunkt. Du kan se forskjellen på globalt og lokalt i videoen Hva er et kritisk punkt.

Vi regner ut alle tre: \[ \begin{aligned} T(0) &= \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{19}{15} \\ T\left(\dfrac{3}{2}\right) &= \dfrac{5/2}{3} + \dfrac{3/2}{5} = \dfrac{17}{15} \\ T(3) &= \dfrac{\sqrt{13}}{3} = \dfrac{5\sqrt{13}}{15} \end{aligned} \]

Vi sammenligner \( T(3) \) med \( \dfrac{17}{15}\text{:} \) \[ 5\sqrt{13} = \sqrt{325} > \sqrt{289} = 17 \]Altså er \( {T\left(\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{17}{15}} \) minst.

5. Finn avstanden fra hytta Avstanden fra hytta er \( {3 - x}\text{:} \) \[ 3 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2} \]

Tiden i minutter er: \[ \dfrac{17}{15} \cdot 60 = 68 \]

Vi skriver opp formelen for arealet av en rotasjonsflate. Radien er avstanden fra grafen ned til aksen \( {y = -1}\text{,} \) så den blir \( {\cosh x + 1}\text{.} \)

1. Sett opp integralet Formelen for arealet av en rotasjonsflate forteller oss at: \[ S = \int_a^b 2\pi\, \textcolor{red}{r(x)} \sqrt{1 + (\textcolor{blue}{f'(x)})^2}\,dx \]Hver bitte liten bit av grafen lager en ring med radius \( \textcolor{red}{r(x)}\text{.} \) Rotuttrykket er den samme lille lengden som i videoen Buelengde formel.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{r(x)} &= \cosh x - (-1) = \textcolor{red}{\cosh x + 1} \\ \textcolor{blue}{f'(x)} &= \textcolor{blue}{\sinh x} \end{aligned} \]Den deriverte av \( \cosh x \) er \( \sinh x\text{,} \) og den deriverte av \( \sinh x \) er \( \cosh x\text{.} \)

Siden \( {\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1} \) og \( {\cosh x > 0}\text{,} \) blir roten: \[ \sqrt{1 + \textcolor{blue}{\sinh^2 x}} = \cosh x \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S &= 2\pi \int_0^1 (\textcolor{red}{\cosh x + 1}) \cosh x\,dx \\ &= 2\pi \int_0^1 (\textcolor{green}{\cosh^2 x} + \textcolor{darkorange}{\cosh x})\,dx \end{aligned} \]

2. Integrer ledd for ledd \( \textcolor{green}{\cosh^2 x}\text{:} \) med identiteten fra tipset får vi: \[ \textcolor{green}{\cosh^2 x} = \dfrac{1}{2}(1 + \cosh 2x) \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\int_0^1 \textcolor{green}{\cosh^2 x}\,dx \\ &= \dfrac{1}{2} \int_0^1 (1 + \cosh 2x)\,dx \\ &= \dfrac{1}{2} \left[x + \dfrac{1}{2}\sinh 2x\right]_0^1 \\ &= \underline{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\sinh 2} \end{aligned} \]

\( \textcolor{darkorange}{\cosh x}\text{:} \) siden \( {\sinh 0 = 0}\text{,} \) får vi: \[ \int_0^1 \textcolor{darkorange}{\cosh x}\,dx = \Big[\sinh x\Big]_0^1 = \underline{\sinh 1} \]

3. Slå sammen Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} S &= 2\pi \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\sinh 2 + \sinh 1\right) \\ &= \pi + \dfrac{\pi}{2}\sinh 2 + 2\pi\sinh 1 \end{aligned} \]

En følge som vokser og aldri kommer over et tall, må konvergere. Vi viser begge deler, og finner grensen ved å la \( n \) vokse i formelen for følgen.

1. Vis at følgen er under tre Vi bruker induksjon: vi viser at påstanden stemmer for \( {n = 1}\text{,} \) og at den i så fall også stemmer for neste \( n\text{.} \)

Start: \[ a_1 = 1 < 3 \]

Antakelsen for en \( k \) er: \[ \textcolor{red}{a_k} < \textcolor{red}{3} \]

Da gir formelen for følgen: \[ a_{k+1} = \sqrt{6 + \textcolor{red}{a_k}} < \sqrt{6 + \textcolor{red}{3}} = 3 \]

Altså får vi, for alle \( {n \ge 1}\text{:} \) \[ a_n < 3 \]

2. Vis at følgen vokser Siden \( {a_1 = 1} \) og resten er kvadratrøtter, er alle leddene positive, så \( {0 < a_n < 3}\text{.} \) Vi ser på differansen mellom kvadratene: \[ \begin{aligned} a_{n+1}^2 - a_n^2 &= 6 + a_n - a_n^2 \\ &= (\textcolor{darkorange}{3 - a_n})(\textcolor{magenta}{2 + a_n}) \end{aligned} \]

Med \( {0 < a_n < 3} \) er begge faktorene positive: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{3 - a_n} &> 0 \\ \textcolor{magenta}{2 + a_n} &> 0 \end{aligned} \]

Dermed vet vi at \( {a_{n+1}^2 > a_n^2}\text{,} \) og siden leddene er positive: \[ a_n < a_{n+1} \]

3. Begrunn at følgen konvergerer Vi bruker denne regelen: \[ \begin{aligned} &\text{voksende og begrenset oppover} \\ &\Rightarrow \ \text{konvergerer} \end{aligned} \]Hva det betyr at en følge konvergerer, ser du i videoen Konvergens og divergens følger.

Her har vi: \[ a_1 < a_2 < a_3 < \ldots < 3 \]Følgen konvergerer derfor.

4. Finn grenseverdien Når \( n \) vokser, går både \( a_n \) og \( {a_{n+1}} \) mot \( a\text{.} \) Kvadratroten er kontinuerlig, så formelen for følgen gir: \[ \begin{aligned} a &= \sqrt{6 + a} \\ a^2 &= 6 + a \\ a^2 - a - 6 &= 0 \end{aligned} \]

\( a \) er allerede tatt, så vi kaller konstantene \( \textcolor{blue}{p}\text{,} \) \( \textcolor{red}{q} \) og \( \textcolor{green}{r}\text{.} \) abc-formelen forteller oss at: \[ a = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Du kan se den i videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{p} &= \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{red}{q} &= \textcolor{red}{-1} \\ \textcolor{green}{r} &= \textcolor{green}{-6} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} a &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-1}) \pm \!\sqrt{(\textcolor{red}{-1})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-6})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{1 \pm 5}{2} \end{aligned} \]

Det gir \( {a = 3} \) eller \( {a = -2}\text{.} \) Følgen vokser fra \( {a_1 = 1}\text{,} \) så grensen kan ikke være negativ: \[ a_n \ge a_1 = 1 \ \Rightarrow \ a \ge 1 \ \Rightarrow \ a = 3 \]

Vi deriverer, faktoriserer \( f'(x) \) og leser av fortegnet. Symmetrien ser vi når vi skriver \( f \) som et kvadrat.

1. Deriver funksjonen Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n x^{n-1} \]Den står i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd: \[ \begin{aligned} f'(x) &= 4x^3 + 6x^2 - 6x - 4 \\ &= 2(2x^3 + 3x^2 - 3x - 2) \end{aligned} \]

Vi prøver \( {x = 1} \) i parentesen: \[ 2 + 3 - 3 - 2 = 0 \]Altså er \( {(x - 1)} \) en faktor.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {2x^3 + 3x^2 - 3x - 2} \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{2x^3} + 3x^2 - 3x - 2) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{2x^2} \\ \textcolor{red}{2x^2} \cdot (x - 1) &= 2x^3 - 2x^2 \\ -(2x^3 - 2x^2) &= \textcolor{red}{-2x^3 + 2x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 3x - 2) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 3x & {}- 2 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 2x^2} & & \\ \hline & 5x^2 & {}- 3x & {}- 2 \end{array} \end{array} \]\( 2x^3 \) strykes mot \( {-2x^3}\text{,} \) \( {3x^2 + 2x^2 = 5x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-3x} \) og \( {-2}\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{5x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{5x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{5x} \\ \textcolor{magenta}{5x} \cdot (x - 1) &= 5x^2 - 5x \\ -(5x^2 - 5x) &= \textcolor{magenta}{-5x^2 + 5x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 3x - 2) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 5x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 3x & {}- 2 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 2x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{5x^2}} & {}- 3x & {}- 2 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-5x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 5x} & \\ \hline & & 2x & {}- 2 \end{array} \end{array} \]\( 5x^2 \) strykes mot \( {-5x^2}\text{,} \) \( {-3x + 5x = 2x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-2}\text{.} \) Linja \( {2x - 2} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{blue}{2} \cdot (x - 1) &= 2x - 2 \\ -(2x - 2) &= \textcolor{blue}{-2x + 2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 3x - 2) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 5x} \textcolor{blue}{{}+ 2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 3x & {}- 2 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 2x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{5x^2}} & {}- 3x & {}- 2 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-5x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 5x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{2x}} & {}- 2 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{-2x}} & \textcolor{blue}{{}+ 2} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( 2x \) strykes mot \( {-2x}\text{,} \) og \( {-2 + 2 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &2x^3 + 3x^2 - 3x - 2 \\ &= (x - 1)(2x^2 + 5x + 2) \end{aligned} \]

3. Faktoriser videre abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Du kan se den i videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

For \( {2x^2 + 5x + 2} \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{5} \\ \textcolor{green}{c} &= \textcolor{green}{2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{5} \pm \sqrt{\textcolor{red}{5}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{green}{2}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} = \dfrac{-5 \pm 3}{4} \]

Det gir \( {x = -\dfrac{1}{2}} \) og \( {x = -2}\text{.} \) Så faktoriserer vi, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ \begin{aligned} 2x^2 + 5x + 2 &= 2(x + 2)\left(x + \dfrac{1}{2}\right) \\ &= (x + 2)(2x + 1) \end{aligned} \]

Altså er: \[ f'(x) = 2(\textcolor{darkorange}{x + 2})(\textcolor{magenta}{2x + 1})(\textcolor{green}{x - 1}) \]

4. Finn hvor funksjonen vokser og avtar Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-2, -0.5, 1], "labels": ["-2", "-\\dfrac{1}{2}", "1"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 2}", "expr": "x + 2"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2x + 1}", "expr": "2x + 1"}, {"label": "\\textcolor{green}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "2(x + 2)(2x + 1)(x - 1)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) Der \( f'(x) \) er positiv, vokser \( f\text{,} \) og der den er negativ, avtar \( f\text{:} \) \[ \begin{aligned} \text{vokser: } &\left[-2, -\dfrac{1}{2}\right] \text{ og } [1, \infty) \\ \text{avtar: } &(-\infty, -2] \text{ og } \left[-\dfrac{1}{2}, 1\right] \end{aligned} \]

5. Finn største og minste verdi Når \( x \) vokser i begge retninger, vinner \( x^4 \) over de andre leddene: \[ \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \infty \]Så \( f \) har ingen største verdi.

Fra fortegnet ser vi at den minste verdien må ligge i \( {x = -2} \) eller \( {x = 1}\text{,} \) som i videoen Hva er et kritisk punkt: \[ \begin{aligned} f(-2) &= 16 - 16 - 12 + 8 + 4 = 0 \\ f(1) &= 1 + 2 - 3 - 4 + 4 = 0 \end{aligned} \]Den minste verdien er altså \( 0\text{.} \)

6. Vis symmetrien Grafen er symmetrisk om \( {x = -\dfrac{1}{2}} \) når punktene like langt til hver side har samme verdi, for alle \( t\text{:} \) \[ f\left(-\dfrac{1}{2} + t\right) = f\left(-\dfrac{1}{2} - t\right) \]

Siden \( f \) har minimum \( 0 \) i både \( {x = -2} \) og \( {x = 1}\text{,} \) er begge dobbeltrøtter. Vi prøver derfor kvadratet av \( {(x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &(x^2 + x - 2)^2 \\ &= x^4 + 2x^3 + x^2 - 4x^2 - 4x + 4 \\ &= x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x + 4 \end{aligned} \]

Vi fullfører kvadratet inne i parentesen: \[ f(x) = \left(\left(\textcolor{red}{x + \dfrac{1}{2}}\right)^2 - \dfrac{9}{4}\right)^2 \]

Med \( {x = -\dfrac{1}{2} + t} \) er \( {\textcolor{red}{x + \dfrac{1}{2}} = \textcolor{red}{t}}\text{,} \) og med \( {x = -\dfrac{1}{2} - t} \) er det \( {\textcolor{red}{-t}}\text{.} \) Begge gir samme kvadrat: \[ f\left(-\dfrac{1}{2} \pm t\right) = \left(\textcolor{red}{t}^2 - \dfrac{9}{4}\right)^2 \]