Eksamensoppgaver etter tema

R1 vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 3

6 poeng

To biler,

A

og

B\text{,}

kjører på hver sin vei. Posisjonen til bil

A

er gitt ved

\vec{r}_A(t)\text{,}

og posisjonen til bil

B

er gitt ved

\vec{r}_B(t)\text{,}

der

\vec{r}_A(t) = \left[\dfrac{1}{2}(t - 4),\ t\right]

og

\vec{r}_B(t) = \left[\dfrac{1}{2}t,\ \dfrac{3}{2}\left(t - \dfrac{1}{5}\right)\right]

Her er

t

tiden målt i minutter, og avstandene er målt i kilometer.

Oppgave 3a)

Bestem avstanden i luftlinje mellom bilene etter 1 minutt.

Vis løsning

Svar

Avrundet til to desimaler:

\underline{\underline{d = \dfrac{\sqrt{101}}{5}\,\text{km} \approx 2{,}01\,\text{km}}}

Avstanden i luftlinje er lengden av vektoren mellom de to posisjonene etter 1 minutt.

Metode: For hånd

1. Finn posisjonene etter 1 minutt Vi setter inn \( {t = 1} \) i begge posisjonsvektorene: \[ \begin{aligned} \vec{r}_A(1) &= \left[\dfrac{1}{2}(1 - 4),\ 1\right] = \left[-\dfrac{3}{2},\ 1\right] \\ \vec{r}_B(1) &= \left[\dfrac{1}{2},\ \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{5}\right] = \left[\dfrac{1}{2},\ \dfrac{6}{5}\right] \end{aligned} \]

2. Regn ut avstanden Vektoren fra bil \( A \) til bil \( B \) finner vi ved å trekke koordinatene til \( A \) fra koordinatene til \( B\text{,} \) som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \vec{r}_B(1) - \vec{r}_A(1) &= \left[\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2},\ \dfrac{6}{5} - 1\right] \\ \vec{r}_B(1) - \vec{r}_A(1) &= \left[\textcolor{blue}{2},\ \textcolor{red}{\dfrac{1}{5}}\right] \end{aligned} \]

Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi avstanden \( d\text{:} \) \[ \begin{aligned} d &= \sqrt{\textcolor{blue}{2}^2 + \left(\textcolor{red}{\dfrac{1}{5}}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{101}{25}} \\ d &= \dfrac{\sqrt{101}}{5} \approx 2{,}01 \end{aligned} \]Avstanden er omtrent \( 2{,}01 \) km.

Oppgave 3b)

En av veiene er en motorvei. Den andre veien er en vei med lavere fartsgrense.

Gjør beregninger og argumenter for hvilken av bilene som er på motorveien.

Vis løsning

Svar

Bil

B

kjører omtrent

94{,}9

km/h, og bil

A

omtrent

67{,}1

km/h:

\underline{\underline{\text{Bil } B \text{ er på motorveien}}}

Bilen på motorveien kjører fortest. Farten er lengden av fartsvektoren, og fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren.

Metode: For hånd

1. Finn fartsvektorene Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, \( {\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)}\text{,} \) som i videoen Posisjon, fart & akselerasjon. Vi deriverer hver koordinat for seg. Siden \( {\dfrac{1}{2}(t - 4) = \dfrac{1}{2}t - 2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \vec{v}_A(t) &= \left[\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}},\ \textcolor{red}{1}\right] \\ \vec{v}_B(t) &= \left[\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}},\ \textcolor{red}{\dfrac{3}{2}}\right] \end{aligned} \]Fartsvektorene er de samme hele tiden, så begge bilene kjører med konstant fart.

2. Regn ut farten Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi farten i kilometer per minutt: \[ \begin{aligned} |\vec{v}_A| &= \sqrt{\left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}\right)^2 + \textcolor{red}{1}^2} = \dfrac{\sqrt{5}}{2} \\ |\vec{v}_B| &= \sqrt{\left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}\right)^2 + \left(\textcolor{red}{\dfrac{3}{2}}\right)^2} = \dfrac{\sqrt{10}}{2} \end{aligned} \]

3. Gjør om til km/h En time er \( 60 \) minutter, så vi ganger med \( 60\text{:} \) \[ \begin{aligned} |\vec{v}_A| &= \dfrac{\sqrt{5}}{2} \cdot 60 \approx 67{,}1\,\text{km/h} \\ |\vec{v}_B| &= \dfrac{\sqrt{10}}{2} \cdot 60 \approx 94{,}9\,\text{km/h} \end{aligned} \]Bil \( B \) kjører omtrent \( 95 \) km/h, som passer på en motorvei. Bil \( A \) kjører omtrent \( 67 \) km/h, som passer på en vei med lavere fartsgrense.

Veiene krysser hverandre i et veikryss.

Oppgave 3c)

Gjør beregninger og argumenter for hvilken av bilene som kommer til veikrysset først.

Vis løsning

Svar

Bil

B

er i veikrysset etter

8{,}6

minutter, bil

A

etter

12{,}6

minutter:

\underline{\underline{\text{Bil } B \text{ kommer først}}}

Bilene er i veikrysset på hver sin tid. Vi gir dem hver sin tid, \( u \) og \( w\text{,} \) og setter posisjonene like.

Metode: For hånd

1. Sett posisjonene like I veikrysset er bilene på samme sted, men ikke nødvendigvis til samme tid. Vi kaller tiden til bil \( A \) for \( \textcolor{blue}{u} \) og tiden til bil \( B \) for \( \textcolor{red}{w}\text{,} \) slik Ina får sin egen tid i videoen Oppgave 4D - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Begge koordinatene må være like: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2}(\textcolor{blue}{u} - 4) &= \dfrac{1}{2}\textcolor{red}{w} \\ \textcolor{blue}{u} &= \dfrac{3}{2}\left(\textcolor{red}{w} - \dfrac{1}{5}\right) \end{aligned} \]

2. Løs likningssettet Den første likningen gir \( {\textcolor{red}{w} = \textcolor{blue}{u} - 4}\text{.} \) Setter vi det inn i den andre, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{u} &= \dfrac{3}{2}\left(\textcolor{blue}{u} - 4 - \dfrac{1}{5}\right) \\ \textcolor{blue}{u} &= \dfrac{3}{2}\textcolor{blue}{u} - \dfrac{63}{10} \\ \dfrac{1}{2}\textcolor{blue}{u} &= \dfrac{63}{10} \\ \textcolor{blue}{u} &= \dfrac{63}{5} = 12{,}6 \end{aligned} \]Da er \( {\textcolor{red}{w} = 12{,}6 - 4 = 8{,}6}\text{.} \)

3. Sammenlign tidene Bil \( A \) er i veikrysset etter \( \textcolor{blue}{12{,}6} \) minutter, og bil \( B \) etter \( \textcolor{red}{8{,}6} \) minutter. Veikrysset er i punktet: \[ \begin{aligned} \vec{r}_A(12{,}6) &= \left[\dfrac{1}{2}(12{,}6 - 4),\ 12{,}6\right] \\ \vec{r}_A(12{,}6) &= [4{,}3,\ 12{,}6] \end{aligned} \]Bil \( B \) kommer altså først, \( 4 \) minutter før bil \( A\text{.} \)

Metode: Med GeoGebra

1. Løs likningssettet i CAS Vi skriver posisjonene inn i CAS og løser likningssettet med Løs, som i videoen Oppgave 2B (GEOGEBRA / CAS) - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I rad 4 og 5 setter vi tidene inn i posisjonene:

Skriv inn i GeoGebra: r_A(t) := (1/2 (t - 4), t) r_B(t) := (1/2 t, 3/2 (t - 1/5)) Løs({1/2 (u - 4) = 1/2 w, u = 3/2 (w - 1/5)}, {u, w}) r_A(63/5) r_B(43/5)

CAS gir \( {u = \dfrac{63}{5} = 12{,}6} \) og \( {w = \dfrac{43}{5} = 8{,}6}\text{,} \) og begge bilene er i punktet \( {\left(\dfrac{43}{10}, \dfrac{63}{5}\right)}\text{.} \) Bil \( B \) kommer først.

R1 vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

4 poeng

Momentmagnitudeskalaen er en skala for å måle størrelsen på jordskjelv. Sammenhengen mellom momentmagnituden

M

og energien

E

er

M = \dfrac{2}{3}\lg(E) - 3{,}2

Energien

E

måles i joule (J).

Oppgave 4a)

Bestem et uttrykk for energien

E

som løses ut i et jordskjelv, uttrykt ved momentmagnituden

M\text{.}

Bruk dette uttrykket til å regne ut hvor mye energi som løses ut i et jordskjelv som måler 4,7 på momentmagnitudeskalaen.

Vis løsning

Svar

Med energien avrundet til tre gjeldende sifre:

\begin{aligned} &\underline{\underline{E = 10^{1{,}5M + 4{,}8}}} \\ &\underline{\underline{E \approx 7{,}08 \cdot 10^{11}\,\text{J}}} \end{aligned}

Vi løser likningen for \( E\text{:} \) først får vi \( \lg(E) \) alene, så opphøyer vi \( 10 \) i begge sider. Til slutt setter vi inn \( {M = 4{,}7}\text{.} \)

Metode: Med kalkulator

1. Få logaritmen alene Vi legger til \( 3{,}2 \) på begge sider og ganger med \( \dfrac{3}{2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} M + 3{,}2 &= \dfrac{2}{3}\textcolor{green}{\lg(E)} \\ \textcolor{green}{\lg(E)} &= \dfrac{3}{2}(M + 3{,}2) \\ \textcolor{green}{\lg(E)} &= 1{,}5M + 4{,}8 \end{aligned} \]

2. Opphøy 10 i begge sider Fra definisjonen av logaritmen er \( {10^{\lg E} = E}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025. Opphøyer vi \( 10 \) i begge sider, får vi: \[ E = 10^{1{,}5M + 4{,}8} \]

3. Regn ut energien Med \( {M = 4{,}7} \) er \( {1{,}5 \cdot 4{,}7 + 4{,}8 = 11{,}85}\text{,} \) og kalkulatoren gir: \[ E = 10^{11{,}85} \approx 7{,}08 \cdot 10^{11} \]Jordskjelvet løser ut omtrent \( {7{,}08 \cdot 10^{11}} \) J.

Metode: Med GeoGebra

1. Løs likningen i CAS Vi løser likningen for \( E \) i CAS. Så skriver vi svaret inn som en funksjon av \( M\text{,} \) som vi kaller Energi, siden \( E \) er den ukjente i rad 1. Rad 3 regner vi ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(M = 2/3 lg(E) - 3.2, E) Energi(M) := 10^(3/2 M + 24/5) Energi(4.7)

CAS gir \( {E = 10^{\tfrac{3}{2}M + \tfrac{24}{5}} = 10^{1{,}5M + 4{,}8}} \) og \( {E \approx 707\,945\,784\,384} \) J, altså omtrent \( {7{,}08 \cdot 10^{11}} \) J, når \( {M = 4{,}7}\text{.} \)

Oppgave 4b)

Hvor mange ganger så stor er energien som løses ut i et jordskjelv, dersom

M

øker med 1?

Vis løsning

Svar

Energien blir

{10^{1{,}5} = 10\sqrt{10}}

ganger så stor. Avrundet til én desimal:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 31{,}6 \text{ ganger så stor}}}

Vi bruker uttrykket for \( E \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi deler energien for \( {M + 1} \) på energien for \( M\text{.} \) Med potensreglene blir det et tall som ikke avhenger av \( M\text{.} \)

Metode: Med kalkulator

1. Del energiene på hverandre I a) fant vi: \[ E = 10^{1{,}5M + 4{,}8} \]

Potensregelen for brøk forteller oss at: \[ \dfrac{a^{\textcolor{blue}{m}}}{a^{\textcolor{red}{n}}} = a^{\textcolor{blue}{m} - \textcolor{red}{n}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.

Når \( M \) øker med 1, blir eksponenten: \[ \textcolor{blue}{1{,}5(M + 1) + 4{,}8} = \textcolor{blue}{1{,}5M + 6{,}3} \]

Det gir: \[ \begin{aligned} \dfrac{E(M + 1)}{E(M)} &= \dfrac{10^{\textcolor{blue}{1{,}5M + 6{,}3}}}{10^{\textcolor{red}{1{,}5M + 4{,}8}}} = 10^{1{,}5} \\ \dfrac{E(M + 1)}{E(M)} &= 10\sqrt{10} \approx 31{,}6 \end{aligned} \]Energien blir omtrent \( 31{,}6 \) ganger så stor, uansett hva \( M \) er.

Metode: Med GeoGebra

1. Regn ut i CAS Vi fortsetter i CAS-vinduet fra a), der energien er funksjonen Energi. Rad 5 er rad 4 uten Forenkle, med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Forenkle(Energi(M + 1) / Energi(M)) Energi(M + 1) / Energi(M)

CAS gir \( {10\sqrt{10} \approx 31{,}6228}\text{.} \) Energien blir omtrent \( 31{,}6 \) ganger så stor.

R1 vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 5

4 poeng

Det har vært en stor endring i hvilken type drivstoff bilene i Norge bruker. Statistisk sentralbyrå samler inn data om dette, og tabellen viser en oversikt over typen drivstoff til registrerte personbiler i Moss i perioden 2010—2022.

Personbiler, K-3103 Moss

\begin{array}{r|r|r|r} \text{År} & \text{Bensin} & \text{Diesel} & \text{Parafin} \\ \hline 2010 & 14\,185 & 5\,756 & 0 \\ 2011 & 13\,592 & 6\,791 & 0 \\ 2012 & 13\,246 & 7\,590 & 0 \\ 2013 & 12\,944 & 8\,308 & 0 \\ 2014 & 12\,578 & 8\,973 & 0 \\ 2015 & 12\,367 & 9\,609 & 0 \\ 2016 & 11\,472 & 9\,913 & 0 \\ 2017 & 11\,079 & 10\,055 & 0 \\ 2018 & 10\,516 & 9\,967 & 0 \\ 2019 & 10\,323 & 9\,908 & 0 \\ 2020 & 9\,706 & 9\,406 & 0 \\ 2021 & 9\,210 & 8\,931 & 0 \\ 2022 & 8\,705 & 8\,533 & 0 \end{array}

\begin{array}{r|r|r|r} \text{År} & \text{Gass} & \text{El.} & \begin{array}{c} \text{Annet} \\ \text{drivstoff} \end{array} \\ \hline 2010 & 0 & 2 & 1 \\ 2011 & 0 & 14 & 1 \\ 2012 & 0 & 35 & 1 \\ 2013 & 1 & 111 & 16 \\ 2014 & 1 & 307 & 8 \\ 2015 & 1 & 557 & 9 \\ 2016 & 1 & 754 & 803 \\ 2017 & 1 & 1\,071 & 1\,209 \\ 2018 & 1 & 1\,467 & 1\,613 \\ 2019 & 1 & 2\,057 & 2\,006 \\ 2020 & 2 & 2\,810 & 2\,491 \\ 2021 & 3 & 4\,031 & 3\,060 \\ 2022 & 2 & 5\,363 & 3\,414 \end{array}

Fotnoter Annet drivstoff inneholder hovedsakelig hybrid.

Kilde: Skjermdump av ssb.no, utdrag fra tabell 07849

Oppgave 5a)

Bruk opplysningene i tabellen til å lage modeller du mener beskriver utviklingen i drivstofftypene bensin og elektrisk («El.»)

t

år etter 2010. Argumenter for valg av modeller.

Vis løsning

Svar

Bensin minker med omtrent like mye hvert år, og El. vokser med omtrent samme faktor hvert år fra 2015. Med stigningstallet avrundet til én desimal, konstantleddet til hele tall og

E

til fire gjeldende siffer:

\begin{aligned} &\underline{\underline{B(t) \approx -451{,}8t + 14\,243}} \\ &\underline{\underline{E(t) \approx 107{,}8 \cdot 1{,}387^t}} \end{aligned}

Vi ser hvordan tallene endrer seg fra år til år, og velger modell etter det. Så lager vi modellene med regresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre regresjon, men vi kan lage modellene selv: bensin med tallet i 2010 og den gjennomsnittlige endringen per år, og El. med tallet i 2015 og vekstfaktoren \( k \) der \( {557 \cdot k^7 = 5363}\text{,} \) altså \( {k \approx 1{,}38}\text{.} \) Øv på det, og på å bruke modellene i svaret.

Metode: Med GeoGebra

1. Velg modeller ut fra tabellen Bensin minker hvert år, med mellom omtrent 200 og 900 biler, og nedgangen blir verken tydelig større eller mindre. I snitt er endringen per år: \[ \dfrac{8705 - 14\,185}{12} \approx -457 \]Når noe endrer seg med omtrent like mye hvert år, passer en lineær modell.

Elbilene ganges med omtrent det samme tallet, vekstfaktoren, hvert år fra 2015. For eksempel er: \[ \dfrac{754}{557} \approx 1{,}35 \qquad \dfrac{5363}{4031} \approx 1{,}33 \]Fra 2015 til 2022 ligger vekstfaktoren mellom 1,33 og 1,43. Da passer en eksponentiell modell, verdien ganget med vekstfaktoren opphøyd i tiden, som i videoen Vekstfaktor. Før 2015 var tallene små og vokste med ujevne faktorer, fra 1,8 til 7, så vi lager den modellen av årene fra 2015.

2. Lag modellene med regresjon Vi skriver \( t \) i kolonne A og tallene i kolonne B i regnearket, markerer dem og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista for bensin får navnet \( l_1\text{,} \) og lista for El. fra 2015, \( {t = 5} \) til \( {t = 12}\text{,} \) navnet \( l_2\text{.} \)

Regresjonen finner tallene som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. RegLin gir en rett linje, og RegEksp en eksponentiell modell. GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: B = RegLin(l1) E(x) = RegEksp(l2)

3. Skriv opp modellene Med \( t \) for \( x \) gir det: \[ \begin{aligned} B(t) &\approx \textcolor{blue}{-451{,}8}t + 14\,243 \\ E(t) &\approx 107{,}8 \cdot \textcolor{red}{1{,}387}^t \end{aligned} \]Ifølge modellene blir det omtrent \( \textcolor{blue}{452} \) færre bensinbiler hvert år, og omtrent \( \textcolor{red}{39\,\%} \) flere elbiler hvert år. Begge grafene går nær punktene. Andre modeller kan også være riktige når de er begrunnet, for eksempel en eksponentiell modell for bensin.

Oppgave 5b)

Ut fra modellene du har laget, hvordan vil du vurdere veksten i drivstofftypene bensin og elektrisk i årene framover, etter 2022? Kommenter gyldigheten til modellene dine.

Vis løsning

Svar

Ifølge modellene minker bensin med omtrent 452 per år og når 0 mellom 2041 og 2042, mens El. øker med omtrent 39 % per år og passerer alle personbilene i Moss mellom 2026 og 2027. Modellene kan gjelde:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Bensin: høyst til 2041}}} \\ &\underline{\underline{\text{El.: bare noen få år}}} \end{aligned}

Vi bruker modellene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi ser hva modellene sier om årene etter 2022, og om svarene er mulige. Antall bensinbiler kan ikke bli negativt, og det kan ikke bli flere elbiler enn det er biler i Moss.

Metode: Med kalkulator

1. Se på bensinmodellen Vi ser hvordan modellene oppfører seg etter det siste året i tabellen, som når vi vurderer gyldighetsområdet i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I a) fant vi modellen: \[ B(t) \approx \textcolor{blue}{-451{,}8}t + 14\,243 \]Ifølge den blir det omtrent \( \textcolor{blue}{452} \) færre bensinbiler hvert år. Den når \( 0 \) når: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{-451{,}8}t + 14\,243 &= 0 \\ t &= \dfrac{14\,243}{\textcolor{blue}{451{,}8}} \approx 31{,}5 \end{aligned} \]Det er mellom 2041 og 2042. Etter det gir modellen et negativt antall, så den kan gjelde høyst til 2041. Trolig endrer nedgangen seg også når det blir færre bensinbiler igjen.

2. Se på elbilmodellen I a) fant vi modellen: \[ E(t) \approx 107{,}8 \cdot \textcolor{red}{1{,}387}^t \]Ifølge den blir det omtrent \( \textcolor{red}{39\,\%} \) flere elbiler hvert år. Til sammen var det \( 26\,017 \) personbiler i Moss i 2022, summen av tallene for 2022 i tabellen. Modellen passerer det tallet når: \[ \begin{aligned} 107{,}8 \cdot \textcolor{red}{1{,}387}^t &= 26\,017 \\ \textcolor{red}{1{,}387}^t &= \dfrac{26\,017}{107{,}8} \end{aligned} \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider og flytter \( t \) ned fra eksponenten med logaritmeregelen \( {\ln(a^t) = t \cdot \ln a}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} t \cdot \ln \textcolor{red}{1{,}387} &= \ln\left(\dfrac{26\,017}{107{,}8}\right) \\ t &= \dfrac{\ln\left(\dfrac{26\,017}{107{,}8}\right)}{\ln \textcolor{red}{1{,}387}} \approx 16{,}8 \end{aligned} \]Det er mellom 2026 og 2027. Så mange elbiler kan det ikke bli, så veksten må flate ut før det. Modellen gjelder bare noen få år fram. På lengre sikt passer en logistisk modell bedre, fordi den flater ut.

Metode: Med GeoGebra

1. Finn når modellene blir urimelige I a) lagret vi modellene som \( B \) og \( E \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ \begin{aligned} B(t) &\approx \textcolor{blue}{-451{,}7857}t + 14\,243{,}2527 \\ E(t) &\approx 107{,}7611 \cdot \textcolor{red}{1{,}3868}^t \end{aligned} \]

Vi finner der \( B \) skjærer \( x \)-aksen, og der \( E \) når 26 017, alle personbilene i Moss i 2022, med verktøyet Skjæring mellom to objekter, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: N = Skjæring(B, xAkse) h: y = 26017 P = Skjæring(E, h, (17, 26017))

GeoGebra gir \( {N \approx (31{,}5266,\ 0)} \) og \( {P \approx (16{,}7794,\ 26\,017)}\text{.} \) Bensinmodellen når \( 0 \) mellom 2041 og 2042, og elbilmodellen passerer alle personbilene i Moss mellom 2026 og 2027. Bensinmodellen kan derfor gjelde høyst til 2041, og elbilmodellen bare noen få år fram.

R1 vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 6

4 poeng

En funksjon

f

er gitt ved

f(x) = -x^2 + 4, \quad 0 \le x \le 2

Lars har tegnet grafen til

f

med et innskrevet rektangel

ABCD\text{.}

Lars har også skrevet et program.

Oppgave 6a)

Forklar hva Lars prøver å finne ut med programmet. Hva blir svaret hvis man kjører programmet?

Vis løsning

Svar

Lars vil finne det største arealet rektangelet

ABCD

kan få. Programmet skriver ut

3{,}0791250000000003\text{,}

som avrundet til tre desimaler gir:

\underline{\underline{\text{Største areal} \approx 3{,}079}}

Vi leser programmet linje for linje og ser hva arealet og løkka står for. Så finner vi hvor løkka stopper.

Metode: Med kalkulator

1. Les hva programmet regner ut Linje 1 og 2 definerer \( {f(x) = -x^2 + 4}\text{.} \) Linje 4 og 5 regner ut arealet av rektangelet \( ABCD \) når \( B \) ligger i \( (x, 0)\text{:} \) bredden \( AB \) er \( \textcolor{red}{x}\text{,} \) og høyden \( BC \) er \( \textcolor{blue}{f(x)}\text{.} \) Vi kaller arealet \( T(x)\text{,} \) siden \( A \) er et hjørne: \[ \begin{aligned} T(x) &= \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{(-x^2 + 4)} \\ T(x) &= -x^3 + 4x \end{aligned} \]

Linje 7 til 9 regner ut den deriverte av arealet tilnærmet, med \( {h = 0{,}0001}\text{.} \) Det er brøken fra definisjonen av den deriverte, uten grenseverdien, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Et program med den samme brøken står i videoen Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \dfrac{T(x + h) - T(x)}{h} \approx T'(x) \]

Løkka i linje 13 og 14 øker \( x \) med \( {\texttt{dx} = 0{,}01} \) så lenge den deriverte i neste punkt er positiv, altså så lenge arealet vokser. Den stopper ved toppunktet, og linje 16 skriver ut arealet der. Lars vil altså finne det største arealet rektangelet kan få.

2. Finn hvor løkka stopper Toppunktet finner vi der den deriverte er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026. Med potensregelen er \( {T'(x) = -3x^2 + 4}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -3x^2 + 4 &= 0 \\ x &= \dfrac{2}{\sqrt{3}} \approx 1{,}1547 \end{aligned} \]

I \( {x = 1{,}14} \) er den deriverte i neste punkt, \( 1{,}15\text{,} \) positiv, så \( x \) blir \( 1{,}15\text{.} \) I \( {x = 1{,}15} \) er den deriverte i \( 1{,}16 \) negativ, fordi \( {1{,}16 > 1{,}1547}\text{.} \) Da stopper løkka, og programmet skriver ut: \[ \begin{aligned} T(1{,}15) &= 1{,}15 \cdot (-1{,}15^2 + 4) \\ T(1{,}15) &= 3{,}079125 \end{aligned} \]Det største arealet er \( {\dfrac{2}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{8}{3} = \dfrac{16\sqrt{3}}{9} \approx 3{,}0792}\text{,} \) så programmet treffer det med tre desimaler.

Metode: Med Python

1. Kjør programmet Vi kjører programmet slik det står. Det skriver ut:

Det siste sifferet kommer av at datamaskinen regner med avrundede desimaltall. Det største arealet er altså omtrent \( 3{,}079\text{.} \)

Oppgave 6b)

Hvilken strategi bruker Lars i programmet sitt? Vil strategien fungere uavhengig av hvilken funksjon

f

er?

Vis løsning

Svar

Lars går i steg på 0,01 så lenge den deriverte av arealet er positiv, og stopper i toppunktet. Med

{f(x) = 4}

stopper løkka aldri:

\underline{\underline{\text{Nei, ikke for alle } f}}

Vi bruker fra a) at løkka går så lenge den deriverte av arealet er positiv.

Vi beskriver hva løkka gjør, og ser etter funksjoner der den ikke stopper i det største arealet.

Metode: For hånd

1. Beskriv strategien Lars starter i \( {x = 0} \) og går mot høyre i steg på \( {\texttt{dx} = 0{,}01}\text{.} \) Så lenge den deriverte av arealet er positiv, vokser arealet, og han tar et steg til. Når den deriverte i neste punkt ikke lenger er positiv, har den gått fra pluss til minus, og arealet har nådd et toppunkt. Der stopper han. Lars bruker altså at den deriverte er \( 0 \) i et toppunkt, som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026, men leter etter punktet med små steg i stedet for å løse en likning.

2. Avgjør om den alltid virker Nei. Strategien virker bare når arealet først vokser og så avtar, med ett toppunkt.

Er \( {f(x) = 4}\text{,} \) er arealet \( {\textcolor{red}{x} \cdot 4 = 4x}\text{,} \) og den deriverte er hele tiden \( 4\text{.} \) Da stopper løkka aldri.

Har arealet flere toppunkter, stopper løkka ved det første, og det er ikke nødvendigvis det største. Avtar arealet fra start, stopper løkka med en gang, i \( {x = 0}\text{.} \)

Svaret blir heller ikke helt nøyaktig, fordi \( x \) bare går i steg på \( 0{,}01\text{.} \)

R1 vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 7

2 poeng

En kule med radius

r

deles i to like deler. Vi skal skjære ut en pyramide med rektangulær grunnflate av den ene halvkulen. Grunnflaten skal ligge i snittflaten til halvkulen.

Bestem et uttrykk for det største volumet en slik pyramide kan ha.

Volumet av en pyramide er gitt ved

V = \dfrac{h \cdot G}{3}

der

G

er grunnflaten og

h

er høyden til pyramiden.

Vis løsning

Svar

Med toppen øverst og en kvadratisk grunnflate med diagonal

2r\text{:}

\underline{\underline{V = \dfrac{2}{3}r^3}}

Pyramiden blir høyest med toppen øverst på halvkulen, og grunnflaten blir størst med hjørnene på randen av snittflaten. Den største grunnflaten finner vi med derivasjon.

Metode: For hånd

1. Finn den største høyden Toppen av pyramiden må ligge i halvkulen, så høyden er høyst lik radien. Den største høyden får vi med toppen øverst, rett over sentrum av snittflaten, som på figuren: \[ h = \textcolor{darkorange}{r} \]

2. Sett opp grunnflaten Snittflaten er en sirkel med radius \( r\text{.} \) Ligger et hjørne av grunnflaten innenfor randen, kan vi gjøre rektangelet større, så det største rektangelet har alle hjørnene på randen. Da er diagonalen en diameter, \( 2r\text{,} \) og med sidene \( \textcolor{red}{a} \) og \( b \) gir Pythagoras et krav. Vi løser det for \( b\text{,} \) så grunnflaten får én variabel, som i videoen Oppgave 5B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a}^2 + b^2 &= (2r)^2 \\ b &= \sqrt{4r^2 - \textcolor{red}{a}^2} \end{aligned} \]

Grunnflaten er altså: \[ G(\textcolor{red}{a}) = \textcolor{red}{a} \cdot \sqrt{4r^2 - \textcolor{red}{a}^2} \]der \( {0 < \textcolor{red}{a} < 2r}\text{.} \)

3. Deriver grunnflaten \( G \) er et produkt, så vi deriverer med produktregelen. Den forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Roten deriverer vi med kjerneregelen, \( {\left(\sqrt{\textcolor{green}{w}}\right)' = \dfrac{\textcolor{green}{w'}}{2\sqrt{\textcolor{green}{w}}}}\text{,} \) med kjernen \( {\textcolor{green}{w} = \textcolor{green}{4r^2 - a^2}} \) og \( {\textcolor{green}{w'} = \textcolor{green}{-2a}}\text{,} \) som i videoen Kjerneregelen: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{a} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\sqrt{4r^2 - a^2}} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{-2a}{2\sqrt{4r^2 - a^2}}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} G'(a) &= \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\sqrt{4r^2 - a^2}} \\ &{}+ \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{-2a}{2\sqrt{4r^2 - a^2}}} \end{aligned} \]

Vi setter på felles brøkstrek, med \( {\sqrt{4r^2 - a^2}} \) som nevner: \[ \begin{aligned} G'(a) &= \dfrac{4r^2 - a^2 - a^2}{\sqrt{4r^2 - a^2}} \\ G'(a) &= \dfrac{4r^2 - 2a^2}{\sqrt{4r^2 - a^2}} \end{aligned} \]

4. Sett den deriverte lik null Toppunktet finner vi der den deriverte er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026. En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 4r^2 - 2\textcolor{red}{a}^2 &= 0 \\ \textcolor{red}{a} &= \sqrt{2}\,r \end{aligned} \]Telleren er positiv for \( {a < \sqrt{2}\,r} \) og negativ for \( {a > \sqrt{2}\,r}\text{,} \) så grunnflaten har et toppunkt der.

5. Regn ut det største volumet Med \( {\textcolor{red}{a} = \sqrt{2}\,r} \) er \( {b = \sqrt{4r^2 - 2r^2} = \sqrt{2}\,r}\text{,} \) så grunnflaten er et kvadrat: \[ G = \sqrt{2}\,r \cdot \sqrt{2}\,r = 2r^2 \]

Plugger vi dette og \( {h = \textcolor{darkorange}{r}} \) inn i formelen for volumet, får vi: \[ V = \dfrac{\textcolor{darkorange}{r} \cdot 2r^2}{3} = \dfrac{2}{3}r^3 \]

Metode: Med GeoGebra

1. Finn det største volumet i CAS Med toppen øverst er \( {h = r}\text{,} \) og med sidene \( a \) og \( {\sqrt{4r^2 - a^2}} \) er grunnflaten \( {G(a) = a \cdot \sqrt{4r^2 - a^2}}\text{,} \) som i ruten for hånd. Vi skriver \( G \) inn i CAS og løser \( {G'(a) = 0}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: G(a) := a*sqrt(4r^2 - a^2) Løs(G'(a) = 0, a) G(sqrt(2) r) 1/3*r*G(sqrt(2) r)

Sidelengden er positiv, så \( {a = \sqrt{2}\,r}\text{.} \) CAS gir grunnflaten \( 2r|r| \) og volumet \( \dfrac{2}{3}r^2|r|\text{.} \) Siden \( {r > 0}\text{,} \) er \( {|r| = r}\text{,} \) så det største volumet er \( \dfrac{2}{3}r^3\text{.} \)

1P høst 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

Tobias lurer på hvor mye vann han bør drikke hver dag.

Han finner ulike svar på ulike nettsider. På en nettside finner han teksten nedenfor.

Voksne har hvert døgn behov for ca.

30\,\text{mL}

væske per kilogram kroppsvekt. Husk at vann er den beste tørstedrikken.

Tobias veier

70\,\text{kg}\text{.}

Hvor mange liter vann bør Tobias drikke i løpet av et døgn ifølge nettsiden?

Vis løsning

Svar

Ifølge nettsiden bør Tobias drikke:

\underline{\underline{2{,}1 \text{ liter}}}

Nettsiden oppgir hvor mye væske en voksen trenger for hvert kilogram. Vi ganger derfor med vekten til Tobias og gjør om fra milliliter til liter.

1. Gang med vekten For hvert av de \( \textcolor{red}{70} \) kiloene trenger Tobias \( \textcolor{blue}{30}\,\text{mL}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{70} \cdot \textcolor{blue}{30}\,\text{mL} = 2100\,\text{mL} \]Her er \( {7 \cdot 3 = 21}\text{,} \) og så kommer de to nullene.

2. Gjør om til liter Det går \( 1000\,\text{mL} \) på \( 1\,\text{L}\text{,} \) som på måletrappa i videoen Introduksjon til Måleenheter. Vi deler derfor med \( 1000\text{:} \) \[ 2100\,\text{mL} = \dfrac{2100}{1000}\,\text{L} = 2{,}1\,\text{L} \]

1P høst 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

Ni av ti nordmenn bruker sosiale medier

88\,\%

av nordmenn bruker sosiale medier.

De siste fem årene har antall nordmenn som bruker sosiale medier, økt med 8 prosentpoeng.

Opplysningene ovenfor er hentet fra ssb.no.

Vil du si at overskriften samsvarer med første setning i teksten? Begrunn svaret ditt.

Hvor mange prosent tilsvarer økningen på 8 prosentpoeng?

Vis løsning

Svar

Ni av ti er

90\,\%\text{,}

og andelen økte fra

80\,\%

til

88\,\%\text{:}

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Samsvarer omtrent}}} \\ &\underline{\underline{\text{Økningen er } 10\,\%}} \end{aligned}

«Ni av ti» er en brøk vi kan skrive som prosent og sammenligne med \( 88\,\%\text{.} \) Så finner vi hvor mange prosent økningen er av andelen for fem år siden.

1. Sammenlign overskriften med teksten «Ni av ti» er: \[ \dfrac{9}{10} = \dfrac{90}{100} = \textcolor{green}{90\,\%} \]

Første setning sier \( 88\,\%\text{,} \) altså \( 8{,}8 \) av ti nordmenn. Det er \( 2 \) prosentpoeng mindre enn \( \textcolor{green}{90\,\%}\text{,} \) men avrundet til et helt antall er \( 8{,}8 \) av ti det samme som ni av ti. Overskriften samsvarer derfor omtrent med første setning.

Det er også riktig å svare nei, når begrunnelsen er at ni av ti er \( 90\,\% \) og ikke \( 88\,\%\text{.} \)

2. Finn økningen i prosent Hvor mange prosent noe har økt, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{endring}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

For fem år siden var andelen \( \textcolor{red}{8} \) prosentpoeng lavere, altså \( {88 - \textcolor{red}{8} = \textcolor{blue}{80}} \) prosent. Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \dfrac{\textcolor{red}{8}}{\textcolor{blue}{80}} \cdot 100\,\% = \dfrac{1}{10} \cdot 100\,\% = 10\,\% \]

1P høst 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 3

Flere oppgaver om proporsjonalitet

Ohms lov sier at strømmen

(I)

gjennom en metallisk leder med konstant temperatur er proporsjonal med spenningen

(U)

og omvendt proporsjonal med motstanden

(R)

i lederen.

Argumenter for om hver av påstandene er sann eller usann.

1) Hvis vi øker spenningen, vil strømmen også øke. 2) Hvis vi øker motstanden, vil strømmen også øke.

Vis løsning

Svar

Med samme motstand øker strømmen med spenningen, og med samme spenning minker strømmen når motstanden øker:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Påstand 1 er sann}}} \\ &\underline{\underline{\text{Påstand 2 er usann}}} \end{aligned}

Før vi starter, må vi vite hva proporsjonal og omvendt proporsjonal betyr. Så ser vi hva som skjer med strømmen når den ene størrelsen øker og den andre er den samme.

1. Skriv opp hva det betyr To størrelser \( x \) og \( y \) er proporsjonale når forholdet mellom dem er fast, og omvendt proporsjonale når produktet er fast. Med et fast tall \( k \) er: \[ \begin{aligned} \text{Proporsjonale: } & y = k \cdot x \\ \text{Omvendt proporsjonale: } & x \cdot y = k \end{aligned} \]

2. Avgjør påstand 1 Strømmen er proporsjonal med spenningen. Med den samme motstanden er altså: \[ \textcolor{red}{I} = k \cdot \textcolor{blue}{U} \]der \( k \) er et fast, positivt tall. Dobler vi spenningen \( \textcolor{blue}{U}\text{,} \) dobles også strømmen \( \textcolor{red}{I}\text{,} \) og øker vi spenningen, øker strømmen. Påstand 1 er derfor sann.

3. Avgjør påstand 2 Strømmen er omvendt proporsjonal med motstanden. Med den samme spenningen er altså: \[ \textcolor{red}{I} \cdot \textcolor{green}{R} = k \]Produktet er det samme hele tiden. Øker motstanden \( \textcolor{green}{R}\text{,} \) må strømmen \( \textcolor{red}{I} \) derfor bli mindre. Dobler vi motstanden, blir strømmen halvparten så stor. Påstand 2 er derfor usann.

1P høst 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 4

Hunder utvikler seg raskere enn mennesker. Når en hund er 1 år gammel, tilsvarer det 16 menneskeår. Se tabellen nedenfor.

\footnotesize \begin{array}{l|c|c|c} \begin{gathered} \text{Så gammel er} \\ \text{hunden din} \end{gathered} & \begin{gathered} \text{Små/} \\ \text{mellom-} \\ \text{store} \\ \text{hunder} \end{gathered} & \begin{gathered} \text{Store} \\ \text{hunder} \end{gathered} & \begin{gathered} \text{Veldig} \\ \text{store} \\ \text{hunder} \end{gathered} \\ \hline \text{To måneder} & 2 \text{ år} & 2 \text{ år} & 2 \text{ år} \\ \text{Fire måneder} & 6 \text{ år} & 6 \text{ år} & 6 \text{ år} \\ \text{Seks måneder} & 10 \text{ år} & 10 \text{ år} & 10 \text{ år} \\ \text{Åtte måneder} & 12 \text{ år} & 12 \text{ år} & 12 \text{ år} \\ \text{Ti måneder} & 14 \text{ år} & 14 \text{ år} & 14 \text{ år} \\ \hline 1 \text{ år} & 16 \text{ år} & 16 \text{ år} & 16 \text{ år} \\ 1{,}5 \text{ år} & 20 \text{ år} & 20 \text{ år} & 20 \text{ år} \\ 2 \text{ år} & 24 \text{ år} & 24 \text{ år} & 24 \text{ år} \\ \hline 3 \text{ år} & 29 \text{ år} & 30 \text{ år} & 31 \text{ år} \\ 4 \text{ år} & 34 \text{ år} & 36 \text{ år} & 38 \text{ år} \\ 5 \text{ år} & 39 \text{ år} & 42 \text{ år} & 45 \text{ år} \\ 6 \text{ år} & 44 \text{ år} & 48 \text{ år} & 52 \text{ år} \\ 7 \text{ år} & 49 \text{ år} & 54 \text{ år} & 59 \text{ år} \\ 8 \text{ år} & 54 \text{ år} & 60 \text{ år} & 66 \text{ år} \\ 9 \text{ år} & 59 \text{ år} & 66 \text{ år} & 73 \text{ år} \\ 10 \text{ år} & 64 \text{ år} & 72 \text{ år} & 80 \text{ år} \\ 11 \text{ år} & 69 \text{ år} & 78 \text{ år} & 87 \text{ år} \\ 12 \text{ år} & 74 \text{ år} & 84 \text{ år} & 94 \text{ år} \\ 13 \text{ år} & 79 \text{ år} & 90 \text{ år} & 101 \text{ år} \\ 14 \text{ år} & 84 \text{ år} & 96 \text{ år} & 108 \text{ år} \end{array}

Kilde: www.agria.no (24.04.2023)

Sondre har en hund som er 2 år gammel. Han mener funksjonen

H

gitt ved

H(x) = 6x + 12

kan brukes som en modell for hvor mange menneskeår

H(x)

en stor hund er når den er

x

hundeår.

Oppgave 4a)

Forklar hvordan Sondre kan ha kommet fram til dette uttrykket, og argumenter for når modellen er gyldig.

Vis løsning

Svar

Menneskeårene øker med

6

per hundeår fra

{H(2) = 24}\text{,}

og modellen gjelder for store hunder når:

\underline{\underline{2 \le x \le 14}}

I tabellen ser vi at en stor hund blir \( 6 \) menneskeår eldre for hvert år fra den er 2 år. Det gir en lineær modell, og så sjekker vi for hvilke aldre den stemmer med tabellen.

1. Finn stigningstallet En lineær modell har formen: \[ H(x) = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]Her er \( \textcolor{red}{a} \) stigningstallet, det \( H \) øker med når \( x \) øker med \( 1\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) er konstantleddet. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der formelen for en rett linje settes opp med stigningstall og konstantledd.

I kolonnen for store hunder øker menneskeårene med \( 6 \) for hvert hundeår fra 2 år: \( 24\text{,} \) \( 30\text{,} \) \( 36 \) og så videre til \( 96\text{.} \) Med punktene \( (2, 24) \) og \( (3, 30) \) er stigningstallet endringen i \( H \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \textcolor{red}{a} = \dfrac{30 - 24}{3 - 2} = \textcolor{red}{6} \]

2. Finn konstantleddet En hund på 2 år tilsvarer 24 menneskeår, altså er \( {H(2) = 24}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{6} \cdot 2 + \textcolor{blue}{b} &= 24 \\ \textcolor{blue}{b} &= 24 - 12 = \textcolor{blue}{12} \end{aligned} \]Det gir \( {H(x) = \textcolor{red}{6}x + \textcolor{blue}{12}}\text{,} \) som er uttrykket Sondre har funnet.

3. Finn når modellen gjelder Modellen gir tallene i tabellen for alle hele år fra 2 til 14, for eksempel: \[ H(14) = 6 \cdot 14 + 12 = 96 \]

Under 2 år stemmer den ikke. En hund på 1 år tilsvarer 16 menneskeår, men modellen gir \( {H(1) = 6 + 12 = 18}\text{.} \) Etter 14 år har tabellen ingen tall. Modellen gjelder derfor for store hunder fra 2 til 14 år.

Sondre påstår at modellen han har funnet, viser at alderen til en hund er proporsjonal med alderen til et menneske.

Oppgave 4b)

Stemmer påstanden til Sondre? Husk å argumentere for svaret ditt.

Vis løsning

Svar

{H(x) = 6x + 12}

har konstantleddet

12\text{,}

og

{H(4) = 36}

er ikke det dobbelte av

{H(2) = 24}\text{:}

\underline{\underline{\text{Påstanden stemmer ikke}}}

To størrelser er proporsjonale når den ene er et fast tall ganget med den andre. Vi sjekker om modellen har den formen, og prøver med to aldre.

1. Sjekk formen til modellen At menneskeårene er proporsjonale med hundeårene, betyr at: \[ H(x) = k \cdot x \]der \( k \) er et fast tall. Grafen er da en rett linje gjennom origo.

Modellen \( {H(x) = 6x + \textcolor{blue}{12}} \) har konstantleddet \( \textcolor{blue}{12}\text{,} \) så den har ikke denne formen.

2. Prøv med to aldre Dobler vi alderen til hunden fra 2 til 4 år, får vi: \[ \begin{aligned} H(2) &= 6 \cdot 2 + 12 = \textcolor{red}{24} \\ H(4) &= 6 \cdot 4 + 12 = 36 \end{aligned} \]Var alderen proporsjonal, skulle dobbel hundealder gitt dobbelt så mange menneskeår, altså \( {2 \cdot \textcolor{red}{24} = 48}\text{.} \) Dette kalles et moteksempel, og påstanden til Sondre stemmer derfor ikke.

1P høst 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 5

På en nettside har Dennis funnet teksten nedenfor.

Verdifallet utgjør bilens største kostnad. Verdifallet er i de aller fleste tilfellene størst det første året.

For en ny bil kan du vente et verdifall på

20\,\%

det første året. Deretter

14\,\%

av bruktprisen det andre året,

13\,\%

det tredje året, osv., synkende til

10\,\%

det sjette året. Fra og med det sjette året må du regne med et verdifall på

10\,\%

årlig.

Dennis vil kjøpe en ny bil som koster

490\,000

kroner.

Sett opp et regnestykke som vil gi bilens verdi etter 2 år.

Vis løsning

Svar

Bilens verdi i kroner etter 2 år:

\underline{\underline{490\,000 \cdot 0{,}80 \cdot 0{,}86}}

Verdien faller hvert år med en prosent av det bilen da er verdt, så vi ganger med en vekstfaktor for hvert år. De to årene har ulike vekstfaktorer.

1. Finn vekstfaktorene Når verdien faller med \( p\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Det første året faller verdien med \( 20\,\%\text{,} \) og det andre året med \( 14\,\% \) av bruktprisen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{V_1} &= 1 - 0{,}20 = \textcolor{blue}{0{,}80} \\ \textcolor{red}{V_2} &= 1 - 0{,}14 = \textcolor{red}{0{,}86} \end{aligned} \]

2. Gang med vekstfaktorene Etter det første året er verdien \( {490\,000 \cdot \textcolor{blue}{0{,}80}} \) kroner. Det er bruktprisen det andre året, og den ganger vi med \( \textcolor{red}{0{,}86}\text{:} \) \[ 490\,000 \cdot \textcolor{blue}{0{,}80} \cdot \textcolor{red}{0{,}86} \]Regner vi det ut, blir verdien \( {392\,000 \cdot 0{,}86 = 337\,120} \) kroner.

Oppgavene

Oppgave 3

Oppgave 3a)

Svar

Oppgave 3b)

Svar

Oppgave 3c)

Svar

Oppgave 4

Oppgave 4a)

Svar

Oppgave 4b)

Svar

Oppgave 5

Oppgave 5a)

Svar

Oppgave 5b)

Svar

Oppgave 6

Oppgave 6a)

Svar

Oppgave 6b)

Svar

Oppgave 7

Svar

Oppgave 1

Svar

Oppgave 2

Svar

Oppgave 3

Svar

Oppgave 4

Oppgave 4a)

Svar

Oppgave 4b)

Svar

Oppgave 5

Svar