S1 eksamen høsten 2023

Alle oppgavene fra Udir-eksamenen, med svar og løsningsforslag steg for steg. Prøv selv først – løsningen ligger under hver oppgave.

Last ned PDF

Del 1

Uten hjelpemidler · 5 oppgaver

Oppgave 1

potenser

Skriv så enkelt som mulig.

\left(\dfrac{3a^2}{2b^3}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{a^2b^{-5}}{4}\right)^{-1}

Vis løsning

Svar

For

{a \neq 0}

{b \neq 0}

er uttrykket lik

\underline{\underline{\dfrac{9a^2}{b}}}

Oppgave 1 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023

Vi ser at uttrykket er to brøker ganget sammen, og hver av dem er opphøyd i en potens. Vi forenkler dem hver for seg og ganger dem sammen til slutt.

1. Regn ut den første faktoren 0:16 Å opphøye brøken i andre er å gange den med seg selv. Vi ganger teller med teller og nevner med nevner, som i videoen Oppgave 3: Forenkle uttrykket (brøk + negative potenser).

Potenser med samme grunntall ganger vi ved å legge sammen eksponentene: \[ p^m \cdot p^n = p^{m + n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \left(\dfrac{3a^2}{2b^3}\right)^2 &= \dfrac{3a^2 \cdot 3a^2}{2b^3 \cdot 2b^3} \\ &= \dfrac{9a^{2 + 2}}{4b^{3 + 3}} = \textcolor{blue}{\dfrac{9a^4}{4b^6}} \end{aligned} \]

2. Snu den andre faktoren 2:04 En negativ eksponent betyr én delt på potensen: \[ p^{-n} = \dfrac{1}{p^n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.

Inni parentesen er altså \( {b^{-5} = \dfrac{1}{b^5}}\text{,} \) så \( b^5 \) havner i nevneren: \[ \dfrac{a^2b^{-5}}{4} = \dfrac{a^2}{4b^5} \]

En brøk opphøyd i \( {-1} \) er én delt på brøken, altså den samme brøken snudd opp ned: \[ \left(\dfrac{a^2}{4b^5}\right)^{-1} = \textcolor{red}{\dfrac{4b^5}{a^2}} \]

3. Gang sammen og forkort 5:51 Vi ganger brøkene sammen. Med regelen fra steg 1 er \( {a^4 = a^2 \cdot a^2} \) og \( {b^6 = b^5 \cdot b}\text{,} \) så \( \textcolor{darkorange}{4}\text{,} \) \( \textcolor{darkorange}{a^2} \) og \( \textcolor{darkorange}{b^5} \) står både oppe og nede. Vi stryker dem: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\dfrac{9a^4}{4b^6}} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{4b^5}{a^2}} &= \dfrac{9 \cdot \textcolor{darkorange}{4} \cdot a^2 \cdot \textcolor{darkorange}{a^2} \cdot \textcolor{darkorange}{b^5}}{\textcolor{darkorange}{4} \cdot \textcolor{darkorange}{b^5} \cdot b \cdot \textcolor{darkorange}{a^2}} \\ &= \dfrac{9a^2}{b} \end{aligned} \]

Oppgave 2

ln,
logaritmer

Skriv uttrykkene nedenfor i stigende rekkefølge.

2\ln e^3, \qquad 3\lg 70, \qquad e^{3\ln 2}

Husk å begrunne svaret.

Vis løsning

Svar

I stigende rekkefølge:

\underline{\underline{3\lg 70 < 2\ln e^3 < e^{3\ln 2}}}

Oppgave 2 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023

Vi tar for oss uttrykkene hver for seg og finner verdien, eller to tall den ligger mellom. Så sorterer vi dem.

1. Regn ut det første uttrykket 0:33 \( \ln \) er logaritmen med grunntall \( e\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer. Derfor opphever \( \ln \) og \( e \) hverandre: \[ \ln\left(e^x\right) = x \qquad e^{\ln x} = x \]

\( \textcolor{blue}{2\ln e^3}\text{:} \) Med regelen er \( {\ln\left(e^3\right) = 3}\text{,} \) så: \[ \textcolor{blue}{\underline{2\ln e^3 = 2 \cdot 3 = 6}} \]

2. Avgrens det andre uttrykket 1:15 \( \lg x \) er tallet vi må opphøye 10 i for å få \( x\text{:} \) \[ 10^{\lg x} = x \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.

\( \textcolor{red}{3\lg 70}\text{:} \) Vi kan ikke regne ut \( \lg 70 \) uten kalkulator, så vi bruker litt logikk. \( \lg \) er voksende, og \( {10 < 70 < 100}\text{,} \) så: \[ 1 = \lg 10 < \lg 70 < \lg 100 = 2 \]

Ganger vi med 3, får vi: \[ \textcolor{red}{\underline{3 < 3\lg 70 < 6}} \]

3. Regn ut det tredje uttrykket 4:22 Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(x^n\right) = n \cdot \ln x \quad \text{for } x > 0 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Naturlige Logaritmer.

\( \textcolor{green}{e^{3\ln 2}}\text{:} \) Baklengs gir regelen \( {3\ln 2 = \ln\left(2^3\right) = \ln 8}\text{,} \) og siden \( e \) og \( \ln \) opphever hverandre, er \( {e^{\ln 8} = 8}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{\underline{e^{3\ln 2} = e^{\ln 8} = 8}} \]

4. Sorter verdiene 5:50 Slår vi dette sammen, får vi: \[ \textcolor{red}{3\lg 70} < 6 = \textcolor{blue}{2\ln e^3} < 8 = \textcolor{green}{e^{3\ln 2}} \]

Oppgave 3

sannsynlighet

Du kaster tre terninger.

Oppgave 3a)

Bestem sannsynligheten for at alle terningene viser forskjellig antall øyne.

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{P(\text{alle ulike}) = \dfrac{5}{9}}}

Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023

Vi tar terningene én om gangen. For hver terning finner vi sannsynligheten for at den viser et antall øyne som ikke er brukt, og ganger sannsynlighetene sammen.

1. Finn sannsynligheten for hver terning 0:12 Den første terningen kan vise hva som helst, så 6 av de 6 sidene er gunstige. Den andre må vise noe annet enn den første, og den tredje noe annet enn begge: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\text{Terning 1: }} & \textcolor{blue}{\dfrac{6}{6}} \\ \textcolor{red}{\text{Terning 2: }} & \textcolor{red}{\dfrac{5}{6}} \\ \textcolor{green}{\text{Terning 3: }} & \textcolor{green}{\dfrac{4}{6}} \end{aligned} \]

2. Gang sammen og forkort 1:00 Hver brøk gjelder når terningene før har vist forskjellig antall øyne, så vi ganger brøkene sammen. Vi stryker en \( \textcolor{darkorange}{6} \) oppe mot en nede og forkorter med 4: \[ \begin{aligned} P &= \textcolor{blue}{\dfrac{6}{6}} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{5}{6}} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{4}{6}} = \dfrac{\textcolor{darkorange}{6} \cdot 5 \cdot 4}{\textcolor{darkorange}{6} \cdot 6 \cdot 6} \\ P &= \dfrac{20}{36} = \dfrac{5}{9} \end{aligned} \]

Oppgave 3b)

Bestem sannsynligheten for at nøyaktig to av terningene viser samme antall øyne.

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{P(\text{nøyaktig to like}) = \dfrac{5}{12}}}

Oppgave 3B - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023

Vi bruker sannsynligheten for at alle terningene viser forskjellig, \( \dfrac{5}{9}\text{,} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Tre terninger viser enten tre like, tre ulike eller nøyaktig to like. Vi finner sannsynligheten for de to første og trekker dem fra 1.

1. Del opp i tre tilfeller 0:09 Nøyaktig ett av de tre tilfellene skjer, så sannsynlighetene blir til sammen 1: \[ \begin{aligned} P(\text{to like}) = 1 &- \textcolor{blue}{P(\text{alle like})} \\ &- \textcolor{red}{P(\text{alle ulike})} \end{aligned} \]

2. Finn sannsynligheten for alle like 1:24 Den første terningen kan vise hva som helst. De to andre må vise akkurat det samme tallet, med sannsynlighet \( \dfrac{1}{6} \) hver, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{P(\text{alle like})} = \dfrac{6}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{36}} \]

3. Trekk fra og forkort 2:30 I a) fant vi \( {\textcolor{red}{P(\text{alle ulike})} = \textcolor{red}{\dfrac{5}{9}} = \textcolor{red}{\dfrac{20}{36}}}\text{.} \) Med fellesnevner 36 får vi: \[ \begin{aligned} P(\text{to like}) &= \dfrac{36}{36} - \textcolor{blue}{\dfrac{1}{36}} - \textcolor{red}{\dfrac{20}{36}} \\ P(\text{to like}) &= \dfrac{15}{36} = \dfrac{5}{12} \end{aligned} \]

Oppgave 4

delt forskrift,
kontinuitet

En funksjon

f

er gitt ved

f(x) = \begin{cases} x^2 + 3x - a^2, & x < 1 \\ x - 1, & x \ge 1 \end{cases}

Bestem

a

slik at funksjonen blir kontinuerlig.

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{a = 2 \quad \text{eller} \quad a = -2}}

Oppgave 4 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023

Begge delene er polynomer, så grafen kan bare få et brudd i \( {x = 1}\text{,} \) der forskriften skifter. Der må de to delene gi samme verdi.

1. Skriv opp kravet 0:08 \( f \) er kontinuerlig i \( {x = 1} \) når grenseverdiene fra begge sider er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) \]For en delt forskrift betyr det at den øverste og den nederste delen gir samme verdi når vi setter inn \( {x = 1}\text{,} \) som i videoen For hvilke verdier av a blir f en kontinuerlig funksjon.

2. Finn verdien til den nederste delen 1:40 For \( {x \ge 1} \) gjelder \( {x - 1}\text{,} \) så: \[ f(1) = 1 - 1 = \textcolor{blue}{0} \]

3. Sett den øverste delen lik null 2:14 Den øverste delen må også gi \( \textcolor{blue}{0} \) når vi setter inn \( {x = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1^2 + 3 \cdot 1 - a^2 &= \textcolor{blue}{0} \\ 4 - a^2 &= 0 \\ a^2 &= 4 \end{aligned} \]

Både \( {2^2 = 4} \) og \( {(-2)^2 = 4}\text{,} \) så likningen har to løsninger.

Oppgave 5

derivasjon,
programmering,
økonomi

En bedrift produserer en vare. De daglige kostnadene

K

(i kroner) ved produksjon av

x

enheter av varen er gitt ved

K(x) = 0{,}1x^2 + 100x + 9000

Den økonomiansvarlige i bedriften har laget programmet nedenfor.

Hva blir resultatet når programmet kjøres? Gi en praktisk tolkning av svaret.

Vis løsning

Svar

Ved 500 enheter per dag øker kostnadene med omtrent 200 kroner for hver ekstra enhet:

\underline{\underline{\text{Programmet skriver ut } 500}}

Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023

Vi går gjennom programmet linje for linje, som datamaskinen gjør. Brøken i løkka kjenner vi igjen fra definisjonen av den deriverte.

1. Les programmet linje for linje 0:23 Linje 1 og 2 definerer \( K(x)\text{.} \) Løkka i linje 8 og 9 starter med \( {\textcolor{blue}{a} = 1} \) og øker \( \textcolor{blue}{a} \) med 1 så lenge \( \textcolor{red}{\text{brøken}} \) i linje 8 er mindre enn \( {\texttt{grense} = 200}\text{.} \) Når den blir 200 eller mer, stopper løkka, og linje 11 skriver ut \( \textcolor{blue}{a}\text{.} \)

2. Kjenn igjen den deriverte 1:35 Brøken i linje 8 er stigningstallet mellom to punkter på grafen som ligger svært nær hverandre, fordi \( {h = 0{,}00001}\text{.} \) Den deriverte er den samme brøken når \( h \) går mot 0: \[ K'(\textcolor{blue}{a}) = \lim_{h \to 0} \textcolor{red}{\dfrac{K(\textcolor{blue}{a} + h) - K(\textcolor{blue}{a})}{h}} \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Definisjonen til den deriverte.

\( \textcolor{red}{\text{Brøken}} \) i linje 8 er derfor nesten lik \( K'(\textcolor{blue}{a})\text{.} \) Programmet leter etter den første \( \textcolor{blue}{a} \) der \( {K'(\textcolor{blue}{a}) \ge 200}\text{.} \)

3. Deriver og løs ulikheten 2:35 Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/Formler.

Vi deriverer ledd for ledd. Konstanten \( 9000 \) har derivert 0: \[ \begin{aligned} K'(x) &= 0{,}1 \cdot 2x + 100 \\ K'(x) &= 0{,}2x + 100 \end{aligned} \]

Løkka stopper når \( {K'(a) \ge 200}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0{,}2\textcolor{blue}{a} + 100 &\ge 200 \\ 0{,}2\textcolor{blue}{a} &\ge 100 \\ \textcolor{blue}{a} &\ge \dfrac{100}{0{,}2} = 500 \end{aligned} \]Den første hele \( \textcolor{blue}{a} \) som oppfyller dette, er 500, så programmet skriver ut 500.

Kontroll: Regner vi ut brøken, blir den nøyaktig \( {0{,}2a + 100 + 0{,}1h}\text{.} \) Den er \( 199{,}800001 \) for \( {a = 499} \) og \( 200{,}000001 \) for \( {a = 500}\text{,} \) så løkka stopper akkurat på 500.

4. Tolk svaret 5:37 \( {K'(500) = 200} \) betyr at når bedriften produserer 500 enheter per dag, vokser kostnadene med omtrent 200 kroner per ekstra enhet. Å lage den 501. enheten koster altså omtrent 200 kroner ekstra.

Del 2

Med hjelpemidler · 6 oppgaver

Oppgave 1

optimering,
regresjon,
økonomi

En møbelfabrikk produserer en type sofaer. Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom antall sofaer de produserer per måned, og produksjonskostnadene per måned.

\begin{array}{r|r} \begin{array}{c} \text{Antall} \\ \text{sofaer} \end{array} & \text{Produksjonskostnader} \\ & \text{(i tusen kroner)} \\ \hline 10 & 270 \\ 25 & 550 \\ 40 & 870 \\ 70 & 1500 \\ 100 & 2200 \\ 140 & 3300 \\ 180 & 4500 \end{array}

Fabrikken selger alle sofaene til en møbelkjede. De får

28\,000

kroner per sofa.

Oppgave 1a)

Bruk opplysningene ovenfor til å vise at funksjonen

O

gitt ved

O(x) = -0{,}041x^2 + 11x - 103

er en god modell for det månedlige overskuddet (i tusen kroner) til fabrikken, dersom de produserer

x

sofaer.

Vis løsning

Svar

Overskuddet

{28x - K}

i tabellen ligger høyst 21,4 tusen kroner fra modellen, og regresjon gir den samme modellen:

\underline{\underline{O(x) \text{ er en god modell}}}

Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023

Overskuddet er inntekten minus kostnadene. Med kalkulator sammenligner vi modellen med overskuddet i tabellen, og i GeoGebra lager vi en modell for kostnadene med regresjon, som i videoen.

Metode: Med kalkulator

1. Sett opp overskuddet 0:51 Overskuddet er det fabrikken får for sofaene, minus det de koster å lage: \[ \text{overskudd} = \textcolor{blue}{\text{inntekt}} - \textcolor{red}{\text{kostnader}} \]

Alt regnes i tusen kroner, som i tabellen. Hver sofa gir \( 28 \) tusen kroner, så \( x \) sofaer gir inntekten \( \textcolor{blue}{28x}\text{.} \) Kostnadene \( \textcolor{red}{K} \) står i tabellen.

2. Sammenlign med tabellen For hver verdi av \( x \) i tabellen regner vi ut det virkelige overskuddet \( {\textcolor{blue}{28x} - \textcolor{red}{K}} \) og modellen \( O(x)\text{.} \) For \( {x = 40} \) er for eksempel: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{28 \cdot 40} - \textcolor{red}{870} &= 250 \\ O(40) &= 271{,}4 \end{aligned} \]

Gjør vi det samme for alle sju verdiene, får vi: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \textcolor{blue}{28x} - \textcolor{red}{K} & O(x) \\ \hline 10 & 10 & 2{,}9 \\ 25 & 150 & 146{,}4 \\ 40 & 250 & 271{,}4 \\ 70 & 460 & 466{,}1 \\ 100 & 600 & 587{,}0 \\ 140 & 620 & 633{,}4 \\ 180 & 540 & 548{,}6 \end{array} \]Modellen ligger høyst 21,4 tusen kroner fra det virkelige overskuddet, som går opp til 620 tusen kroner, og den stiger, flater ut og synker som tabellen. \( O(x) \) er derfor en god modell.

Metode: Med GeoGebra

1. Lag en modell for kostnadene 2:14 \( O(x) \) er en andregradsfunksjon, og inntekten \( 28x \) er lineær, så kostnadene må også være en andregradsfunksjon. Vi skriver tabellen inn i regnearket, lager en liste med punkt og bruker andregradsregresjon. Regresjonen finner den andregradsfunksjonen som ligger nærmest punktene:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) = RegPoly(l1, 2)

2. Trekk kostnadene fra inntekten 4:43 Overskuddet er inntekten \( \textcolor{blue}{28x} \) minus kostnadene \( \textcolor{red}{K(x)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = Polynom(28x - K(x))

Avrundet er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{K(x)} &\approx 0{,}041x^2 + 17{,}05x + 102{,}7 \\ O(x) &\approx -0{,}041x^2 + 10{,}95x - 102{,}7 \end{aligned} \]Avrunder vi de to siste tallene i \( O(x) \) til hele tall, får vi modellen fra oppgaven. Den er altså god.

Oppgave 1b)

Hvilken produksjonsmengde gir størst overskudd?

Vis løsning

Svar

Med hele sofaer gir 134 sofaer størst overskudd, omtrent 634 800 kroner per måned:

\underline{\underline{134 \text{ sofaer per måned}}}

Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023

Modellen \( O(x) \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Overskuddet er størst i toppunktet til \( O\text{,} \) der \( {O'(x) = 0}\text{.} \) Antall sofaer er et helt tall, så vi sammenligner de to hele tallene på hver side av toppunktet.

Merk – Modellen i videoen: Videoen regner med regresjonen fra a) i stedet for \( O(x)\text{,} \) og får toppunktet i \( {x \approx 133{,}55}\text{,} \) men også der gir 134 sofaer størst overskudd.

Metode: Med kalkulator

1. Deriver og sett lik null Modellen fra oppgaveteksten i a) er: \[ O(x) = -0{,}041x^2 + 11x - 103 \]

Toppunktet ligger der den deriverte er null, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ O'(x) = -0{,}082x + 11 \]

Vi setter \( {O'(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -0{,}082x + 11 &= 0 \\ x &= \dfrac{11}{0{,}082} \approx 134{,}15 \end{aligned} \]Grafen er en parabel som vender ned, fordi \( {-0{,}041 < 0}\text{,} \) så dette er et toppunkt.

2. Sjekk hele sofaer 0:46 Fabrikken kan ikke lage \( 134{,}15 \) sofaer, så vi sammenligner de to nærmeste hele tallene: \[ \begin{aligned} O(\textcolor{blue}{134}) &= \textcolor{blue}{634{,}804} \\ O(\textcolor{red}{135}) &= \textcolor{red}{634{,}775} \end{aligned} \]\( \textcolor{blue}{134} \) sofaer gir størst overskudd, omtrent 634 800 kroner.

Metode: Med GeoGebra

1. Finn toppunktet i GeoGebra 0:17 Vi skriver inn \( O\text{,} \) finner toppunktet med Ekstremalpunkt og regner ut \( O(134) \) og \( O(135)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = -0.041x^2 + 11x - 103 T = Ekstremalpunkt(O) o_1 = O(134) o_2 = O(135)

Toppunktet er \( {T \approx (134{,}1463,\ 634{,}8049)}\text{,} \) og \( {O(134) = 634{,}804} \) er større enn \( {O(135) = 634{,}775}\text{.} \) 134 sofaer gir størst overskudd.

Fabrikken ønsker at overskuddet skal være 1 million kroner per måned. De vil derfor endre salgsprisen på sofaene.

Oppgave 1c)

Bestem den laveste salgsprisen de kan sette per sofa, dersom de skal få dette overskuddet.

Vis løsning

Svar

Avrundet til hele kroner, med 164 sofaer per måned:

\underline{\underline{30\,450 \text{ kroner per sofa}}}

Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023

Modellen \( O(x) \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Kostnadene er de samme, men prisen \( v \) per sofa endres. Prisen er lavest når det største overskuddet akkurat blir 1000 tusen kroner, så vi krever det i toppunktet.

Merk – Modellen i videoen: Videoen regner med kostnadene fra regresjonen i a) med alle desimalene og får omtrent 30 500 kroner, fordi tallene i \( O(x) \) er avrundet.

Metode: Med kalkulator

1. Sett opp overskuddet med ny pris 0:47 Modellen fra oppgaveteksten i a) er: \[ O(x) = -0{,}041x^2 + 11x - 103 \]

Kostnadene \( K(x) \) er inntekten minus overskuddet: \[ \begin{aligned} K(x) &= 28x - O(x) \\ K(x) &= 0{,}041x^2 + 17x + 103 \end{aligned} \]

Får fabrikken \( \textcolor{blue}{v} \) tusen kroner per sofa, blir det nye overskuddet \( {O_2(x) = \textcolor{blue}{v}x - K(x)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O_2(x) = {} &-0{,}041x^2 \\ &+ (\textcolor{blue}{v} - 17)x - 103 \end{aligned} \]

2. Finn toppunktet 1:30 Toppunktet ligger der den deriverte er null. Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ O_2'(x) = -0{,}082x + \textcolor{blue}{v} - 17 = 0 \]Det gir \( {\textcolor{blue}{v} - 17 = 0{,}082x} \) i toppunktet.

3. Krev 1 million i toppunktet 4:08 Vi setter \( {\textcolor{blue}{v} - 17 = 0{,}082x} \) inn i \( O_2(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} O_2(x) &= -0{,}041x^2 + 0{,}082x^2 - 103 \\ &= 0{,}041x^2 - 103 \end{aligned} \]

1 million kroner er 1000 tusen kroner, så overskuddet i toppunktet skal være 1000: \[ \begin{aligned} 0{,}041x^2 - 103 &= 1000 \\ x^2 &= \dfrac{1103}{0{,}041} \\ x &\approx 164{,}02 \end{aligned} \]Antall sofaer er positivt, så vi bruker bare den positive roten.

4. Finn prisen 6:03 Vi setter \( {x \approx 164{,}02} \) inn i \( {\textcolor{blue}{v} - 17 = 0{,}082x}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{v} \approx 17 + 0{,}082 \cdot 164{,}02 \approx 30{,}4496 \]Prisen må være omtrent \( 30{,}45 \) tusen kroner, altså 30 450 kroner per sofa. Da lager de 164 sofaer.

Metode: Med GeoGebra

1. Løs i CAS 1:50 Vi skriver inn det nye overskuddet med prisen \( v \) i CAS, som i videoen. Rad 4 gir toppunktet uttrykt ved \( v\text{,} \) og rad 6 setter overskuddet der lik 1000, med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) := -0.041x^2 + 11x - 103 K(x) := 28x - O(x) O_2(x) := v*x - K(x) Løs(O_2'(x) = 0, x) E(v) := 500/41*v - 8500/41 Løs(O_2(E(v)) = 1000, v) {E(3.5504), E(30.4496)}

CAS gir \( {v \approx 3{,}5504} \) eller \( {v \approx 30{,}4496}\text{.} \) Med \( {v \approx 3{,}5504} \) ligger toppunktet i en negativ \( x\text{,} \) så den løsningen forkaster vi. Prisen er omtrent 30 450 kroner per sofa.

Oppgave 2

binomisk fordeling,
sannsynlighet

Undersøkelser viser at 10 prosent av alle menn og 8 prosent av alle kvinner er venstrehendte.

Oppgave 2a)

På en skole er det 280 gutter og 220 jenter. Bestem sannsynligheten for at minst 25 av guttene på skolen er venstrehendte.

Vis løsning

Svar

Avrundet til fire desimaler:

\underline{\underline{P(X \ge 25) \approx 0{,}7528}}

Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023

Hver gutt er enten venstrehendt eller ikke, med samme sannsynlighet 0,1, og guttene påvirker ikke hverandre. Antall venstrehendte gutter er derfor binomisk fordelt.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke legge sammen så mange sannsynligheter. Øv heller på å kjenne igjen en binomisk fordeling, og på å regne den ut for små tall med formelen, som i b).

Metode: Med GeoGebra

1. Kjenn igjen binomisk fordeling 1:10 La \( X \) være antall venstrehendte gutter. Vi sjekker de fire kravene til en binomisk fordeling: hver gutt er venstrehendt eller høyrehendt, vi har et fast antall forsøk, \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{280}} \) gutter, sannsynligheten er den samme for hver gutt, \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}1}}\text{,} \) og guttene påvirker ikke hverandre.

\( X \) er altså binomisk fordelt, og sannsynligheten for nøyaktig \( k \) venstrehendte er: \[ P(X = k) = \binom{\textcolor{blue}{n}}{k} \cdot \textcolor{red}{p}^k \cdot (1 - \textcolor{red}{p})^{\textcolor{blue}{n} - k} \]

2. Regn ut i GeoGebra 2:51 «Minst 25» er 25 eller flere. Det er det motsatte av høyst 24: \[ P(X \ge 25) = 1 - P(X \le 24) \]

I CAS gir FordelingBinomial med true sannsynligheten for høyst 24. Vi bruker knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingBinomial(280, 0.1, 24, true)

CAS gir \( {P(X \ge 25) \approx 0{,}7528}\text{.} \) Sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra gir det samme, som i videoen.

Oppgave 2b)

Hvor mange gutter må det være i en klasse dersom sannsynligheten for at minst tre av guttene er venstrehendte, skal være større enn 20 prosent?

Vis løsning

Svar

Med 16 gutter er sannsynligheten omtrent 21,1 %, med 15 bare 18,4 %:

\underline{\underline{\text{Minst 16 gutter}}}

Oppgave 2B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023

Antall venstrehendte gutter i klassen er binomisk fordelt med \( {p = 0{,}1}\text{.} \) Vi prøver oss fram med antall gutter \( n \) til \( {P(X \ge 3)} \) blir større enn 0,2.

Metode: Med kalkulator

1. Skriv opp sannsynligheten \( X \) er antall venstrehendte blant \( \textcolor{blue}{n} \) gutter. \( X \) er binomisk fordelt med \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}1}}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(X = k) = \binom{\textcolor{blue}{n}}{k} \cdot \textcolor{red}{0{,}1}^k \cdot 0{,}9^{\textcolor{blue}{n} - k} \]

Det er enklest å regne ut det motsatte, høyst 2 venstrehendte: \[ P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) \]Her er \( {P(X \le 2)} \) summen av \( {P(X = 0)}\text{,} \) \( {P(X = 1)} \) og \( {P(X = 2)}\text{.} \)

2. Prøv med 15 og 16 gutter 0:52 Vi prøver oss fram. Med \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{15}} \) og \( {\binom{15}{2} = 105} \) er: \[ \begin{aligned} P(X \le 2) &= 0{,}9^{15} + 15 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9^{14} \\ &\quad + 105 \cdot 0{,}1^2 \cdot 0{,}9^{13} \\ &\approx 0{,}816 \\ P(X \ge 3) &\approx 1 - 0{,}816 = 0{,}184 \end{aligned} \]

Med \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{16}} \) og \( {\binom{16}{2} = 120} \) er: \[ \begin{aligned} P(X \le 2) &= 0{,}9^{16} + 16 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9^{15} \\ &\quad + 120 \cdot 0{,}1^2 \cdot 0{,}9^{14} \\ &\approx 0{,}789 \\ P(X \ge 3) &\approx 1 - 0{,}789 = 0{,}211 \end{aligned} \]Med 15 gutter er sannsynligheten under 20 %, og med 16 er den over. Sannsynligheten vokser når \( n \) øker, så det må være minst 16 gutter.

Metode: Med GeoGebra

1. Prøv deg fram i CAS 0:14 Vi regner ut \( {P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2)} \) for 15 og 16 gutter, med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingBinomial(15, 0.1, 2, true) 1 - FordelingBinomial(16, 0.1, 2, true)

CAS gir omtrent 0,1841 med 15 gutter og 0,2108 med 16. Det må altså være minst 16 gutter.

I en klasse er det 13 gutter og 17 jenter.

Oppgave 2c)

Bestem sannsynligheten for at nøyaktig tre av elevene i klassen er venstrehendte.

Vis løsning

Svar

Avrundet til fire desimaler:

\underline{\underline{P(\text{nøyaktig tre}) \approx 0{,}2309}}

Oppgave 2C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023

Guttene og jentene har ulik sannsynlighet for å være venstrehendte, så vi ser på dem hver for seg. Vi deler opp etter hvor mange av de tre venstrehendte som er gutter, og legger sammen.

Merk – Metoden i videoen: I videoen bruker vi én sannsynlighet for hele klassen og runder den av fra 0,0887 til 0,09, og det er mest den avrundingen som gjør at vi får 0,2319 og ikke 0,2309.

Metode: Med kalkulator

1. Skriv opp de to fordelingene 0:08 La \( \textcolor{blue}{G} \) være antall venstrehendte blant de 13 guttene og \( \textcolor{red}{J} \) antall venstrehendte blant de 17 jentene. Hver for seg er de binomisk fordelt, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{G} = g) &= \binom{13}{g} \cdot 0{,}1^g \cdot 0{,}9^{13 - g} \\ P(\textcolor{red}{J} = j) &= \binom{17}{j} \cdot 0{,}08^j \cdot 0{,}92^{17 - j} \end{aligned} \]

2. Del opp etter antall gutter Tre venstrehendte i klassen kan være 0, 1, 2 eller 3 gutter, og resten jenter. Guttene og jentene påvirker ikke hverandre, så vi ganger og legger sammen: \[ \begin{aligned} P = {} & P(\textcolor{blue}{G} = 0) \cdot P(\textcolor{red}{J} = 3) \\ &+ P(\textcolor{blue}{G} = 1) \cdot P(\textcolor{red}{J} = 2) \\ &+ P(\textcolor{blue}{G} = 2) \cdot P(\textcolor{red}{J} = 1) \\ &+ P(\textcolor{blue}{G} = 3) \cdot P(\textcolor{red}{J} = 0) \end{aligned} \]

3. Regn ut og legg sammen Hvert ledd regner vi ut med formlene fra steg 1 og kalkulatoren. For eksempel er \( {\binom{17}{3} = 680}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{red}{J} = 3) &= 680 \cdot 0{,}08^3 \cdot 0{,}92^{14} \\ &\approx 0{,}1083 \end{aligned} \]

Ganger vi \( {\textcolor{blue}{P(G = g)}} \) med \( {\textcolor{red}{P(J = 3 - g)}} \) for hver \( g\text{,} \) får vi, avrundet til fire desimaler: \[ \begin{aligned} g = 0\text{:} \quad & \textcolor{blue}{0{,}2542} \cdot \textcolor{red}{0{,}1083} \approx 0{,}0275 \\ g = 1\text{:} \quad & \textcolor{blue}{0{,}3672} \cdot \textcolor{red}{0{,}2492} \approx 0{,}0915 \\ g = 2\text{:} \quad & \textcolor{blue}{0{,}2448} \cdot \textcolor{red}{0{,}3582} \approx 0{,}0877 \\ g = 3\text{:} \quad & \textcolor{blue}{0{,}0997} \cdot \textcolor{red}{0{,}2423} \approx 0{,}0242 \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen med alle desimalene fra kalkulatoren, får vi: \[ \begin{aligned} P &\approx 0{,}0275 + 0{,}0915 \\ &\quad + 0{,}0877 + 0{,}0242 \\ &\approx 0{,}2309 \end{aligned} \]

Metode: Med GeoGebra

1. Regn ut summen i CAS Vi lager en liste med \( {P(G = 0)} \) til \( {P(G = 3)}\text{,} \) og en med \( {P(J = 3)} \) ned til \( {P(J = 0)}\text{.} \) Summen av produktene er sannsynligheten. Vi bruker knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: G := Følge(FordelingBinomial(13, 0.1, g, false), g, 0, 3) J := Følge(FordelingBinomial(17, 0.08, 3 - g, false), g, 0, 3) Sum(G*J)

CAS gir sannsynligheten omtrent 0,2309.

Oppgave 3

prosent,
vekstfaktor

Per og Kåre setter inn like store beløp på hver sin konto. Per får en årlig rente på 3,00 prosent, mens Kåre får en årlig rente på 6,00 prosent.

Oppgave 3a)

Hvilket beløp må Per sette inn dersom han skal ha

30\,000

kroner på kontoen etter 8 år?

Vis løsning

Svar

Avrundet til hele øre:

\underline{\underline{\text{Per må sette inn } 23\,682{,}28 \text{ kr}}}

Oppgave 3A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023

Hvert år blir beløpet ganget med vekstfaktoren 1,03. Vi setter opp en likning for beløpet etter 8 år og løser den for beløpet Per setter inn.

Metode: Med kalkulator

1. Sett opp likningen 1:51 Med 3 % rente har Per 100 % + 3 % av beløpet etter ett år. Vekstfaktoren er derfor: \[ V = 1 + \dfrac{3}{100} = \textcolor{blue}{1{,}03} \]

Hvert år ganges beløpet med vekstfaktoren, så etter \( x \) år er det ganget med \( \textcolor{blue}{1{,}03}^x\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. Per setter inn \( \textcolor{red}{b} \) kroner og skal ha \( 30\,000 \) kroner etter 8 år: \[ \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{blue}{1{,}03}^8 = 30\,000 \]

2. Løs for beløpet Vi deler begge sider på \( \textcolor{blue}{1{,}03}^8\text{:} \) \[ \textcolor{red}{b} = \dfrac{30\,000}{\textcolor{blue}{1{,}03}^8} \approx 23\,682{,}28 \]

Metode: Med GeoGebra

1. Løs likningen i CAS 0:30 Vi løser likningen \( {b \cdot 1{,}03^8 = 30\,000} \) i CAS, med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(b*1.03^8 = 30000, b)

CAS gir \( {b \approx 23\,682{,}277}\text{,} \) altså omtrent 23 682,28 kroner.

Oppgave 3b)

Påstand Det vil gå nøyaktig dobbelt så lang tid før beløpet Per har på konto, har doblet seg, som det vil gå før beløpet Kåre har på konto, har doblet seg.

Argumenter for at påstanden ikke er riktig.

Vis løsning

Svar

Etter dobbelt så lang tid som Kåre bruker, har Per mer enn doblet beløpet, fordi

{1{,}03^2 = 1{,}0609 > 1{,}06}\text{:}

\underline{\underline{\text{Påstanden er ikke riktig}}}

Oppgave 3B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023

Vi skriver opp beløpene til Per og Kåre etter \( x \) år. Er påstanden riktig, har Per doblet beløpet sitt etter \( 2x \) år når Kåre har doblet sitt etter \( x \) år.

Metode: For hånd

1. Skriv opp beløpene 0:09 Begge setter inn beløpet \( b\text{.} \) Med vekstfaktorene \( \textcolor{blue}{1{,}03} \) og \( \textcolor{red}{1{,}06} \) har de etter \( x \) år: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\text{Per: }} & b \cdot \textcolor{blue}{1{,}03}^x \\ \textcolor{red}{\text{Kåre: }} & b \cdot \textcolor{red}{1{,}06}^x \end{aligned} \]

2. Sett opp påstanden som en likning 0:43 La Kåre ha doblet beløpet sitt etter \( x \) år. Ifølge påstanden har Per da doblet sitt etter \( 2x \) år, og de har begge \( 2b\text{.} \) Det gir likningen: \[ b \cdot \textcolor{blue}{1{,}03}^{2x} = b \cdot \textcolor{red}{1{,}06}^x \]

3. Sammenlign vekstfaktorene 1:56 Vi deler på \( b\text{.} \) En potens opphøyd i en ny potens gir produktet av eksponentene, \( {(p^m)^n = p^{m \cdot n}}\text{,} \) som i videoen Flere regneregler med Potenser. Da er \( {\textcolor{blue}{1{,}03}^{2x} = (\textcolor{blue}{1{,}03}^2)^x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{1{,}03}^2)^x &= \textcolor{red}{1{,}06}^x \\ 1{,}0609^x &= \textcolor{red}{1{,}06}^x \end{aligned} \]Siden \( {1{,}0609 > 1{,}06}\text{,} \) er venstresiden større enn høyresiden for alle \( {x > 0}\text{.} \) Likningen stemmer aldri: når det har gått dobbelt så lang tid, har Per mer enn doblet beløpet sitt. Påstanden er derfor ikke riktig.

Alternativ metode: Regn ut doblingstidene Beløpet er doblet når vekstfaktoren opphøyd i antall år er 2. Med \( \lg \) på begge sider får vi doblingstidene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1{,}03}^x = 2 \;&\Rightarrow\; x = \dfrac{\lg 2}{\lg 1{,}03} \approx 23{,}4 \\ \textcolor{red}{1{,}06}^x = 2 \;&\Rightarrow\; x = \dfrac{\lg 2}{\lg 1{,}06} \approx 11{,}9 \end{aligned} \]Dobbelt så lang tid som Kåre ville vært \( {2 \cdot 11{,}9 = 23{,}8} \) år, ikke 23,4. Metoden viser også hvor stor forskjellen er.

Oppgave 3c)

Hvor lang tid vil det går før Per og Kåre til sammen har dobbelt så mye penger som de satte inn på kontoene, dersom den årlige renten er henholdsvis 3,00 prosent og 6,00 prosent?

Vis løsning

Svar

Avrundet til én desimal:

\underline{\underline{\text{Etter omtrent } 15{,}2 \text{ år}}}

Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023

Til sammen satte de inn \( 2b\text{,} \) så dobbelt så mye er \( 4b\text{.} \) Vi setter opp en likning for når summen av beløpene er \( 4b\text{,} \) og løser den i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen kan ikke løses med logaritmer, fordi grunntallene er ulike. Uten PC kan vi prøve oss fram med kalkulatoren: etter 15 år er summen \( 3{,}95b \) og etter 16 år \( 4{,}15b\text{,} \) så svaret ligger mellom 15 og 16 år.

Metode: Med GeoGebra

1. Sett opp likningen 0:16 Etter \( x \) år har Per \( {b \cdot \textcolor{blue}{1{,}03}^x} \) og Kåre \( {b \cdot \textcolor{red}{1{,}06}^x}\text{.} \) De satte inn \( 2b \) til sammen, og dobbelt så mye er \( 4b\text{:} \) \[ b \cdot \textcolor{blue}{1{,}03}^x + b \cdot \textcolor{red}{1{,}06}^x = 4b \]

Faktoriserer vi ut \( b \) og deler på \( b\text{,} \) får vi: \[ \textcolor{blue}{1{,}03}^x + \textcolor{red}{1{,}06}^x = 4 \]

2. Løs likningen i CAS 2:33 Vi løser likningen numerisk med NLøs og startverdien \( {x = 15}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(1.03^x + 1.06^x = 4, x = 15)

CAS gir \( {x \approx 15{,}2434}\text{.} \) Det går omtrent 15,2 år, altså i løpet av det 16. året, før de til sammen har dobbelt så mye som de satte inn.

Oppgave 4

programmering,
sannsynlighet,
simulering

Du kaster fem terninger.

Oppgave 4a)

Bestem sannsynligheten for at minst to av terningene viser samme antall øyne.

Vis løsning

Svar

Avrundet til tre desimaler:

\underline{\underline{P(\text{minst to like}) = \dfrac{49}{54} \approx 0{,}907}}

Oppgave 4A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023

«Minst to like» dekker alle tilfellene unntatt ett: at alle fem terningene viser forskjellig. Vi finner sannsynligheten for det og trekker den fra 1.

Metode: For hånd

1. Bruk den motsatte hendelsen 0:20 Enten viser alle fem terningene forskjellig antall øyne, eller så viser minst to av dem det samme. Sannsynlighetene for de to tilfellene blir til sammen 1: \[ \begin{aligned} &P(\text{minst to like}) \\ &= 1 - \textcolor{blue}{P(\text{alle ulike})} \end{aligned} \]

2. Finn sannsynligheten for alle ulike 1:39 Vi tar terningene én om gangen, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023. Hver ny terning må vise et antall øyne som ikke er brukt: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{P(\text{alle ulike})} &= \dfrac{6}{6} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{2}{6} \\ \textcolor{blue}{P(\text{alle ulike})} &= \dfrac{720}{7776} = \textcolor{blue}{\dfrac{5}{54}} \end{aligned} \]

3. Trekk fra 1 4:13 Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(\text{minst to like}) &= 1 - \textcolor{blue}{\dfrac{5}{54}} \\ &= \dfrac{49}{54} \approx 0{,}907 \end{aligned} \]

X

være summen av antall øyne på de fem terningene.

Oppgave 4b)

Bruk programmering til å bestemme

{P(X > 20)}\text{.}

Vis løsning

Svar

Med 10 millioner simulerte kast, avrundet til én desimal, og den eksakte verdien:

\begin{aligned} &\underline{\underline{P(X > 20) \approx 22{,}1\,\%}} \\ &\underline{\underline{\text{Eksakt: } \dfrac{287}{1296} \approx 0{,}2215}} \end{aligned}

Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023

Sannsynligheten er omtrent andelen av mange forsøk der summen blir over 20. Vi lar programmet kaste fem terninger svært mange ganger og telle, som i videoen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike programmer på papir: en funksjon, en løkke og en teller.

Metode: Med Python

1. Simuler fem terninger 4:02 Her er programmet, med utskriften fra én kjøring:

Funksjonen \( \texttt{kast} \) i linje 3 til 12 kaster fem terninger og returnerer summen. \( \texttt{np.random.randint(1, 7)} \) gir et tilfeldig heltall fra 1 til 6, fordi tallet 7 ikke er med.

2. Tell forsøkene med sum over 20 8:18 Løkka i linje 17 til 21 kaster fem terninger \( \textcolor{red}{10\,000\,000} \) ganger, antall forsøk fra linje 14. Hver gang summen er over 20, øker telleren \( \textcolor{blue}{\texttt{antall\_over\_20}} \) med 1.

3. Regn ut sannsynligheten 14:13 Linje 23 deler antallet over 20 på antall forsøk: \[ P(X > 20) \approx \dfrac{\textcolor{blue}{\text{antall over } 20}}{\textcolor{red}{\text{antall forsøk}}} \]Linje 23 ganger også med 100, så programmet skriver ut sannsynligheten i prosent.

Programmet gir omtrent 22,1 %. Svaret varierer litt fra kjøring til kjøring, og jo flere forsøk, jo mindre varierer det.

Kontroll: Teller vi alle \( {6^5 = 7776} \) like sannsynlige kast i stedet for å trekke tilfeldige, har 1722 av dem sum over 20, så sannsynligheten er \( {\dfrac{287}{1296} \approx 0{,}2215}\text{.} \)

Oppgave 4c)

Bestem den største verdien av

k

som er slik at

{P(X \ge k) > 0{,}8}\text{.}

Vis løsning

Svar

{P(X \ge 14) \approx 0{,}848}\text{,}

mens

{P(X \ge 15) \approx 0{,}779}\text{:}

\underline{\underline{k = 14}}

Oppgave 4C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023

Vi bygger videre på programmet fra b).

\( {P(X \ge k)} \) blir mindre når \( k \) øker. Vi lar et program regne ut sannsynligheten for \( {k = 1, 2, 3} \) og så videre, og stoppe når den ikke lenger er større enn 0,8.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike programmer på papir, særlig while-løkker som stopper når et krav ikke lenger holder.

Metode: Med Python

1. Lag en funksjon for sannsynligheten 4:38 Her er programmet:

Vi flytter tellingen fra b) inn i funksjonen \( \texttt{sannsynlighet(k)} \) i linje 18 til 28. Den kaster fem terninger \( \textcolor{red}{10\,000} \) ganger, teller kastene med sum minst \( k \) i \( \textcolor{blue}{\texttt{antall\_over\_k}} \) og returnerer andelen: \[ P(X \ge k) \approx \dfrac{\textcolor{blue}{\text{antall med sum} \ge k}}{\textcolor{red}{10\,000}} \]

2. La en løkke øke k 6:30 While-løkka i linje 30 til 33 starter med \( {k = 1} \) og øker \( k \) med 1 så lenge sannsynligheten er større enn 0,8. For hver \( k \) skriver den ut \( k \) og sannsynligheten. Kjører vi programmet, skriver det ut:

Den siste \( k \) som skrives ut, er 14. For \( {k = 15} \) er sannsynligheten ikke lenger over 0,8, så løkka stopper.

Kontroll: Teller vi alle 7776 kast, er \( {P(X \ge 14) = \dfrac{1099}{1296} \approx 0{,}848} \) og \( {P(X \ge 15) = \dfrac{1009}{1296} \approx 0{,}779}\text{.} \)

Oppgave 5

optimering,
volum

Du skal lage en kasse uten lokk. Den skal ha form som et rett prisme. Grunnflaten i kassen skal være kvadratisk. For at vekten ikke skal bli for stor, kan ikke det samlede arealet av platene som brukes til å lage kassen, være mer enn

120\,\text{dm}^2\text{.}

Oppgave 5a)

Hva er det største volumet kassen kan få dersom sidene i bunnen skal være

5\,\text{dm}\text{?}

Vis løsning

Svar

Med høyden 4,75 dm blir det største volumet:

\underline{\underline{V = 118{,}75\,\text{dm}^3}}

Oppgave 5A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023

Med bunnsider på 5 dm blir volumet større jo høyere kassen er. Høyden begrenses av at platene til sammen kan være høyst \( 120\,\text{dm}^2\text{.} \)

Metode: For hånd

1. Skriv opp volum og areal 1:15 Vi kaller sidene i bunnen \( \textcolor{blue}{s} \) og høyden \( \textcolor{red}{h}\text{.} \) Volumet er grunnflaten ganget med høyden. Platene er bunnen og de fire sideflatene, men ikke lokket: \[ \begin{aligned} V &= \textcolor{blue}{s}^2 \cdot \textcolor{red}{h} \\ A &= \textcolor{blue}{s}^2 + 4\textcolor{blue}{s}\textcolor{red}{h} \end{aligned} \]

2. Finn den største høyden 4:30 Med \( {\textcolor{blue}{s} = \textcolor{blue}{5}} \) kan arealet være høyst 120: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{5}^2 + 4 \cdot \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{h} &\le 120 \\ 20\textcolor{red}{h} &\le 95 \\ \textcolor{red}{h} &\le 4{,}75 \end{aligned} \]

3. Regn ut volumet 6:30 Volumet er størst når \( \textcolor{red}{h} \) er størst, altså \( {\textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{4{,}75}\,\text{dm}}\text{.} \) Vi ganger tallene og enhetene hver for seg, og \( {\text{dm} \cdot \text{dm} \cdot \text{dm} = \text{dm}^3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V &= \textcolor{blue}{5}\,\text{dm} \cdot \textcolor{blue}{5}\,\text{dm} \cdot \textcolor{red}{4{,}75}\,\text{dm} \\ V &= 118{,}75\,\text{dm}^3 \end{aligned} \]

Oppgave 5b)

Hva er det maksimale volumet kassen kan få?

Vis løsning

Svar

Med sidene

{\sqrt{40} \approx 6{,}32}

dm i bunnen blir volumet, avrundet til to desimaler,

\underline{\underline{V_{\text{maks}} \approx 126{,}49\,\text{dm}^3}}

Oppgave 5B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023

Volumet blir størst når hele arealet på \( 120\,\text{dm}^2 \) brukes. Vi uttrykker høyden ved \( s\text{,} \) skriver volumet som en funksjon av \( s \) og finner toppunktet.

Metode: Med kalkulator

1. Uttrykk høyden ved sidene 0:36 Med sidene \( \textcolor{blue}{s} \) i bunnen og høyden \( \textcolor{red}{h} \) er volumet \( {V = \textcolor{blue}{s}^2 \cdot \textcolor{red}{h}} \) og arealet \( {A = \textcolor{blue}{s}^2 + 4\textcolor{blue}{s}\textcolor{red}{h}}\text{.} \) Vi setter arealet lik 120 og løser for \( \textcolor{red}{h}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{s}^2 + 4\textcolor{blue}{s}\textcolor{red}{h} &= 120 \\ \textcolor{red}{h} &= \textcolor{red}{\dfrac{120 - s^2}{4s}} \end{aligned} \]

2. Skriv volumet som en funksjon 1:36 Plugger vi høyden inn i volumet og stryker en \( s\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} V(s) &= s^2 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{120 - s^2}{4s}} \\ V(s) &= \dfrac{s(120 - s^2)}{4} = 30s - \dfrac{1}{4}s^3 \end{aligned} \]Sidene må være mellom 0 og \( {\sqrt{120} \approx 10{,}95} \) dm, ellers blir høyden negativ.

3. Finn toppunktet 3:20 Toppunktet ligger der den deriverte er null, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} V'(s) = 30 - \dfrac{3}{4}s^2 &= 0 \\ s^2 &= 40 \\ s &= \sqrt{40} \approx 6{,}32 \end{aligned} \]Vi sjekker fortegnet på hver side av \( {s = \sqrt{40} \approx 6{,}32}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V'(6) &= 30 - \dfrac{3}{4} \cdot 36 = 3 > 0 \\ V'(7) &= 30 - \dfrac{3}{4} \cdot 49 = -6{,}75 < 0 \end{aligned} \]Volumet vokser før og avtar etter, så det er et toppunkt.

4. Regn ut volumet Vi setter \( {s = \sqrt{40}} \) inn i \( V(s)\text{.} \) Siden \( {(\sqrt{40})^3 = 40\sqrt{40}}\text{,} \) er: \[ \begin{aligned} V(\sqrt{40}) &= 30\sqrt{40} - \dfrac{1}{4} \cdot 40\sqrt{40} \\ V(\sqrt{40}) &= 20\sqrt{40} \approx 126{,}49 \end{aligned} \]

Metode: Med GeoGebra

1. Finn toppunktet i GeoGebra 2:16 Med høyden fra kalkulatorruten er \( {V(s) = s^2 \cdot \dfrac{120 - s^2}{4s}}\text{.} \) Vi tegner funksjonen for \( {0 \le s \le \sqrt{120}} \) og finner toppunktet med Ekstremalpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: V(s) = Funksjon(s^2*(120 - s^2)/(4s), 0, sqrt(120)) T = Ekstremalpunkt(V, 0, 10)

Toppunktet er \( {T \approx (6{,}3246,\ 126{,}4911)}\text{.} \) Det største volumet er omtrent \( 126{,}49\,\text{dm}^3\text{.} \)

Du skal lage en slik kasse som rommer

80\,\text{dm}^3\text{.}

Oppgave 5c)

Hva er det minste samlede arealet platene kan ha, dersom du skal lage en slik kasse?

Vis løsning

Svar

Med sidene

{\sqrt[3]{160} \approx 5{,}43}

dm i bunnen blir arealet, avrundet til to desimaler,

\underline{\underline{A_{\text{min}} \approx 88{,}42\,\text{dm}^2}}

Oppgave 5C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023

Nå er volumet fast. Vi uttrykker høyden ved \( s\text{,} \) skriver arealet som en funksjon av \( s \) og finner bunnpunktet.

Metode: Med kalkulator

1. Uttrykk høyden ved sidene 0:56 Med sidene \( \textcolor{blue}{s} \) i bunnen og høyden \( \textcolor{red}{h} \) er volumet \( {V = \textcolor{blue}{s}^2 \cdot \textcolor{red}{h}} \) og arealet \( {A = \textcolor{blue}{s}^2 + 4\textcolor{blue}{s}\textcolor{red}{h}}\text{.} \) Volumet skal være 80: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{s}^2 \cdot \textcolor{red}{h} &= 80 \\ \textcolor{red}{h} &= \textcolor{red}{\dfrac{80}{s^2}} \end{aligned} \]

2. Skriv arealet som en funksjon 1:39 Plugger vi høyden inn i arealet, får vi: \[ \begin{aligned} A(s) &= s^2 + 4s \cdot \textcolor{red}{\dfrac{80}{s^2}} \\ A(s) &= s^2 + \dfrac{320}{s} \end{aligned} \]for \( {s > 0}\text{.} \)

3. Finn bunnpunktet 3:48 Vi skriver \( {\dfrac{320}{s} = 320s^{-1}}\text{,} \) så potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) gir: \[ \begin{aligned} A'(s) = 2s - \dfrac{320}{s^2} &= 0 \\ 2s^3 &= 320 \\ s^3 &= 160 \\ s &= \sqrt[3]{160} \approx 5{,}43 \end{aligned} \]Vi sjekker fortegnet på hver side av \( {s = \sqrt[3]{160} \approx 5{,}43}\text{:} \) \[ \begin{aligned} A'(5) &= 10 - \dfrac{320}{25} = -2{,}8 < 0 \\ A'(6) &= 12 - \dfrac{320}{36} \approx 3{,}11 > 0 \end{aligned} \]Arealet avtar før og vokser etter, så det er et bunnpunkt.

4. Regn ut arealet Vi setter \( {s = \sqrt[3]{160}} \) inn i \( A(s) \) med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} A\left(\sqrt[3]{160}\right) &= \left(\sqrt[3]{160}\right)^2 + \dfrac{320}{\sqrt[3]{160}} \\ A\left(\sqrt[3]{160}\right) &\approx 88{,}42 \end{aligned} \]

Metode: Med GeoGebra

1. Finn bunnpunktet i GeoGebra 2:40 Med høyden fra kalkulatorruten er \( {A(s) = s^2 + \dfrac{320}{s}}\text{.} \) Vi tegner funksjonen for \( {0 \le s \le 20} \) og finner bunnpunktet med Ekstremalpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: A(s) = Funksjon(s^2 + 320/s, 0, 20) B = Ekstremalpunkt(A, 0, 20)

Bunnpunktet er \( {B \approx (5{,}4288,\ 88{,}4168)}\text{.} \) Det minste arealet er omtrent \( 88{,}42\,\text{dm}^2\text{.} \)

Oppgave 6

derivasjon,
polynomer,
topp- og bunnpunkter,
vendepunkt

f

være en tredjegradsfunksjon.

Avgjør for hver av påstandene nedenfor om den er sann eller usann. Begrunn svaret.

Oppgave 6a)

Påstand 1: Grafen til

f

har minst ett ekstremalpunkt.

Vis løsning

Svar

{f(x) = x^3 + x}

har

{f'(x) = 3x^2 + 1 > 0}

og ingen ekstremalpunkter:

\underline{\underline{\text{Påstanden er usann}}}

Oppgave 6A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023

Påstanden gjelder alle tredjegradsfunksjoner. Ekstremalpunkter kan bare ligge der \( {f'(x) = 0}\text{,} \) så vi ser etter en tredjegradsfunksjon der den deriverte aldri er null.

Metode: For hånd

1. Deriver tredjegradsfunksjonen 0:13 En tredjegradsfunksjon kan skrives \( {f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d} \) med \( {a \neq 0}\text{.} \) Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \]Den deriverte er et andregradsuttrykk.

2. Se når den deriverte er null 3:13 Bokstavene \( a\text{,} \) \( b \) og \( c \) er brukt, så vi kaller koeffisientene i \( f'(x) \) for \( {\textcolor{blue}{p} = 3a}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = 2b} \) og \( {\textcolor{green}{r} = c}\text{.} \) Med abc-formelen har \( {f'(x) = 0} \) løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Er tallet under rottegnet negativt, finnes det ingen løsning, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen. Da er \( f'(x) \) aldri null, og grafen har ingen ekstremalpunkter.

3. Finn et moteksempel Vi velger \( {f(x) = x^3 + x}\text{.} \) Da er: \[ f'(x) = 3x^2 + 1 \]Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{0}} \) og \( {\textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{1}}\text{,} \) så tallet under rottegnet er \( {\textcolor{red}{0}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{green}{1} = -12 < 0}\text{.} \)

Siden \( {x^2 \ge 0}\text{,} \) er \( {f'(x) \ge 1} \) for alle \( x\text{.} \) Grafen stiger hele tiden og har ingen ekstremalpunkter. Det er et moteksempel, så påstanden er usann.

Oppgave 6b)

Påstand 2: Alle linjer på formen

{y = ax + b}\text{,}

der

a, b \in \mathbb{R}\text{,}

vil skjære grafen til

f\text{.}

Vis løsning

Svar

f(x)

minus linja er en tredjegradsfunksjon, og den har alltid minst ett nullpunkt:

\underline{\underline{\text{Påstanden er sann}}}

Oppgave 6B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023

Linja skjærer grafen der \( f(x) \) er lik linja. Samler vi alt på én side, får vi en tredjegradslikning, og en tredjegradsfunksjon har alltid minst ett nullpunkt.

Metode: For hånd

1. Se hvor grafen kommer fra 1:50 Vi skriver \( {f(x) = \textcolor{blue}{a}x^3 + bx^2 + cx + d} \) med \( {\textcolor{blue}{a} \neq 0}\text{.} \) Når \( x \) blir stor i tallverdi, bestemmer leddet \( \textcolor{blue}{a}x^3 \) hvor grafen går. Er \( {\textcolor{blue}{a} > 0}\text{,} \) er: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} f(x) &= -\infty \\ \lim_{x \to \infty} f(x) &= \infty \end{aligned} \]Er \( {\textcolor{blue}{a} < 0}\text{,} \) er det omvendt.

Grafen henger sammen, så på veien fra \( {-\infty} \) til \( \infty \) må den krysse \( x \)-aksen minst én gang. En tredjegradsfunksjon har altså alltid minst ett nullpunkt.

2. Sett funksjonen lik linja 4:16 Bokstavene \( a \) og \( b \) er brukt i \( f\text{,} \) så vi skriver linja \( {y = kx + m}\text{.} \) Den skjærer grafen der \( {f(x) = kx + m}\text{,} \) altså der \( {g(x) = 0} \) med: \[ \begin{aligned} g(x) &= f(x) - kx - m \\ &= \textcolor{blue}{a}x^3 + bx^2 \\ &\quad + (c - k)x + (d - m) \end{aligned} \]

\( g \) er en tredjegradsfunksjon, fordi \( {\textcolor{blue}{a} \neq 0}\text{.} \) Den har minst ett nullpunkt, så linja skjærer grafen minst én gang, uansett hva \( k \) og \( m \) er. Påstanden er derfor sann.

Oppgave 6c)

Påstand 3: Dersom grafen til

f

har et vendepunkt for

{x = 3}\text{,}

{f'(1) = f'(5)}\text{.}

Vis løsning

Svar

Vendepunktet gir

{f''(3) = 0}\text{,}

og da er

{f'(1) = f'(5)}\text{:}

\underline{\underline{\text{Påstanden er sann}}}

Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023

Et vendepunkt ligger der \( {f''(x) = 0}\text{.} \) Vi deriverer \( f \) to ganger, bruker at \( {f''(3) = 0}\text{,} \) og regner ut \( f'(1) \) og \( f'(5)\text{.} \)

Metode: For hånd

1. Deriver to ganger 0:30 Med \( {f(x) = \textcolor{blue}{a}x^3 + \textcolor{red}{b}x^2 + cx + d} \) og potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ \begin{aligned} f'(x) &= 3\textcolor{blue}{a}x^2 + 2\textcolor{red}{b}x + c \\ f''(x) &= 6\textcolor{blue}{a}x + 2\textcolor{red}{b} \end{aligned} \]

2. Bruk vendepunktet 1:44 Vendepunktet i \( {x = 3} \) gir \( {f''(3) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 6\textcolor{blue}{a} \cdot 3 + 2\textcolor{red}{b} &= 0 \\ \textcolor{red}{b} &= -9\textcolor{blue}{a} \end{aligned} \]

3. Regn ut de to deriverte 4:40 Vi setter inn \( {x = 1} \) og \( {\textcolor{red}{b} = -9\textcolor{blue}{a}} \) i \( f'(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f'(1) &= 3\textcolor{blue}{a} + 2\textcolor{red}{b} + c \\ f'(1) &= 3\textcolor{blue}{a} - 18\textcolor{blue}{a} + c = c - 15\textcolor{blue}{a} \end{aligned} \]

Og så \( {x = 5}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f'(5) &= 75\textcolor{blue}{a} + 10\textcolor{red}{b} + c \\ f'(5) &= 75\textcolor{blue}{a} - 90\textcolor{blue}{a} + c = c - 15\textcolor{blue}{a} \end{aligned} \]

Begge er \( {c - 15\textcolor{blue}{a}}\text{,} \) så \( {f'(1) = f'(5)}\text{,} \) og påstanden er sann. Det passer med at grafen til \( f' \) er en parabel med toppunkt eller bunnpunkt i \( {x = 3}\text{,} \) og 1 og 5 ligger like langt fra 3.

Ferdig med settet? Se de andre S1-eksamenene