Eksamensoppgaver etter tema

Arealet er lengde ganger bredde, og begge endres med en prosent. Vi ganger derfor vekstfaktorene sammen.

1. Finn vekstfaktorene Vekstfaktoren er det en størrelse ganges med: \[ \begin{aligned} \text{Økning: } V &= 1 + \dfrac{p}{100} \\ \text{Nedgang: } V &= 1 - \dfrac{p}{100} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Lengden øker med \( 10\,\% \) og bredden minker med \( 20\,\%\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{V_l} &= 1 + 0{,}10 = \textcolor{blue}{1{,}10} \\ \textcolor{red}{V_b} &= 1 - 0{,}20 = \textcolor{red}{0{,}80} \end{aligned} \]

2. Finn det nye arealet Arealet av et rektangel er lengde ganger bredde: \[ A = l \cdot b \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Areal og Omkrets.

Med den nye lengden og den nye bredden blir arealet: \[ \begin{aligned} A_{\text{ny}} &= \textcolor{blue}{1{,}10} \cdot l \cdot \textcolor{red}{0{,}80} \cdot b \\ A_{\text{ny}} &= 0{,}88 \cdot l \cdot b = 0{,}88 \cdot A \end{aligned} \]Arealet blir \( 88\,\% \) av det det var. Siden \( {0{,}88 = 1 - 0{,}12}\text{,} \) er det \( 12\,\% \) mindre.

Vi finner hvor mye teobromin Mira har fått i seg. Så antar vi hvor mye hun veier, og sammenligner med grensen på \( 20\,\text{mg} \) per kg kroppsvekt.

1. Finn mengden teobromin Hvert gram melkesjokolade har \( 1{,}2\,\text{mg} \) teobromin, og Mira har spist \( 200 \) gram: \[ 200 \cdot 1{,}2\,\text{mg} = \textcolor{red}{240\,\text{mg}} \]

2. Finn grensen for vekten Mer enn \( 20\,\text{mg} \) per kg kroppsvekt kan gi forgiftning. Vi finner vekten der \( \textcolor{red}{240\,\text{mg}} \) er akkurat \( 20\,\text{mg} \) per kg: \[ \dfrac{\textcolor{red}{240\,\text{mg}}}{20\,\text{mg/kg}} = 12\,\text{kg} \]Veier Mira mindre enn \( 12\,\text{kg}\text{,} \) har hun fått i seg mer enn \( 20\,\text{mg} \) per kg.

3. Anta vekten til Mira Bildet viser at Mira er en stor hund. Vi antar at hun veier \( \textcolor{blue}{30\,\text{kg}}\text{.} \) Da har hun fått i seg: \[ \dfrac{\textcolor{red}{240\,\text{mg}}}{\textcolor{blue}{30\,\text{kg}}} = 8\,\text{mg/kg} \]Det er godt under grensen på \( 20\,\text{mg/kg}\text{,} \) så ifølge helsenorge.no trenger ikke Snorre å kontakte veterinær.

Andre antakelser er også riktige: veier hunden for eksempel \( 10\,\text{kg}\text{,} \) blir det \( 24\,\text{mg/kg}\text{,} \) og da bør Snorre kontakte veterinær.

Vi følger samtalen: først linja gjennom \( B \) og \( C\text{,} \) så arealet når vi kjenner \( x\text{.} \) Etter prøvingen setter vi opp en funksjon for arealet og finner toppunktet.

1. Finn likningen for linja BC Punktet \( {P = (x, y)} \) ligger på linja gjennom \( B(6, 0) \) og \( C(0, 6)\text{.} \) En rett linje har formen: \[ y = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]Her er \( \textcolor{red}{a} \) stigningstallet og \( \textcolor{blue}{b} \) der linja skjærer andreaksen, som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x \) fra \( B \) til \( C\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \textcolor{red}{a} = \dfrac{6 - 0}{0 - 6} = \textcolor{red}{-1} \]Linja skjærer andreaksen i \( C(0, 6)\text{,} \) så \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{6}}\text{:} \) \[ y = \textcolor{red}{-1} \cdot x + \textcolor{blue}{6} = 6 - x \]Det er dette Maria mener med \( {y = 6 - x}\text{.} \)

2. Finn arealet av rektangelet Trekanten er symmetrisk om andreaksen, så det øvre venstre hjørnet ligger like langt til venstre som \( P \) ligger til høyre. Rektangelet er derfor \( \textcolor{green}{2x} \) bredt og \( y \) høyt. Arealet er bredde ganger høyde, som i videoen Areal og Omkrets: \[ A = \textcolor{green}{2x} \cdot y \]

Med \( {x = 1} \) og \( {y = 5}\text{,} \) som Maria foreslår, er arealet: \[ A = \textcolor{green}{2 \cdot 1} \cdot 5 = 10 \]

3. Prøv deg fram Vi lager en oversikt, som Martin foreslår, med \( {y = 6 - x}\text{:} \) \[ \begin{array}{c|c|c} x & y & A = 2x \cdot y \\ \hline 1 & 5 & 10 \\ 2 & 4 & 16 \\ \underline{3} & \underline{3} & \underline{18} \\ 4 & 2 & 16 \\ 5 & 1 & 10 \end{array} \]Arealet er størst for \( {x = 3}\text{,} \) og verdiene er like på hver side av \( {x = 3}\text{.} \)

4. Sett opp arealfunksjonen Vi setter \( {y = 6 - x} \) inn i \( {A = 2x \cdot y}\text{.} \) Punktet \( P \) ligger mellom \( C \) og \( B\text{,} \) så arealet som funksjon av \( x \) er: \[ A(x) = 2x(6 - x), \quad 0 < x < 6 \]

Vi tegner grafen gjennom punktene i oversikten, som Martin foreslår:

Grafen er symmetrisk om \( {x = 3}\text{,} \) så toppunktet ligger der. Kalkulatoren viser at arealet blir mindre like ved: \[ \begin{aligned} A(2{,}9) &= 2 \cdot 2{,}9 \cdot 3{,}1 = 17{,}98 \\ A(3{,}1) &= 2 \cdot 3{,}1 \cdot 2{,}9 = 17{,}98 \end{aligned} \]

5. Finn punktet P Arealet er størst, \( {A(3) = 18}\text{,} \) når \( {x = 3}\text{.} \) Da er \( {y = 6 - 3 = 3}\text{,} \) så \( {P = (3, 3)}\text{.} \)

1. Finn toppunktet på grafen Vi skriver inn arealfunksjonen fra kalkulatorruten og finner toppunktet med Maks, som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: A(x) = 2x(6 - x), 0 < x < 6 T = Maks(A, 0, 6)

Toppunktet er \( {T = (3, 18)}\text{.} \) Arealet er størst, \( 18\text{,} \) når \( {x = 3}\text{,} \) og da er \( {P = (3, 6 - 3) = (3, 3)}\text{.} \)

Bilen må bremse foran hver sving, og jo skarpere svingen er, desto lavere blir farten. Vi ser derfor på hvor mange svinger banen har, hvor skarpe de er og i hvilken rekkefølge de kommer.

1. Les av grafen Grafen har tre daler, så banen har tre svinger, som vi kaller sving \( \textcolor{blue}{1}\text{,} \) \( \textcolor{red}{2} \) og \( \textcolor{green}{3}\text{.} \) Den andre dalen er dypest, så sving \( \textcolor{red}{2} \) er skarpest. Den tredje dalen er grunnest, så sving \( \textcolor{green}{3} \) er slakest.

Mellom dalene er farten høy over to lange strekninger. Før den første dalen og etter den siste er det korte strekninger.

2. Utelukk de andre banene A og D har mange flere svinger enn tre, og C har fire. Oversiden av D ligner grafen, men grafen viser farten, ikke formen på banen. E er en likesidet trekant med tre like skarpe svinger, som ville gitt tre like dype daler.

F har tre svinger, men regnet fra startmarkeringen er den andre svingen den slakeste, med en vinkel på omtrent \( 90^\circ\text{.} \) Da skulle den andre dalen vært grunnest.

3. Sjekk bane B B har tre svinger. Pilene viser at bilen kjører med klokka, så fra startmarkeringen kjører den et kort stykke opp til det øvre venstre hjørnet, sving \( \textcolor{blue}{1}\text{,} \) som er ganske skarp. Så kommer en lang strekning fram til den spisse vinkelen til høyre, sving \( \textcolor{red}{2}\text{,} \) som er den skarpeste. Etter en ny lang strekning kommer det runde hjørnet nede til venstre, sving \( \textcolor{green}{3}\text{,} \) som er den slakeste, og så er det et kort stykke tilbake til start. Det passer med grafen.

Høyden fra toppen deler den likesidede trekanten i to rettvinklede trekanter. I den ene bruker vi definisjonen av cosinus.

1. Del trekanten med høyden Alle vinklene i en likesidet trekant er like store, og vinkelsummen er \( 180^\circ\text{:} \) \[ \dfrac{180^\circ}{3} = 60^\circ \]

Vi tegner høyden fra toppen ned på grunnlinja. Trekanten er symmetrisk om høyden, så høyden deler grunnlinja på midten, i to deler som er \( \textcolor{red}{1}\text{.} \) Hypotenusen i hver halvdel er en side i trekanten, \( \textcolor{blue}{2}\text{:} \)

2. Bruk definisjonen av cosinus Definisjonen av cosinus forteller oss at for en spiss vinkel \( v \) i en rettvinklet trekant er: \[ \cos v = \dfrac{\textcolor{red}{\text{hosliggende katet}}}{\textcolor{blue}{\text{hypotenus}}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

I den venstre halvdelen ligger kateten \( \textcolor{red}{1} \) inntil vinkelen \( 60^\circ\text{,} \) og hypotenusen er \( \textcolor{blue}{2}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \cos 60^\circ = \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{2}} \]Vi gjør det samme som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025, der trekanten gir \( \sin 45^\circ\text{.} \)

Grafen skjærer \( x \)-aksen der \( {f(x) = 0}\text{.} \) Vi prøver oss fram til én løsning, deler med polynomdivisjon og løser andregradslikningen som blir igjen.

1. Prøv små heltall Vi setter \( {f(x) = 0}\text{:} \) \[ x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0 \]

Dette er del 1, så en av løsningene er nok et lite heltall. Vi prøver oss fram, som i videoen Oppgave 2 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} f(1) &= 1 + 2 - 5 - 6 = -8 \\ f(-1) &= -1 + 2 + 5 - 6 = 0 \end{aligned} \]

Nullpunktssetningen forteller oss at: \[ f(r) = 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{f(x)}{x - r} \text{ går opp} \]Med \( {r = -1} \) er \( {x - r = x + 1}\text{,} \) så divisjonen \( {f(x) : (x + 1)} \) går opp, som i videoen Nullpunktssetningen.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( f(x) \) på \( {(x + 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} + 2x^2 - 5x - 6) : (\textcolor{green}{x} + 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x + 1) &= x^3 + x^2 \\ -(x^3 + x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 - x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 2x^2 - 5x - 6) : (\textcolor{green}{x} + 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 2x^2 & {}- 5x & {}- 6 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}- x^2} & & \\ \hline & x^2 & {}- 5x & {}- 6 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {2x^2 - x^2 = x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-5x} \) og \( {-6}\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{x} \\ \textcolor{magenta}{x} \cdot (x + 1) &= x^2 + x \\ -(x^2 + x) &= \textcolor{magenta}{-x^2 - x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 2x^2 - 5x - 6) : (\textcolor{green}{x} + 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 2x^2 & {}- 5x & {}- 6 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}- x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}- 5x & {}- 6 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- x} & \\ \hline & & -6x & {}- 6 \end{array} \end{array} \]\( x^2 \) strykes mot \( {-x^2}\text{,} \) \( {-5x - x = -6x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-6}\text{.} \) Linja \( {-6x - 6} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-6x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-6x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-6} \\ \textcolor{blue}{-6} \cdot (x + 1) &= -6x - 6 \\ -(-6x - 6) &= \textcolor{blue}{6x + 6} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 2x^2 - 5x - 6) : (\textcolor{green}{x} + 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ x} \textcolor{blue}{{}- 6} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 2x^2 & {}- 5x & {}- 6 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}- x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}- 5x & {}- 6 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-6x}} & {}- 6 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{6x}} & \textcolor{blue}{{}+ 6} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-6x} \) strykes mot \( 6x\text{,} \) og \( {-6 + 6 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \\ &= (x + 1)(x^2 + x - 6) \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{.} \) Faktoren \( {x + 1} \) gir \( {x = -1}\text{,} \) og \( {x^2 + x - 6 = 0} \) løser vi med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-6}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-6})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-1 \pm 5}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x = 2} \) eller \( {x = -3}\text{.} \) Nullpunktene er altså \( {-3}\text{,} \) \( {-1} \) og \( 2\text{.} \)